TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY

ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Đại số

HÀ NỘI – 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ HỒNG THÚY

ĐỊNH LÍ BURNSIDE VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Đại số

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

ThS. Đỗ Văn Kiên

HÀ NỘI

2019


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày khóa luận của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới ThS. Đỗ Văn Kiên – Giảng viên Khoa Toán – Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn tận tâm chỉ
bảo và định hướng cho tôi trong suốt quá trình làm khóa luận để tôi có
được kết quả như ngày hôm nay.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và cô
giáo trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình
giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại khoa và trong thời
gian làm khóa luận.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinh
viên và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019
Sinh viên
Nguyễn Thị Hồng Thúy


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo ThS. Đỗ Văn Kiên.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài "Định lý Burnside và ứng
dụng" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Nếu sai tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2019
Sinh viên
Nguyễn Thị Hồng Thúy


Mục lục

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Nhóm và nhóm hữu hạn

2

1.1

Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2


Nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Tác động của nhóm lên tập hợp
3 Định lý Burnside và ứng dụng

8
27

3.1

Định lý Burnside và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2

Những ví dụ ít thông dụng hơn . . . . . . . . . . . . . .

38

KẾT LUẬN

58


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Hồng Thúy

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài: Lý thuyết nhóm là một trong các lĩnh vực
đặc biệt quan trọng trong rất nhiều lĩnh vực của toán học nhất là trong
đại số. Luận văn này chủ yếu nghiên cứu về nhóm hữu hạn, tác động
của nhóm lên tập hợp. Mục đích chính của đề tài là đưa ra một cách
chứng minh định lý Burnside dựa vào tác động của nhóm lên tập hợp
và tìm hiểu các ứng dụng của Định lý trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề: Định lý Burnside được giới thiệu
và chứng minh đầu tiên bởi William Burnside (1904), ở đó ông đã sử
dụng lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn. Một số trường hợp
đặc biệt của Định lý trước đó đã được chứng minh bởi Burnside, Jordan
và Frobenius. Trong công trình của John Thompson về định lý N-nhóm
cũng ẩn chứng minh định lý Burnside mà không sử dụng lý thuyết biểu
diễn. Chứng minh này đã được Goldschmidt (1970) thực hiện một cách
rõ ràng hơn cho các nhóm cấp lẻ và Bender (1972) cho các nhóm cấp
chẵn.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu: Bước đầu làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học. Đối tượng chính của đề tài là về nhóm
hữu hạn và tác động của nhóm lên tập hợp. Tìm hiểu những ứng dụng
của định lý Burnside trong toán sơ cấp nói chung.
4. Phương pháp nghiên cứu: Tìm hiểu các tài liệu có liên quan
đến đề tài. Tổng hợp, phân tích đánh giá, phát triển và giải quyết vấn
đề.

1


Chương 1

Nhóm và nhóm hữu hạn
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về nhóm và nhóm hữu hạn
trong đại số trừu tượng.

1.1

Nhóm

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm). Một nhóm G là một tập hợp cùng
với một phép toán hai ngôi ”.” thỏa mãn 3 tiên đề sau:
i) (ab)c = a(bc) với mọi a, b, c thuộc G;
ii) Tồn tại e thuộc G sao cho xe = ex = x với mọi x thuộc G;
iii) Với mọi x thuộc G, tồn tại x thuộc G sao cho xx = x x = e.
Mệnh đề 1.1. Giả sử G là một nhóm. Khi đó
i) Phần tử e trong điều kiện ii) của Định nghĩa 1.1 là duy nhất và
được gọi là phần tử trung lập của G.
ii) Với mọi x thuộc G phần tử x trong điều kiện iii) của Định nghĩa
1.1 là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của x.
Chứng minh. i) Giả sử e1 , e2 là các phần tử trung lập của G. Khi đó
e1 = e1 .e2 ( vì e2 là trung lập)
= e2 ( vì e1 là trung lập).

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

ii) Giả sử x1 , x2 là các phần tử nghịch đảo của x. Ta có

x1 = x1 .e = x1 .(x.x2 ) (do x2 là nghịch đảo của x)
= (x1 .x).x2 (do tính kết hợp của .)
= e.x2
= x2 .
Phần tử nghịch đảo x của x thường được kí hiệu là x−1 đối với phép
nhân ”.” và −x đối với phép cộng ” + ”.
Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước). Giả sử G là một nhóm. Khi đó mọi
a, b, c thuộc G, ac = bc kéo theo a = b và ca = cb kéo theo a = b.
Chứng minh. Giả sử ac = bc. Nhân hai vế với c−1 từ bên phải, ta có
a = a(c.c−1 ) = (ac)c−1
= (bc)c−1 = b(c.c−1 )
= b.

