BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ VĂN THO

VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY
VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY
SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

Bình Định - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ VĂN THO

VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY
VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY
SUY RỘNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN THÁI HÒA

Bình Định - 2012


Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Lý thuyết bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1

1.2

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Môđun Cohen-Macaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

5

1.5

Môđun phân số suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


9

1.7

Đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.8

Bất biến kiểu đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2

Hàm JM (x(n))

14

2.1

Hàm JM (x(n)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Bất biến pf (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


26

ii


iii
Chương 3 Môđun giả Cohen-Macaulay và Môđun giả CohenMacaulay suy rộng

28

3.1

Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.2

Một số đặc trưng của môđun giả Cohen-Macaulay và môđun
giả Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt
Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị


iv

Lời nói đầu
Mục đích của Đại số giao hoán là nghiên cứu cấu trúc của môđun trên
một vành giao hoán. Để làm việc này, một phương pháp quan trọng là thông
qua một hệ các đặc trưng bằng số được định nghĩa trên môđun để phân loại
nó. Khi phân loại các môđun, lớp các môđun Cohen-Macaulay và lớp các
môđun Cohen-Macaulay suy rộng là vô cùng quan trọng. Đầu những năm 90,
Nguyễn Tự Cường đã đưa ra một bất biến mới cho môđun gọi là bất biến kiểu
đa thức. Sau đó, Nguyễn Đức Minh đưa ra bất biến kiểu đa thức theo phân số
suy rộng. Các môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng
có thể xem như là các môđun có bất biến kiểu đa thức không dương. Hơn
nữa, các môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng cũng
có bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng là không dương. Nhưng điều
ngược lại là không đúng. Tuy nhiên, những môđun có bất biến kiểu đa thức
theo phân số suy rộng không dương vẫn có những tính chất liên quan chặt
chẽ với tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay suy rộng. Nguyễn Tự
Cường đã đưa ra khái niệm môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả CohenMacaulay suy rộng trong [9] cùng với Lê Thanh Nhàn. Trong [18], Nguyễn
Thái Hòa và Nguyễn Đức Minh cũng nghiên cứu hai lớp môđun này.
Mục đích của Luận văn là trình bày lại một số kết quả chính của [9] và
[18].
Luận văn gồm phần mở đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo và nội
dung chính được chia làm 3 chương.
Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết
bội, đối đồng đều địa phương, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, Môđun CohenMacaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Môđun phân số suy rộng,

Đối ngẫu Matlis, Đầy đủ, Bất biến kiểu đa thức.
Chương 2, chúng tôi trình bày định nghĩa và chứng minh chi tiết các kết


v
quả của hàm JM (x(n)) và bất biến pf (M ).
Chương 3, chúng tôi trình bày lại định nghĩa và chứng minh chi tiết một
số đặc trưng của lớp các môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả CohenMacaulay.
Cuốn luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khác và tận
tâm của TS. Nguyễn Thái Hòa. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học Quy Nhơn, Phòng
Sau đại học, khoa Toán học và các Thầy, Cô giáo đã tham gia giảng dạy và
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn học
viên lớp Cao học Toán K13, đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu trong thời gian qua. Sau cùng, tôi xin gửi lời biết ơn đến bạn
bè và người thân đã luôn động viên dành những điều kiện thuận lợi nhất để
tôi yên tâm hoàn tất khóa học và luận văn này.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo
hướng dẫn, nhưng do năng lực bản thân và thời gian còn hạn chế nên luận
văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong sự góp ý của quý
thầy cô và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt chương này ta luôn kí hiệu (R, m) là một vành giao hoán
Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh
với số chiều dim M = d.


1.1

Lý thuyết bội

Chúng tôi trình bày một số kiến thức về bội theo Auslander và Buchsbaum
[1].
Một hệ phần tử x = (x1 , . . . , xt ) của R sao cho

R (M/(x)M )

< +∞ được

gọi là một hệ bội của M . Khi đó kí hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x
được định nghĩa qui nạp theo t như sau.
Nếu t = 0 tức là (M ) < +∞, ta đặt e(∅; M ) =

R (M ).

