Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

ĐỀ OLYMPIC KHỐI 11 CỤM TRƯỜNG
THPT THANH XUÂN – CẦU GIẤY –
THƯỜNG TÍN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
MÔN TOÁN
TIME: 120 PHÚT
Câu 1.

Câu 2.

Giải các phương trình sau:

1. [1D1-2.1-2]

1  3 sin 2 x  cos 2 x

2. [1D1-3.4-3]

9sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos2 x  8.

1) [1D2-2.2-2] Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn,
mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi
tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi?
2) [1D2-5.5-3] Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án
trả lời, trong đó có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để mỗi học sinh
làm bài thi trả lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi?

Câu 3.

10
 2  3x 
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Newton của biểu thức

n

C1  C22n 1  �  C2nn1  220  1
biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 2 n 1
.
Câu 4.

x + 7 - 5- x2
lim
x- 1
1. [1D4-2.3-3] Tính giới hạn sau x�1
.
ABC
2. [1D3-4.4-3] Cho tam giác
có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh
3

Câu 5.

rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá 60�.
Cho tứ diện ABCD
1) Gọi E , F , G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ACD, ABD .
 EFG  / /  BCD  .
a) [1H2-4.2-2] Chứng minh

b) [1H2-4.4-3] Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD .
2) Cho tứ diện ABCD . M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Kẻ qua M đường
thẳng d / / AB .

 ACD  .
a) Xác định giao điểm B ' của đường thẳng d và mặt phẳng

 ABD 
b) Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD cắt các mặt phẳng
 ABC 
và

MB ' MC ' MD '


1
AC
AD
theo thứ tự tại C ', D ' . Chứng minh rằng AB
.

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

AB
AC
AD



MB '
MC '
MD ' .


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI OLYMPIC KHỐI
11 CỤM TRƯỜNG THPT THANH
XUÂN – CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN
KHỐI 11

Câu 1.

Giải các phương trình sau:

1. [1D1-2.1-2]

1  3 sin 2 x  cos 2 x

2. [1D1-3.4-3]

9sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos2 x  8.

Lời giải
Tác giả :Nguyễn Phương Thu, FB: Nguyễn Phương Thu
Phản biện 1:Phạm Hoàng Điệp ;FB: Hoàng Điệp Phạm
Phản biện 2: Nguyễn Minh Đức; FB: Duc Minh.

1)

1  3 sin 2 x  cos 2 x � 3 sin 2 x  cos 2 x  1

�

3
1
1
� � 1
sin 2 x  cos 2 x   � sin �
2 x  � 
2
2
2
6� 2
�


� 
x  k
2 x     k 2
�
�
6

6
��
� � 2
 k ��
�


x
 k
�
2 x      k 2
� 3
�
6
� 6
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là:

x  k ; x 

2
 k ; k ��
3

2) 9 sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos 2 x  8
�  6 cos x  3sin 2 x    cos 2 x  9sin x  8   0

�  6 cos x  6sin x cos x    1  2sin 2 x  9sin x  8   0
� 6 cos x  1  sin x    2sin 2 x  9 sin x  7   0
� 6 cos x  1  sin x    sin x  1  2sin x  7   0
�  1  sin x   6 cos x  2sin x  7   0



Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

�
sin x  1
 1
��
6 cos x  2sin x  7  2 
�

 1 � x   k 2 ; k ��
2

 2

vô nghiệm vì có

a 2  b 2  6 2  22  7 2  c 2

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm là:
Câu 2.

x


 k 2 ; k ��
2


1) [1D2-2.2-2] Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn,
mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi
tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi?
2) [1D2-5.5-3] Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án
trả lời, trong đó có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để mỗi học sinh
làm bài thi trả lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi?
Lời giải
1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1
thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi
bì thư để gửi đi?
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan ; Fb: Nguyễn Loan.
Phản biện 1: Phạm Hoàng Điệp ;Fb: Hoàng Điệp Phạm.
Phản biện 2: Nguyễn Minh Đức; FB: Duc Minh.
4
Chọn 4 bì thư từ 11 bì thư: có C11 cách.
4
Chọn 4 tem thư từ 7 tem thư: có C7 cách.

Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừa chọn: có 4! cách.
Gửi 4 bì thư đã dán 4 tem thư cho 4 người bạn: có 4! cách.
4
4
Vậy có tất cả: C11.C7 .4!.4!  6652800 cách.

2) Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong
đó có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để mỗi học sinh làm bài thi trả
lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi?
Lời giải

Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm
Phản biện 1: Phạm Ngọc Hưng; Fb: Phạm Ngọc Hưng
Phản biện 2: Nguyễn Minh Đức; FB: Duc Minh.
1
3
Xác suất để một học sinh trả lời đúng 1 câu là 4 , trả lời sai 1 câu là 4 .
3

2

�1 ��3 � 45
C � �� �
�4 ��4 � 512 .
Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 3 câu là:
3
5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2
4

�1 ��3 � 15
C � �� �
�4 ��4 � 1024 .
Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 4 câu là:
4
5


5

1
�1 �
C � �
�4 � 1024 .
Xác suất để một học sinh trả lời đúng cả 5 câu là:
5
5

45
15
1
53



Vậy xác suất để một học sinh trả lời đúng ít nhất 3 câu là: 512 1024 1024 512 .
Câu 3.

10
 2  3x 
[1D2-3.2-3] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Newton của biểu thức

n

C1  C22n 1  �  C2nn1  220  1
biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 2 n 1
.
Lời giải

Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Phản biện: Nguyễn Văn Mến;FB: Nguyễn Văn Mến
Ta có
Do

C21n 1  C22n 1  �  C2nn 1  220  1 � C20n 1  C22n 1  �  C2nn 1  220

C20n 1  C21n1  C22n1  �  C2nn 1  C2nn11  C2nn31  C2nn31  �  C22nn11

.

.

2 n 1
 C20n 1  C21n 1  C22n 1  �  C2nn1  C2nn11  C2nn21  C2nn31  �  C22nn11 .
Suy ra (1  1)

� 22 n 1  2 �
220 � 2 2 n 1  221 � 2n  1  21 � n  10 .

T  C10k 210k  3 x   C10k 210 k 3k x k
Số hạng thứ k  1 trong khai triển là k 1
.
k

10
C10 310  59049
Theo yêu cầu đề bài suy ra k  10 . Vậy hệ số của x trong khai triển là 10
.


Câu 4.

lim

3

x  7  5  x2
x 1
.

1. [1D4-2.3-3] Tính giới hạn sau x�1
ABC có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh
2. [1D3-4.4-3] Cho tam giác
rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá 60�.
Lời giải

x  7  5  x2
lim
x 1
1. [1D4-2.3-3] Tính giới hạn sau x�1
.
3

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến.
Phản biện: Hồng Vân.

�3 x  7  2 2  5  x 2
x  7  5  x2
lim

 lim �

x �1
x �1 � x  1
x 1
x 1
�
3

Ta có

�
�
�
�


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

�
�
x 1
x2 1
 lim �

2
x �1
2

�
3
3
� x  1 �
� x  7  2. x  7  4 �  x  1 2  5  x
�
�
�



�
 lim �
x �1 � 3
� x7
�











�
�
�

�
�

�
� 1  1  7

2
2 �
 2. 3 x  7  4 2  5  x � 12 2 12
�
x 1

1

2. [1D3-4.4-3] Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh
rằng tam giác đó có 2 góc trong mà số đo không vượt quá 60�.
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Hồng Vân ; Fb: Hồng Vân
Phản biện : Trần Đại Lộ, Fb : Trần Đại Lộ
Gọi a; b; c lần lượt là độ dài 3 cạnh BC , CA, AB của tam giác ABC .
2
Không mất tổng quát giả sử 3 số a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi đó b  ac

Mà theo định lý cosin ta có

cos B 

a 2  c2  b2
a 2  c 2  ac
cos B 

2ac
2ac
nên

2ac  ac 1
cos B �

2ac
2
Mặt khác theo bất đẳng thức cauchy thì a  c �2ca nên
2

2

1
cos B �
2 nên 0� B � 60�
Do B là góc trong của một tam giác và
a �b �c �
A �B �C
�
�
�
2
c �b �a �
C �B �A
�
Hơn nữa từ b  ac ta suy ra �

Câu 5.