Định nghĩa 1.2 (Đồng cấu nhóm). Giả sử G và G là các nhóm. Một
ánh xạ ϕ : G → G được gọi là một đồng cấu nhóm nếu
ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y)∀x, y ∈ G.
Định nghĩa 1.3. i) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một đơn ánh được
gọi là một đơn cấu nhóm, hay một phép nhúng của nhóm.
ii) Một đồng cấu nhóm là một toàn ánh được gọi là một toàn cấu
nhóm.
iii) Một đồng cấu nhóm đồng thời là một song ánh được gọi là một
đẳng cấu nhóm.
Mệnh đề 1.3. Giả sử ϕ : G → G là một đồng cấu nhóm. Khi đó:
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy


i) ϕ chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G , tức là ϕ(e) = e .
ii) ϕ chuyển nghịch đảo của phần tử x ∈ G thành nghịch đảo của
ϕ(x) ∈ G , tức là ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .
Chứng minh. i) Vì e.e = e và ϕ là một đồng cấu nhóm, nên
ϕ(e.e) = ϕ(e).ϕ(e) = ϕ(e).e .
Theo luật giản ước, hệ thức này kéo theo ϕ(e) = e .
ii) Tác động của đồng cấu ϕ vào các vế của hệ thức x.x−1 = x−1 .x = e,
ta được
ϕ(x).ϕ(x−1 ) = ϕ(x−1 ).ϕ(x) = ϕ(e) = e .
Từ đó ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .
Định nghĩa 1.4 (Nhóm con). Giả sử G là một nhóm. Một tập con
không rỗng S ⊆ G được gọi là một nhóm con của G nếu S khép kín đối
với phép toán trong G (tức là xy ∈ S, ∀x, y ∈ S) và khép kín đối với
phép lấy nghịch đảo trong G (tức là x−1 ∈ S, ∀x ∈ S).
Định nghĩa 1.5 (Nhóm con chuẩn tắc). Một nhóm con A của một
nhóm G được gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu x−1 ax ∈ A với mọi a ∈ A
và x ∈ G.
Định nghĩa 1.6. Giả sử S là một nhóm con của nhóm G. Với mỗi
a ∈ G, các tập hợp aS = {as : s ∈ S} và Sa = {sa : s ∈ S} được gọi
tương ứng là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi a.
Mệnh đề 1.4. Hai lớp kề trái của S hoặc trùng nhau hoặc không có
phần tử nào chung. Các lớp kề phải cũng vậy. Như thế, nhóm G được
phân hoạch thành hợp rời của các lớp kề trái (tương ứng, các lớp kề phải).
Chứng minh. Giả sử Sa và Sb có chung phần tử c (a, b, c ∈ G), tức là
c = s1 a = s2 b, s1 , s2 ∈ S. Với mọi s ∈ S ta có
−1
sa = ss−1
1 .s1 a = ss1 s2 b ∈ Sb

4



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Vì vậy Sa ⊆ Sb.
Chứng minh hoàn toàn tương ta cũng có Sb ⊆ Sa. Kết quả là Sa =
Sb.
Đối với các lớp kề trái, chứng minh được tiến hành tương tự.
Định nghĩa 1.7. Giả sử U là một tập con của một nhóm X. Nhóm con
A bé nhất của X chứa U được gọi là nhóm con sinh ra bởi U . Kí hiệu
là U .
Định nghĩa 1.8. Một nhóm X gọi là xyclic nếu và chỉ nếu X được sinh
ra bởi một phần tử a ∈ X, tức là X = a . Phần tử a gọi là một phần
tử sinh của X.
Định nghĩa 1.9. Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G. Nếu
am = e ∀m > 0 thì ta nói a có cấp vô hạn. Nếu trái lại thì số nguyên
dương nhỏ nhất m sao cho am = e được gọi là cấp của a và được kí hiệu
là ord(a).

1.2

Nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.10. Nhóm hữu hạn là một nhóm mà số phần tử của nó
là hữu hạn.
Định nghĩa 1.11. Cấp của một nhóm G, được kí hiệu bởi |G|, là số
phần tử của nhóm này.
Định lý 1.1 (Định lí Lagrange). Giả sử G là một nhóm hữu hạn và S

là một nhóm con của nó. Khi đó |G| là một bội của |S|.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.4, hai lớp kề trái của S trong G hoặc
trùng nhau hoặc không có phần tử nào chung. Do đó G được phân tích
thành hợp rời của các lớp kề trái của S.
Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng số phần tử của mỗi lớp kề trái là
không đổi, cụ thể là số phần tử của aS bằng |S| với mọi a ∈ G. Thật
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

vậy, phép tương ứng
S → aS
s → as
là một song ánh. Kết quả là ta có
|G| = (số lớp kề trái của S).|S|.
Định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.12. Giả sử S là một nhóm con của nhóm hữu hạn G.
Khi đó chỉ số của S trong G, tức là số phần tử của tập các lớp kề trái
G/S được tính bằng công thức
[G : S] = |G|/|S|.
Định nghĩa 1.13 (Nhóm đối xứng). Cho X là một tập hợp khác rỗng.
Gọi S(X) là tập tất cả các song ánh từ X tới X. Khi đó S(X) cùng với
phép hợp thành ánh xạ lập nên một nhóm gọi là nhóm đối xứng trên
tập hợp X.
Mỗi nhóm con của S(X) được gọi là một nhóm các phép thế trên X.
Đặc biệt, nếu X = {1, 2, ..., n} thì nhóm S(X) được kí hiệu là Sn và
được gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử.