Giả sử t ≥ 1. Đặt (0 :M x1 ) = {u ∈ M : ux1 = 0}. Ta thấy (x2 , . . . , xt )
là một hệ bội của (0 :M x1 ) và M/x1 M. Áp dụng giả thiết qui nạp cho các
môđun M/x1 M và (0 :M x1 ), đặt
e(x; M ) = e(x2 , . . . , xt ; M/x1 M ) − e(x2 , . . . , xt ; 0 :M x1 ).
Ký hiệu bội e(x; M ) có các tính chất cơ bản sau đây
1


2
Nhận xét 1.1.1. (i) Nếu x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M , q =
(x1 , . . . , xd )R là iđêan tham số của M tương ứng với x. Khi đó ký hiệu bội
trùng với số bội e(q; M ) của Zariski-Samuel.

(ii) 0 ≤ e(x; M ) ≤

R (M/(x)M )

với mọi hệ tham số x của M.

(iii) Giả sử 0 → Mn → · · · → M1 → M0 → 0 là một dãy khớp các R-môđun
Noether và x là hệ tham số đối với mỗi Mi ,
n

i = 0, 1, . . . , n. Khi đó

i

(−1) e(x; Mi ) = 0.
i=0

(iv) Nếu tồn tại một số nguyên dương k và một phần tử xi của hệ bội x =
(x1 , . . . , xd ) sao cho xki M = 0 thì e(x; M ) = 0.
(v) Lấy n1 , n2 , . . . , nt là các số nguyên dương tùy ý. Khi đó
e(xn1 1 , xn2 2 , . . . , xnt t ; M ) = n1 n2 . . . nt e(x1 , x2 , . . . , xt ; M ).

1.2

Đối đồng điều địa phương

Môđun đối đồng điều địa phương được Grothendieck đưa ra trong [14] là
một công cụ rất quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc môđun trên vành
giao hoán. Đặc biệt nó thường xuyên được dùng đến trong luận văn.
Cho I ⊂ R là một iđêan của R. Biết rằng hàm tử I-xoắn ΓI (.) từ phạm

trù các R-môđun vào chính nó là hiệp biến, cộng tính, khớp trái và với mỗi
R-môđun M, ΓI (.) được định nghĩa bởi công thức
ΓI (M ) =

(0 :M I n ).
n≥0

Với mỗi số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i Ri ΓI (.)
của hàm tử ΓI (.). Khi đó môđun đối đồng điều địa phương thứ i HIi (M ) của
R-môđun M hữu hạn sinh với giá là I được xác định bởi
HIi (M ) = Ri ΓI (M ).


3
Nhận xét 1.2.1. (i) Khi I = m là iđêan cực đại của R thì Hmi (M ) là R-môđun
Artin. Hơn nữa Hmi (M ) = 0 với mọi i > d = dim M và Hmd (M ) = 0 khi M = 0.
(ii) HIi (M ) = limExtiR (R/I n ; M ).
−→
n
(iii) Cho một dãy khớp các R-môđun
0 → M → M → M → 0.
Khi đó ta có dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương
0 → Hm0 (M ) → Hm0 (M ) → Hm0 (M ) → Hm1 (M ) → Hm1 (M ) → · · ·
Đặc biệt, nếu x ∈ R có tính chất dim(0 :M x) = r < d−1, trong đó d = dim M
thì ta có dãy khớp
0 → Hmi (M )/xHmi (M ) → Hmi (M/xM ) → (0 : x)Hmi+1 (M ) → 0,
với i = r + 1, . . . , d − 1.

1.3


Lý thuyết biểu diễn thứ cấp

Lý thuyết phân tích nguyên sơ các môđun con của môđun Noether đóng
vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán. Có một lý thuyết tương tự đối
với các môđun Artin gọi là lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi D.
Kirby và I. G. Macdonal trong [21]. Vì các môđun đối đồng điều địa phương
của một môđun hữu hạn trên vành giao hoán Noether địa phương tại iđêan
cực đại là Artin nên lý thuyết biểu diễn thứ cấp tỏ ra là một công cụ có ích
khi nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh không là Cohen-Macaulay suy rộng.
Trước khi trình bày nội dung tiếp theo của luận văn, chúng tôi trích dẫn một
số kiến thức cần thiết theo thuật ngữ của Macdonal trong [21].


