TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

VĂN NGỌC ÁNH

ĐỊNH LÝ
KHÔNG ĐIỂM HILBERT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

VĂN NGỌC ÁNH

ĐỊNH LÝ
KHÔNG ĐIỂM HILBERT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học: ThS. Đỗ Văn Kiên

HÀ NỘI, 2019

1

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô trong bộ môn tổ Đại số cũng như các thầy cô giảng
dạy đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo - ThS. Đỗ Văn Kiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ và
chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian, năng lực của bản thân nên khóa luận
của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng
hộ, động viên tinh thần để tôi hoàn thành khóa luận này!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Văn Ngọc Ánh


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp "Định lý không điểm Hilbert" là công
trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu cùng
với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - ThS. Đỗ Văn Kiên.
Trong quá trình thực hiện đề tài sử dụng một số tài liệu tham khảo
được ghi rõ trong danh mục "Tài liệu tham khảo". Vì vậy tôi xin cam

đoan kết quả trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và không
trùng với kết quả của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Văn Ngọc Ánh


MỤC LỤC

Lời mở đầu

1

1 Vành đa thức trên một trường

2

1.1

Vành đa thức trên một trường . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


1.2.1

Iđêan, các phép toán trên iđêan . . . . . . . . .

6

1.2.2

Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại . . . . . . . .

9

2 Tập đại số

11

3 Định lý không điểm Hilbert

23

4 Bài tập và vận dụng

29

4.1

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29


4.2

Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

KẾT LUẬN

34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

35

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Lời mở đầu
Đại số là một trong những môn học cơ bản của chương trình đào
tạo cử nhân Sư phạm toán học. Nó cung cấp kiến thức và phương thức
tư duy thiết yếu cho việc học tập các học phần khác.
David Hilbert (23 tháng 1 năm 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng
2 năm 1943, Gottingen, Đức) là một nhà toán học người Đức, được
công nhận như là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng rộng
lớn nhất của thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20. Ông thiết lập tên tuổi như là một
nhà toán học và nhà khoa học vĩ đại bằng cách phát minh hay phát

triển một loạt các ý tưởng khác nhau. Một trong số những ý tưởng ấy
là định lý nổi tiếng mang tên ông: "Định lý không điểm Hilbert". Đó
cũng chính là tên đề tài mà em đã chọn để thực hiện khóa luận tốt
nghiệp này.
Đề tài gồm bốn chương:
Chương 1: Vành đa thức trên một trường.
Chương 2: Tập đại số.
Chương 3: Định lý không điểm Hilbert.
Chương 4: Bài tập và vận dụng.
Do thời gian có hạn và bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận
sẽ không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của
thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.

1


Chương 1
Vành đa thức trên một trường

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về vành đa thức trên
một trường và về iđêan của một vành.

1.1

Vành đa thức trên một trường

Định nghĩa 1.1. Một tập k cùng với hai phép toán cộng và nhân
được gọi là một trường nếu nó là một vành giao hoán có đơn vị, có
nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch.
Ví dụ 1.1. 1) Q, R, C là các trường với các phép toán cộng và nhân

thông thường.
√
√
2) Tập Q[ 3] = {a + b 3 | a, b ∈ Q} là một trường.
√
√
3) Q[ q] = {a + b q | a, b ∈ Q} là một trường nếu p là một số
nguyên tố.
Định nghĩa 1.2. Cho k là một trường. Đặt
k[x] = {f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 | ai ∈ K}.
m

Hai phần tử f (x) =

ai xi , g(x) =

i=0

n

bj xj , m ≤ n gọi là bằng nhau

j=0

nếu m = n và ai = bi , với mọi i = 0, 1, ..., n. Kí hiệu f (x) = g(x).

