BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHAN THỊ LUYỆN

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN
LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC
CHIA ĐƯỜNG TRÒN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHAN THỊ LUYỆN

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN
LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC
CHIA ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Bình Định - 2012


Mục lục

Danh mục các ký hiệu

iv

Danh mục các bảng

v

Mở đầu

vi

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

Tính chia hết và số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


1.1.2

Số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4
1.2

1.3

1.4

1

Định lý cơ bản của Số học

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lý thuyết đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


1.2.1

Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Đồng dư tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Định lý Fermat bé và Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . .

11

Các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Các hàm có tính chất nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2


Phi hàm Euler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3

Hàm số các ước số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.4

Bậc của một số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Đồng dư bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

ii


iii
1.5

Mở rộng trường. Bậc của mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . .


17

1.5.1

Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.2

Bậc của mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Thừa số trong trường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6.1

Sự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.6.2

Số nguyên trong trường bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . .

21


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.6

y n −1
y−1

26

=y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2 Phương trình
2.1

Phương trình

q n −1
q−1

2.2

Phương trình

xm −1
x−1


q n −1
q−1

=

= y và

y n −1
y−1

xm −1
x−1

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Kết luận chung

54

Tài liệu tham khảo


55


iv

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
: Tập các số tự nhiên.

N
N

∗

: Tập các số tự nhiên khác không.

Z

: Tập các số nguyên.

Q

: Tập các số hữu tỷ.

R

: Tập các số thực.

C

: Tập các số phức.


[x]

: Phần nguyên của x ∈ R, là số nguyên lớn nhất
bé hơn hoặc bằng x.

x

: Độ cao tối đa của x ∈ R, là số nguyên bé nhất
lớn hơn hoặc bằng x.

#X

: Số phần tử của tập hợp X.

max(X)

: Số lớn nhất trong tập số hữu hạn X.

min(X)

: Số bé nhất trong tập số hữu hạn X.

pr ||n

: Nếu pr là lũy thừa lớn nhất của p chia hết số nguyên n.

(a1 , a2 , ..., ak ) : Ước chung lớn nhất của các số nguyên a1 , a2 , ..., ak .
[a1 , a2 , ..., ak ] : Bội chung nhỏ nhất của các số nguyên a1 , a2 , ..., ak .
vp (n)


: Số mũ của lũy thừa cao nhất của p chia hết n.

ϕ(n)

: Phi hàm Euler.

τ (n)

: Hàm số các ước số của n.

π(n)

: Tập các ước nguyên tố của số nguyên n.

log(n)

: Logarit tự nhiên của n.

exp(x)

: ex .

ordm (a)

: Bậc của a modulo m.


v


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Các số nguyên trong trường bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bảng 2.1: Các nghiệm của phương trình (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


vi

Mở đầu
Lý thuyết nhóm hữu hạn có rất nhiều ứng dụng trong giải phương trình đại
số nói chung và phương trình nguyên, nói riêng. Chẳng hạn, nghiệm nguyên của
phương trình Pell x2 − 2y 2 = 1, về thực chất, đó là các ước của đơn vị trong trường
√
√
Q( 2), do vậy, từ việc nghiên cứu ước đơn vị trong Q( 2), ta có thể suy ra nghiệm
của phương trình x2 − 2y 2 = 1. Từ lâu, người ta đã tìm được mối liên hệ giữa lý
thuyết nhóm hữu hạn và lớp phương trình nguyên có tập xác định là các số nguyên
tố hoặc lũy thừa của số nguyên tố, mà phương trình
qn − 1
= y m (∗)
q−1
là một ví dụ. Khi nghiên cứu phương trình nguyên

q n −1
q−1

= y m , trong đó q, n, m, y

là các số nguyên, q > 1, y > 1, n > 2, m ≥ 2, người ta đã chỉ ra có 3 bộ số nguyên
(q, n, y, m) nghiệm đúng, cụ thể là
35 − 1

