SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC PHƢƠNG PHÁP GIÚP ĐỠ HỌC SINH YẾU
KÉM VỀ TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG TRÌNH TRONG CHƢƠNG TRÌNH
CƠ BẢN LỚP 10 BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh rất được Đảng và Nhà nước quan tâm.
Điều đó thể hiện trong mục tiêu cho ngành giáo dục “Xây dựng, đào tạo những con người
và thế hệ… có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức
khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác
phong công nghiệp…”(Nghị quyết TƯ 2 khoá VIII). Nhưng hiện nay, việc phát triển tư
duy sáng tạo hầu như chỉ chú trọng đến đối tượng học sinh các lớp chuyên-chọn mà chưa
quan tâm đúng mức đến đối tượng học sinh đại trà.
Về giải pháp để thực hiện tốt công tác phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Đảng
đã chỉ thị cho ngành Giáo dục: “Nghiên cứu, ứng dụng những phương thức và phương
pháp giáo dục mới ở tất cả các cấp học, bậc học sao cho giáo dục không chỉ là truyền thụ
mà quan trọng hơn là khơi dậy tính chủ động và tiềm năng sáng tạo to lớn trong mỗi người
nhằm phát triển toàn diện bản thân và đóng góp tốt hơn cho sự phát triển của Đất nước”.
Trong thực tế dạy học, nhiều giáo viên cũng có ý thức phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh nhưng chưa lựa chọn được phương pháp dạy học thích hợp nên hiệu quả của
công tác này chưa cao. Cụ thể với nội dung bài tập Hình học lớp 10 – Ban cơ bản, một chủ
đề có nhiều tiềm năng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh - khi dạy giải bài tập, giáo
viên thường áp đặt bằng cách đưa ra các cách giải có sẵn mà mình cho là hay, độc đáo và ít

chú ý đến việc phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình tìm tòi lời giải. Với cách
dạy đó học sinh sẽ thấy khó hiểu và khi gặp các bài tập hình học tương đối khó khác thì
học sinh hoặc không giải được hoặc chỉ áp dụng rập khuôn các cách giải đã học, và nếu
những cách giải đó không đưa đến kết quả thì học sinh thường không biết cách xoay xở
thế nào.
Như thế, phương pháp dạy học của những giáo viên đó không những không phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn chưa phát huy được tính tích cực, độc lập của
học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán và rộng hơn là giải quyết các nhiệm vụ học
tập vì “không thể dạy học sinh tư duy chỉ bằng cách trình bày cho học sinh biết cách tư
duy của người khác”. Trong trường hợp này, giáo viên chỉ coi trọng cung cấp kiến thức,
không quan tâm cung cấp tri thức phương pháp và rèn luyện khả năng học tập môn toán
cho các em.
2


Xuất phát từ thực tiễn và những vấn đề nêu trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Góp
phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc dạy học sinh
một số bài tập Hình học lớp 10 – Ban cơ bản.”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của
tư duy sáng tạo trong dạy học nội dung Hình học ở lớp 10 trường trung học phổ thông –
Ban cơ bản.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm rõ hơn khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng
tạo trong dạy học nội dung Hình học ở lớp 10 trường trung học phổ thông – Ban cơ bản.
- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập Hình học lớp 10 phù hợp với sự phát triển
tư duy sáng tạo của học sinh.
- Tiền hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính
hiệu quả của đề tài.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu hoạt động giải toán Hình học lớp 10 trường trung học phổ thông – Ban
cơ bản theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Nghiên cứu các biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học bài tập Hình học lớp 10
trường trung học phổ thông – Ban cơ bản nhằm phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu việc hình thành và phát triển một số yếu tố của tư duy sáng tạo trong
nội dung về dạy học bài tập Hình học lớp 10 trường trung học phổ thông – Ban cơ bản.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu Toán học; Phương pháp dạy học môn Toán và các
tài liệu khác liên quan đến đề tài.
Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận
văn, luận án, chuyên đề…).
5.2. Phương pháp thực nghiệm
3


Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy học
theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
6. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng chương trình và sách giáo khoa hiện hành, nếu xây dựng được
một hệ thống bài tập theo định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo và có phương pháp sử
dụng thích hợp đối với hệ thống bài tập này thì có thể chủ động góp phần nâng cao chất
lượng học toán và phát triển năng lực Toán học cho học sinh.
7. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, sáng kiến kinh nghiệm gồm 3
chương
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiển

Chương 2: Một số vấn đề dạy học giải bài tập Hình học theo định hướng bồi dưỡng
tư duy sáng tạo cho học sinh
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
8. Những đóng góp của sáng kiến kinh nghiệm
- Đề tài góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy sáng tạo và vai trò vị trí
của việc phát triển tư duy sáng tạo trong dạy học toán.
- Xác định được một số định hướng từ đó đề xuất các biện pháp dạy học theo hướng
bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Bổ sung, khai thác một số dạng bài tập BĐT có thể giúp học sinh rèn luyện kĩ
năng sáng tạo.
- Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông.

