TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————–

KHỔNG THỊ TƯƠI

CÁC ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CỦA HÀM LỒI VÀ
HÀM GIẢ LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, tháng 05 Năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————–

KHỔNG THỊ TƯƠI

CÁC ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CỦA HÀM LỒI VÀ
HÀM GIẢ LỒI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn: T.S NGUYỄN VĂN TUYÊN

Hà Nội, tháng 05 năm 2019


LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình
học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài khóa luận tốt
nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn
Tuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi nhưng sai sót và hạn chế.
Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và
toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Khổng Thị Tươi


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn
Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào
khác.
Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên


Khổng Thị Tươi


Mục lục

Mở đầu

2

1

4

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Các đặc trưng bậc hai của hàm lồi và hàm giả lồi

13

2.1. Các đặc trưng bậc hai của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . .

14


2.2. Các đặc trưng của hàm giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Tài liệu tham khảo

25

1


Mở đầu
Hàm lồi là một lớp hàm cơ bản và quan trọng trong lý thuyết tối ưu cũng
như trong các ứng dụng. Như chúng ta biết rằng, đối với trường hợp các hàm
lồi khả vi thì ta có thể đưa ra các đặc trưng hình học cần và đủ cho tính lồi.
Đối với các hàm khả vi liên tục đến cấp hai thì tính lồi có thể được đặc trưng
thông qua tính nửa xác định dương của ma trận Hess của các hàm số này.
Với các hàm không khả vi, chúng ta biết rằng tính lồi của hàm số có
thể được đặc trưng thông qua tính đơn điệu cực đại của toán tử dưới vi phân
của hàm số này. Một cách tiếp cận khác trong trường hợp không trơn để đặc
trưng tính lồi đó là sử dụng các đạo hàm suy rộng theo hướng theo nghĩa của
Dini.
Trong khóa luận này, chúng tôi sẽ trình bày một số đặc trưng của tính
lồi qua các đạo hàm bậc nhất và bậc hai theo hướng của Dini của các hàm
nửa liên tục trên theo tia. Một số đặc trưng của tính giả lồi qua các đạo hàm
này cũng được chúng tôi khảo sát trong khóa luận này. Các kết quả chính
của khóa luận được dựa trên bài báo của Ginchev và Ivanov [4].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của

chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi như tập lồi


và hàm lồi.
Chương 2 trình bày về các đặc trưng bậc hai của hàm lồi và hàm giả
lồi. Mục 2.1. trình bày các đặc trưng bậc hai của hàm lồi. Mục 2.2. trình bày
về các đặc trưng bậc hai của hàm giả lồi.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Tập lồi

Khái niệm tập lồi là khái niệm quan trọng trong lý thuyết tối ưu. Tập lồi là
tập mà khi lấy hai điểm bất kỳ của tập thì đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng
nằm trong tập.
Định nghĩa 1.1. Một tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x1 ∈ X và
x2 ∈ X nó chứa mọi điểm
αx1 + (1 − α)x2 ,

0 < α < 1.

Tính lồi được bảo toàn qua phép toán giao.
Bổ đề 1.1. Cho I là một tập chỉ số tùy ý. Nếu các tập Xi ∈ Rn , i ∈ I, là các
tập lồi, thì tập X =


Xi là tập lồi.
i∈I

Xi = ∅, thì X lồi. Giả sử, X =

Chứng minh. Rõ ràng rằng, nếu X =
i∈I

Xi = ∅. Khi đó, ∀x, y ∈
i∈I

Xi , ∀t ∈ (0; 1), ta suy ra x, y ∈ Xi , ∀i ∈ I. Vì
i∈I

vậy, (1 − t)x + ty ∈ Xi , ∀i ∈ I và (1 − t)x + ty ∈

Xi , ∀i ∈ I. Vây X là tập
i∈I

lồi


Tính lồi còn được bảo toàn qua một số phép toán sau.
Phép nhân một tập X ⊂ Rn với một vô hướng c được định nghĩa bởi:
cX := {y ∈ Rn : y = cx, x ∈ X} .
Tổng Minkowski của hai tập được định nghĩa như sau:
X + Y := {z ∈ Rn : z = x + y, x ∈ X, y ∈ Y } .
Các phép toán trên bảo toàn bằng tính lồi.
Bổ đề 1.2. Cho X và Y là tập lồi trong Rn và cho c và d là các số thực. Khi
đó tập Z = cX + dY là lồi.