Định nghĩa 1.14. i) Giả sử x1 , x2 , ..., xk là các phần tử đôi một khác
nhau trong {1, 2, ..., n}. Ta kí hiệu bởi (x1 , x2 , ..., xk ) phép thế giữ nguyên
các phần tử khác x1 , x2 , ..., xk và tác động trên x1 , x2 , ..., xk như sau
x1 → x2 , x2 → x3 , ..., xk → x1 . Nó được gọi là một xích với độ dài k trên
tập nền {x1 , x2 , ..., xk }.
ii) (x1 , x2 , ..., xk ) được gọi là một xích của phép thế α ∈ Sn nếu α tác
động giống như (x1 , x2 , ..., xk ) trên các phần tử x1 , x2 , ..., xk .
Định lý 1.2. Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xích khác
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

nhau của nó. Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của
tập {1, 2, ..., n}.
Chứng minh. Với mọi x1 ∈ {1, 2, ..., n}, nếu α(x1 ) = x1 thì (x1 ) là một
xích của α.
Trái lại nếu α(x1 ) = x1 , ta đặt x2 = α(x1 ). Giả sử x1 , x2 = α(x1 ), ...,
xk = α(xk−1 ) là những phần tử đôi một khác nhau, còn α(xk ) thì trùng
với một trong các phần tử x1 , x2 , ..., xk . Ta khẳng định rằng α(xk ) = x1 .
Thật vậy, nếu α(xk ) = xi với i > 1 thì α(xk ) = α(xi−1 ).
Do đó xi−1 = xk (mâu thuẫn với giả thiết x1 , x2 , ..., xk đôi một khác
nhau).
Như thế (x1 , x2 , ..., xk ) là một xích của α.
Mỗi phần tử của tập {1, 2, ..., n} đều thuộc một tập con, là tập nền
của một xích của α. Hai tập con như thế nếu có một phần tử chung thì
phải trùng nhau. Thật vậy, phương trình α(x) = y hoàn toàn xác định
y theo x và x theo y (do α là một song ánh).


7


Chương 2
Tác động của nhóm lên tập hợp
Chương này trình bày về tác động của một nhóm lên một tập hợp, quĩ
đạo của một phần tử, nhóm con ổn định của một phần tử,...Nội dung
chính của chương này trình bày dựa trên [3].
Định nghĩa 2.1. Giả sử X là một tập và G là một nhóm, G được gọi
là tác động lên X nếu có hàm τ : G × X → X, kí hiệu τ (g, x) = gx với
g ∈ G, x ∈ X thõa mãn:
i) (gh)x = g(hx), với mọi g, h thuộc G, x thuộc X.
ii) 1x = x, với mọi x thuộc X, 1 là phần tử đơn vị trong G.
Ta cũng gọi X là một G-tập nếu G tác động lên X.
Nhận xét 2.1. Ánh xạ τ ở định nghĩa trên là một toàn ánh (do ∀x ∈
X, ∃1 ∈ G sao cho τ (1, x) = x). Nói chung τ không là một đơn ánh (chẳng
hạn từ bảng 2.1, ta thấy τ (ρ0 , s1 ) = τ (µ1 , s1 ) = s1 nhưng ρ0 = µ1 ).
Ví dụ 2.0.1. Đặt G là nhóm D3 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , µ1 , µ2 , µ3 } của các phép
đối xứng của một tam giác đều, ρi tương ứng là phép quay ngược chiều
kim đồng hồ một góc

i2π
3

của tam giác với tâm C và µi là phép đối xứng

qua đường phân giác mi của cạnh si .
Trong Hình 2.1, ta có tam giác với đỉnh 1, 2, 3 và kí hiệu các cạnh s1 ,
s2 , s3 , trục đối xứng m1 , m2 , m3 , tâm C và trung điểm pi của cạnh si .


8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Hình 2.1:

Ta đặt X = {1, 2, 3, s1 , s2 , s3 , m1 , m2 , m3 , C, P1 , P2 , P3 }.
1 2 3 s1 s2 s3 m1 m2 m3 C P1 P2 P3
ρ0 1 2 3 s1 s2 s3 m1 m2 m3 C P1 P2 P3
ρ1 2 3 1 s2 s3 s1 m2 m3 m1 C P2 P3 P1
ρ2 3 1 2 s3 s1 s2 m3 m1 m2 C P3 P1 P2
µ1 1 3 2 s1 s3 s2 m1 m3 m2 C P1 P3 P2
µ2 3 2 1 s3 s2 s1 m3 m2 m1 C P3 P2 P1
µ3 2 1 3 s2 s1 s3 m2 m1 m3 C P2 P1 P3
Bảng 2.1: Tác động của D3 lên X.