4
Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun C được gọi là môđun thứ cấp nếu C = 0
và với mọi x ∈ R, tự đồng cấu
fx : C → C
c

→ xc

hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh. Trong trường hợp này, tập Rad(0 : C) là
một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi C là p-thứ cấp.
(ii) Cho C là một R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của C là một phân tích
thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Ci , (i = 1, . . . , n)
C = C1 + · · · + Cn
Nếu C = 0 hoặc C có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói C là biểu diễn được.
Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi đôi một
khác nhau và không có hạng tử Ci nào thừa, với mọi i = 1, . . . , n.
Dễ thấy mọi biểu diễn thứ cấp của C đều có thể đưa về được dạng tối

thiểu. Khi đó tập {p1 , . . . , pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối
thiểu của C. Và ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của C, kí hiệu
là AttR (C). Các hạng tử Ci , (i = 1, . . . , n) được gọi là các thành phần thứ cấp
của C. Nếu pi là tối thiểu trong AttR (C) thì Ci được gọi là thành phần cô lập.
Định lý 1.3.1 ([21]). Mọi R-môđun Artin đều có một biểu diễn thứ cấp.
Ngoài ra ta còn có một số khái niệm cho môđun Artin được đưa ra trong
[26].
Cho L là một R-môđun Artin. Giả sử L có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu
n

L=

Ci với Ci là pi thứ cấp. Đặt
i=1

L0 =

Ci .
pi ∈Att(L)\{m}


5
Khi đó L0 không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L
và được gọi là thặng dư của L. Dễ thấy L/L0 có độ dài hữu hạn. Ta gọi độ
dài này là độ dài thặng dư của L và kí hiệu là R (L).
Một phần tử a ∈ m được gọi là lọc đối chính quy của L nếu
a∈
/

p.

p∈Att(L)\{m}

Ta gọi chỉ số nguyên nhỏ nhất i ≥ 0 sao cho mi L = mi+1 L là chỉ số ổn định
của L và kí hiệu là s = s(L). Chú ý ms L = L0 và as L = L0 nếu a là phần
tử lọc chính quy. Hơn nữa m ∈
/ Att(L) nếu và chỉ nếu R (L) = 0; Att(L) = ∅
nếu và chỉ nếu L = 0.

1.4

Môđun Cohen-Macaulay và Môđun CohenMacaulay suy rộng

Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm theo [3] và [12].
Định nghĩa 1.4.1. Cho y = (y1 , . . . , yr ) là một dãy phần tử của R. Dãy y
được gọi là dãy chính qui đối với M (hay M -dãy) nếu (y1 , . . . , yr )M = M và
yi+1 không là ước của không của M/(y1 , . . . , yi )M với i = 0, . . . , r − 1.
Khi y1 , . . . , yr thuộc về một iđêan I của R, ta nói rằng y = (y1 , . . . , yr ) là
một M -dãy trong I. Nếu không tồn tại b ∈ I sao cho y1 , . . . , yr , b là M -dãy;
thì y1 , . . . , yr được gọi là một M -dãy cực đại trong I.
Định nghĩa 1.4.2. Cho I là một iđêan của vành R. Độ dài cực đại của các
M -dãy trong I được gọi là I-độ sâu của M và kí hiệu là depthI (M ). Ta kí
hiệu depth(M ) hay depthR (M ) thay cho depthm (M ) và gọi là độ sâu của M.
Nhận xét 1.4.1. (i) depth(M ) ≤ dim(R/p) với mọi p ∈ Ass(M ).


6
(ii) Nếu (y1 , . . . , yd ) là một M -dãy thì (y1n1 , . . . , ydnd ) là một M - dãy với mọi
n1 , . . . , nd ≥ 1.
Chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo [3], [12].
Định nghĩa 1.4.3. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu dim M =

depth(M ). Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun
Cohen-Macaulay.
Định lý 1.4.1. Các mệnh đề sau tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii) Tồn tại một iđêan tham số q của M sao cho e(q; M ) =
(iii) e(q; M ) =

R (M/qM )

R (M/qM );

với mọi iđêan tham số q của M ;

(iv) Tồn tại một hệ tham số của M là M -dãy;
(v) Mọi hệ tham số của M là M -dãy;
(vi) Hmi (M ) = 0 với mọi i = 1, . . . , d − 1.
Định nghĩa 1.4.4. Cho y = (y1 , . . . , yr ) là một dãy phần tử của R. Dãy y
được gọi là dãy lọc chính quy đối với M (hay f -dãy) nếu
yi+1 ∈

p
p∈Ass(M/(y1 ,...,yi )M )\{m}

với mọi i = 1, . . . , r − 1.
Từ định nghĩa trên ta thấy mọi M -dãy đều là f -dãy đối với M. Ngoài ra
(y1 , . . . , yr )M ⊆

((y1 , . . . , yi )M : M i )

với mọi i = 1, . . . , r − 1.