74 − 1
183 − 1
= 112 ,
= 202 , và
= 73 ,
3−1
7−1
18 − 1
tuy nhiên cho đến nay vẫn chưa có lời giải cho trường hợp tổng quát. Ljunggren
([24]) đã giải quyết trọn vẹn bài toán (*) trường hợp m = 2; Ljunggren và Nagell
[24], [30] giải bài toán (*) khi 3 | n, 4 | n. Các tác giả đã chứng minh, trong các
trường hợp này, phương trình không có nghiệm nào khác ngoài 3 nghiệm được chỉ
ra ở trên. Ở [9], [11], [31], M. Bennet, Y. Bugeaud và N. Saradha, T.N. Shorey đã
giải quyết hoàn toàn bài toán khi q là chính phương hoặc là lũy thừa của một số tự
nhiên nào đó trong khoảng {2, ..., 10}, và trong các trường hợp này, phương trình
chỉ có hai nghiệm. Trong [10], [12], M. Mignotte và Y. Bugeaud đã giải quyết bài
toán khi m ≥ 2, q là lũy thừa của một số nguyên tố p nào đó sao cho p | y − 1,
hoặc khi m là số nguyên tố và mỗi ước nguyên tố của q là ước của y − 1.
Trong bài báo của Amir Khosravi, Behrooz Khosravi năm 2003, các tác giả
công bố kết quả về phương trình (*) khi m = 1; q là lũy thừa của số nguyên tố p;
n là số nguyên lẻ và số các ước nguyên tố của y − 1 không vượt quá 3 trên cơ sở
ứng dụng của lý thuyết Nhóm hữu hạn, cho dù ở trường hợp m = 1, phương trình
(*) luôn có nghiệm nguyên
{(q, y) | q ∈ Z, y = q n−1 + q n−2 + ... + q + 1}.


vii
Nghiên cứu về phương trình nguyên
yn − 1
xm − 1

=
, trong đó x > 1, y > 1, m > 2, n > 2, x = y,
x−1
y−1

(1)

năm 1917, Goormaghtigh ([19]) đã chỉ ra hai nghiệm là:
31 =

25 − 1
53 − 1
213 − 1
903 − 1
=
và 8191 =
=
.
2−1
5−1
2−1
90 − 1

Vấn đề là ngoài các nghiệm trên, không biết phương trình còn có hay không các
nghiệm hữu hạn khác. Thậm chí, nếu chúng ta cố định một trong bốn biến thì vẫn
còn câu hỏi mở là phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm. Tuy nhiên, khi một trong
x, y, hoặc x và n hoặc m và n cố định thì trong [8] phương trình (1) đã được chứng
minh là có nhiều nghiệm hữu hạn. Trường hợp x, y, hoặc x và n cố định, nhờ lý
thuyết của Baker về dạng tuyến tính theo logarith, chúng ta có thể tính toán cụ
thể chặn trên đối với độ lớn của nghiệm. Trong [35], Shorey đã chứng minh được

rằng: Nếu y > x, phương trình nguyên:
yn − 1
xm − 1
=
, trong đó các số nguyên m > 1, n > 1
x−1
y−1

(2)

có nhiều nhất 17 nghiệm. Người ta −1 = 90−1 ⇔ 89.2 = 88

nghiệm là
+ 90n , với


50
+) Nếu n = 2 thế vào trên suy ra 2m = 92, phương trình này không có nghiệm
nguyên.
+) Nếu n = 3, suy ra 89.2m = 88 + 903 ⇔ 2m = 8192 = 213 ⇒ m = 13. Vậy
(m, n) = (13, 3) là nghiệm của phương trình.
+) Nếu n > 3. Suy ra m > 13. Từ phương trình 89.2m = 88 + 90n ⇔ 89.2m =
88 + 2n .45n . Lập luận modulo 16 ta được 89.2m ≡ 88 (mod 16) ≡ 8 (mod 16) ⇔
89.2m−3 ≡ 1 (mod 2), vô lí. Vậy phương trình đã cho chỉ có nghiệm (m, n) =
(13, 3).
Nhận xét. M. Makowski và A. Schinzel đã chứng minh phương trình nguyên (2.2)
với y ≤ 10, m > n > 2 chỉ có nghiệm (x, y, m, n) = (2, 5, 5, 3), tuy nhiên để đầy
đủ chúng ta đưa ra chứng minh phát biểu cuối cùng của Định lý (2.2.9) ở trên.
Trong Định lý NS m và n thay đổi sao cho tỉ số


m−1
n−1

không đổi. Điều kiện này

cũng có nghĩa là y không quá lớn so với x. Bây giờ, chúng ta trình bày hai kết quả
mới với giả thuyết tương tự. Thứ nhất, có thể thấy sự cải thiện của Định lý NS,
mặc dù định lý đó không dẫn đến khẳng định sau. Thứ hai, điều tự nhiên khác là
không có sự hạn chế với m, n và x, y mở rộng trên tập vô hạn.
Định lý 2.2.11. Cho α > 1. Nếu phương trình (2.1) với (m−1, n−1) ≥ 4α+6+ α1
và

m−1
n−1

≤ α thì max(x, y, m, n) bị chặn bởi số có thể tính toán được chỉ phụ thuộc

vào α.
Chứng minh. Lấy 0 < φ < 1 và α > 1. Ta ký hiệu C1 , C2 , C3 là các số dương có
thể tính toán được chỉ phụ thuộc α. Giả sử (x, y, m, n) là nghiệm của phương
trình (2.1) sao cho (m − 1, n − 1) = d ≥ 3 và (m − 1)/(n − 1) ≤ α. Ta viết
m − 1 = dr ,

n − 1 = ds,

trong đó r, s là các số nguyên dương. Từ (2.1) suy ra
x ≤ 2y s/r ,

y ≤ 2xr/s .


