Sáng kiến kinh nghiệm

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA
SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

Bộ môn : Toán

Năm học 2016 - 2017

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 4
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................... 88
1.1. Khái niệm năng lực toán học ............................................................................ 8
1.2. Một số biểu hiện năng lực giải Toán của học sinh ............................................. 9
1.2.1. Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới
............................................................................................................................ 9
1.2.2. Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc ........... 10
1.2.3. Có khả năng nhìn nhận đối tƣợng dƣới các khía cạnh khác nhau ............. 10
1.2.4. Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết
một vấn đề ........................................................................................................ 11
1.2.5. Có khả năng tìm đƣợc nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho 12
1.2.6. Có khả năng tìm đƣợc cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho ............. 12
1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải Toán Giải tích ....................................... 12
1.3.1. Sai lầm khi biến đổi công thức ................................................................. 12
1.3.2. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.................................................. 13
1.3.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai .......................................... 13
1.3.4. Sai lầm khi giải Toán liên quan tới đạo hàm ............................................ 13

1.3.5. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến ..................................... 13
1.3.6. Sai lầm khi xét các đƣờng tiệm cận của đồ thị.......................................... 13
1.3.7. Sai lầm khi giải Toán Nguyên hàm – Tích phân....................................... 13
1.4. Thực trạng sai lầm trong giải Toán của HS ở trƣờng THPT ............................ 14
1.4.1. Những sai lầm chủ yếu ghi nhận từ HS .................................................... 14
1.4.2. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm .................................................................. 15

1


1.4.2.1. Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán
học .................................................................................................................... 15
1.4.2.2. Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý .......................................... 15
1.4.2.3. HS không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán cơ bản .................. 15
1.5. Kết luận Chƣơng 1 ......................................................................................... 16
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS
THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC
GIẢI TÍCH 12 ........................................................................................................... 17
2.1. Nội dung chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ............. 17
2.2. Một số khó khăn của HS trong nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ
thị hàm số .............................................................................................................. 19
2.3. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ..................................................................... 19
2.3.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số .............................................. 19
2.3.2. Sai lầm khi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .................. 22
2.4. Nội dung chủ đề Nguyên hàm – Tích phân .................................................... 23
2.5. Một số khó khăn của HS trong nội dung Nguyên hàm – Tích phân ................ 26
2.6. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Nguyên hàm –
Tích phân ............................................................................................................. 26
2.6.1. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản .................................... 26

2.6.2. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm ........................................ 27
2.6.3. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân ......................... 28
2.6.4. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân ............................................... 29
2.6.5. Sai lầm khi dùng phƣơng pháp đổi biến số ............................................ 29
2.6.6. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số ........................................ 30

2


2.7. Biện pháp thực hiện ....................................................................................... 31
2.7.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà HS thiếu hụt………..31
2.7.2. Rèn luyện cho HS về mặt tƣ duy, kĩ năng, phƣơng pháp ...................... 31
2.7.3. Đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy năng lực tự học,
sáng tạo của HS ................................................................................................ 31
2.7.4. Phân dạng bài tập và phƣơng pháp giải ................................................. 32
2.8. Kết luận chƣơng 2 ......................................................................................... 32
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................. 33
3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 33
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm............................................................... 333
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................. 33
3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................ 33
3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................ 33
3.3. Đánh giá thực nghiệm ................................................................................... 33
3.3.1. Đánh giá về mặt định tính ...................................................................... 33
3.3.2. Đánh giá về mặt định lƣợng ................................................................... 33
3.3.3. Giáo án thực nghiệm .............................................................................. 34
3.4. Kết luận Chƣơng 3 ......................................................................................... 37
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 38