Chứng minh. Nếu z 1 ∈ Z thì z 1 = cx1 + dy 1 với x1 ∈ X và y 1 ∈ Y . Tương
tự, z 2 ∈ Z có dạng z 2 = cx2 + dy 2 với x2 ∈ X và y 2 ∈ Y . Khi đó, với mỗi
α ∈ [0, 1],
αz 1 + (1 − α)z 2 = c(αx1 + (1 − α)x2 ) + d(αy 1 + (1 − α)y 2 ) ∈ Z,
thỏa mãn yêu cầu.
Định nghĩa 1.2. Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm x1 , . . . , xm
nếu tồn tại α1 ≥ 0, . . . , αm ≥ 0 sao cho
x = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm
và
α1 + α2 + · · · + αm = 1.
5


Định nghĩa 1.3. Bao lồi của tập X kí hiệu là conv X là giao của tất cả các
tập lồi chứa X
Mối quan hệ của hai khái niệm này là nội dung của bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 1.3. Tập conv X là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc
X.
Chứng minh. Xét tập Y của tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc X
Nếu y 1 ∈ Y và y 2 ∈ Y , thì
y 1 =α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm ,
y 2 =β1 z 1 + β2 z 2 + · · · + βl z l ,
trong đó x1 , . . . , xm , z 1 , . . . , z l ∈ X, mọi thành phần của α và β đều không
âm, và
m

l

αi = 1,


βi = 1.

i=1

i=1

Vì vậy, với mỗi λ ∈ (0; 1), điểm
m
1

2

l
i

λy + (1 − λ)y =

(1 − λ)βi z i

λαi x +
i=1

i=1

là tổ hợp lồi của các điểm x1 , , . . . , xm , z 1 , . . . , z l . Vậy tập Y lồi. Hiển nhiên,
Y ⊃ X. Vì vậy
conv X ⊂ Y.
Mặt khác, nếu y ∈ Y , thì y là tổ hợp lồi của tất cả các điểm thuộc X, phải
6



được chứa trong mỗi tập lồi chứa X. Do đó, conv X ⊃ Y , điều phải chứng
minh.
Bổ đề 1.4. Nếu X ⊂ Rn , thì mọi phần tử của conv X là tổ hợp lồi của không
quá n + 1 điểm thuộc X.
Chứng minh. Cho x là một tổ hợp lồi của m > n + 1 điểm thuộc X. Ta chỉ
ra rằng m có thể bị giảm đi một đơn vị. Nếu αj = 0 với một vài j, thì ta có
thể xóa đi điểm thứ j đó và hoàn thành. Vì vậy giả sử tất cả αi dương. Vì
m > n + 1, tồn tại các số γ1 , γ2 , . . . , γm , không đồng thời bằng 0, do đó
 
 
 
2
1
xm
x
x

 = 0.




+ · · · + γm
+ γ2
γ1
1
1
1


(1.1)

αi
: γi > 0 . Chú ý rằng τ được định nghĩa tốt, vì tồn tại
γi
γj > 0 do tổng của chúng bằng không. Đặt α¯i = αi − τ γj , i = 1, 2, . . . , m.

Đặt τ = min

Theo (1.1), ta có

m
¯i
i=1 α

= 1 và

m
¯i xi
i=1 α

= x. Do định nghĩa của τ , có ít

nhất một α¯j = 0 và ta có thể xóa bỏ điểm thứ j. Tiếp tục theo cách này ta
có thể giảm giá trị của m cho đến khi bằng n + 1.