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Văn Ngọc Ánh

Trên k[x] ta trang bị hai phép toán
n

m
i

f (x) + g(x) =

bj xj ;

(ai + bi )x +
i=0
m+n

j=m+1

ck xk ,

f (x)g(x) =
k=0

trong đó ck =

ai bj , k = 0, 1, . . . , n + m. Khi đó k[x] cùng với hai
i+j=k

phép toán ở trên lập thành một vành, giao hoán, có đơn vị. Mỗi phần

tử của k[x] gọi là một đa thức ẩn x, và vành k[x] được gọi là vành đa
thức một ẩn với hệ tử trên k.
n

Định nghĩa 1.3. Cho f (x) ∈ k[x], f (x) =

ai xi . Nếu an = 0 thì an

i=0

gọi là hệ tử cao nhất của f (x), a0 là hệ tử tự do và số tự nhiên n được
gọi là bậc của f (x), kí hiệu là degf (x).
Quy ước: đa thức 0 có bậc là −∞.
Từ định nghĩa dễ dàng nhận được bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Cho hai đa thức khác không f (x), g(x) ∈ K[x]. Nếu f (x)+
g(x) khác không thì
deg(f (x) + g(x))

max{degf (x), degg(x)},

deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x).
Định lý phép chia có dư dưới đây là cơ sở của thuật toán Euclid.
Định lý 1.1. Cho f (x), g(x) ∈ k[x] trong đó g(x) = 0. Khi đó tồn tại
duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) ∈ k[x] sao cho
f (x) = g(x)q(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc degr(x) < degg(x).
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Văn Ngọc Ánh

Trong định lý trên, q(x) được gọi là thương và r(x) gọi là dư của
phép chia f (x) cho g(x). Nếu dư của phép chia f (x) cho g(x) là 0 thì
ta nói rằng f (x) chia hết cho g(x) hay g(x) là ước của f (x).
Định nghĩa 1.4. Cho f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ k[x] và F ⊇ k.
Phần tử α ∈ F , ta đặt f (α) = an αn +· · ·+a1 α+a0 ∈ F . Nếu f (α) = 0
thì ta nói α là nghiệm của f (x).
Ví dụ 1.2.

√

2 ∈ R là một nghiệm của đa thức x2 − 2 ∈ Q[x].

Hệ quả 1.1. (Định lý Bezout) Phần tử a ∈ k là nghiệm của đa thức
f (x) ∈ k[x] nếu và chỉ nếu tồn tại đa thức g(x) ∈ k[x] sao cho f (x) =
(x − a)g(x).
Chứng minh. Theo Định lý 1.1, ta có thể viết f (x) = (x−a)g(x)+r(x),
ở đó r(x) = 0 hoặc degr(x) = 0. Chia f (x) cho (x − a) ta được
r ∈ k. Thay x = a vào đẳng thức ta được r = f (a) = 0. Suy ra
f (x) = (x − a)g(x).
Ngược lại là hiển nhiên.
Cho m > 0 là một số nguyên. Một phần tử a ∈ k được gọi là một
nghiệm bội m của đa thức f (x) ∈ k[x] nếu f (x) chia hết cho (x − a)m
nhưng không chia hết cho (x − a)m+1 . Nếu m = 1 thì a được gọi là
nghiệm đơn. Nếu m = 2 thì a được gọi là nghiệm kép. Nếu m ≥ 2 thì
a được gọi là nghiệm bội.
Hệ quả 1.2. Phần tử a ∈ k là nghiệm bội m của f (x) ∈ k[x] nếu và
chỉ nếu f (x) có dạng f (x) = (x − a)m g(x) với g(x) ∈ k[x] và g(a) = 0.


4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Chứng minh. Giả sử a là nghiệm bội m của f (x). Vì f (x) chia hết cho
(x − a)m nên f (x) = (x − a)m g(x) với g(x) ∈ k[x]. Nếu g(a) = 0 thì
theo Hệ quả 1.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ k[x] và do đó
f (x) chia hết cho (x − a)k+1 , vô lý. Vậy g(a) = 0.
Ngược lại, vì f (x) = (x − a)m g(x) nên f (x) chia hết cho (x − a)m .
Nếu f (x) chia hết cho (x − a)m+1 thì f (x) = (x − a)m+1 h(x) với
h(x) ∈ k[x]. Do đó (x − a)m g(x) = (x − a)m+1 h(x). Do k là trường
nên g(x) = (x − a)h(x). Suy ra g(a) = 0, mâu thuẫn. Vậy f (x) không
chia hết cho (x − a)m+1 .
Định nghĩa 1.5. Đa thức f (x) = 0 không khả nghịch trong vành k[x]
được gọi là bất khả quy (trên k) nếu f (x) không có ước thực sự trong
k[x].
Ví dụ 1.3. Đa thức x2 + 1 bất khả quy trên R nhưng không bất khả
quy trên C.
Định lý 1.2. Nếu một đa thức f (x) ∈ Z[x] bậc n