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng
do Nguyễn Tự Cường, P. Schewzel và Ngô Việt Trung đưa ra trong [12].


7
Định nghĩa 1.4.5. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu một
trong các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Sup{ R (M/xM ) − e(x; M )} < ∞, ở đây x chạy trên tất cả các hệ tham
số của M ;
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1 , . . . , xd ) của M sao cho
R (M/xM )

− e(x; M ) =

R (M/x(2)M )

− e(x(2); M ),

trong đó x(2) = (x21 , . . . , x2d );
(iii)

i
R (Hm (M ))

< ∞, với mọi i = 1, . . . , d − 1;

(iv) Mọi hệ tham số của M đều là f -dãy.

1.5


Môđun phân số suy rộng

Lý thuyết môđun phân số suy rộng được Sharp và Zariski đưa ra trong
[27]. Nó là một sự mở rộng của khái niệm địa phương hóa của một vành theo
tập nhân đóng trong vành đó.
Cho k là một số nguyên dương. Ta kí hiệu Dk (R) là tập tất cả các ma
trận vuông cấp k có dạng tam giác dưới với hệ tử trên R. Với mỗi ma trận
vuông H, kí hiệu |H| và H T được dùng để chỉ định thức và chuyển vị của nó.
Định nghĩa 1.5.1. Cho k là một số nguyên dương. Một tập con tam giác
của Rk là một tập con khác rỗng U của Rk thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Nếu (u1 , . . . , uk ) ∈ U thì (un1 1 , . . . , unk k ) ∈ U với mọi số nguyên dương
n1 , . . . , nk .
(ii) Với mọi (u1 , . . . , uk ), (v1 , . . . , vk ) ∈ U luôn tồn tại (w1 , . . . , wk ) ∈ U và
H, K ∈ Dk (R) sao cho H[u1 , . . . , uk ]T = [w1 , . . . , wk ]T = K[v1 , . . . , vk ]T .


8
Cho trước một tập con tam giác U của Rk , ta định nghĩa trên U × M một
quan hệ tương đương ∼ như sau.
Cho α = ((u1 , . . . , uk ); x) và β = ((v1 , . . . , vk ); y) ∈ U × M. Khi đó α ∼ β
nếu tồn tại (w1 , . . . , wk ) ∈ U và H, K ∈ Dk (R) sao cho
H[u1 , . . . , uk ]T = [w1 , . . . , wk ]T = K[v1 , . . . , vk ]T
và
k−1

|H|x − |K|y ∈

Rwi M.
i=1


Với x ∈ M và (u1 , . . . , uk ) ∈ U , ta kí hiệu x/(u1 , . . . , uk ) để chỉ lớp tương
đương có đại diện là ((u1 , . . . , uk ); x). Tập tất cả các lớp tương đương như vậy
được kí hiệu bởi U −k M. U −k M sẽ trở thành một R-môđun với các phép toán
được định nghĩa như sau:
Với mọi α ∈ R; x, y ∈ M và (u1 , . . . , uk ), (v1 , . . . , vk ) ∈ U, khi đó
x/(u1 , . . . , uk ) + y/(v1 , . . . , vk ) = |H|x + |K|y/(w1 , . . . , wk ),
α(x/(u1 , . . . , uk )) = αx/(u1 , . . . , uk )
với mọi cách chọn (w1 , . . . , wk ) ∈ U và H, K ∈ Dk (R) sao cho
H[u1 , . . . , uk ]T = [w1 , . . . , wk ]T = K[v1 , . . . , vk ]T .
Định nghĩa 1.5.2. Tập U −k M với các phép toán xác định như trên được
gọi là môđun phân số suy rộng của M theo U .
Định nghĩa 1.5.3. Mỗi phần tử của môđun phân số suy rộng U −k M được
gọi là phân số suy rộng của M theo U (hay một cách ngắn gọn là phân số
suy rộng nếu M và U xác định).
Dưới đây là một ví dụ quan trọng về tập các tam giác