1.2.

Hàm lồi


Kí hiệu R := R ∪ {±∞} và gọi là tập số thực mở rộng.
Cho f : Rn → R là một hàm số. Miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f
tương ứng được kí hiệu bởi:
domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} ,
epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} .
7


Định nghĩa 1.4. Một hàm số f được gọi là lồi nếu epif là một tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Một hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi.
Định nghĩa 1.6. Một hàm f được gọi là chính thường nếu f (x) > −∞ với
mọi x và f (x) < +∞ với ít nhất một x.
Bổ đề 1.5. Một hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 và 0 ≤ α ≤ 1 ta
có
f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).

(1.2)

Định nghĩa 1.7. Một hàm f được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức (1.2) là
chặt với mọi x1 = x2 và 0 < α < 1.
Cho f : Rn → R là một hàm lồi và cho x ∈ domf . Khi đó với mỗi
d ∈ Rn đại lượng
f (x; d) = lim
τ ↓0

f (x + τ d) − f (x)
,
τ

(1.3)


được gọi là đạo hàm theo hướng d của f tại x.
Bổ đề 1.6. Với mỗi x ∈ domf và mỗi d ∈ Rn giới hạn trong (1.3) tồn tại
(hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu x ∈ int domf , thì f (x; d) là hữu hạn với mọi d.
Bây giờ ta giả sử hàm f : Rn → R là khả vi. Kí hiệu ∇f (x) cho gradient
của hàm f tại x,




∂f (x)
 ∂x1 

 ∂f (x) 
 ∂x2 

∇f (x) = 
 ..  .
 . 


∂f (x)
∂xn

ở đây x1 , x2 , . . . , xn biểu thị tọa độ của vectơ x.
Định lý sau cho ta một đặc trưng của hàm lồi khả vi.
8


Định lý 1.1. Giả sử rằng hàm f khả vi liên tục. Khi đó

(i) f lồi nếu và chỉ nếu với mọi x và y
f (y) ≥ f (x) + ∇f (x), y − x ;

(1.4)

(ii) f lồi chặt nếu và chỉ nếu với mọi x = y
f (y) > f (x) + ∇f (x), y − x .

(1.5)

Chứng minh. (i) Giả sử f là lồi nhưng tồn tại x và y sao cho
f (y) ≤ f (x) + ∇f (x), y − x −
với > 0. Xét z = αy + (1 − α)x với 0 < α < 1. Theo Bổ đề 1.2
f (z) ≤ αf (y) + (1 − α)f (x) ≤ f (x) + α ∇f (x), y − x − α .
Chuyển vế và chia cho α ta có
f (z) − f (x)
≤ ∇f (x), y − x −
α

(1.6)

Cho α ↓ 0. Từ z = x + αd với d = y − x, vế trái của (1.6) hội tụ đến đạo hàm
có hướng của f tại x theo hướng d
f (x; d) = ∇f (x), d ,
mâu thuẫn với (1.6).
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử có (1.4). Lấy y và z là điểm tùy

9



ý, y = z, và x = αy + (1 − α)z với α ∈ (0, 1). Theo (1.4), ta có
f (y) ≥ f (x) + ∇f (x), y − x
f (z) ≥ f (x) + ∇f (x), z − x
Nhân lần lượt bất đẳng thức với α và 1 − α và cộng chúng với nhau ta được
αf (y) + (1 − α)f (z) ≥ f (x).
Vì vậy f lồi.
(ii) Nếu f là lồi chặt thì f là lồi và (1.4) đúng. Ta sẽ đi chứng minh bất
đẳng thức (1.4) là chặt với y = x và α ∈ (0, 1). Thật vậy, giả sử (1.4) xảy ra
1
1
dấu bằng. Lấy z = x + y. Do tính lồi chặt của f và đẳng thức (1.4) ta có
2
2
1
1
1
f (z) < f (x) + f (y) = f (x) + ∇f (x), y − x .
2
2
2