1 bất khả quy trên

Z thì nó cũng bất khả quy trên Q
Định lý 1.3. (Tiêu chuẩn Eisenstein)
Cho đa thức f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , an = 0, n > 1 trong Z[x].
Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho p không chia hết an nhưng chia
hết các hệ số còn lại và p2 không chia hết a0 . Khi đó f (x) là bất khả

quy trong Q[x].
Định lý 1.4. Cho k là một trường, f (x) là đa thức khác hằng trong
k[x]. Khi đó f (x) luôn biểu diễn được thành tích của các đa thức bất
khả quy trên k[x]. Sự phân tích này là duy nhất nếu không kể thứ tự
các nhân tử bất khả quy và các hệ tử khả nghịch.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Ví dụ 1.4. Mọi đa thức bậc 1 đều bất khả quy trong k[x].
Định nghĩa 1.6. Cho α là phần tử đại số trên k. Gọi p(x) là đa thức
bất khả quy trên k nhận α là nghiệm. Nếu hệ tử cao nhất của p(x)
bằng 1 thì p(x) gọi là đa thức tối tiểu của α trên k.
Vành đa thức chúng ta nói trong Định nghĩa 1.2 là vành đa thức
một biến (ẩn) trên k. Chúng ta hoàn toàn có thể thay k bởi một vành
giao hoán, có đơn vị và bằng cách xây dựng tương tự chúng ta sẽ định
nghĩa vành đa thức nhiều ẩn bằng qui nạp như sau.
Định nghĩa 1.7. Đặt
A1 = k[x1 ],
A2 = A1 [x2 ],
·········
An = An−1 [xn ].
Vành An = An−1 [xn ] được gọi là vành đa thức n ẩn lấy hệ tử trên k và
được ký hiệu là k[x1 , x2 , ..., xn ]. Mỗi phần tử của An gọi là một đa thức
n ẩn và thường được ký hiệu là f (x1 , x2 , ..., xn ), g(x1 , x2 , ..., xn ), ...

1.2

1.2.1

Iđêan
Iđêan, các phép toán trên iđêan

Định nghĩa 1.8. Cho A là một vành. Tập I trong A được goi là một
iđêan nếu 0 ∈ I và I thỏa mãn các điều kiện sau:
• f + g ∈ I với mọi f, g ∈ I.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

• hf ∈ I với mọi h ∈ A, f ∈ I.
Như vậy iđêan là tập đóng với phép cộng và phép nhân với một
phần tử của vành. Có thể thấy ngay iđêan là nhóm abel với phép
cộng. Tập chỉ gồm phần tử 0 là iđêan của A. Tập này được gọi là
iđêan không, ký hiệu cũng là 0. Vành A cũng là iđêan của A. Chú ý
rằng 1 ∈ I khi và chỉ khi I = A. Các iđêan khác A được gọi là iđêan
thực sự.
Có thể thấy khái niệm iđêan mở rộng tính chia hết trong số học.
Thật vậy, tập các phần tử chia hết cho một phần tử f trong A là tập
(f ) := {hf |h ∈ A} .
Rõ ràng (f ) là một iđêan. Iđêan này được gọi là iđêan chính sinh bởi
f . Tổng quát hơn, với mọi hệ phần tử S trong A ta có thể coi tập sau
đây là tập các phần tử chia hết cho S:
(S) := {h1 f1 + ... + hr fr |h1 , ..., hr ∈ A; f1 , ..., fr ∈ S; r ≥ 1} .
Có thể thấy ngay (S) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S. Ta gọi (S)

là iđêan sinh bởi S. Nhiều khi, ta còn dùng ký hiệu SA thay cho (S).
Dễ thấy rằng giao của mọi hệ iđêan và hợp của mọi hệ iđêan lồng
trog nhau cũng là iđêan. Bên cạnh đó ta còn có thể định nghĩa tổng
và tích các iđêan như sau.
Định nghĩa 1.9. Cho I và J là hai iđêan tùy ý trong A.
Iđêan sinh bởi các phần tử của I ∪ J được gọi là iđêan tổng của I
và J, ký hiệu là I + J.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Iđêan sinh bởi các tích f g với f ∈ I và g ∈ J được gọi là iđêan tích
của J, J, ký hiệu là IJ. Dễ thấy rằng
I + J = {f + g|f ∈ I, g ∈ J} ;
IJ = {f1 g1 + ... + fr gr |f1 , ...fr ∈ I, g1 , ..., gr ∈ J} .
Chú ý rằng IJ ⊆ I ∩ J nhưng nhìn chung thì hai iđêan này khác
nhau.
Ví dụ 1.5. Cho I = (x, y 2 ) và J = (y) là hai iđêan của vành đa thức
k[x, y]. Ta có
I + J = (x, y),
IJ = (xy, y 3 ),
I ∩ J = (xy, y 2 ).
Sử dụng các công thức trên ta thấy ngay các phép toán cộng và nhân
iđêan thỏa mãn luật giao hoán, kết hợp và phân phối
I +J =J +I
IJ = JI
(I + J) + K = I + (J + K)