9

U (M )d+1 ={(x1 , . . . , xd , 1) ∈ Rd+1 | tồn tại j thỏa mãn 0 ≤ j ≤ d
sao cho x1 , . . . , xj

là một phần hệ tham số nào đó của M

và xj+1 = . . . = xd = 1}.
Trong [26] môđun con M (1/(x1 , . . . , xd , 1)) = {m/(x1 , . . . , xd , 1)|m ∈ M }
của môđun U (M )−d−1
d+1 M có độ dài hữu hạn, trong đó (x1 , . . . , xd ) là một hệ
tham số của M.
Hơn nữa, với x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M . Xét môđun con

QM (x) =

t+1
t
t
((xt+1
1 , . . . , xd )M : x1 . . . xd )
t>0

của M. Trong [8] có chỉ ra
M (1/(x1 , . . . , xd , 1))

1.6

M/QM (x).

Đối ngẫu Matlis

Trong đại số giao hoán, các khái niệm và kết quả đưa ra chủ yếu là cho các
môđun Noether, đôi khi ta có thể chuyển sang nghiên cứu môđun đối ngẫu
của nó qua hàm tử đối ngẫu Matlis. Dưới đây chúng tôi nhắc lại khái niệm
và một số tính chất cần thiết về đối ngẫu Matlis (xem [27]).
Định nghĩa 1.6.1. Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường R/m. Hàm
tử HomR (−; E) trong phạm trù các R-môđun được gọi là hàm tử đối ngẫu
Matlis và được kí hiệu là _V ; LV = HomR (−; E) được gọi là đối ngẫu Matlis
V

của L với mỗi R-môđun L và được kí hiệu LV V = (LV ) .
Nhận xét 1.6.1. (i) Hàm tử đối ngẫu _V là hàm tử khớp, phản biến và
AnnR (L) = AnnR (LV ).



10
(ii) Một R-môđun L có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi LV có độ dài hữu hạn,
và trong trường hợp này

R (L)

=

R (L

V

).

(iii) Đối ngẫu của một R-môđun L là Artin khi và chỉ khi L là Noether. Nếu
R là vành đầy đủ thì đối ngẫu của LV là một R-môđun Noether khi và chỉ
khi L là Artin.
(iii) Nếu L là R-môđun Artin và R là vành đầy đủ thì Att(L) = Ass(LV ).
ˆ
(iv) Cho L là R-môđun Artin, L có cấu trúc tự nhiên như là R-môđun.
Đặc
biệt nếu đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hmi ,
trong đó M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương, được kí
hiệu K i (M ) = HomR (Hmi (M ); E).

1.7

Đầy đủ


Trong mục này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về đầy đủ
(xem [20])
Định nghĩa 1.7.1. Một vành lọc R là một vành R cùng với một họ {Rn }n≥0
các nhóm con của R thỏa mãn điều kiện:
(i) R0 = R.
(ii) Rn+1 ⊂ Rn , với mọi n ≥ 0.
(iii) Rn Rm ⊂ Rn+m , với mọi m, n ≥ 0.
Ví dụ 1.7.1. (i) Giả sử R là một vành bất kì. Lấy R0 = R và Rn = 0, với mọi
n ≥ 1. Khi đó {Rn }n≥0 là một lọc của R và nó được gọi là lọc tầm thường.
(ii) Cho I là một iđêan của R và đặt Rn = I n , với mỗi n ≥ 0. Khi đó {Rn }n≥0
là một lọc của R và nó được gọi là lọc I-ađic.
(iii) Nếu {Rn }n≥0 là một lọc của R và S là một vành con của R thì {Rn ∩ S}
là một lọc của S và được gọi là lọc cảm sinh trên S.