(1.7)

Đặt v = βx + (1 − β)z với 0 < β < 1. Do tính lồi và (1.7), ta có
1
f (v) < βf (x) + (1 − β)f (z) < f (x) + (1 − β) ∇f (x), y − x
2
Vì v − x = (1 − β)(z − x) =

1

(1 − β)(y − x), bất đẳng thức cuối cùng có
2

nghĩa là
f (v) < f (x) + ∇f (x), v − x ,
mâu thẫu với (1.4).
Để chứng minh (1.5) suy ra tính lồi chặt, ta sử dụng các lập luận tương
tự như chứng minh (i) với bất đẳng thức chặt.
Nếu f khả vi liên tục đến cấp hai, thì ∇2 f (x) được gọi là ma trận Hess
10


của f tại x,

∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
...
 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂xn 
 2 1

2
 ∂ f (x) ∂ 2 f (x)

∂
f
(x)



...
2
 ∂x2 ∂x1
2
∂x2
∂x2 ∂xn 
∇ f (x) := 
.


 ...

...
...
...


 ∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x) 
...
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2
∂x2n


Định lý sau cho ta các đặc trưng bậc hai của tính lồi và lồi chặt.
Định lý 1.2. Giả sử f : Rn → R khả vi liên tục đến cấp hai. Khi đó,
(i) f là lồi nếu và chỉ nếu ma trận Hess của nó ∇2 f (x) là nửa xác định
dương với mọi x ∈ Rn .
(ii) Nếu ma trận Hess ∇2 f (x) là xác định dương với mọi x ∈ Rn , thì f lồi
chặt.

Chứng minh. Nếu f khả vi liên tục đến cấp hai, thì ∀x và ∀y ta có
f (y) = f (x) + ∇f (x), y − x +

1
y − x, ∇2 f (xθ )(y − x) ,
2

(1.8)

ở đó, xθ = x + θ(y − x) với 0 ≤ θ ≤ 1. Nếu ma trận Hess ∇2 f (x) là nửa
xác định dương với mọi x thì số hạng bậc hai trong (1.8) là không âm và ta
có (1.4). Nếu ma trận Hess là xác định dương thì với y = x số hạng bậc hai
trong (1.8) là dương và ta có (1.5).
Giả sử ma trận Hess là không nửa xác định dương tại x nào đó. Khi
đó, ∃d sao cho
d, ∇2 f (x)d < 0.

11


Lấy y = x + d với

> 0. Nếu

đủ bé, khi đó y và xθ sẽ gần với x. Do tính

liên tục của ∇2 f , nên
d, ∇2 f (xθ )d < 0,
với đủ bé. Tuy nhiên số hạng bậc hai ở (1.8) âm và ta nhận được mâu thuẫn
với (1.4).


12


Chương 2
Các đặc trưng bậc hai của hàm lồi và
hàm giả lồi
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số đặc trưng của tính lồi và giả
lồi qua các trên đạo hàm bậc nhất và trên bậc hai theo hướng Dini của các
hàm nửa liên tục trên theo tia.
Cho E là một không gian tuyến tính thực và X ⊂ E là một tập lồi.
Nhắc lại rằng, một hàm số f : X → R được gọi là nửa liên tục trên theo tia
nếu hàm ϕ(t) = f (x+t(y −x)), t ∈ [0, 1] là nửa trên liên tục với mọi x, y ∈ X.
Gọi f : E → R là mở rộng của f sao cho f (x) = +∞ với x ∈ E \ X.
Trên đạo hàm theo hướng Dini trên của f tại x ∈ X = conv f theo hướng
u ∈ E được định nghĩa là một phần tử của R bởi:
f+ (x; u) := lim sup t−1 (f (x + tu) − f (x)).
t↓0

Trên đạo hàm bậc hai theo hướng Dini của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ E

13


mà ở đó f+ (x; u) hữu hạn, được xác định bởi:
f+ (x; u) := lim sup 2t−2 (f (x + tu) − t.f+ (x; u)).
t↓0

Trong trường hợp f+ (x; u) vô hạn thì f+ (x; u) không được xét ở đây.