4


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN
1.1.Tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Khái niệm về tư duy
Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội. Người ta dựa vào tư duy để nhận
thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong
hoạt động thực tiển của mình.
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con người, nó
cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế luôn đặt ra những
vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận thức và giải quyết được. Muốn cải
tạo thế giới, con người phải đạt đến mức độ nhận thức cao hơn, nghĩa là phải tư duy.
Có rất nhiều cách định nghĩa về tư duy, sau đây là một số quan điểm:
- Theo tâm lí học, tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
- Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức

một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các
khái niệm, phán đoán, lí luận… Tư duy xuất hiện trong quá trình lao động sản xuất xã hội
của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên
hệ hợp quy luật của thực tại”
Tư duy thể hiện ở những khái niệm, phán đoán, suy luận.
Các thao tác của tư duy chủ yếu là: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa,
khái quát hóa. Theo từ điển triết học:” Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được
tổ chức một cách biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong
các khái niệm, phán đoán, lí luận … Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản suất
xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những
mối liên hệ hợp quy luật của thực tại. Cho nên, tư duy của con người đươc thực hiện trong
mối liên hệ chặt chẽ nhất với lời nói, và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong
ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hóa, phân tích và tổng
hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những
giả thiết, những ý niệm,… Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.

5


Khả năng phản ánh thực tại một cách khái quát của tư duy được biểu hiện ở khả
năng của con người có thể xây dựng những khái niệm chung, gắn liền với sự trình bày
những quy luật tương ứng. Khả năng phản ánh thực tại một cách gián tiếp của tư duy được
biểu hiện ở khả năng suy lí, kết luận logic, chứng minh của con người. Xuất phát từ chổ
phân tích những sự kiện có thể tri giác được một cách trực tiếp, nó cho phép nhận thức
được những gì không thể tri giác được nhờ các giác quan. Tư duy của con người được
nghiên cứu trong những lĩnh vực khoa học khác nhau và bằng những phương pháp khác
nhau”.
Từ các định nghĩa trên, ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực
thế giới khách quan;

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản
ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con người nhằm
phản ánh được đối tượng;
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo;
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính
này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người;
- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
- Tư duy của con người có liên hệ mật thiết với ngôn ngữ, kết quả của nó bao giờ
cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ;
1.1.2. Sáng tạo và quá trình sáng tạo
a) Khái niệm về sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất
hoặc tinh thần; hoặc sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị phụ thuộc,
gò bó vào cái đã có. Nội dung sáng tạo gồm hai ý chính: có tính chất mới (khác với cái cũ,
cái đã biết) và có lợi ích (tốt, có giá trị hơn cái cũ, cái đã biết).
Sáng tạo là năng lực đáp ứng một cách thích đáng nhu cầu tồn tại theo lối mới, năng
lực gây ra cái gì đó mới mẻ. Sự thích ứng như vậy, nếu co xu hướng nội tâm lí thì chủ yếu
liên quan đến cảm giác, phát hiện sự nảy sinh những ý và nghĩa trong quá trình hình thành
mục đích, nếu có xu hướng ngoại tâm lí thì mang những hình thức của các cấu trúc mới,
những quá trình hoặc sáng chế mới hoặc tiếp tục tồn tại.
6


Cái mới có thể là chủ quan, thí dụ: hình thức mới của bản thân, hoặc cấu tạo mới
gia nhập vào thế giới khách quan do hoạt động sáng tạo của con người.
Theo tính chất phân bố, các năng lực sáng tạo rất giống những biến cố nhân cách
thông thường. J.Gillord đã xác lập cấu trúc như sau: tính độc đáo, tính dễ dàng (ở phương
diện tư duy và biểu đạt), tính mềm mại thích ứng và tự nhiên, tính nhạy cảm đối với các
tình huống có vấn đề, các phẩm chất trí tuệ.
Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy

sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo
của tư duy thể hiện rõ ở nét ở khả năng tạo ra cái mới: phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra
hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ, cái
mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế
nào. Các khái niệm nhóm, vành, trường chẳng qua là một sự trừu tượng hóa, khái quát hóa
những đối tượng, những quan hệ và những tính chất đã thấy trên một tập hợp số. Nhưng
rõ ràng việc đi từ những tập hợp số tới các khái niệm nhóm, vành, trường là một sự sáng
tạo lớn. Tính sáng tạo có thể dẫn đến những suy nghĩ rất táo bạo, nhưng có căn cứ chứ
không phải là nghĩ liều, làm liều.
Sự sáng tạo là cần thiết cho bất kì lĩnh vực nào của xã hội loài người, sáng tạo
thường được nghiên cứu trên nhiều bình diện như một quá trình phát sinh ra cái mới, như
một kiểu tư duy, như một năng lực của con người và thậm chí như một hiện tượng tồn tại
trong sự tiến hóa của tự nhiên.
Từ những quan điểm trên, ta có thể quan niệm: Một quá trình tư duy được coi là
sáng tạo nếu nó tạo ra cái mới. Tuy nhiên cần chú ý là ta nhấn mạnh cái mới không có
nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy sinh và kế thừa từ cái cũ, hay nói cách khác
cái cũ đã chứa mầm mống nảy sinh cái mới. Vấn đề nhìn cái cũ như thế nào rất quan trọng.
Tuy nhiên nói “sáng tạo” là có tính tương đối. Một phát hiện có thể coi là sáng tạo
trong một hoàn cảnh nào đó, chưa chắc được coi là sáng tạo trong một tình huống, hoàn
cảnh khác. Một phát hiện có thể là sáng tạo với người này nhưng không phải mới mẻ với
người khác, sáng tạo ở thời điểm này nhưng không là sáng tạo ở thời điểm khác,…
Với nhận thức như trên, trong dạy học sáng tạo phải luyện tập cho học sinh thói
quen và khả năng biến đổi các sự vật, hiện tượng, quá trình. Đồng thời, đối với học sinh
phổ thông, sự sáng tạo đối với họ không nhất thiết đòi hỏi phải đưa ra cái mới đối với
7


nhân loại. Nếu họ đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc
lập những vấn đề đó để thu được cái mới mà họ chưa từng biết, hoặc thu được các kết
quả bằng những thủ pháp mới, các thao tác mới, các công cụ mới, thì đó chính là sự sáng

tạo.
b) Quá trình sáng tạo
Theo sự công nhận rộng rãi của nhiều nhà khoa học thì quá trình sáng tạo trải qua
bốn giai đoạn:
 Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể hoạt động tìm kiếm cách giải quyết vấn
đề, thu thập tài liệu, tìm hiểu các thông tin liên quan.
 Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết các vấn đề một
cách có ý thức bị ngừng lại, chỉ còn các hoạt động của tiềm thức, các hoạt động được bổ
sung cho vấn đề được quan tâm.
 Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng sáng” trực
giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo
là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải.
 Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, kiểm ta các luận
chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sự
sáng tạo mới được khẳng định.
Quá trình sáng tạo có một số đặc điểm sau:
- Là tiền đề chuyển tri thức và kỹ năng vào hoàn cảnh mới.
- Nhận ra vấn đề mới trong những điều kiện quen thuộc.
- Lựa chọn cách giải quyết tốt nhất trong từng hoàn cảnh nhờ khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau.
- Năng lực tìm kiếm và quyết định phương pháp giải quyết độc đáo trong khi đã
biết được nhiều phương pháp truyền thống.
- Tính kế hoạch, tỉ mỉ, chuyên cần,kiên định mục đích.
Trong quá trình sáng tạo toán học, thường xuất hiện những trạng thái hay tình
huống một tư tưởng nào đó đột nhiên “bừng sáng” trong đầu óc con người hoặc đặt con
người trong trạng thái “hứng khởi” cao độ, khi đó các tư tưởng hình như cứ theo nhau kéo
đến một cách dồn dập, những “ý hay”, theo cách nói của G.Polya, sẽ giúp họ đi đến những
kết quả mới.
8



1.1.3. Tư duy sáng tạo, các thành phần của tư duy sáng tạo
1.1.3.1. Tư duy sáng tạo
Là tư duy tạo ra được cái mới. tuy nhiên học sinh trong quá trình sáng tạo, tạo ra cái
mới không phải chủ yếu đối với xã hội mà đối với chủ quan mình, nhưng cái mới ấy đồng
thời cũng có ý nghĩa, bởi khi đó cá nhân được hình thành và biểu lộ.
Theo nhà tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tư duy
sáng tạo bởi mức độ cao của chất lượng hoạt động trí tuệ.
Như vậy, “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo
và có hiệu quả cao trong giải quyết vấn đề”.
Tùy vào mức độ tư duy, người ta chia nó thành: tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư
duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau. Đối với
chủ thể nhận thức, tư duy tích cực đặc trưng bởi sự khát vọng, sự cố gắng trí tuệ và nghị
lực còn tư duy độc lập thể hiện ở khả năng tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tự kiểm tra và
hoàn thiện kết quả đạt được. Không thể có tư duy sáng tạo nếu không có tư duy tích cực và
tư duy độc lập. Mặt khác, một số tác giả cho rằng:”Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê
phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt
khác nhau của tư duy sáng tạo”.
Khái niệm TDST có quan hệ hữu cơ với khái niệm tư duy tích cực và tư duy độc
lập. Krutecxki V.A cho rằng có thể biểu diễn quan hệ trên dưới dạng những vòng tròn
đồng tâm.