11
Định nghĩa 1.7.2. Cho R là một vành lọc. Một R-môđun M lọc là một
R-môđun M cùng với một họ {Mn }n≥0 các R-môđun con của M thỏa mãn
các điều kiện:
(i) M0 = M ;
(ii) Mn+1 ⊂ Mn , với mọi n ≥ 0;
(iii) Mn Rm ⊂ Mn+m , với mọi m, n ≥ 0.
Ví dụ 1.7.2. (i) Cho M là một R-môđun và R có lọc tầm thường. Khi đó
M cũng có một lọc tầm thường được định nghĩa bởi M0 = M và Mn = 0, với
mọi n ≥ 0.
(ii) Cho I là một iđêan của R và xét lọc I-ađic của R. Định nghĩa lọc I-ađic
của M bằng cách lấy Mn = I n M. Khi đó, M là một R-môđun lọc.
Cho M là một R-môđun lọc. Lọc {Mn }n≥0 xác định một tôpô trên M
tương thích với cấu trúc nhóm Abel của M mà {Mn } là một cơ sở lân cận

của 0. Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc {Mn }.
Cho M là một R-môđun với lọc {Mn }n≥0 . Với tôpô được định nghĩa bởi
lọc, M có đầy đủ là M . Nó là tập hợp các lớp tương đương của những dãy
Cauchy gồm những phần tử của môđun M , ứng với quan hệ tương đương được
định nghĩa (xn ) ∼ (yn ) nếu với mỗi m tồn tại một n0 sao cho xn − yn ∈ Mn ,
với mọi n ≥ n0 .
Định lý 1.7.1. Cho M là một R-môđun lọc với {Mn } và đầy đủ M . Khi đó
M = lim M/Mn .
−→
Định nghĩa 1.7.3. Tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc I-ađic được gọi là
tôpô I-ađic và đầy đủ M được gọi là đầy đủ theo I-ađic.
Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Gọi M và R là những
đầy đủ theo tôpô I-ađic tương ứng với M và R. Định nghĩa một phép nhân


12
vô hướng của M và R xác định bởi
(an )(xn ) = (an xn )
trong đó (an ) là một dãy Cauchy trong R và (xn ) là một dãy Cauchy trong
M. Phép toán này được xác định và với phép toán này M là một R-môđun.

1.8

Bất biến kiểu đa thức

Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d và (x) = (x1 , . . . , xd )
là một hệ tham số của M. Chúng tôi nhắc lại khái niệm bất biến kiểu đa thức
và một số tính chất cơ bản của nó được đưa ra trong [5, 10]. Ta kí hiệu
IM (x(n)) =


nd
n1
R (M/(x1 , . . . , xd )M )

− n1 . . . , nd e(x; M )

như là một hàm theo n, trong đó n = (n1 , . . . , nd ) là bộ d số nguyên dương.
Nói chung IM (x(n)) không phải là một đa thức theo n trong trường hợp tổng
quát. Tuy nhiên hàm số này có tính chất sau.
Định lý 1.8.1. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Khi
đó bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm IM (x(n)) không
phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x.
Từ định lí này dẫn đến định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.8.1. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Kiểu đa thức của M là bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên
hàm IM (x(n)). Bất biến này được kí hiệu là p(M ).
Nhận xét 1.8.1. (i) Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Khi đó
pR (M ) = pR (M )


13
với R-môđun M là đầy đủ m-ađic của M.
(ii) p(M ) ≤ d − 1.
(iii) Qui ước bâc của đa thức 0 là −∞. Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay
suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0.


Chương 2


Hàm JM (x(n))
Trong suốt chương này ta luôn kí hiệu (R, m) là một vành giao hoán
Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh
với số chiều dim M = d. Gọi x = (x1 , . . . , xt ) là một hệ tham số của M. Xét
môđun con
QM (x) =

t+1
t
t
((xt+1
1 , . . . , xd )M : x1 . . . xd )
t>0

của M. Khi đó (x)M ⊆ QM (x). Do đó (M/QM (x)) ≤ (M/(x)M ) < +∞.
Hơn nữa ta cũng có bất đẳng thức liên hệ giữa số bội và độ dài môđun (xem
[6, 2.3]) như sau
e(x; M ) ≥ (M/QM (x)).
Suy ra
JM (x) = e(x; M ) − (M/QM (x)),
là một số nguyên không âm. Cho n = (n1 , . . . , nd ) là bộ gồm d-số nguyên
dương, kí hiệu
x(n) = (xn1 1 , . . . , xnd d ).
Khi đó x(n) là một hệ tham số. Hiệu
JM (x(n)) = e(x(n); M ) − (M/QM (x(n)))
n1 . . . nd e(x(n); M ) − (M/QM (x(n))),
14


15

có thể xem là một hàm theo n. Khi n1 = · · · = nd = 1 ta có JM (x(n)) =
JM (x). Hơn nữa hàm JM (x(n)) được đề cập trong [6] và nó cũng chính là hàm
JM (x(n)) được đưa ra trong [10]. Hàm JM (x(n)) này được xây dựng thông
qua độ dài phân số suy rộng.
Mục đích chính của chương này là trình bày các tính chất của hàm
JM (x(n)), sự tồn tại bất biến pf (M ) và các tính chất của nó.