3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ở trƣờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh,
có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải
Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trƣờng phổ thông. Các bài toán là
phƣơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đƣợc trong việc phát triển tƣ duy, hình
thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục
đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải Toán có
vai trò quyết định đối với chất lƣợng dạy học môn Toán.
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lƣợng dạy học Toán ở trƣờng phổ thông
có lúc, có chỗ còn chƣa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn
hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan
trọng là giáo viên chƣa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa
chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán, do vậy ở học sinh nhiều
khi thƣờng gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Các công trình nghiên cứu đề cập đến sai lầm của học sinh trong giải Toán
còn tƣơng đối ít. Trong quá trình giảng dạy Toán, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn
bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực giải Toán: Nhìn các đối tƣợng toán học
một cách rời rạc, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh
hoạt trong điều chỉnh hƣớng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập
khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới,
điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh chƣa có tính độc đáo
khi tìm lời giải bài toán.
Tôi thấy rằng nội dung môn Toán Giải tích lớp 12 (chƣơng trình chuẩn) là
phần kiến thức quan trọng trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Những sai
lầm của HS khi học về chủ đề này tƣơng đối đa dạng nhƣ: sai lầm về phân chia các
trƣờng hợp riêng, ngôn ngữ diễn đạt, các sai lầm liên quan đến tƣ duy, suy luận….

Do vậy, việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh là một yêu cầu cấp bách.

4


Vì những lý do trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện
năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm
trong dạy học Giải tích 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS khi giải Toán – Giải tích 12, đồng
thời đề xuất các giải pháp sƣ phạm để hạn chế và sửa chữa sai lầm này, nhằm rèn
luyện năng lực giải Toán cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán
trong các trƣờng trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực giải Toán
cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích
12.
- Làm rõ thực trạng của việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông
qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.
- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm với các tình huống điển hình để rèn
luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm
trong dạy học Giải tích 12.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả của
các biện pháp đƣợc đề xuất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát
hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc

phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12 (chƣơng trình chuẩn), ở
trƣờng trung học phổ thông Nguyễn Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận

5


- Nghiên cứu các tài liệu về chủ trƣơng của Bộ giáo dục trong công tác giáo dục,
Luật giáo dục và các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, phƣơng pháp dạy học môn
Toán.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bồi dƣỡng giáo viên, các
báo, tạp chí về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh
trung học phổ thông.
- Nghiên cứu các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài.
5.2. Phƣơng pháp chuyên gia
- Trao đổi, tham khảo ý kiến với các chuyên gia trong lĩnh vực mà bản thân
nghiên cứu để có những định hƣớng cho việc nghiên cứu đề tài.
- Trao đổi với các giáo viên dạy học môn Toán lớp 12 về phát hiện và sửa
chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.
5.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Sử dụng một số biện pháp phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS trong dạy học Giải
tích 12 đã biên soạn để tiến hành thực nghiệm sƣ phạm. Qua đó giúp học sinh rèn
luyện năng lực giải Toán. Việc này đƣợc kiểm chứng khi dạy một lớp thực nghiệm
và một lớp đối chứng ở trƣờng trung học phổ thông. Sau đó đánh giá tính hiệu quả
của đề tài qua phiếu lấy ý kiến học sinh, kết quả bài kiểm tra khảo sát sau tiết học.
Đây là phƣơng pháp quan trọng để đánh giá tính đúng đắn của cơ sở giả thuyết khoa
học và mức độ đạt đƣợc của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định và thực hiện đƣợc một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho

học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12
một cách khoa học và có tính khả thi sẽ phát huy tốt hơn tính tích cực chủ động học
tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở các trƣờng
trung học phổ thông.
7. Những đóng góp của sáng kiến kinh nghiệm
- Góp phần hoàn thiện cơ sở lý luận của việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học
sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

6


- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông
qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông
qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và kèm theo 4 Phụ lục.

7


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm năng lực toán học
Theo V. A. Krutecxki năng lực toán học đƣợc hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trƣờng phổ thông, nắm một cách

nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động
sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội
loài ngƣời.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng
tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học một cách độc lập
và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con
đƣờng, các phƣơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các
công thức, khám phá ra các phƣơng pháp giải độc đáo cho những bài toán không
mẫu mực ... Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ. Với việc nghiên cứu khái
quát, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo góc độ thứ nhất:
- Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là các
đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc
nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tƣơng đối
nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học.
- Những năng lực học toán đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân
(trƣớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán
học, và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau thì là nguyên nhân của sự thành
công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tƣ cách là một môn học,
đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
trong lĩnh vực toán học.