Khi đó X được coi là D3 -tập vì D3 tác động lên X. Bảng 2.1 mô tả đầy
đủ tác động của D3 lên X.
Sau đây hãy xét một ví dụ tương tự, nhóm D4 , phép đối xứng của
hình vuông.
Ví dụ 2.0.2. Xét G là nhóm D4 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 , µ1 , µ2 , δ1 , δ2 } các phép
đối xứng của hình vuông. Trong hình 2.2, ta chỉ ra hình vuông với đỉnh
1, 2, 3, 4 và kí hiệu các cạnh s1 , s2 , s3 , s4 , đường chéo d1 , d2 , trục nằm
ngang m1 , m2 , tâm C và trung điểm Pi của cạnh si .
Chú ý rằng ρi tương ứng là phép quay hình vuông ngược chiều kim
9



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đồng hồ góc quay

iπ
2,

Nguyễn Thị Hồng Thúy

tâm C, µi tương ứng là phép đối xứng hình vuông

qua mi , δi là phép đối xứng hình vuông qua di .
Ta đặt
X = {1, 2, 3, 4, s1 , s2 , s3 , s4 , m1 , m2 , d1 , d2 , C, P1 , P2 , P3 , P4 }.

Hình 2.2:

1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 C P1 P2 P3 P4
ρ0 1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 C P1 P2 P3 P4
ρ1 2 3 4 1 s2 s3 s4 s1 m2 m1 d2 d1 C P2 P3 P4 P1
ρ2 3 4 1 2 s3 s4 s1 s2 m1 m2 d1 d2 C P3 P4 P1 P2
ρ3 4 1 2 3 s4 s1 s2 s3 m2 m1 d2 d1 C P4 P1 P2 P3
µ1 2 1 4 3 s1 s4 s3 s2 m1 m2 d2 d1 C P1 P4 P3 P2
µ2 4 3 2 1 s3 s2 s1 s4 m1 m2 d2 d1 C P3 P2 P1 P4
δ1 3 2 1 4 s2 s1 s4 s3 m2 m1 d1 d2 C P2 P1 P4 P3
δ2 1 4 3 2 s4 s3 s2 s1 m2 m1 d1 d2 C P4 P3 P2 P1
Bảng 2.2: Tác động của D4 lên X.


Khi đó X là D4 -tập vì D4 tác động lên X. Bảng 2.2 mô tả đầy đủ tác
động của D4 lên X.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Mệnh đề 2.1. Cho X là một G-tập với x1 , x2 thuộc X, g thuộc G. Nếu
gx1 = gx2 thì x1 = x2 .
Chứng minh. Vì g ∈ G, G là một nhóm, g −1 ∈ G nên
g −1 (gx1 ) = g −1 (gx2 )
(g −1 g)x1 = (g −1 g)x2 (do Định nghĩa 1.1)
1x1 = 1x2 vì g −1 g = 1 trong G
x1 = x2 (do định nghĩa 1.1).

Chú ý 2.1. Cho nhóm G tác động lên tập X. G tác động lên Y ⊆ X
nếu Y đóng dưới tác động của G lên X, nghĩa là nếu với mọi g thuộc G
và mọi y thuộc Y thì gy cũng thuộc Y .
Ví dụ 2.0.3. Tương tự Ví dụ 2.0.2, cho
X = {1, 2, 3, 4, s1 , s2 , s3 , s4 , m1 , m2 , d1 , d2 , C, P1 , P2 , P3 , P4 }. Ta sẽ chỉ
ra rằng D4 tác động lên Y = {m1 , m2 } ⊆ X.
Để chỉ ra D4 tác động lên Y , ta chỉ cần chỉ ra rằng Y đóng dưới tác
động của D4 lên X. Tập con Y là đóng dưới tác động của mọi g thuộc
D4 , gy thuộc Y với mọi y thuộc Y . Ta có thể dễ dàng thấy được điều
này.
Trong Bảng 2.2, p0 m1 = p2 m1 = µ1 m1 = µ2 m1 = m1 . Các phần tử
còn lại của D4 ánh xạ m1 đến m2 : p1 m1 = p3 m1 = δ1 m1 = δ2 m1 = m2 .
Tương tự, p0 m2 = p2 m2 = µ1 m2 = µ2 m2 = m2 và các phần tử còn lại

của D4 ánh xạ m2 đến m1 : p1 m2 = p3 m2 = δ1 m2 = δ2 m2 = m1 . Vì vậy,
Y là đóng dưới tác dộng của D4 lên X. Bởi vậy, D4 tác động lên Y .
Mệnh đề 2.2. Nếu nhóm G tác động lên tập X thì G tác động lên tập
lũy thừa P (X).
Chứng minh. Giả sử G tác động lên X. Với g ∈ G, Y ∈ P (X), định
nghĩa gY = {gy|y ∈ Y }. Đặt φ : G × P (X) −→ P (X) được định
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