2.1.

Các đặc trưng bậc hai của hàm lồi

Cho một tập lồi X ⊂ E. Hàm số f : X → R được gọi là hàm lồi mạnh nếu
tồn tại một hằng số κ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1], ta có:
f (λ.y + (1 − λ)x) ≤ λ.f (y) + (1 − λ)f (x) − κλ(1 − λ)||y − x||2 .
Ta xét các điều kiện sau đây:
(C1 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) ≤ 0 nếu vế trái của biểu thức có nghĩa;
(C2 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = 0 kéo theo f+ (x, u) ≤ 0;
(C3 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = 0 kéo theo f+ (x; u) ≤ 2κ||u||2 ;
(C4 ) : f+ (x; u) + f+ (x; −u) = 0 kéo theo f+ (x; u) > 0.
Định lí sau đây đưa ra các đặc trưng khác nhau của các hàm lồi.
Định lý 2.1. Cho hàm số f : X → R là nửa liên tục trên theo tia trên tập
lồi X ⊂ E. Khi đó:
(i) f lồi trên X khi và chỉ khi điều kiện (C1 ) và (C2 ) đúng với mọi x ∈ X
và u ∈ E.
(ii) f lồi mạnh trên X với hằng số κ > 0 khi và chỉ khi điều kiện (C1 ) và
điều kiện (C3 ) đúng với mọi x ∈ X và u ∈ E.

14


(iii) Nếu điều kiện (C1 ) và (C4 ) đúng với mọi x ∈ X và u ∈ E \ {0}, thì f là
lồi chặt trên X.
Chứng minh. (i) Giả sử f là hàm lồi. Khi đó hàm mở rộng f cũng là hàm lồi.
Vì vậy, với x ∈ X, ta có:
f (x + tu) + (x − tu) ≥ 2f (x).
Từ đó, nếu biểu thức f+ (x; u) + f+ (x; −u) có nghĩa, thì ta có:
0 ≤ lim sup t−1 (f (x + tu)) − f (x) ≤ f+ (x; u) + f+ (x; −u),

t↓a

điều đó kéo theo (C1 ).
Bây giờ chúng ta đi kiểm tra điều kiện (C2 ). Nếu f+ (x; u) là hữu hạn,
thì với mọi t > 0 đủ nhỏ, x + tu ∈ X và f+ (x; u) trùng với đạo hàm theo
hướng f (x; u). Từ bất đẳng thức:
f (x + tu) − f (x) − t.f (x; u) ≥ 0
ta có f (x; u) ≤ 0. Nếu f+ (x; u) là vô hạn, thì f+ (x; u) + f+ (x; −u) không thể
bằng 0.
Ngược lại, giả sử rằng điều kiện (C1 ) và (C2 ) đúng với mọi x ∈ X và
u ∈ E. Lấy x, y ∈ X và ε > 0. Định nghĩa hàm số: ψ : [0, 1] → R bởi
ψ(t) = f (x + t(y − x)) − εt(1 − t) − f (x)(1 − t) − f (y)t, 0 ≤ t ≤ 1.
Rõ ràng hàm ϕ là hữu hạn và ϕ(0) = ϕ(1) = 0. Do hàm số ϕ cũng là hàm
nửa liên tục trên, nên theo định lí Weierstrass nó đạt giá trị lớn nhất trên