Từ bổ đề (2.2.6) suy ra d ≤ C1 . Theo Định lí (2.2.9), ta cũng có thể giả sử y ≥ C2
với C2 đủ lớn. Hơn nữa, ta viết lại (2.1) như sau
xdr
y ds
1
1
x
−y
=
−
,
x−1
y−1
x−1 y−1


51
suy ra
y (x − 1)
x (y − 1)

1/d

−

1
xr
< ds .
s
y

y

(2.28)

Bây giờ, áp dụng Bổ đề (2.2.7) với A = x(y − 1), B = y(x − 1), d = n, σ = s và
K = [2α] + 1. Ta có thể giả sử K < n và chọn φ chỉ phụ thuộc α thích hợp sao cho
1+

1
1
2−φ
1
+ sK 1 +
+
< 4α + 6 +
s.
α
1 − φ K (1 − φ)
α

Cuối cùng, đặt δ = 1 + (2 − φ)/K và u1 = 40d(K+1)(δ+1−φ)/(Kδ+1−φ) , ta nhận xét
rằng
1

−δ

−δ

A(A − B) u1 −1 > C3 y 1+ α (y − x)


1

> C3 y 1+ α −δ > 1

với C2 đủ lớn. Do đó, từ Bổ đề (2.2.7) suy ra vế trái của (2.28) lớn hơn y −s(4α+6+1/α) ,
hay
y −ds > y −s(4α+6+1/α) .
Suy ra
d < 4α + 6 +

1
.
α

Định lý (2.2.11) không bao hàm Định lý NS bởi điều kiện bắt buộc về (m −
1, n − 1). Nếu r và s được cố định thì ta có thể bỏ điều kiện này bởi Định lý DLS,
và khi đó Định lý NS được suy ra từ Định lý (2.2.11). Trong quá trình chứng minh
Định lý (2.2.11) chúng ta cần kết quả bổ trợ là (Bổ đề 2.2.6), mà cho phép chúng
ta cải thiện đáng kể Định lý 2 trong [29].
Định lý 2.2.12. Cho (x, y, m, n) là nghiệm của phương trình (2.1), với y > x.
Thế thì,
(m − 1, n − 1) ≤ 33, 4m1/2 .
Chứng minh. Đặt d = (m − 1, n − 1). Áp dụng Bổ đề (2.2.6) với α = (m −
1)/(n − 1), ta được d ≤ 743

m−1
n−1

+


1
2

. Suy ra d2 ≤ d(n − 1) ≤ 1114, 5m , do đó

d ≤ 33, 4m1/2 .
Nhận xét. Định lý 2 trong [29] chỉ khẳng định rằng, tồn tại hằng số C sao cho
(m − 1, n − 1) ≤ Cm4/5 (log m)3/5 .


52
Hơn nữa, chứng minh của định lý kết hợp lý thuyết về dạng tuyến tính theo
logarithms cùng với chặn trên cho độ lớn các nghiệm của (2.1) bởi phương pháp
của Runge. Trái lại, chứng minh của Định lý (2.2.12) chỉ phụ thuộc ước lượng cho
dạng tuyến tính theo hai logarithms.
Định lý 2.2.13. Cho a > 1. Với y > x > 1 là các số nguyên sao cho x là ước
của y − 1, và y ≤ xa . Khi đó, nếu (x, y, m, n) là nghiệm của phương trình nguyên
(2.1) thì
n < m ≤ 14000a2 (log 3a)2 và x < n , y < na .
Chứng minh. Giả sử (x, y, m, n) là nghiệm của phương trình (2.1), với x < y ≤ xa
và y ≡ 1 (mod x). Từ (2.1) ta có xm (y − 1) − y n x + y n = y − x, lấy modulo x ta
được y n ≡ y (mod x), suy ra n ≡ 1 (mod x), do đó n > x và vì y ≤ xa nên suy ra
y < na . Đặt,
Λ := (y − 1) xm = (x − 1) y n − (x − y)
.
vì (y − 1) .. x nên Λ = (y − 1)xm = k.xm+1 , với k ∈ N∗ do đó vx (Λ) ≥ m + 1. Hơn
nữa, nếu x = 2 thì tùy theo 2

x hay không ta có


vx (Λ) ≤ vx/2 y n − 1 −

y−1
x−1

,

hoặc
vx (Λ) = vx y n − 1 −

y−1
x−1

.