(IJ)K = I(JK)
(I + J)K = IK + JK

với mọi iđêan trong A.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Với mọi iđêan I và mọi số nguyên r ≥ 0 ta còn có thể định nghĩa
iđêan mũ
I r := I...I (r lần)
với 10 := A. Dễ thấy rằng I r là iđêan sinh bởi các tích r phần tử của
I.
1.2.2

Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại

Định nghĩa 1.10. (1) Một iđêan thực sự I của một vành A được gọi
là iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ A sao cho xy ∈ I thì x ∈ I
hoặc y ∈ I.
(2) Một iđêan thực sự I của vành A được gọi là iđêan cực đại nếu
với mọi iđêan J của A sao cho J

I thì J = A.

Đặc trưng của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại được cho bởi mệnh
đề sau mà việc chứng minh nó là sơ cấp

Mệnh đề 1.1. Cho A là một vành, I là iđêan của A. Khi đó
(i) I là iđêan nguyên tố của vành A khi và chỉ khi A/I là miền
nguyên.
(ii) I là iđêan cực đại của vành A khi và chỉ khi A/I là trường.
Hệ quả là mọi idêan cực đại đều là iđêan nguyên tố.
Sự tồn tại của iđêan nguyên tố và cực đại nhờ bổ đề Zorn sau.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Zorn) Một tập sắp thứ tự A = ∅ nào đó có tính
chất mọi tập con sắp thứ tự toàn phần đều có cận trên thì tập A có ít
nhất một phần tử tối đại.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Định lý 1.5. Mọi vành A khác rỗng có ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Gọi S là tập tất cả các iđêan khác 1 của A và trang
bị quan hệ thứ tự bằng quan hệ bao hàm quen thuộc. Ta có S = ∅ vì
0 ∈ S. Tập S được sắp thứ tự tốt. Thật vậy, gọi {ai }là một tập các
phần tử của I (nghĩa là các i đêan khác (1)) sắp thứ tự toàn phần.
Đặt a =

i∈I

ai . Điều kiện I sắp thứ tự toàn phần đảm bảo a là một

iđêan khác (1) của A. Mặt khác ai ⊆ a theo định nghĩa, có nghĩa là
a ∈ I và là một chặn trên của I.
Theo bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại. Nhưng các phần tử

cực đại của S, theo định nghĩa chính là các iđêan cực đại của A.

10


Chương 2
Tập đại số

Chương này trình bày về tập đại số hay đa tạp affine, các tính chất
của tập đại số. Mối quan hệ giữa tập đại số với iđêan định nghĩa của
nó. Nội dung được trình bày chủ yếu theo [4].
Trong toàn bộ chương này cho k là một trường vô hạn. Ta định
nghĩa tập hợp
Ank := {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ k, 1 ≤ ∀i ≤ n}
và gọi nó là một không gian affine n-chiều trên k. Khi trường k là đã
rõ ta chỉ viết đơn giản là An . Mỗi phần tử (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ An được
gọi là một điểm affine. Ta gọi A1 là đường thẳng affine và A2 là mặt
phẳng affine.
Chú ý. Ở đây ta dùng ký hiệu An mà không dùng k n chỉ là muốn nhấn
mạnh rằng ta không quan tâm tới tính chất không gian véc tơ của k n .
Đối tượng nghiên cứu chính của môn Hình học đại số là tập nghiệm
của các hệ phương trình đa thức. Ta gọi các tập này là tập đại số afin
hay ngắn gọn hơn là tập đại số. Khái niệm tập đại số không phụ thuộc
vào việc chọn hệ tọa độ. Thật vậy, giả sử tọa độ cũ (α1 , ..., αn ) được