15


đoạn [0, 1] tại một điểm ξ nào đó. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng ξ ∈ {0, 1}. Thật
vậy, giả sử ngược lại rằng 0 < ξ < 1. Bằng các tính toán và sử dụng tính chất
cực trị của ξ ta có các bất đẳng thức sau:
ψ+ (ξ; 1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) − ε(1 − 2ξ) + f (x) − f (y) ≤ 0,
ψ+ (ξ; −1) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) − ε(1 − 2ξ) − f (x) + f (y) ≤ 0.
Những bất đẳng thức trên cho thấy rằng nếu f+ (x + ξ(y − x); y − x) hoặc
f+ (x + ξ(y − x); x − y) lấy giá trị là vô hạn, thì giá trị đó chỉ có thể là −∞,
do đó, f+ (x + ξ(y − x); y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) có nghĩa và kết hợp
với điều kiện (C1 ), chúng ta có:
ψ+ (ξ; 1) + ψ+ (ξ; −1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) ≤ 0
Bất đẳng thức thu được cùng với bất đẳng thức ψ+ (ξ; 1) ≤ 0 và ψ+ (ξ; −1) ≤ 0
kéo theo ψ+ (ξ; 1) = ψ+ (ξ; −1) = 0. Do đó,

f+ (x + ξ(y − x)y − x) + f+ (x + ξ(y − x); x − y) = 0.
Từ ψ+ (ξ; 1) = 0 và điểm ξ là điểm cực đại của ψ, nên ta có:
ψ”+ (ξ; 1) = lim sup 2t−2 (ψ(ξ + t) − ψ(ξ)) ≤ 0.
t→0

Mặt khác, từ điều kiện (C2 ) ta suy ra:
ψ+ (ξ; 1) = f+ (x + ξ(y − x); y − x) + 2ε > 0,
mâu thuẫn .

16


Do đó, ψ không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0, 1), điều đó có nghĩa
là:
ψ(t) ≤ max{ψ(0), ψ(1)} = 0 với mọi t ∈ (0, 1).
Bất đẳng thức này có thể được viết dưới dạng
f ((1 − t)x + ty) ≤ εt(1 − t)f (x) + tf (y)
và chuyển qua giới hạn khi ε → 0 ta suy ra rằng f là một hàm lồi.
(ii) Để điều chỉnh chứng minh trên cho trường hợp một hàm lồi mạnh,
chúng ta chỉ áp dụng chứng minh trên bằng cách thay hàm ψ bởi hàm:
ψ1 (t) = f (x + t(y − x)) − (ε − κ||y − x||2 )t(1 − t) − f (x)(1 − t) − f (y)t.
(iii) Chúng ta áp dụng lập luận tương tự như ở phần (i) cho hàm số:
ψ2 (t) = f (x + t(y − x)) − f (x)(1 − t) − f (y)t.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng điều kiện (C1 ) không thể bỏ được nếu điều
kiện (C2 ) rút ngắn thành f+ (x; u) ≤ 0 với mọi x ∈ X và u ∈ E.
Ví dụ 2.1. Hàm số f (x) = −|x| ,ở đó | · | là giá trị tuyệt đối thông thường
của một số thực, thỏa mãn bất đẳng thức f+ (x; u) = 0, với mọi x, u ∈ R. Nó
là hàm liên tục nhưng không lồi. Rõ ràng:
f+ (0, 1) + f+ (0, −1) = −2

Ví dụ sau đây cho thấy rằng giả thiết f là hàm nửa liên tục trên theo
17


tia không thể bỏ trong Định lí 2.1 .
Ví dụ 2.2. Hàm số f : R → R

f (x) =



x2

nếu x là hữu tỉ


0

nếu trái lại

.

thỏa mãn điều kiện (C1 ) và (C2 ), nhưng f là hàm không lồi. Hàm số này cũng
không phải là hàm nửa liên tục trên theo tia.

2.2.