nghĩa là φ(g, Y ) = gY với mọi g ∈ G, Y ∈ P (X). Ta sẽ chỉ ra φ định
nghĩa một tác động của G lên P (X). Với g, h ∈ G, Z ∈ P (X), đặt
gh(Z) = {(gh)z|z ∈ Z}. Vì Z là một tập con của X và G tác động lên
X, gh(z) = g(hz) với mọi z ∈ Z (vì Định nghĩa 2.1) thì
(gh)Z = {(gh)z|z ∈ Z}
= {g(hz)|z ∈ Z}
= g(hZ).
Vì Z là tập con của X và G tác động lên X nên 1.z = z với mọi z ∈ Z
(do định nghĩa 2.1).Khi đó
1.Z = {1z|z ∈ Z}
= {z|z ∈ Z} = Z.
Vì vậy φ là một tác động và G tác động lên P (X).
Mệnh đề 2.3. Nếu một nhóm G tác động lên một tập X = {1, 2, ..., n}
và nếu C là một tập bất kì thì G tác động lên tập C n bởi
µ : G × Cn → Cn
(g, (c1 , ..., cn )) → (cg1 , cg2 , ..., cgn ).
Chứng minh. Ta cần chứng minh µ là một tác động. Đầu tiên, với x =

(c1 , c2 , ..., cn ), ta có
µ(gh, x) = (c(gh)1 , c(gh)2 , ..., c(gh)n ) = (cg(h1) , cg(h2) , ..., cg(hn) )
(do G tác động lên X). Lại có
µ(g, µ(h, x)) = µ(g, (ch1 , ch2 , ..., chn )) = (cg(h1) , cg(h2) , ..., cg(hn) ).

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Do đó µ(gh, x) = µ(g, µ(h, x)). Hơn nữa
µ(1, (c1 , c2 , ..., cn )) = (c11 , c12 , ..., c1n ) = (c1 , c2 , ..., cn ).
Vì vậy µ là một tác động hay G tác động lên C n bởi µ.
Định lý 2.1. Một nhóm G tác động lên tập X nếu tồn tại đồng cấu
τ : G → SX .
Chứng minh. (⇒) Giả sử G là một nhóm tác động lên X. Đặt
µ : G → SX
g→g
với g : X → X
x → gx.
Ta chỉ ra g là một song ánh. Thật vậy, đầu tiên, giả sử có g (x) = g (y).
Suy ra gx = gy ⇔ g −1 (gx) = g −1 (gy) ⇔ (g −1 g)x = (g −1 g)y ⇔ x = y.
Do đó g là một đơn ánh. Hơn nữa với mọi y ∈ X, đặt x = g −1 y ∈ X
thỏa mãn g (x) = gx = gg y = 1y = y. Do đó g là toàn ánh. Từ đó, g
là một song ánh. Suy ra g ∈ SX .
Bây giờ ta chỉ ra µ là một đồng cấu, tức là chỉ ra
µ(gh) = µ(g) ◦ µ(h) ⇔ (gh) = g ◦ h
Với mọi x ∈ X ta có

(gh) (x) = (gh)x
g ◦ h (x) = g (hx) = g(hx) = (gh)x.
Suy ra (gh) = g ◦ h . Vậy µ là một đồng cấu.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

(⇐) Giả sử µ : G → SX là một đồng cấu. Đặt
τ :G×X →X
(g, x) → µ(g)(x),
là tác động của G lên X. Thật vậy ta có,
τ (gh, x) = τ (g, τ (h, x))
⇔ µ(gh)(x) = τ (g, µ(h)x)
⇔ µ(gh)(x) = µ(g)(µ(h)(x))
⇔ (µ(g).µ(h))(x) = µ(g)(µ(h)(x))
⇔ µ(g)(µ(h)(x)) = µ(g)(µ(h)(x)).
Hơn nữa, τ (1, x) = µ(1)(x) = idX = x (µ(1) = idX do µ là một đồng
cấu nhóm).
Vậy G là một tác động lên X.
Định lý 2.2. Mọi nhóm G là đẳng cấu với một nhóm con của nhóm con
đối xứng SG . Đặc biệt, nếu |G| = n thì G là đẳng cấu với một nhóm con
của Sn .
Chứng minh. Cho τ là một hàm τ : G×G → G, với τ (g, h) = gh với mọi
g, h thuộc G. Ta cần chỉ ra G tác động lên chính nó. Với mọi j, k, l ∈ G,
(jk)l = j(kl) (do tính chất kết hợp trong G). Với mọi x ∈ G, 1.x = x (1
là phần tử đơn vị của G). Vì vậy, G tác động lên chính nó.