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Văn Ngọc Ánh

xác định theo tọa độ mới (β1 , ..., βn ) bởi công thức:
α1 = c10 + c11 β1 + ... + c1n βn ,
......................................
αn = cn0 + cn1 β1 + ... + cnn βn .

với cij ∈ k, i = 1, ..., n, j = 0, 1, ..., n. Nếu V là tập nghiệm của hệ đa
thức S thì các điểm của V trong tọa độ mới là nghiệm của hệ đa thức
f (c10 + c11 x1 + ... + c1n xn , ...+, cn0 + cn1 y1 + ... + cnn yn ), f ∈ S
Ta có thể dùng biến đổi tọa độ để đưa hệ đa thức S về một dạng
đơn giản hơn.
Định nghĩa 2.1. (Tập không điểm) Cho S ⊆ k[x1 , ..., xn ] là một tập
con của vành đa thức n. Ta gọi tập hợp
Z(S) := {(a1 , ..., an ) ∈ k n | f (a1 , ..., an ) = 0, ∀f ∈ S}
là tập nghiệm của S hay tập không điểm của S, tức là mỗi phần tử
của Z(S) là nghiệm của mọi đa thức trong S. Nếu S = {f1 , f2 , . . . , fn }
thì ta ký hiệu Z(f1 , f2 , . . . , fn ) thay cho Z({f1 , f2 , . . . , fn }).
Đặc biệt, nếu f là một đa thức khác hằng thì Z(f ) được gọi là một
siêu mặt trong An . Nếu hơn nữa deg f = 1 thì Z(f ) được gọi là một
siêu phẳng trong An .
Chú ý. Ta thường gọi siêu mặt trong A2 (hay A3 ) là đường (hay mặt
tương ứng).
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh


Định nghĩa 2.2. (Tập đại số) Một tập V ⊆ An được gọi là một tập
đại số (hay một đa tạp affine) nếu có một tập con S ⊆ k[x1 , ..., xn ]
sao cho V = Z(S).
Ví dụ 2.1. 1) Tập rỗng ∅ = Z(1) và không gian affine An = Z(0) là
các tập đại số.
2) Hình cầu đơn vị S n−1 trong không gian affine An là một tập đại
số.
3) Cho đa thức x2 − y ∈ k[x, y]. Khi đó parabol
Z(x2 − y) = (a, b) ∈ A2 |a2 − b = 0
là một tập đại số.
Từ định nghĩa chúng ta dễ dàng thấy rằng.
Mệnh đề 2.1. Z(S) =

Z(f ).
f ∈S

Ví dụ 2.2. Cho điểm a = (a1 , ..., an ) ∈ An . Khi đó
n

Z(x1 − a1 , ..., xn − an ) =

Z(xi − ai )
i=1
n

{(b1 , ..., bi−1 , ai , bi+1 , ..., bn )|bj ∈ k, j = i}

=
i=1


= {a} .
Mệnh đề 2.2. Cho S1 ⊆ S2 ⊆ k[x1 , x2 , ..., xn ]. Khi đó Z(S2 ) ⊆ Z(S1 ).
Chứng minh. Với mọi a = (a1 , ..., an ) ∈ Z(S2 ), với mọi f ∈ S1 . Ta có
f ∈ S2 . Vì vậy f (a) = 0. Từ đó a ∈ Z(S1 ). Do đó Z(S2 ) ⊆ Z(S1 ).
Mệnh đề 2.3. Cho hai tập S1 , S2 ⊆ k[x1 , x2 , ..., xn ]. Khi đó
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Z(S1 ) ∪ Z(S2 ) = Z(S), ở đó S = {f.g|f ∈ S1 , g ∈ S2 }.
Chứng minh. Với mọi a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Z(S1 ) ∪ Z(S2 ), với mọi
f.g ∈ S với f ∈ S1 , g ∈ S2 . Ta có (f.g)(a) = f (a).g(a). Mà a ∈ Z(S1 )
hoặc a ∈ Z(S2 ) nên f (a) = 0 hoặc g(a) = 0. Từ đó (f.g)(a) = 0. Vậy
Z(S1 ) ∪ Z(S2 ) ⊆ Z(S).
Ngược lại, giả sử tồn tại a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Z(S) sao cho a ∈
/
Z(S1 ) ∪ Z(S2 ). Khi đó có f1 ∈ S1 và f2 ∈ S2 sao cho f1 (a) = 0, f2 (a) =
0. Suy ra f1 (a).f2 (a) = 0 hay (f1 .f2 )(a) = 0 (vì k là một trường).
Nhưng ta có f1 .f2 ∈ S và a ∈ Z(S) nên (f1 .f2 )(a) = 0. Điều này là
mâu thuẫn. Vậy Z(S) ⊆ Z(S1 ) ∪ Z(S2 ). Từ đó ta có điều phải chứng
minh.
Mệnh đề 2.4. Cho một họ {Si }i∈I ⊆ k [x1 , . . . , xn ]. Khi đó
Z(Si ) = Z