Các đặc trưng của hàm giả lồi

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày các đặc trưng của tính giả lồi. Nhắc

lại rằng một hàm số f được xác định trên tập lồi X ⊂ E được gọi là giả lồi
(chặt) Dini trên trên X nếu bất đẳng thức sau được thỏa mãn:
x, y ∈ X, f (y) < f (x) kéo theo f+ (x; y − x) < 0
(x, y ∈ X, f (y) ≤ f (x), x = y kéo theo f+ (x; y − x) < 0.)
Để cho ngắn gọn chúng ta có thể bỏ từ “Dini trên” và nói đơn giản là “hàm
giả lồi” hoặc là “hàm giả lồi chặt”.
Điểm x ∈ X được gọi là điểm dừng của hàm số f : X → R tương ứng
với trên đạo hàm theo hướng Dini nếu f+ (x; u) ≤ 0, ∀u ∈ E.
Hàm số f được gọi là hàm tựa lồi trên X nếu:
f ((1 − t)x + ty) ≤ max f (x), f (y), ∀t ∈ [0, 1].
Mệnh đề sau đây được giới thiệu bởi Komlosi [5] là một đặc trưng nổi tiếng
18


của các hàm giả lồi.
Mệnh đề 2.1. Cho f là một hàm tựa lồi nửa liên tục trên theo tia được xác
định trên một tập lồi mở X ⊂ Rn . Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất toàn cục tại
bất kì một điểm dừng x của f , thì f là hàm giả lồi trên X.
Để đặc trưng tính giả lồi, chúng tôi xét các điều kiện dưới đây:
(C5 ) : f+ (x; u) = 0 kéo theo ∃δ > 0 : ∀t ∈ (0, δ), f (x) ≤ f (x + tu);
(C6 ) : f+ (x; u) = 0 kéo theo ∃δ > 0 : ∀t ∈ (0, δ), f (x) < f (x + tu);
(C7 ) : f+ (x; u) = 0 kéo theo f+ (x; u) ≤ 0;
(C8 ) : f+ (x; u) = f+ (x; u) = 0 kéo theo ∃δ > 0 : ∀t ∈ (0, δ), f (x) ≤ f (x + tu);
(C9 ) : f+ (x; u) = 0 kéo theo f+ (x; u) ≤ 0.
Định lý 2.2. Cho f là một hàm nửa liên tục trên theo tia được xác định trên
tập lồi X ⊂ E.
(Các điều kiện bậc nhất)
(i1 ). Nếu f là hàm giả lồi, thì (C5 ) thỏa mãn với mọi x ∈ X và u ∈ E. Ngược
lại, nếu điều kiện (C1 ) và (C5 ) thỏa mãn với mọi x ∈ X và u ∈ E, thì f là
hàm giả lồi.

(ii1 ) Nếu điều kiện (C1 ) và điều kiện (C6 ) thỏa mãn ∀ ∈ X và u ∈ E \ {0},
thì f là hàm giả lồi hoàn toàn.
(Các điều kiện bậc hai)
(i2 ) Nếu f là hàm giả lồi, thì điều kiện (C7 ) và (C8 ) thỏa mãn với mọi x ∈ X
và u ∈ E. Ngược lại, nếu các điều kiện (C1 ), (C7 ) và (C8 ) thỏa mãn với mọi
x ∈ X và u ∈ E, thì f là hàm giả lồi.
(ii2 ) Nếu các điều kiện (C1 ) và (C9 ) thỏa mãn với mọi x ∈ X và u ∈ E \ {0},
thì f là giả lồi chặt.
19


Chứng minh. Chúng ta chỉ chứng minh các điều kiện bậc hai, vì các điều kiện
thứ nhất có thể thu được một cách đơn giản từ các điều kiện này
(i2 ) Giả sử f là hàm giả lồi trên X. Cố định x ∈ X và u ∈ E sao cho
f+ (x; u) = 0. Khi đó f (x) ≤ f (x + tu) với mọi t ≤ 0. Thật vậy, giả sử ngược
lại rằng tồn tại t > 0 sao cho f (x + tu) < f (x). Theo định nghĩa của hàm
f , x + tu ∈ X. Do đó, tính thuần nhất dương của f+ (x; .) mâu thuẫn với
f+ (x; u) = 0. Do đó, điều kiện (C8 ) là thỏa mãn. Bây giờ, điều kiện (C7 ) nhận
được từ
f+ (x; u) = lim sup 2t−2 (f (x + tu) − f (x)).
t→0