TDTC
TDST

TDDL

Để làm rõ mối quan hệ này, Krutecxki V.A đã giải thích bằng một ví dụ:
+ Một học sinh chăm chú nghe thầy giảng cách chứng minh định lí, cố gắng hiểu

được tài liệu. Ở đây cần nói đến tư duy tích cực.
9


+ Nếu giáo viên đáng lí giải thích, lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lí dựa theo
bài đọc trong sách giáo khoa, tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này cần
nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tư duy tích cực)
+ Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà học sinh đó chưa biết.
- Nhắc lại gồm những kỹ năng như gọi lại một sự kiện cơ bản (công thức, định lý,
các hằng đẳng thức…mà học sinh đã ghi nhớ trước đó) hoặc thể hiện một thuật toán đã
được học. Về bản chất, tư duy nhắc lại có tính tự động hoặc phản xạ.
- Hiểu (cơ bản) gồm việc hiểu các khái niệm toán cũng như nhận ra những áp dụng
của chúng vào các bài toán, các tình huống trong toán học cũng như trong cuộc sống.
- Phê phán là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá tất cả mọi khía cạnh của
tình huống hoặc bài toán. Tư duy phê phán cũng thể hiện qua việc học sinh có khả năng
đọc hiểu được bài toán, nhận ra giả thiết và các yêu cầu của bài toán, phân biệt giữa thông
tin cần thiết và thông tin thừa, nhận ra có những điều kiện không đủ hay thậm chí mâu
thuẩn, xác định tính hợp lý của lời giải… Mức độ tư duy này gồm các kỹ năng: tập trung
vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin
trong bài toán, nhớ và kết hợp với thông tin đã học. Tư duy phê phán có tính phân tích và
phản ánh.
- Sáng tạo là tư duy có tính phát minh, khởi đầu. Tư duy sáng tạo gồm các kỹ năng
như: tổng hợp các ý tưởng, tổng quát các ý tưởng và áp dụng các ý tưởng. TDST có tính
phát triển liên tục. Kiến thức đã biết được tổng hợp, kết hợp, tổng quát tạo ra các ý tưởng
mới. Các ý tưởng mới này được áp dụng, sau đó được phân tích, phê phán để xác định tính
hiệu quả của các ý tưởng mới và quá trình sáng tạo lại tiếp tục xảy ra.
Chính vì TDST có tính phát triển liên tục và mang đậm tính cá nhân (sáng tạo
đối với ai) nên việc rèn luyện và phát triển TDST cho học sinh là có cơ sở đúng đắn. Và
điều đó được các nhà giáo dục khẳng định: “sự sáng tạo là một phần của thế giới các kỹ

năng tư duy của mỗi con người và nó có thể được phát triển như các loại tư duy khác”.
1.1.3.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo
Qua nghiên cứu của các nhà tâm lí học, giáo dục học, các nhà khoa học giáo dục về
cấu trúc của TDST ta có thể thấy nổi bật lên 5 yếu tố đặc trưng cơ bản của TDST là:
- Tính mềm dẻo
10


- Tính nhuần nhuyễn
- Tính độc đáo
- Tính hoàn thiện
- Tính nhạy cảm vấn đề
a) Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các
hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các
phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này
sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
Tính mề dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của
hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan điểm này sang góc độ quan điểm khác, định nghĩa
lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới,
tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất
sự vật. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ
năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi,
có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm những phương pháp,
những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc,
nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo, do
đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà
thông qua đó rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy.

b) Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự
tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các
nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để
đánh giá sáng tạo.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các
ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc
đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn
thể hiện rõ nét ở hai đặc trưng sau:
11


- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải
pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề phải giải quyết,
người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác
nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu.
c) Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng.
- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng
như không có liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ hơn những giải pháp đã biết khác.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết
với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang
hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên
nhiều góc độ và tính huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều
phương án khác nhau và có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố
này có quan hệ khăng khít với các yếu tố như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo,
đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.

