Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán Lớp: 12

π

 π
2 sin  2 x + ÷ + 6 sin  x − ÷ = 1
Câu 1 . a) Giải phương trình
4

 4 .
( y − 2) x + 2 − x y = 0
(1)


x + 1 y + 1 = ( y − 3) 1 + x 2 + y − 3x (2)
b) Giải hệ phương trình 

(

c) Cho hàm số

( d)

y=

)

(

)

x +1
2 x − 1 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) của đồ thị ( C ) biết

cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm

A, B

sao cho

AB = 10.OA

(với

O là gốc tọa độ).

Câu 2.

1
a) Bạn An có một đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 3 và bạn Bình có một
2
đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 5 . Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò
chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa, ai được mặt ngửa trước thì thắng.


p
Các lần tung là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là q , trong đó
và

p

q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm q − p .

n

1 

 x+ 4 ÷
2
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 
2 x  biết rằng
nguyên dương thỏa mãn:

n

là số

AB = 3, BC = 7, CD = 11, DA = 9.

Tính

Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n .

Câu 3.
a) Trong không gian cho 4 điểm


uuur uuur
AC.BD.

b) Cho các số thực không âm

P=
thức
Câu 4:

1

( a + 1)

2

+

4

( b + 2)

2

+

a , b, c

A, B, C , D


thỏa mãn

thỏa mãn

a 2 + b2 + c 2 − 3b ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

8

( c + 3)

2

.

(4 điểm).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Cho hình chóp
vuông tại

C

S .ABC , có SA


(

AM = x, 0 ≤ x ≤ a 3

vuông góc với mặt phẳng

· = 300 .
AB = 2a, BAC

với

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

Gọi

M

( ABC ) , SA = 2a

và tam giác

là điểm di động trên

AC ,

đặt

) . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x . Tìm các giá trị của x để

khoảng cách này lớn nhất.


Lời giải



π

 π
2 sin  2 x + ÷ + 6 sin  x − ÷ = 1
Câu 1 . a) Giải phương trình
4

 4 .
Lời giải
Tác giả: Tạ Minh Trang; Fb: Minh Trang

π

 π
2 sin  2 x + ÷ + 6 sin  x − ÷ = 1
4

 4

⇔ sin 2 x + cos 2x − 1 + 3 ( sin x − cos x ) = 0
⇔ 2sin x cos x − 2sin 2 x + 3 ( sin x − cos x ) = 0
⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) + 3 ( sin x − cos x ) = 0

(


ABC

)

⇔ ( cos x − sin x ) 2sin x − 3 = 0
π

x
=
+ kπ

  π
4
sin x − ÷ = 0 
 cos x − sin x = 0  
4
π
⇔
⇔
⇔  x = + k 2π ( k ∈ ¢ )

3

3
 2sin x − 3 = 0

 sin x =

2
 x = 2π + k 2π

.

3
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm


x=

π
π
2π
+ kπ ; x = + k 2π ; x = + kπ ( k ∈ ¢ )
.
4
3
3

( y − 2) x + 2 − x y = 0
(1)


x + 1 y + 1 = ( y − 3) 1 + x 2 + y − 3x (2)

b) Giải hệ phương trình 

(

)

(


)

Lời giải
Tác giả: Đồng Anh Tú ; Fb: AnhTu

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

 x ≥ −1

y ≥ 0
 2
ĐK:  x + y − 3x ≥ 0

 a = x + 2

Đặt  b = y
, (a ≥ 1, b ≥ 0) , ta được

2
 x = a − 2

2

 y = b
. Khi đó phương trình

(1)

trở thành

( b − 2) a − b ( a − 2) = 0 ⇔ ab ( b − a ) + 2 ( b − a ) = 0 ⇔ ( b − a ) ( ab + 2) = 0 ⇔ a = b
2

2

ab + 2 > 0 ) nên

(do

x+1

(

Xét hàm số

Ta có

( x + 1) + 1 ) = ( x − 1)

(

f (t ) = t 1 + 1 + t


đồng biến trên

(3) ⇔ f

(

¡

2

(

)

( x − 1)

1+

2

+1

) (3)

) trên ¡ , ta có f ' ( t ) = 1+

1+ t +

t2


2

1+ t 2

> 0, ∀ t ∈ ¡

, do đó hàm

.

)

x + 1 = f ( x − 1) ⇔

x ≥ 1
⇔ 2
 x − 3x = 0 ⇔
Với

(

)

(

f ( t)

⇔ x + 2 = y ⇔ x + 2 = y . Thay vào phương trình (2), ta được

x + 2 + 1 = ( x − 1) 1 + x 2 − 2 x + 2


⇔ x + 1 1+

số

PT (1)

x ≥ 1
⇔
x + 1 = x − 1  x + 1 = x2 − 2x + 1

x = 3.

x = 3 ⇒ y = 5 , ta thấy x = 3, y = 5

thỏa mãn điều kiện .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

( x; y ) = ( 3;5) .