Si .

i∈I


i∈I

Chứng minh. Với mọi a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈

Z(Si ), với mọi f ∈
i∈I

∪i∈I Si . Khi đó tồn tại j ∈ S sao cho f ∈ Sj . Mà a ∈

Z(Si ) nên
i∈I

a ∈ Z(Sj ). Do vậy f (a) = 0. Vậy

Z(Si ) ⊆ Z
i∈I

Si .
i∈I

Ngược lại, với mọi a = (a1 , ..., an ) ∈ Z

Si , với mọi j ∈ I ta cần
i∈I

chỉ ra a ∈ Z(Sj ). Thật vậy, với mọi f ∈ Sj ⊆

Si . Vì a ∈ Z


nên f (a) = 0. Do đó a ∈ Z(Sj ). Vậy Z

Si
i∈I

Si
i∈I

i∈I

⊆

Z(Si ). Từ đó ta
i∈I

có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.5. Cho S ⊆ k[x1 , ..., xn ], I = (S) là iđêan sinh bởi S trong
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

vành k[x1 , ..., xn ]. Khi đó Z(S) = Z(I).
Chứng minh. • Vì S ⊆ I nên Z(I) ⊆ Z(S) (bởi Mệnh đề 2.2).
• Ngược lại, với mọi a = (a1 , a2 , ...an ) ∈ Z(S). Khi đó với mọi
f ∈ I = (S) ta có thể viết
f = f1 .g1 + f2 .g2 + · · · + fn .gn ,
với f1 , ..., fn ∈ k[x1 , ..., xn ] và g1 , ..., gn ∈ S. Vì g1 , ..., gn ∈ S và a ∈

Z(S) nên g1 (a) = g2 (a) = · · · = gn (a) = 0. Suy ra f (a) = 0 ⇒
a ∈ Z(I). Từ đó Z(S) ⊆ Z(I). Vậy Z(S) = Z(I).
Mệnh đề 2.5 chỉ ra rằng mọi tập đại số đều là nghiệm của một
iđêan trong k[x1 , x2 , ..., xn ].
Hệ quả 2.1. Cho 2 iđêan I, J ∈ k[x1 , ..., xn ]. Khi đó
(1) Z(I) ∪ Z(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ).
(2) Z(I) ∩ Z(J) = Z(I + J).
Chứng minh. 1) Đặt S = {f.g|f ∈ I, g ∈ J}. Khi đó iđêan IJ = (S).
Do đó theo Mệnh đề 2.3, ta có
Z(I) ∪ Z(J) = Z(S) = Z(IJ) (*).
Ta lại có IJ ⊆ I ∩ J ⊆ I, J. Do đó theo Mệnh đề 2.2,
Z(I), Z(J) ⊆ Z(I ∩ J) ⊆ Z(IJ)
Suy ra
Z(I) ∪ Z(J) ⊆ Z(I ∩ J) ⊆ Z(IJ).
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Từ đó và từ (*) ta có
Z(I) ∪ Z(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ).
2) Theo Mệnh đề 2.4,
Z(I) ∩ Z(J) = Z(I ∪ J)
= Z( I ∪ J )
= Z(I + J).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.1. Theo các Mệnh đề 2.3, 2.4 hợp của hữu hạn các tập
đại số là một tập đại số và giao của một họ tùy ý các tập đại số là