Như chứng minh trong Định lý 2.1, ta có một đồng cấu ϕ : G → SG
trong đó ϕ được định nghĩa là ϕ(g) = g , g (x) = gx, g, x ∈ G. Rõ
ràng là {ϕ(g)|g ∈ G} = ϕ(G) là tập con của SG . Thực tế ϕ(G) cũng là
nhóm con của SG . Cho H = ϕ(G). Để chỉ ra H là nhóm con của SG ,
ta cần chứng minh H đóng với phép nhân và nghịch đảo. Nếu a, b ∈ H
thì tồn tại c, d ∈ G sao cho a = ϕ(c), b = ϕ(d). Nhân a với b ta được
ab = ϕ(c)ϕ(d) = ϕ(cd) vì ϕ là một đồng cấu. Vì vậy, ab = ϕ(cd) ∈ H
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

nên ϕ(G) đóng đối với phép nhân. Cho a ∈ H, tồn tại c ∈ G để a = ϕ(c).
Vì ϕ là một đồng cấu, a−1 = ϕ(c−1 ) ∈ H vì c−1 ∈ G. Nên ϕ(G) đóng đối
với phép nghịch đảo. Vì vậy ϕ(G) là nhóm con của SG .
Tiếp theo, ta cần chỉ ra hàm φ : G → H là một song ánh. Vì cho
x ∈ H, x có dạng ϕ(z), tồn tại z ∈ G. Vì vậy ϕ là toàn ánh. Bây giờ ϕ
là đơn ánh nếu với a, b ∈ G mà ϕ(a) = ϕ(b) thì a = b. Cho g, h ∈ G,
giả sử ϕ(g) = ϕ(h) suy ra g = h và vì vậy g (x) = h (x) với mọi x ∈ G.
Đặc biệt khi x = 1 suy ra g = h (thỏa mãn). Vì vậy ϕ là đơn ánh. Do
đó ϕ : G → ϕ(G) là một song ánh và vì vậy G đẳng cấu với ϕ(G), một
nhóm con của nhóm đối xứng SG .
Nếu G là hữu hạn với n phần tử thì ta có thể biểu diễn G = {1, 2, ..., n}
và ta kí hiệu (SG , ◦) = Sn . Vì vậy nếu |G| = n thì G là đẳng cấu với
nhóm con của Sn .
Định lý 2.3. Cho G là một nhóm, H là một nhóm con của G có chỉ số
n. Khi đó tồn tại một đồng cấu φ : G → Sn mà ker(φ) ⊆ H.
Chứng minh. Ta kí hiệu họ tất cả các lớp trái của H trong G là G/H.

Ta định nghĩa hàm τ : G × G/H → G/H, ở đó τ (g, xH) = g(xH)
với mọi g ∈ G, xH ∈ G/H. Cho xH ∈ G/H. Khi đó x ∈ G, và vì
g ∈ G suy ra gx ∈ G ⇒ (gx)H ∈ G/H. Vì vậy, ta có th�τ 5 = (1, 6, 5, 4, 3, 2)
Phép hoán vị sinh ra bởi phép đối xứng qua một đường chéo hoặc một
đường phân giác là
δ = (2, 6)(3, 5)(1)(4)
τ δ = (1, 2)(3, 6)(4, 5)
τ 2 δ = (1, 3)(4, 6)(2)(5)
τ 3 δ = (1, 4)(2, 3)(5, 6)
τ 4 δ = (1, 5)(2, 4)(3)(6)
τ 5 δ = (1, 6)(2, 5)(3, 4)
Như Ví dụ 3.2.3, từ Định lí Burnside, số vòng khác nhau với 3 hạt trắng
và 3 hạt đen là
1
(| Fix((1))| + | Fix(τ )| + | Fix(τ 2 )| + | Fix(τ 3 )| + | Fix(τ 4 )| +
N=
|D6 |
+ | Fix(τ 5 )| + | Fix(δ)| + | Fix(τ δ)| + | Fix(τ 2 δ)| + | Fix(τ 3 δ)| +
+ | Fix(τ 4 δ)| + | Fix(τ 5 δ)|).
Có C63 = 20 cách để được vòng có 3 hạt trắng và 3 hạt đen. Hiển
nhiên phép đồng nhất cố định cả 20 cách, nên | Fix((1))| = 20.
Ta có τ và τ 5 sinh ra c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 nên cả 6 hạt phải
cùng một màu. Vì vậy τ và τ 5 không cố định bất kì cách nào trong 20
cách có thể. Tương tự, τ 3 liên kết c1 với c4 , c2 với c5 , c3 với c6 . Vì vậy τ 3
không cố định cách nào vì nó sinh ra một số chẵn các hạt có màu giống