Nhận xét: Ta có thể biến đổi phương trình (1) đi theo hướng khác như sau:

Từ PT(2), ta có

y ≥ 3 , nên PT(1)

⇔

y− 2

x
=
y
x + 2 (4) , ta có đặt y − 2 = a ,

a
x
=
ta được a + 2
x + 2 , từ đây suy ra
ta được

a = x hay y = x + 2 .

c) Cho hàm số

y=

x > 0 . Xét hàm số

g ( t) =

a ≥ 1 thay vào (4),

t
t + 2 đồng biến trên [ 0;+ ∞ ) ,

x +1
2 x − 1 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến ( d ) của đồ thị ( C ) biết ( d )


cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm

A, B

sao cho

AB = 10.OA

(với

O là gốc tọa độ).

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Điều kiện xác định:

y′ =
Ta có
Tam giác

−3

( 2 x − 1)


OAB

2

x≠

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

1
2

< 0, ∀ x ≠

vuông tại

1
2 nên tiếp tuyến của ( C ) luôn có hệ số góc âm.

O mà AB = 10.OA từ đó ta có OB = 3OA .
OB

·

k = − tan OAB = −
= −3
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ( d ) . Khi đó ta có k < 0 nên
.
OA
Gọi


m là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( d )

với đồ thị

( C) .

m = 0
=
−
3
⇔
m = 1
2

Ta có ( 2m − 1)
.
−

+) Nếu

3

m = 0 , khi đó tiếp điểm của tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C ) là M ( 0; − 1) .

Phương trình của
+) Nếu

( d)

là:


y = − 3 ( x − 0 ) − 1 ⇔ y = − 3x − 1 .

m = 1 , khi đó tiếp điểm của tiếp tuyến ( d ) với đồ thị ( C ) là N ( 1;2 ) .

Phương trình của

( d)

là:

Vậy có hai tiếp tuyến của

y = − 3 ( x − 1) + 2 ⇔ y = − 3x + 5 .

( C)

cần tìm là

y = − 3x − 1 và y = − 3x + 5 .


Câu 2.

1
a) Bạn An có một đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 3 và bạn Bình có một
2
đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 5 . Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò
chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa, ai được mặt ngửa trước thì thắng.


p
Các lần tung là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là q , trong đó

q

là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm

p

và

q− p.

Lời giải
Giả sử bạn An thắng ở lần gieo thứ
lần

n , n ∈ ¥ , n ≥ 1 khi đó bạn An và bạn Bình tung đồng xu ở n − 1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019
n −1

n −1


n −1

 2  3 1 1  2
 ÷ × ÷ × = × ÷ .
trước đó đều là sấp, xác suất để điều này xảy ra là  3 
 5 3 3  5
Do

n có thể tiến tới dương vô cùng, vậy nên áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có xác suất để An

2
m
p 1  2  2
 2
= ×1 + +  ÷ + L +  ÷ + L
 5
thắng là: q 3  5  5 

2


;
 m ∈ N *

m

2  2
 2
S = 1+ +  ÷ + L +  ÷ + L

Trong đó
là tổng của cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu u1 = 1
5 5
 5
và công

bội

q0 =

2
5 nên

S=

1
1−

2
5

=

5
3

p 1 1
5
= .
=

q 3 1− 2 9
, suy ra
5

q = 9 ; p = 5 suy ra q − p = 9 − 5 = 4.

Từ đó

n

1 

x
+

÷
b. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức 
2 4 x  biết rằng
dương thỏa mãn:

n là số nguyên

Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n .
Lời giải

( 1+ x)

Xét khai triển

n


= Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + .... + Cnn− 1x n− 1 + Cnn x n

(1)

(n ∈ N * )

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có:

n ( 1+ x)

n−1

= Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x 2 + ... + (n − 1)Cnn −1 x n − 2 + nCnn x n−1

(2)

x = 1 vào (2) ta được:

Thay

n.2n−1 = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn

. Từ giả thiết

Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + ( n − 1) Cnn−1 + nCnn = 64n

64n = n.2n− 1 ⇔ 26 = 2n− 1 ⇔ 6 = n − 1 ⇔ n = 7

Ta có:


(thỏa mãn

n ∈ N * ).

7

1 

 x+ 4 ÷
Số hạng tổng quát của khai triển 
2 x  là:
T=C

Để

T

k
7

( x)

chứa

7−k

x

2


k

1 k 7 −2 k − k4 1 k 14−43k
 1 
.  4 ÷ = k C7 .x .x = k C7 .x
;0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N
2
2 x 2
ta cần tìm số

k

14 − 3k
= 2⇔ k = 2
sao cho 0 ≤ k ≤ 7, k ∈ N và
(thỏa mãn).
4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

1 2 21
.C =

Vậy hệ số của số hạng chứa x là: 2 2. 7 4 .
2

Câu 3.