2.1

Hàm JM (x(n))

Cho x = (x1 , . . . , xn ) là một dãy các phần tử trong m. Giả sử y =
(y1 , . . . , yn ) là một dãy n phần tử khác trong m sao cho (y)R ⊆ (x)R. Khi đó
tồn tại những phần tử bij ∈ R; 1 ≤ i, j ≤ n sao cho
n

yi =

bij xj .
j=1

Đặt B = (bij ) và δ = det B. Dựa vào qui tắc Crame ta dễ dàng suy ra rằng
δ(x)R ⊆ (y)R. Do đó ta nhận được một ánh xạ cũng kí hiệu là δ
δ : M/(x)M → M/(y)M,
xác định bởi δ(u+(x)M ) = δu+(y)M với bất kì u ∈ M. Tương tự xét môđun
con
QM (y) =

((y1t+1 , . . . , ynt+1 )M : y1t . . . ynt ).
t>0


Theo [30, 5.1.15], ta có δQM (x) ⊆ QM (y). Điều này cho phép suy ra tương
ứng
δ : M/QM (x) → M/QM (y),
xác định bởi δ(u + QM (x)) = δu + QM (y) với bất kì u ∈ M. Hơn nữa theo
[30, 5.1.15], đồng cấu δ không phụ thuộc vào cách chọn ma trận B. Ánh xạ δ
được gọi là ánh xạ định thức (xem [6]).


16
Bổ đề 2.1.1 ( [6]). Lấy x = (x1 , . . . , xd ) và y = (y1 , . . . , yd ) là hai hệ tham
số của M sao cho (y)R ⊆ (x)R. Khi đó ánh xạ định thức
δ : M/QM (x) → M/QM (y)
là đơn cấu.
Chứng minh. Vì δ(Ann(M )) = 0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử
rằng AnnM = 0. Khi đó iđêan (y)R là m-nguyên sơ. Vì vậy tồn tại một số
nguyên dương k thỏa mãn
(x(k))R ⊆ (y)R, với x(k) = (xk1 , . . . , xkd ).
Suy ra tồn tại ma trận C = (cij ), cij ∈ R; 1 ≤ i, j ≤ d thỏa mãn
xki =

d

cij yj .
j=1

Xét D = C.B, ở đây B = (bij ) sao cho
d

bij xj , bij ∈ R; 1 ≤ i, j ≤ d.


yi =
j=1

Đặt δ = det B, δ1 = det C, δ2 = det D = δδ1 . Khi đó ta có biểu đồ giao hoán

/ M/Q

δ

M/QM (x)
δ2

*

u

M/QM (x(k))

M (y)

δ1

với δ, δ1 , δ2 là các ánh xạ định thức tương ứng. Hơn nữa ta có



















k−1
 x1

k
 x1 







..
.

xkd

=


0

0
...
xk−1
d



















.

x1
..

.
xd









và theo [30, 5.1.14], δ2 là ánh xạ được xác định bởi phép nhân với xk−1
. . . xk−1
1
d .
Do đó δ2 là đơn cấu. Vì vậy δ là đơn cấu. Bổ đề được chứng minh.


17
Hệ quả 2.1.2 ( [6]). Cho x = (x1 , . . . , xd ) và x = (y1 , . . . , yd ) là hai hệ tham
số của M sao cho (y)R ⊆ (x)R. Khi đó
(M/QM (x)) ≤ (M/QM (y)).
Chú ý 2.1.1 ( [6]). Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M.
(1) (M/QM (x)) ≤ e(x; M ).
(2) Các mệnh đề sau tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho QM (x) = (x)M.
(3) Cho n = (n1 , . . . , nd ), m = (m1 , . . . , md ) là các bộ số nguyên dương sao
cho ni ≤ mi với mọi i = 1, . . . , d và x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của
R-môđun M có chiều dim M = d. Khi đó ta có QM (x(m)) ⊆ QM (x(n)).