44


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Hồng Thúy

nhau. Tuy nhiên, τ 2 và τ 4 sinh ra c1 = c3 = c5 và c2 = c4 = c6 . Vì vậy
có 2 cách chọn màu cho c1 hoặc c2 . Không mất tính tổng quát, giả sử c1
là đen. Khi đó c2 chỉ có một cách chọn màu là trắng. Các phần tử còn
lại của 6-chuỗi, c3 , c4 , c5 , c6 phụ thuộc vào c1 hoặc c2 nên mỗi hạt sẽ có
một cách chọn màu. Vì vậy,
| Fix(τ 2 )| = | Fix(τ 4 )| = 21 .
Bây giờ xét hoán vị gây ra bởi phép đối xứng. Ba hoán vị τ δ, τ 3 δ và
τ 5 δ tương ứng là phép đối xứng qua phân giác là một phép phân tích
ra 3 2-chu kì rời nhau. Vì vậy, τ δ, τ 3 δ và τ 5 δ không cố định bất kì cách
nào trong 20 cách có thể vì mỗi một phép biến đổi sinh ra một số chẵn
hạt cùng màu.
Mặt khác, 3 hoán vị δ, τ 2 δ và τ 4 δ tương ứng là phép đối xứng qua
đường chéo là tích của 2 2-chu kì rời nhau và 2 1-chu kì.
Xét δ, ta phân tích δ ra thành các chu kì rời nhau khi δ tác động lên
x, c2 = c6 và c3 = c5 . Có 2 màu để chọn cho c2 hoặc c3 . Nếu cả hai hạt
cùng màu, vì c6 liên kết với c2 , c5 liên kết với c3 thì 4 hạt sẽ cùng màu.
Không mất tính tổng quát, giả sử c2 màu trắng. Khi đó chỉ có 1 cách
chọn màu cho c3 , c5 , c6 . Đặt c2 trắng thì có 2 hạt trắng và 2 hạt đen.
Vì c1 và c2 không liên kết với hạt nào, có 2 cách chọn màu cho c1 và c2 ,
nhưng nếu cả hai cùng màu sẽ không có 3 mà đen và 3 màu trắng thỏa
mãn. Tức là để được 3 màu đen và 3 màu trắng, một trong 4 hạt mà
được liên kết với hạt khác có thể trắng (1 trong 4 hạt có sự lựa chọn
là trắng). Vì chúng liên kết, ta có 2 hạt trắng và hơn nữa một hạt cần
được sắp xếp. Vì có hai hạt không liên kết với hạt nào nên một trong
hai hạt đó là màu trắng. Vì vậy có 22 dạng được cố định bởi δ, τ 2 δ, τ 4 δ.
Vì vậy,
| Fix(δ)| = | Fix(τ 2 δ)| = | Fix(τ 4 δ)| = 22 .


45


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Vì vậy, số N cách tô màu vòng với 3 hạt trắng và 3 hạt đen là
1
(20 + 0 + 2 + 0 + 2 + 4 + 0 + 4 + 0 + 4 + 0)
12
36
=
12
= 3.

N=

Thật vậy có giản đồ như hình 3.7.

Hình 3.7: Các hình ảnh khác nhau của chuỗi vòng với 3 hạt trắng và 3 hạt đen

Tiếp theo, ta xét trường hợp vòng có số lẻ hạt.
Ví dụ 3.2.5. Xác định số cách khác nhau để tô một chuỗi vòng với 5
hạt màu trắng và 4 hạt màu đen.
Đặt X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} là tập chứa 9 hạt của vòng, C là tập
chứa 2 màu đen và trắng, C 9 là tập chứa tất cả 9-chuỗi màu. Nếu x ∈ C 9
thì x = (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 ), ở đó c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 , c8 , c9 là
một trong 2 màu. Đặc biệt, ta cần y ∈ Y ⊆ C 9 ở đó 5 phần tử của chuỗi

là trắng, 4 phần tử là đen.
Một vòng với một số lẻ hạt có thể được di chuyển bởi phép quay hoặc
đối xứng qua đường phân giác như hình 3.8.
Các hoán vị trong X có thể được biểu diễn bởi nhóm nhị diện D9 .Rõ
ràng D9 tác động lên X nên D9 cũng tác động lên C9 . Tập con Y ⊆ C 9
là đóng dưới tác động của D9 lên C 9 (vì rõ ràng với mọi g ∈ D9 , gy ∈ Y
với mọi y ∈ Y ). Nên từ Chú ý 2.1, D9 tác động lên Y .
Đặt τ là một phần tử của D9 là phép quay cùng chiều kim đồng hồ

46


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Hình 3.8: Sắp xếp các hạt của chuỗi vòng với 9 hạt

góc quay 40o . Khi đó,
τ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
τ 2 = (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8)
τ 3 = (1, 4, 7)(2, 5, 8)(3, 6, 9)
τ 4 = (1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6)
τ 5 = (1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5)
τ 6 = (1, 7, 4)(2, 8, 5)(3, 9, 6)
τ 7 = (1, 8, 6, 4, 2, 9, 7, 5, 3)
τ 8 = (1, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
Tiếp, đặt δ là phép đối xứng qua đường phân giác đi qua đỉnh 1. Khi đó
δ = (2, 9)(3, 8)(4, 7)(5, 6)(1).
Chú ý δ 2 tương ứng là sự đảo hướng vòng về vị trí ban đầu.