d) Tính hoàn thiện
Tình hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát
triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
e) Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề.
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu lôgic, chưa tối ưu từ đó có nhu
cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nói trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói
chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi. Trong học tập Toán mà cụ thể là trong
hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng
xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để
trình bày lời giải. Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của tư
12


duy sáng tạo. Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp
để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo của các em.
1.1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm vụ của
người giáo viên là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tượng và hiện tượng
trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển.
Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và định hướng
tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta củng cố lòng tin khi trong việc tìm tòi tạm thời
gặp thất bại, khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến
thành công là cố nhìn cho được mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng
nhiều càng tốt.
Tư duy sáng tạo là loại hình thức tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận
thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới, giải quyết vấn đề
theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng,

về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị. Muốn đạt được điều đó khi xem
xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía
cạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau,… như thế mới giải quyết vấn đề
một cách sáng tạo được. Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải
xem xét một cách đầy đủ với tất cả các tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật
trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức
tạp và muôn vẻ có nó với các sự vật khác. Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách sáng
tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau.
Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh hay nói
cách khác là rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện được tư duy
sáng tạo cho học sinh.
1.2. Tìm năng của Hình học trong việc bồi dƣỡng tƣ duy sáng tạo cho học sinh
Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà
trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức Toán học, mà còn luyện cho
học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo.

13


Các nhà tâm lý học cho rằng: “Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp
lôgic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được
các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ”.
Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sử dụng
hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu hiện ở các
mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài
toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các
khía cạnh khác nhau của một bài toán).
Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát
huy năng lực sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập
trong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tìm năng đó thông qua việc xây dựng

hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển
năng lực sáng tạo của mình.
Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thống bài tập
mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm
bồi dưỡng cho học sinh.
Có nhiều phương pháp khai thác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, để tạo ra
các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư
duy.
Ngoài ra tư duy hình học mang những nét đặc trưng quan trọng và cơ bản của tư
duy toán học. Việc phát triển tư duy hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí tưởng
tượng không gian, phát triển tư duy hình học luôn gắn liền với việc phát triển của phương
pháp suy luận; việc phát triển tư duy ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển tư duy đại số.
Như vậy để nâng dần cấp độ tư duy trong dạy học hình học, việc dạy học phải được chú ý
vào phát triển trí tưởng tượng không gian bằng các: giúp học sinh hình thành và tích lũy
các biểu tượng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các đối tượng hình học ở
các không gian khác nhau, biết đón nhận sự thay đổi của các biểu tượng không gian khi
thay đổi một số sự kiện.
1.3. Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, đề tài đã làm rõ các khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, nêu được
các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo, và vận dụng được tư duy biện chứng để phát
14


triển tư duy sáng tạo, đồng thời nêu được tiềm năng của nội dung bài tập Hình học lớp 10
trường trung học phổ thông – Ban cơ bản trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh.
Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài
tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích
thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống.


15


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THEO
ĐỊNH HƢỚNG BỒI DƢỠNG TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
2.1. Các định hƣớng xây dựng hệ thống bài tập có tiềm năng phát triển tƣ duy sáng
tạo cho học sinh
Hệ thống bài tập về nội dung Hình học lớp 10 trường trung học phổ thông – Ban cơ
bản được xây dựng dựa trên các định hướng sau:

 Định hƣớng 1: Các bài tập phải được xây dựng thành một hệ thống tối ưu các
bài toán có vấn đề, đảm bảo tạo ra khó khăn đúng mức đối với học sinh, gây cho học sinh
niềm tin ở khả năng và có hứng thú tham gia giải quyết.
Mức độ tích cực của học sinh trong giải quyết vấn đề phụ thuộc vào độ hấp dẫn và
lôi cuốn của vấn đề và cách thức dẫn dắt của giáo viên. Do đó, để học sinh có hứng thú,
động cơ tham gia một cách tích cực, độc lập vào quá trình hình thành tri thức, kĩ năng,
phương pháp… thì trước hết các bài tập đưa ra tốt nhất là các tình huống gợi vấn đề. Ở
một mức độ thấp hơn có thể hướng đến xây dựng hệ thống bài tập chủ yếu là các tình
huống có vấn đề, đảm bảo tạo ra khó khăn đúng mức đối với học sinh, gây cho học sinh
niềm tin ở khả năng có thể giải quyết được nếu chịu khó suy nghĩ, huy động kiến thức, kĩ
năng đã có của mình dưới sự dẫn dắt của giáo viên thông qua hệ thống câu hỏi.