một tập đại số, nên bằng cách coi mỗi tập đại số là một tập đóng ta
có thể trang bị một tôpô cho không gian An . Tôpô này được gọi là tôpô
Zariski. Chú ý rằng với tôpô này ta đã thấy mỗi tập đóng đều là giao
của các tập đóng có dạng Z(f ) (Mệnh đề 2.1), vì vậy mỗi tập mở
trong An đều có dạng
D(f ) := An \ Z(f ) = {a ∈ An | f (a) = 0}
mà lập thành một cơ sở của tôpô này.
Tôpô Zariski này là tôpô khá yếu theo nghĩa ta không thể dùng hai
tập mở rời nhau để tách hai điểm khác nhau (tức là mỗi một tập mở
chứa một điểm). Điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.6. Giao của hai tập mở khác rỗng trong An là một tập
mở khác rỗng.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Chứng minh. Theo Nhận xét 2.1, ta chỉ cần chứng minh D(f )∩D(g) =
∅ với mọi D(f ) và D(g) khác rỗng. Thật vậy, theo định nghĩa tập mở,
ta có
D(f ) ∩ D(g) = (An \ Z(f )) ∩ (An \ Z(g))
= An \ (Z(f ) ∪ Z(g))
= An \ Z(f g) (bởi Mệnh đề 2.3).
Do D(f ), D(g) = ∅ nên Z(f ), Z(g) = An . Vì vậy f = 0 và g = 0. Do
đó f g = 0. Từ đó ta nhận được Z(f g) = An bởi bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Cho k là một trường vô hạn, f ∈ k[x1 , x2 , ..., xn ]. Khi đó
nếu f (a) = 0 với mọi a ∈ k n thì f = 0.
Chứng minh. Nếu n = 1 thì khẳng định là hiển nhiên bởi vì một đa

thức một ẩn khác 0 chỉ có hữu hạn nghiệm.
Nếu n > 0 và giả sử f (a) = 0 với mọi a ∈ k n nhưng f = 0. Khi đó
f phải chứa một biến nào đó, chẳng hạn là xn . Ta có thể viết lại f
dưới dạng
f = f0 + f1 xn + · · · + fm xm
n
với f0 , f1 , ..., fm ∈ k[x1 , ..., xn−1 ] và fm = 0. Bởi qui nạp theo số biến
n, giả sử khẳng định đúng cho n − 1. Khi đó vì 0 = fm ∈ k[x1 , ..., xn−1 ]
nên tồn tại (α1 , α2 , ..., αn−1 ) ∈ k n−1 sao cho fm (α1 , α2 , ..., αn−1 ) = 0.
Ta có
f (α1 , α2 , ..., αn−1 , xn ) = f0 (α1 , α2 , ..., αn−1 )+· · ·+fm (α1 , α2 , ..., αn−1 )xm
n
là một đa thức một ẩn khác 0 nên đa thức này chỉ có hữu hạn
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

nghiệm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f (a1 , a2 , ..., an ) = 0 với
mọi (a1 , a2 , ..., an ) ∈ k n .
Định nghĩa 2.3. Cho tập V ⊆ An . Ta gọi tập hợp
IV := {f ∈ k[x1 , ..., xn ] | f (a) = 0; ∀a ∈ V }
là iđêan của tập V . Nếu V = {a} thì ta ký hiệu Ia = IV .
Ví dụ 2.3. 1) I∅ = k[x1 , x2 , ..., xn ] vì tập rỗng là con của mọi tập hợp.
2) Nếu a = (a1 , ..., an ) thì Ia = (x1 − a1 , ..., xn − an ). Thật vậy, với
mọi f ∈ Ia ta có f (a) = 0. Mặt khác, bằng thuật toán Euclid ta có thể
viết
f = (x1 − a1 )g1 + (x2 − a2 )g2 + · · · + (xn − an )gn + c,

với g1 , ..., gn ∈ k[x1 , ..., xn ], c ∈ k. Do f (a) = 0 nên c = 0. Suy ra
f ∈ (x1 − a1 , x2 − a2 , ..., xn − an ) hay Ia ⊆ (x1 − a1 , x2 − a2 , ..., xn − an ).
Bao hàm ngược lại là hiển nhiên.
Mệnh đề 2.7. IV là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V .
Chứng minh. Thật vậy, ta có:
• 0 ∈ IV ;
• Với mọi f, g ∈ IV , với mọi a ∈ V ta có
(f − g)(a) = f (a) − g(a) = 0 − 0 = 0.
Từ đó f − g ∈ IV .
• Với mọi f ∈ IV , với mọi g ∈ k[x1 , ..., xn ], với mọi a ∈ V . Ta có
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