A, B, C , D

a) Trong không gian cho 4 điểm

uuur uuur
AC.BD.

AB = 3, BC = 7, CD = 11, DA = 9. Tính

thỏa mãn

Giải
Ta có

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2 AC.BD = AB + BC + AD + DC .BD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD .BD + BC + DC .BD
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
= AB + AD . AD − AB + BC + DC . BC − DC

(
(
(


)
)(

)

(

) (

)

)(

)

= AD 2 − AB 2 + BC 2 − DC 2 .

Thay số vào ta được

uuur uuur
AC.BD = 0.

b) Cho các số thực không âm

P=
thức

1


( a + 1)

2

+

4

( b + 2)

Với mọi số thực dương

2

+

a, b, c

thỏa mãn

a 2 + b2 + c 2 − 3b ≤ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

8

( c + 3)

2

.
Lời giải


x, y, z, t , ta có:

2
2
64
 =
1 1 1 1 1  1 1 1 1
1
16
+ + + ≥  + + + ÷ ≥ 
÷ ( x + y + z + t) 2
x2 y 2 z 2 t 2 4  x y z t 
4 x+ y+ z+t 
.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

P=
Ta có:

1

( a + 1)

2

+

4


( b + 2)

2

+

x= y = z = t.

8

( c + 3)

2

=

4

( 2a + 2 )

2

+

4

( b + 2)

2


+

8

( c + 3)

2

 1
1
1
1 
= 4
+
+
+
2
2
2
2
 ( 2a + 2 ) ( b + 2 ) ( c + 3) ( c + 3) 
64
256
≥ 4.
=
2
2
( 2a + 2 + b + 2 + c + 3 + c + 3) ( 2a + b + 2c + 10 ) .
Theo giả thiết, ta có: a 2 + b 2 + c 2 − 3b ≤ 0 .

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:

0 < 2a + b + 2c + 10 = 2a + 4b + 2c + 10 − 3b

≤ ( a 2 + 1) + ( b 2 + 4 ) + ( c 2 + 1) + 10 − 3b = a 2 + b 2 + c 2 − 3b + 16

≤ 16

⇒ 0 < ( 2a + b + 2c + 10 ) ≤ 256
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

P≥
Suy ra:

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

256

( 2a + b + 2c + 10) ≥ 1 .
2

 2a + 2 = b + 2 = c + 3


⇔  a 2 + b 2 + c 2 − 3b = 0
a = c = 1
⇔
 a = 1; b = 2; c = 1
Dấu đẳng thức xảy ra

b = 2 .
Vậy

min P = 1 .

Bài tập tương tự: (Lê Cảnh Dương-sưu tầm).
Cho a,b,c là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện

a 2 + b2 + c2 ≤ 6b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

1

8

+

1

+

( a + b + c ) 2 ( b + 11) 2 ( c + 6 ) 2 .


Lời giải

P=
Ta có:

1

( a + b + c)

2

+

8

( b + 11)

2

+

1

( c + 6)

2

=

4


( 2a + 2b + 2c )

2

+

8

( b + 11)

2

+

4

( 2c + 12 )

2



1
1
1
1
= 4
+
+

+
2
2
2
2
 ( 2a + 2b + 2c ) ( b + 11) ( b + 11) ( 2c + 12 ) 
64
256
≥ 4.
=
2
2
( 2a + 2b + 2c + 2b + 22 + 2c + 12 ) ( 2a + 4b + 4c + 34 ) .
Theo giả thiết, ta có: a 2 + b 2 + c 2 − 6b ≤ 0 .
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:

0 < 2a + 4b + 4c + 34 = 2a + 10b + 4c + 34 − 6b

≤ ( a 2 + 1) + ( b 2 + 25 ) + ( c 2 + 4 ) + 34 − 6b = a 2 + b 2 + c 2 − 6b + 64

≤ 64

⇒ 0 < ( 2a + 4b + 4c + 34 ) ≤ 642
2

P≥
Suy ra:

256


( 2a + 4b + 4c + 34 )

2

≥

256 1
= .
642 16

 2a + 2b + 2c = b + 11 = 2c + 12
a = 1
 2 2 2

⇔  a + b + c − 6b = 0
⇔ b = 5
 a = 1; b = 5; c = 2
c = 2
Dấu đẳng thức xảy ra
.