A �B �60�
�
�
C �B �60� hay ta có điều cần chứng minh.
Vậy �
Cho tứ diện ABCD
1) Gọi E , F , G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ACD, ABD .
a) Chứng minh

 EFG  / /  BCD  .

b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD .
2) Cho tứ diện ABCD .

M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Kẻ qua M đường thẳng d / / AB .
 ACD  .
a) Xác định giao điểm B ' của đường thẳng d và mặt phẳng

 ABD 
b) Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD cắt các mặt phẳng
 ABC 
và

MB ' MC ' MD '


1
AC
AD

theo thứ tự tại C ', D ' . Chứng minh rằng AB
.

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

AB
AC
AD


MB '
MC '
MD ' .

Lời giải


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

1) Gọi E , F , G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC , ACD, ABD .
 EFG  / /  BCD  .
a) Chứng minh
b) Tính diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My
Phản biện:Trần Trung; Fb: Trung Tran

Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan

a) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CD, DB .
AE AF 2

 � EF / / MN
Theo tính chất trọng tâm ta có AM AN 3
.
Ta có

MN � BCD 

nên

EF / /  BCD 

.
EG / /  BCD 

Chứng minh tương tự ta có
.
 EFG  / /  BCD  .
Từ (1) và (2) ta có
EF FG EG 2



b) Ta có MN NP MP 3 theo định lý Talet.

(1)

(2)

2 � S EFG  4
S MNP 9 (3) (Do tỉ số diện tích của hai tam giác đồng
� EFG : MNP theo tỉ số 3
dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng)
1 � S MNP  1
S DBC 4 . (4)
Mặt khác MNP : DBC theo tỉ số 2

SEFG 1
1
 � S EFG  SBDC
9
Từ (3) và (4) ta có SDBC 9
.
2) Cho tứ diện ABCD .
M là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Kẻ qua M đường thẳng d / / AB .
 ACD  .
a) Xác định giao điểm B ' của đường thẳng d và mặt phẳng


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

 ABD 
b) Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD cắt các mặt phẳng
 ABC 
và


MB ' MC ' MD '


1
AC
AD
theo thứ tự tại C ', D ' . Chứng minh rằng AB
.

c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

AB
AC
AD


MB '
MC '
MD ' .

T

Lời giải
Tác giả: Trần Mạnh Trung ; Fb: Trung Tran
PB: Nguyễn Phương Thu ; Fb: Nguyễn Phương Thu
PB: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan

a) Trong mặt phẳng
Trong mặt phẳng


Ta có

 BCD 

 ABE 

gọi

kẻ

BM �CD   E

.

MB '/ / AB  B ' �
AE 

d

.

B ' �d
�
� d � ACD    B '
�
�B ' �AE � ACD 

b) Trong mặt phẳng


 BCD 

gọi

CM �BD   F  , DM �BC   G

Trong mặt phẳng

 ACF 

kẻ

MC '/ / AC  C ' �AF 

.

Trong mặt phẳng

 ADG 

kẻ

MD '/ / AD  D ' �AG 

.

MB '/ / AB �

Ta có


MB '

.

MB ' ME S MCD


(1).
AB
BE S BCD

MC ' SMBD
MD ' SMBC

(2);

(3)
AC
S
AD
S

BCD

BCD
Tương tự ta có
.
MB ' MC ' MD ' S MCD  S MBD  S MBC




1
AB
AC
AD
S
(1)
(2)
(3)
ABC
Từ
,
và
Suy ra

MB ' MC '
�۳
AC
c) Ta có AB

MD '
AD

33

MB '.MC '.MD '
AB. AC. AD

1
MB '.MC '.MD '


27
AB. AC. AD .


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có

T

AB
AC
AD


�3 3
MB '
MC '
MD '

Đề THI OLYMPIC 11 - 2019 – TỔ 2

AB. AC. AD
�3 3
MB '.MC '.MD '

27. AB. AC. AD
3 3
AB. AC. AD

.

MB ' MC ' MD ' 1
ME MF MD 1


 �



AC
AD 3
BE CF DG 3 .
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi AB