 Định hƣớng 2: Hệ thống bài tập phải nâng dần trình độ tư duy toán học từ thấp
lên cao. Với định hướng này, các bài tập phải được phân loại từ dễ đến khó, từ đơn giản
đến phức tạp; luôn lưu ý đến mối quan hệ giữa suy đoán và suy diễn; đặc biệt quan tâm
các bài tập nhằm tập dượt cho học sinh toán học hoá các tình huống cụ thể.

 Định hƣớng 3: Hệ thống bài tập phải chứa đựng nhiều tiềm năng có thể khai
thác được nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn,
tính độc đáo) cho học sinh. Theo định hướng này, hệ thống bài tập phải đảm bảo tính đa

dạng về nội dung kiến thức, hình thức thể hiện, phương pháp giải quyết, khả năng vận
dụng và từ các bài tập đó bằng lối tư duy sáng tạo có thể tìm ra những điều mới mẽ, lý
thú….
2.2. Vấn đề 1: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán
Bài toán 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng sau:
16


a) d1 : x  y  4  0 , d2 : 2 x  y  5  0
 x  1  2t
 x  2  3t
b) d1 : 
; d2 : 
y  3t
 y  1  t

x  1 t
c) d1 : x  y  3  0 ; d 2 : 
 y  7  2t

d) d1 : 2 x  3 y  7  0 ; d 2 :

x 5 y  4

3
5

Hướng dẫn:
a) Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ phương trình

x  y  4  0
x  3

 M  3;1 .

2 x  y  5  0
y 1

b) Cách 1: Xét hệ phương trình
 x  1  2t
y  3t
1  2t  2  3t 
t  11



 M  23; 8 .





3

t


1

t

t


7
x

2

3
t



 y  1  t 
 x  1  2t
Cách 2: * 
 x  2 y  7  0 (khử t hoặc đường thẳng đi qua A 1;3 và
y  3t

vectơ pháp tuyến n  1;2  )
 x  2  3t
* 
 x  3 y  1  0 (khử t hoặc đường thẳng đi qua B  2; 1 và vectơ
 y  1  t

pháp tuyến n  1;3 )
Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
x  2 y  7  0
 x  23


 M  23; 8 .

x  3y 1  0
 y  8

c) Gọi M  x; y  , khi đó x, y thỏa hệ phương trình

x  y  3  0
x  2

 1  t   7  2t   3  0  t  1  
 M  2;5 .
x  1 t
y

5

 y  7  2t

d) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
17


2 x  3 y  7  0

x5 y  4
 3  5

2 x  3 y  7  0
x  2



 M  2;1 .
5 x  3 y  13  0
y 1

Nhận xét: Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có thể xuất hiện dưới 3 dạng
(tổng quát, tham số, chính tắc). Song ta dễ dàng có thể luân chuyển 3 dạng này cho nhau
nên trong các trường hợp, ta có thể chuyển các phương trình về dạng phương trình tổng
quát để tạo sự quen thuộc.
Bài toán 2: Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Ví dụ 2: Tìm điểm M  đối xứng với điểm M 1;2  qua đường thẳng

 : x  3y  5  0
Cách 1: Gọi H  x; y  là hình chiếu vuông góc của M trên 
Ta có vectơ chỉ phương của  là u   3;1 và MH   x  1; y  2 
Khi đó



3x  y  5
x  2
 MH .u  0
3  x  1   y  2   0

 H  2; 1






x  3y  5
 y  1
x  3y  5  0
H  
M  đối xứng với M qua  nên suy ra H là trung điểm của MM 
 xM   2 xH  xM  3
 M   3; 4  .

y

2
y

y


4

M
H
M


Cách 2: Gọi  đi qua M và vuông góc với  có phương trình 3x  y  5  0
Khi đó tọa độ giao điểm H của  và  là nghiệm của hệ phương trình
3x  y  5  0
x  2

 H  2; 1


x  3y  5  0
 y  1
M  đối xứng với M qua  nên suy ra H là trung điểm của MM 

 xM   2 xH  xM  3
 M   3; 4  .

 yM   2 yH  yM  4

Cách 3: Gọi M   x; y  là điểm đối xứng với M qua  và MM  cắt  tại H
Vectơ chỉ phương của  là u   3;1 và H là trung điểm của MM 

18


 MM    x  1; y  2 

Suy ra   x  1 y  2 
;
H 

2 
  2

Khi đó

3  x  1   y  2   0
 MH .u  0
3x  y  5

x  3


  x 1


 M   3; 4  .

y2
x

3
y

15
y


4
H



3

5

0






2
 2
2.3. Vấn đề 2: Xây dựng hệ thống bài tập gốc giúp học sinh quy lạ về quen
Bài toán gốc: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I  5;2  và đường thẳng

 : 2 x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MI  5 .