Để biểu diễn tất cả hoán vị gây ra bởi phép đối xứng vòng qua đường
phân giác, đầu tiên ta đảo hướng vòng, sau đó quay chuỗi vòng như đã
giải thích ở Ví dụ 3.2.3.

47


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Khi đó,
δ = (2, 9)(3, 8)(4, 7)(5, 6)(1)
τ δ = (1, 2)(3, 9)(4, 8)(5, 7)(6)
τ 2 δ = (1, 3)(4, 9)(5, 8)(6, 7)(2)
τ 3 δ = (1, 4)(2, 3)(5, 9)(6, 8)(7)
τ 4 δ = (1, 5)(2, 4)(6, 9)(7, 8)(3)
τ 5 δ = (1, 6)(2, 5)(3, 4)(7, 9)(8)
τ 6 δ = (1, 7)(2, 6)(3, 5)(8, 9)(4)
τ 7 δ = (1, 8)(2, 7)(3, 6)(4, 5)(9)
τ 8 δ = (1, 9)(2, 8)(3, 7)(4, 6)(5).
Chú ý
D9 = {1, τ, τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 5 , τ 6 , τ 7 , τ 8 , δ, τ δ, τ 2 δ, τ 3 δ, τ 4 δ, τ 5 δ, τ 6 δ, τ 7 δ, τ 8 δ}.
Từ Định lí Burnside, số vòng khác nhau với hạt trắng và 4 hạt đen là
1
(| Fix((1))| + | Fix(τ )| + | Fix(τ 2 )| + | Fix(τ 3 )| + | Fix(τ 4 )| +
N=
|D9 |
5
| Fix(τ )| + | Fix(τ 6 )| + | Fix(τ 7 )| + | Fix(τ 8 )| + | Fix(δ)| + | Fix(τ δ)| +

| Fix(τ 2 δ)|+| Fix(τ 3 δ)|+| Fix(τ 4 δ)|+| Fix(τ 5 δ)|+| Fix(τ 6 δ)|+| Fix(τ 7 δ)|+
| Fix(τ 8 δ)|).
Có C95 = 126 cách có thể để sắp xếp được 5 hạt trắng và 4 hạt đen.
Rõ ràng, phép đồng nhất cố định cả 126 cách, nên |F ix((1))| = 126.
Ta có τ, τ 2 , τ 4 , τ 5 , τ 7 , τ 8 sinh ra mọi hạt có màu giống nhau nên
| Fix(τ )| = | Fix(τ 2 )| = | Fix(τ 4 )| = | Fix(τ 5 )| = | Fix(τ 7 )| = | Fix(τ 8 )| =
0.
τ 3 và τ 6 là tích của 3 3-chu kì rời nhau. Các hạt số 1, 4, 7 phải cùng
một màu, tương tự với hạt số 2, 8, 5 và 3, 9, 6. Vì vậy, không có cách nào
để sắp xếp được 5 hạt trắng và 4 hạt đen. Nên | Fix(τ 3 )| = | Fix(τ 6 )| = 0.
Tiếp, xét hoán vị sinh ra bởi phép đối xứng. Mỗi hoán vị có thể được
48


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Hồng Thúy

phân tích thành 4 2-chu kì và 1 1-chu kì. Hạt liên kết với 1-chu kì phải
luôn luôn là trắng vì cách sắp xếp phải tương đương với một trong 126
cách sắp xếp, nó phải chứa 5 hạt trắng. Điều này có nghĩa là 2 trong 4
cặp phải là trắng. Vì vậy có C42 = 6 cách tạo thành một cách xếp tương
đương.
Vì δ, τ δ, τ 2 δ, τ 3 δ, τ 4 δ, τ 5 δ, τ 6 δ, τ 7 δ, τ 8 δ tất cả đều có cấu trúc này nên
| Fix(δ)| = | Fix(τ δ)| = | Fix(τ 2 δ)| = | Fix(τ 3 δ)| = | Fix(τ 4 δ)| = | Fix(τ 5 δ)|
= | Fix(τ 6 δ)| = | Fix(τ 7 δ)| = | Fix(τ 8 δ)| = 6.
Vì vậy, số N cách tô màu chuỗi vòng khác nhau với 5 hạt trắng và 4
hạt đen là
1
(126 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 6 + 6 + 6 + 6+

18
6 + 6 + 6 + 6 + 6)
180
=
= 10.
18

N=

Định nghĩa 3.4. Nếu sự phân tích hoàn toàn của τ ∈ Sn có er (τ ) ≥ 0
r-chu kì thì chỉ số của τ là đơn thức
e (τ ) e (τ )

ind(τ ) = x11 x22 ...xenn (τ ) .
Nếu G là một nhóm con của Sn thì hệ số chu kì của G là đa thức n biến
với các hệ số thuộc Q.
PG (x1 , ..., xn ) =

49

1
|G|

ind(τ ).
τ ∈G