(4) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Đặt R = R/Ann(M ).
Khi đó M có thể xem như là một R -môđun với Ann(R ) = 0. Cho x =
(x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M và kí hiệu xi là ảnh của xi trong
R thì x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của R -môđun M . Hơn nữa
eR (x; M ) = eR (x; M ) và

R (M )

=

R

(M ).

Giả sử x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M và n = (n1 , . . . , nd ) là
bộ d số nguyên dương. Khi đó x(n) = (xn1 1 ), . . . , xnd d cũng là một hệ tham số
của M và
n (t+1)

((x1 1

QM (x(n)) =

n (t+1)

, . . . , xd d

)M : xn1 1 t . . . xdnd t ).

t>0


Bổ đề 2.1.3 ([6]). Cho M là một R-môđun dim M = d và x = (x1 , . . . , xd )
là một hệ tham số của M.
(i) Kí hiệu M = M/N, trong đó N hoặc là môđun con Artin, hoặc N = (0 :M
x1 ). Khi đó x là một hệ tham số của M và
(M/QM (x(n))) = (M /QM (x(n))).


18
(ii) Cho M là bao đầy đủ theo lọc m-ađic của M. Khi đó x là một hệ tham
số của M và
(M/QM (x(n))) = (M /QM (x(n)))
(iii) Kí hiệu x là ảnh của x trong R = R/AnnR (M ) và x = (x1 , . . . , xd ).
Khi đó
R (M/QM (x))

=

R

(M/QM (x )).

Chứng minh. (i) Trước hết, ta có N là môđun con của QM (x(n)). Thật vậy,
nếu N = (0 :M x1 ) thì N ⊆ QM (x(n)). Giả sử N là môđun con Artin của M .
Từ dãy giam các môđun con của N
mN ⊇ m2 N ⊇ · · · ⊇ mt N · · · ,
suy ra tông tại một số tự nhiên k sao cho mi N = mi+1 N với mọi i ≥ k. Do
mt N = 0,
t>0


ta có mk N = 0. Hơn nữa vì M là R-môđun Noether nên tồn tại t0 đủ lớn
(t0

0) thỏa mãn
n (t0 +1)

QM (x(n)) = (x1 1

n (t0 +1)M

, . . . , xd d

)M : xn1 1 t0 . . . xnd d t0 ,

do đó ta có thể chọn t0 ≥ k, suy ra N ⊆ QM (x(n)). Từ tính chất của hệ tham
số, dễ thấy rằng x là hệ tham số của M. Cuối cùng ta có thể kiểm chứng dễ
dàng rằng
QM (x) = QM (x)/N.
Suy ra
M/QM (x(n)) ∼
= M /QM (x(n)).
(ii) Vì đồng cấu chính tắc R → M là hoàn toàn phẳng, nên x là một hệ tham
số của M và
QM (x(n)) = QM (x(n)).


19
Do đó ta có
R (M/QM (x(n)))


=

R

(M /QM (x(n))) =

R

(M /QM (x(n))).

(iii) Vì AnnR (M ) ⊆ AnnR (M/QM (x)), nên
R (M/QM (x))

=

R

(M/QM (x)).

Xét tương ứng
h : M/QM (x) → M/QM (x ),
xác định bởi h(u+M/QM (x)) = u+M/QM (x ), với mỗi u ∈ M. Vì AnnR (M ) =
0, ta dễ dàng chứng minh được h là một đẳng cấu các R -môđun. Vậy
R (M/QM (x))

=

R

(M/QM (x)) =


R

(M/QM (x )). Bổ đề được chứng minh.

Mệnh đề 2.1.4 ([6]). Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều dim M =
d và x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Khi đó các mệnh đề sau đúng.
(i) JM (x(n)) = JM/Hm0 (M ) (x(n)) = JM (x(n)), trong đó M là bao đầy đủ theo
lọc m-ađic của M.
(ii) JM (x(n)) ≤ n1 . . . nd JM (x).
Chứng minh. (i) Được chứng minh từ Bổ đề 2.1.3.
(ii) Đặt α = (α, 1, . . . , 1), α + 1 = (α + 1, 1, . . . , 1). Theo Chú ý 2.1.1 (3), ta
có QM (x(α + 1)) ⊆ QM (x(α)). Khi đó ánh xạ
Φ : M/QM (x(α + 1)) → M/QM (x(α)),
xác định bởi
Φ(u + QM (x(α + 1))) = u + QM (x(α)), với mọi u ∈ M,