Vậy

min P =

1
.
16


Câu 4:(4 điểm).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Cho hình chóp
tại

C

với

S .ABC , có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a

· = 300 . Gọi
AB = 2a, BAC
M

khoảng cách từ

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

S

đến


BM

theo

và tam giác

ABC

vuông

AC , đặt AM = x, ( 0 ≤ x ≤ a 3 ) . Tính

là điểm di động trên

a và x . Tìm các giá trị của x để khoảng cách này lớn nhất.
Lời giải

Cách 1

*) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên BM. Khi đó độ dài SH chính là khoảng cách từ S
đến BM.

SH ⊥ BM 
 ⇒ BM ⊥ ( SAH ) ⇒ BM ⊥ AH
Ta có: SA ⊥ BM 
.
Do đó hai tam giác

AHM


và

BCM

AH AM
AM .BC
=
⇒ AH =
.
đồng dạng nên BC BM
BM

2
0
2
2
AM = x, BC = AB.sin300 = a, BM = ( 2a ) + x − 2.2a.x.cos30 = 4a + x − 2 3ax
2

Mà

ax

⇒ AH =

4a 2 + x 2 − 2 3ax

; SH 2 = SA2 + AH 2 = a 2

5 x 2 − 8 3ax + 16a 2

x 2 − 2 3ax + 4a 2

5 x 2 − 8 3ax + 16a 2
⇒ SH = a
.
x 2 − 2 3ax + 4a 2
*) Do

SA cố định nên SH

lớn nhất khi và chỉ khi

AH

lớn nhất.

a2 x2
AH = 2
Ta có
x − 2 3ax + 4a 2 .
2

TH1:

x = 0 ⇒ AH = 0 .

a2
x ≠ 0 ⇒ AH =
a
a2

1− 2 3 + 4 2
TH2:
x
x .
2

Do đó AH lớn nhất khi và chỉ khi hàm số

f ( t ) = 4t − 2 3t + 1 nhỏ nhất, với
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

t=

a
3
t≥
x (
3 ).

Trang 8 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Mà

f ' ( t ) = 8t − 2 3 > 0, ∀t ≥


TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

3
3
t
=
3 , nên f ( t ) đạt giá trị nhỏ nhất tại
3 , tức là x = a 3 ,

AH = a 3 .

khi đó

Từ hai trường hợp trên ta kết luận được SH lớn nhất khi và chỉ khi

x= a 3.

Cách 2

Ta có

AC = AB.cos30o = a 3 .

Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ

(

)

S 0; a 3;2a .


Khi đó

(

M 0; a 3 − x;0

Oxyz

sao cho

(

)

C ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , A 0; a 3;0 ,

) . Ta có:

uuur
uuuur
BS = − a; a 3; 2a , BM = − a; a 3 − x;0
uuur uuuur
⇒  BS , BM  = − 2 3a 2 + 2ax; − 2a 2 ; − ax
uuur uuuur
 BS , BM 
5 x 2 − 8 3ax + 16a 2


⇒ d ( S ; BM ) =

=a
.
uuuur
x 2 − 2 3ax + 4a 2
BM

(

(

Từ đây, xét hàm số
giá trị lớn nhất tại
Cách 3: Dễ thấy

)

f ( x) =

(

)

)

5 x 2 − 8 3ax + 16a 2
x 2 − 2 3ax + 4a 2 với 0 ≤ x ≤ a 3 , ta suy ra được d ( S ; BM ) đạt

x= a 3.

SH ≤ SM ≤ SC ⇒ SH lớn nhất là SC , khi đó vị trí M trùng với C , tức là x = a 3 .


Đây là bài toán cực trị dừng lại ở mức trung bình và thường xuất hiện trong các đề thi học sinh
giỏi cấp tỉnh. Mời bạn đọc tham khảo các bài toán dưới đây.
Bài tập tương tự

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Cho hình chóp

S. ABCD

(

có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

)

TỔ 3- LẦN 1- HSG TỈNH BẾN TRE -2019

· = 600
BAC

cạnh

SA = a và vuông góc với


mặt phẳng ABCD . Gọi M là điểm di động trên đoạn AB và AM = x , 0 ≤ x ≤ a , K là hình
chiếu của S trên DM. Tính độ dài đường SK theo a và x. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn SK.
Đề thi HSG 11 THPT Nho Quan A, Ninh Bình năm 2018 – 2019
Cho hình chóp

S .ABCD

(

có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

)

SA = a

và vuông góc với

mặt phẳng ABCD . Gọi M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x , K là hình chiếu của S
trên DM. Tính độ dài đoạn SK theo a và x. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK.
Đề thi HSG 11 Nghệ An năm 2017 – 2018
Cho hình chóp

(

S. ABCD

)

SD = x 0 < x < a 3 . Tìm


có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

x theo a để tích SD.AC

SA = SB = SC = a.

đạt giá trị lớn nhất.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X

Đặt