Ngược lại, giả sử rằng bổ sung thêm điều kiện (C1 ) thỏa mãn cùng với các điều
kiện (C7 ) và điều kiện (C8 ), với mọi x ∈ X và u ∈ E. Ta sẽ chứng minh f là
hàm giả lồi. Đầu tiên, chúng ta đi chỉ ra tính chất tựa lồi của hàm f . Thậy vậy,
nếu trái lại, tồn tại x, y ∈ X và với hàm số ϕ(t) = f (x + t(y − x)), 0 ≤ t ≤ 1,
ta sẽ có:
ϕ(ξ) = f ((1 − ξ)x + ξy) = max ϕ(t)
0≤t≤1


> max{ϕ(0); ϕ(1)} = max{f (x); f (y)}

(2.1)

(Giá trị lớn nhất đạt được theo Định lí Weierstrass tổng quát từ f là hàm
nửa liên tục trên theo tia). Từ tính cực đại của ξ, ta có:
f+ (x + ξ(y − x); y − x) ≤ 0, f+ (x + ξ(y − x); x − y) ≤ 0.
Các bất đẳng thức đó và điều kiện (C1 ) kéo theo:
f+ (x + ξ(y − x); y − x) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) = 0.

20

(2.2)


Bây giờ tính cực đại của ξ và điều kiện (C7 ) kéo theo
f+ (x + ξ(y − x); y − x) = f+ (x + ξ(y − x); x − y) = 0.
Hơn nữa, tính cực đại của ξ và điều kiện (C8 ) suy ra rằng ϕ là hằng số trong
lân cận nào đó của ξ. Tính chất này đúng với mỗi điểm cực đại ξ ∈ (0, 1), do
đó ϕ là không đổi trên toàn bộ đoạn [0, 1]. Khẳng định sau cùng là được lý
luận như. Đặt
Ξ=

{(α, β)|0 ≤ α < ξ < β ≤ 1, ϕ là hằng trên (α, β)}.

Khi đó, Ξ là một khoảng mở (ξ∗ ; ξ ∗ ) và ϕ(ξ) = ϕ(ξ) với ξ∗ < ξ < ξ ∗ . Ta chứng
minh rằng ϕ(ξ∗ ) = ϕ(ξ ∗ ) = ϕ(ξ). Từ tính cực đại của ξ và tính nửa liên tục
trên của ϕ ta có:
ϕ(ξ ∗ ) ≥ lim sup ϕ(ξ) = ϕ(ξ) ≥ ϕ(ξ ∗ ),
ξ↑ξ ∗


ở đó, ξ ↑ ξ ∗ biểu thị ξ → ξ ∗ , ξ < ξ ∗ . Tương tự ϕ(ξ∗ ) = ϕ(ξ). Điều đó kéo theo
ξ∗ = 0 và ξ∗ = 1. Thật vậy, ξ ∗ là một điểm cực đại của ϕ. Nếu ξ ∗ < 1, thì,
từ tính chất đã được chứng minh, tồn tại α, β, sao cho ξ ∗ ∈ (α, β) ⊃ [0, 1]
và ϕ là hằng trên khoảng (α, β). Bây giờ ϕ là không đổi trên khoảng [ξ∗ , β)
điều này mâu thuẫn với cách chọn ξ ∗ . Vì vậy, ξ ∗ = 1. Tương tự, ta có ξ∗ = 0.
Do đó, ϕ là không đổi trên đoạn [ξ∗ , ξ ∗ ] = [0, 1]. Tính ϕ không đổi trên đoạn
[0, 1] mâu thuẫn với bất đẳng thức chặt (2.1). Do đó, f là tựa lồi.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng f là hàm giả lồi trên X. Giả sử
phản chứng tồn tại x, y ∈ X sao cho f (y) < f (x) và f+ (x; y − x) ≥ 0. Do
tính tựa lồi f+ (x; y − x) = 0. Từ điều kiện (C7 ) và tính tựa lồi ta suy ra
21