Giả thiết của Bổ đề (2.2.8) thỏa mãn, suy ra với x > 2 thì
m+1≤

66, 8
log

x 4
2

n+1
x
x
max log
+ log log + 0, 64 ; 4 log
log y

2
2

2
2

(log y) .

Hơn nữa, ta có y ≤ xa ⇔ log y ≤ a log x và log x/ log x2 ≤ log 6/ log 3 ≤ 1, 631; vì
vậy ta có
m ≤ max 2843a2 ; 148 log2 m + 0, 64 a2 .
2

Suy ra m ≤ 14000a2 (log 3a) .
Nhận xét. Theo Định lý (2.2.13), cho a > 1, phương trình nguyên (2.1) có nhiều
nghiệm hữu hạn (x, y, m, n) với y ≤ xa và x | (y − 1).


Kết luận
Chương này chúng tôi đã bổ sung thêm một số khái niệm liên quan tới nội
dung của chương mà chưa được nêu ở chương một và nêu các Bổ đề bổ trợ; chứng
minh một số Bổ đề và các nhận xét được đưa ra. Đồng thời trình bày một cách hệ
thống một số kết quả về các phương trình nguyên

q n −1
q−1

= y và

xm −1

x−1

=

y n −1
y−1

đó là:

Trình bày các kết quả chính về hai loại phương trình nguyên nêu trên và chứng
minh chi tiết các kết quả đó. Cụ thể là các định lý: Định lý (2.1.3), Định lý (2.2.9),
Định lý (2.2.10), Định lý (2.2.11), Định lý (2.2.12), Định lý (2.2.13); và làm rõ các
kết quả này trong các trường hợp riêng.


Kết luận chung
Luận văn tập trung nghiên cứu về các phương trình nguyên
y n −1
y−1 .

q n −1
q−1

= y và

xm −1
x−1

=


Chương một chúng tôi đã trình bày một số kiến thức cơ bản làm cơ sở cho

việc hiểu nội dung chính được trình bày ở chương hai. Chương hai của luận văn
trình bày một cách hệ thống một số kết quả được trích dẫn và tập hợp từ các tài
liệu [15], [22] về các phương trình nguyên nêu trên, cụ thể:
Luận văn trình bày lại một cách chi tiết phép chứng minh các kết quả sau:
Định lý (2.1.3), Định lý (2.2.9), Định lý (2.2.10), Định lý (2.2.11), Định lý (2.2.12),
Định lý (2.2.13); và làm rõ các kết quả này trong các trường hợp riêng.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy
TS. Nguyễn Trọng Hòa, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế
nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Một lần nữa kính mong quý thầy,
cô, đồng nghiệp cùng bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!.


Tài liệu tham khảo
[1] Hà Huy Khoái (2005), Số học, Nhà Xuất Bản Giáo Dục.
[2] Hà Huy Khoái- Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội.
[3] Nguyễn Tiến Quang (2002), Cơ sở lý thuyết Trường và lý thuyết Galoa, NXB
Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Lý thuyết mở rộng trường và Galois, Giáo trình
điện tử.
[5] Andreescu Titu , Andrica Dorin, Number Theory Structures, Examples, and
Problems.
[6] Baker A. (1967), Simultaneous rational approximations to certain algebraic
numbers, Proc. Cambridge Phil. Soc., 63, 693-702, MR 35 #4167, Zbl
0166.05503.
[7] Baker A. and W¨
ustholz G. (1993), Logarithmic forms and group varieties, J.