I (5;2)

M

:2x-y+3=0

Cách 1:
+ Vì M   nên M  t;2t  3
+ Ta có: MI  5  MI 2  25   t  5   2t  1  25  5t 2  6t  1  0
2

2

t  1  M 1;5 

 1
 1 17  .
t M ; 
 5
5 5 

Cách 2:
+ Có MI  5 nên M thuộc đường tròn  C  tâm I bán kính R  5 có phương trình

 x  5   y  2 
2

2

 25

+ M   nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

 x  1; y  5  M 1;5 


2 x  y  3  0


1
17
2
2
 1 17  .
x

;
y


M

x

5

y

2

25





 ; 


5
5
5 5 

Nhận xét:
19


* Với cách 1 ta không cần quan tâm tới bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng
và đường tròn (đề cập ở cách 2) và giải theo phương pháp đại số thông thường.
* Với cách 2 ta thấy rõ hơn bản chất của bài toán (điểm cần tìm là giao của đường
thẳng và đường tròn).
* Cách 1 và cách 2 là hai cách trình bày khác nhau của cùng một phương pháp thế

trong giải hệ phương trình.
* Tùy vào dữ kiện của bài toán, có thể linh hoạt trình bày theo cách 1 hoặc cách 2.
Mở rộng bài toán:
Như vậy để chuyển các bài toán về bài toán trên, ta cần chỉ được hai điều:
+ Điểm cần tìm đang thuộc một đường thẳng đã biết phương trình.
+ Điểm cần tìm cách một điểm đã biết tọa độ một khoảng không đổi.
Vì vậy để có được điều này, ta cần trả lời các câu hỏi:
- Chùm câu hỏi 1: Điểm cần tìm thuộc đường nào? Đường đó đã biết phương trình
chưa? Nếu chưa thì có viết được không? Viết bằng cách nào?
- Chùm câu hỏi 2: Điểm cần tìm cách một điểm cho trước (đã biết tọa độ) một
khoảng cách bằng bao nhiêu? Cắt nghĩa dữ kiện của bài toán như thế nào để tính được
khoảng cách đó?
Cách ra đề 1: Cho biết M thuộc đường thẳng  và điểm I cho trước, độ dài IM
đề bài không cho. Cần “cắt nghĩa” các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đoạn IM .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và
đường thẳng d : x  y  3  0 . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm
M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn  C  , tiếp xúc ngoài với đường tròn  C  .
I
A

M

Phân tích
20

d


* M d : x  y  3  0


 I 1;1
* C  : 
và khai thác dữ kiện suy ra MI  3R  3  chuyển về bài toán gốc.
 R  1
Giải
+ Đường tròn  C  có tâm I 1;1 và bán kính R  1
+ Gọi A là điểm tiếp xúc ngoài của đường tròn tâm M và đường tròn  C 
Suy ra MI  MA  AI  2R  R  3R  3
+ Gọi M  t; t  3  d
Khi đó MI  3  MI 2  9   t  1   t  2   9  t 2  t  2  0
2

2

t  1  M 1;4 

.
t  2  M  2;1
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 và đường tròn

C  : x2  y 2  4x  2 y  0

. Gọi I là tâm của  C  , M là điểm thuộc  . Qua M kẻ các

tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác
MAIB có diện tích bằng 10.

A

M


I

B
Phân tích
* M d : x  y  3  0
* SMAIB  2SMIB  BI .MB  5.MB  10

 MB  2 5  MI  5  chuyển về bài toán gốc.
Giải
+ Đường tròn  C  có tâm I  2;1 và bán kính R  IB  5
21


+ Vì MA và MB là các tiếp tuyến
SMAIB  2SMIB  BI .MB  5.MB  10  MB  2 5  MI  MB 2  IB 2  5

+ Gọi M  t; t  2   
Khi đó MI  5  MI 2  25   t  2    t  3  25  t 2  t  6  0
2

2

t  2  M  2; 4 

.
t  3  M  3;1
Cách ra đề 2: Cho biết M cách I (đã biết tọa độ) một khoảng không đổi. Cần
dựa vào các dữ kiện bài toán để viết phương trình đường thẳng đi qua M .
Ví dụ 5: Cho hai điểm A  2;0 , B  6;4  . Viết phương trình đường tròn  C  tiếp

xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C  đến B bằng 5.

B
I

O

x

A

Phân tích
* Muốn viết phương trình đường tròn  C  cần tìm tọa độ tâm I và bán kính
R  IA .