f (a) = 0, suy ra
(g.f )(a) = g(a)f (a) = g(a).0 = 0.
Từ đó gf ∈ IV . Vậy IV là một iđêan của k[x1 , ..., xn ].
Rõ ràng ta có Z(IV ) ⊇ V . Bây giờ với mọi iđêan J của k[x1 , ..., xn ]
sao cho Z(J) ⊇ V . Khi đó, với mọi f ∈ J và với mọi a ∈ V . Ta có
a ∈ Z(J), suy ra f (a) = 0. Từ đó f ∈ IV , suy ra J ⊆ IV .
Mệnh đề 2.8. Cho hai tập V, W ⊆ An , các khẳng định sau là đúng:
1) Nếu V ⊆ W thì IV ⊇ IW .
2) IV ∩ IW = IV ∪W .
3) IV + IW ⊆ IV ∩W .
Chứng minh. 1) Với mọi f ∈ IW . Lấy tùy ý a ∈ V ⊆ W . Ta có a ∈ W
nên f (a) = 0 hay f ∈ IV . Vậy IW ⊆ IV .
2) Ta có V, W ⊆ V ∪W . Do đó theo 1) thì IV ⊇ IV ∪W và IW ⊇ IV ∪W .

Vì vậy IV ∩ IW ⊇ IV ∪W .
Ngược lại, với mọi f ∈ IV ∪W . Khi đó với mọi a ∈ V ⊆ V ∪ W . Ta
có f (a) = 0, suy ra f ∈ IV . Tương tự ta cũng có f ∈ IW . Từ đó
f ∈ IV ∩ IW . Vậy IV ∩ IW ⊆ IV ∪W .
3) Với mọi f + g ∈ IV + IW , ở đó f ∈ IV và g ∈ IW . Khi đó với mọi
a ∈ V ∩ W ⊆ V, W . Ta có a ∈ V và a ∈ W nên f (a) = 0 và g(a) = 0.
Từ đó (f + g)(a) = 0, do đó f + g ∈ IV ∩W . Vậy IV + IW ⊆ IV ∩W .
Nhận xét 2.2. Dấu đẳng thức trong khẳng định 3) nói chung không
xảy ra. Chẳng hạn cho V = Z(x2 − y), W = Z(y) ∈ A2 . Ta có
V ∩ W = {0}, IV = (x2 − y), IW = (y).
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Văn Ngọc Ánh

Do đó
IV + IW = (x2 , y) = IV ∩W = (x, y).
Định nghĩa 2.4. Cho V ⊆ An . Ký hiệu V là giao của tất cả các tập
đại số chứa V . Ta gọi V là bao đóng đại số của V .
Nhận xét 2.3. • Vì giao của một họ tùy ý các tập đại số là một ập
đại số nên V cũng là một tập đại số chứa V .
• Nếu V là một tập đại số thì V = V .
• V là tập đại số nhỏ nhất chứa V .
Mệnh đề 2.9. Cho V ⊆ An . Khi đó
1) V = Z(IV ).
2) IV = IV .
Do đó nếu V là tập đại số thì Z(IV ) = V .
Chứng minh. 1) Ta đã biết V ⊆ Z(IV ), suy ra V ⊆ Z(IV ).

Ngược lại, vì V là tập đại số nên tồn tại iđêan J sao cho V = Z(J).
Với mọi f ∈ J, ta có f (V ) = 0. Suy ra f (V ) = 0, hay f ∈ IV . Vậy
J ⊆ IV . Từ đó Z(J) ⊇ Z(IV ), hay V ⊇ Z(IV ). Vậy V = Z(IV ).
2) Ta có V ⊆ V nên IV ⊇ IV . Ngược lại với mọi f ∈ IV , theo 1) ta
có Z(IV ) = V . Khi đó với mọi a ∈ V thì a ∈ Z(IV ) nên f (a) = 0. Từ
đó f ∈ IV , suy ra IV ⊆ IV . Vậy ta có IV = IV .
Mệnh đề 2.10. IV là iđêan căn với mọi V ⊆ An .
Chứng minh. Với mọi f ∈

√

IV luôn tồn tại > 0 sao cho f ∈ IV . Từ

đó f (V ) = 0, suy ra (f (V )) = 0. Do đó f (V ) = 0, suy ra f ∈ IV .
√
Vậy IV = IV .
20