Reine Angew. Math., 442, 19-62, MR 94i:11050, Zbl 0788.11026.
[8] Balasubramanian R. and Shorey T.N. (1980), On the equation a(xm − 1)/(x −
1) = b(y n − 1)/(y − 1), Math. Scand., 46, 177-182, MR 81m:10022, Zbl
0434.10013.
[9] Bennett M. (2001), Rational approximation to algebraic number of small
height: The Diophantine equation |axn − by n | = 1, J. Reine Angew Math.
535, 1-49.
[10] Bugeaud Y., Mignotte M. (1999), On integers with identical digits, Mathematika 46, 411–417.
55


56
[11] Bugeaud Y., Mignotte M., Roy Y., Shorey T.N. (1999), On the Diophantine
equation (xn − 1)/(x − 1) = y q , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 127,
353–372.
[12] Bugeaud Y., Mignotte M., Roy Y. (2000), On the Diophantine equation (xn −
1)/(x − 1) = y q , Pacific J. Math. 193 (2), 257–268.
[13] Bugeaud Y. (2002), Linear forms in two m-adic logarithms and applications
to Diophantine problems, Compositio Math., 132, 137-158.
[14] Bugeaud Y. and Shorey T.N. (2001), On the number of solutions of the generalized Ramanujan–Nagell equation, J. Reine Angew. Math., 539, 55-74, CMP
1 863 854.
[15] Bugeaud Y. and Shorey T.N. (2002), On the Diophantine equation
y n −1
y−1 ,

xm −1
x−1

=


Pacific Journal of Mathematics, Vol. 207, 61-74.

[16] Crescenzo P. (1975), A Diophantine equation arises in the theory of finite
groups, Adv, Math. 17, 25–29.
[17] Keith Conrad, Factoring in quadratic fields.
[18] Davenport H., Lewis D.J and Schinzel A. (1961), Equations of the form f (x) =
g(y), Quart. Jour. Math. Oxford, 2, 304-312, MR 25 #1152, Zbl 0121.28403.
[19] Goormaghtigh R. (1917), L’Interm´
ediaire des Math´
ematiciens, 24, 88.
[20] Hackman P. (2007), Elementary Number Theory, Hut, Hyfs och Hallning Productions.
[21] Hardy G.H., Wright E.M. (1962), An Introduction to Theory of Numbers,
Oxford University Press.
[22] Khosravi A., Khosravi B. (2003), On the Diophantine equation

q n −1
q−1

= y,

Comment . Math. Univ. Carolin, 1-7.
[23] Laurent M., Nesterenko Yu. and Mignotte M. (1995), Formes lin´
eaires en deux
logarithmes et d´
eterminants d’interpolation, J. Number Th., 55, 285-321, MR
96h:11073, Zbl 0843.11036.


57
[24] Ljunggren W. (1943), Noen setninger om ubestemte likninger av formen (xn −

1)/(x − 1) = y q , Norsk. Mat. Tidsskr. 25, 17–20.
[25] Maohua Le (1992), A note on the Diophantine equation axm −by n = k , Indag.
Math. (N.S.), 3, 185-191, MR 93c:11016, Zbl 0762.11012.
[26] Makowski M. and Schinzel A. (1959), Sur l’´
equation ind´
etermin´
ee de R. Goormaghtigh, Mathesis, 68, 128-142, MR 22 #9472, Zbl 0085.02902.
[27] Mignotte

M.

(1998),

A

corollary

to

a

theorem

of

Lau-

rent–Mignotte–Nesterenko, Acta Arith., 86, 215-225, MR 99i:11060, Zbl
0919.11051.
[28] Melvyn B. Nathanson (1999), Elementary Methods in Number theory.

[29] Nesterenko Yu. and Shorey T.N. (1998), On an equation of Goormaghtigh,
Acta Arith., 83, 381-389, MR 98m:11022, Zbl 0896.11010.
[30] Nagell T. (1920), Note sur l’equation ind´
etermin´
ee (xn − 1)/(x − 1) = y q ,
Norsk. Mat. Tidss kr. 2, 75–78.
[31] Saradha N., Shorey T.N. (1999), The equation (xn − 1)/(x − 1) = y q with x
square„ Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 125, 1–19.
[32] Shorey T.N. (2000), Exponential Diophantine equation involving product of
consecutive integers and related equations, (English) Bambah, R.P. (Ed.) et
al., Number theory; Basel, Birkh¨
auser, Trends in Mathematics, 463–495.
[33] Shorey T.N., Tijdeman R. (1976), New applications of Diophantine approximation to Diophantine equations, Math. Scand. 39, 5–18.
[34] Shorey T.N. (1986), Exponential Diophantine equations, Cambridge Tracts in
Mathematics 87, Cambridge University Press, Cambridge.
[35] Shorey T.N. (1986), On the equation axm −by n = k, Indag. Math., 48, 353-358,
MR 88a:11030, Zbl 0603.10019.
[36] Shorey T. N. and Nesterenko Y. (1996), Perfect powers in product of integers from a block of consecutive integers (II), Acta Arith., 76, 191-198,
MR97d:11005, Zbl 0859.11025.