* I cách B một khoảng không đổi IB  5 .
* Đường tròn  C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A nên I thuộc đường thẳng đi
qua A và vuông góc với trục hoành.
Như vậy việc tìm điểm I được chuyển về bài toán gốc.
Giải
+ Đường tròn  C  tiếp xúc với trục hoành tại điểm A nên IA  Ox , suy ra phương
trình IA : x  2
+ Gọi I  2; t   IA , khi đó

t  1  I  2;1
2
2
IB  5  IB2  25  42   t  4   25   t  4   49  
.
t  7  I  2;7 

22


+ Với I  2;1 thì bán kính R  IA  1 , suy ra phương trình đường tròn:

 x  2

2

  y  1  1
2

+ Với I  2;7  thì bán kính R  IA  7 , suy ra phương trình đường tròn:

 x  2

2

  y  7   49
2

Ví dụ 6: Cho đường tròn  C  :  x  2   y 2 
2

4
và hai đường thẳng 1 : x  y  0 ,
5

2 : x  7 y  0 . Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn  C1  ; biết đường tròn


 C1 

tiếp xúc với các đường thẳng 1 ,  2 và tâm K thuộc đường tròn  C  .

2

(C)
I

K

(C1 )
1

Phân tích
*  C1  tiếp xúc 1 , 2  K thuộc đường phân giác của góc tạo bởi 1 ,  2 .
* K   C   IK  R 

2 5
 chuyển về bài toán gốc.
5

Giải
+ Đường tròn  C  có tâm I  2;0  và bán kính R 

2 5
5

+  C1  tiếp xúc 1 , 2  K thuộc đường phân giác của góc tạo bởi 1 ,  2
Khi đó gọi K  x; y   d  K , 1   d  K , 2 



x y
2



x  7y
5 2

2 x  y  0

x  2y  0

+ Với đường phân giác d1 : 2 x  y  0 . Gọi K  t; 2t   d1

23


Vì K   C   IK 

2 5
4
4
2
 IK 2    t  2   4t 2  (vô nghiệm)
5
5
5


+ Với đường phân giác d2 : x  2 y  0 . Gọi K  2t; t   d 2
Vì K   C   IK 
t 

2 5
4
4
2
 IK 2    2t  2   t 2   25t 2  40t  16  0
5
5
5

4
8 4
 K ; 
5
5 5

Bán kính đường tròn  C1  là d  K , 1  

2 2
.
5

2.4. Vấn đề 3: Sáng tạo và phát triển từ các bài toán hình học phẳng thuần túy
Bài toán (*): Cho tam giác ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và
AB ; D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B của tam giác ABC . Chứng minh rằng

tứ giác MEND nội tiếp đường tròn.

A
E
N

C

B
M

D

Giải
+ Ta có NAE  NEA (vì EN là trung tuyến của tam giác vuông AEB )
MNE  NEA (do MN / / AC )
 NAE  MNE (1)

+ Mặt khác E , D cùng nhìn AB với một góc vuông nên ABDE nội tiếp đường tròn
Khi đó NAE  EDM (cùng bù với BDE ) (2)

Từ (1)(2) suy ra MNE  EDM , do đó MEND nội tiếp đường tròn.
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có B  1;4  . Gọi
D, E  1;2  , N lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , chân đường cao kẻ từ B và trung

24


điểm cạnh AB . Biết I   ;  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN . Tìm
 2 2
3 7


tọa độ đỉnh C của tam giác ABC .
A
E
N

C

B
M

D

Phân tích:
* Với dữ kiện của bài toán ta dễ dàng viết được phương trình cạnh AC (đi
qua E và vuông góc với BE ).
* Ta sẽ mượn C  AC để tham số hóa điểm M và sử dụng kết quả bài toán
(*), khi MEND nội tiếp đường tròn ta được IM  IE  R . Từ đây ta sẽ suy ra được
tọa độ điểm C .
Giải
+ BE có phương trình x  1 , khi đó AC đi qua E  1;2  và vuông góc với
BE có phương trình y  2

t 1 
;3 
 2


+ Gọi M là trung điểm của BC và gọi C  t;2   AC  M 

Theo kết quả bài toán (*), ta có MEND nội tiếp đường tròn nên:

t 2 1 1  3
IM  IE  R  IM  IE  
      
 2   2  2  2
2

2

2

2

2

2

t  1  C 1;2 

.
t  5  C  5;2 

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không vuông và
đường thẳng  : 2 x  y  2  0 . Giả sử D  4;1 , E  2; 1 , N 1;2  theo thứ tự là chân
đường cao kẻ từ A , chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB . Tìm tọa độ
25