8


Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh
trong việc học toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm đƣợc chƣơng
trình trung học, nhƣng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua học sinh
khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi, các năng lực này

không phải bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập
để nắm đƣợc hoạt động tƣơng ứng.
1.2. Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh
Năng lực góp phần rèn luyện và phát triển nhân cách cũng nhƣ các năng lực
trí tuệ cho học sinh; bồi dƣỡng hứng thú và nhu cầu học tập, khuyến khích học sinh
say mê tìm tòi, sáng tạo.
Trên cơ sở cho học sinh làm quen với một số hoạt động sáng tạo nhằm rèn
luyện năng lực, giáo viên đƣa ra một số bài tập có thể giúp học sinh vận dụng sáng
tạo nội dung kiến thức và phƣơng pháp có đƣợc trong quá trình học tập, mức độ
biểu hiện của học sinh đƣợc sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Đối với học sinh phổ
thông có thể thấy các biểu hiện của năng lực giải toán trong việc giải bài tập giải
tích 12 qua các khả năng sau.
1.2.1. Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn
cảnh mới
Khả năng này thƣờng đƣợc biểu hiện nhiều nhất nên trong quá trình dạy học
giáo viên cần quan tâm phát hiện và bồi dƣỡng khả năng này. Khả năng áp dụng các
thuật giải đã có sẵn để giải một bài toán mới, hay vận dụng trực tiếp các kiến thức,
kỹ năng đã có trong một bài toán tƣơng tự hoặc đã biết là khả năng mà tất cả học
sinh đều phải cố gắng đạt đựợc trong học toán. Biểu hiện năng lực giải toán của học
sinh ở khả năng này đƣợc thể hiện là: với nội dung kiến thức và kỹ năng đã đƣợc
học, học sinh biết biến đổi những bài tập trong một tình huống cụ thể hoàn toàn mới
nào đó về những cái quen thuộc, những cái đã biết để áp dụng vào giải một cách dễ
dàng, từ đó học sinh thể hiện đƣợc năng lực của bản thân khi giải những bài toán
đó.
Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau y  x4  2 x 2  1 .
9


Giải: TXĐ: D 


. Ta có y '  4 x3  4 x .

x  0
y '  0  4 x3  4 x  0   x  1
 x  1
Bảng biến thiên:
x


–

y'
y

–1
0

+

0
+

+

1
–

0

0


+

+

1

0
Hàm số đồng biến trong từng khoảng (-1; 0); (1; +  ).
Hàm số nghịch biến trong các khoảng (   ; -1); (0; 1).
1.2.2. Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc
Khi đứng trƣớc một bài tập học sinh nhận ra đƣợc vấn đề mới trong các điều kiện,
vấn đề quen thuộc; phát hiện ra chức năng mới trong những đối tƣợng quen thuộc,
tránh đƣợc sự rập khuôn máy móc, dễ dàng điều chỉnh đƣợc hƣớng giải quyết trong
điều kiện mới, đây cũng là biểu hiện tạo điều kiện để học sinh rèn luyện tính mềm
dẻo của năng lực giải toán.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y  x3  x2  3x  10 luôn tăng trên
Giải: TXĐ: D 

.

. Ta có y '  4 x3  4 x

 '  8  0
  y '  0, x  . Vậy hàm số luôn tăng trên
a 30 

.

1.2.3. Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác nhau

Mỗi khi học sinh cố gắng làm các bài toán mà lại thất bại, thông thƣờng học
sinh sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hƣớng suy nghĩ
hay cách nhìn khác. Tuy nhiên, một thất bại mà học sinh đã nếm trải sẽ chỉ có ý
nghĩa nếu nhƣ học sinh không quá coi trọng phần kém hiệu quả của nó. Thay vào
đó, học sinh nếu biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng nhƣ các yếu tố liên quan,

10


và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó nhƣ thế nào để đạt đƣợc kết quả
mới.
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  f  x    x3   2m  1 x2   m  5 x  1 đạt
cực trị tại x  1 .
2
. Ta có y '  3x  2  2m  1 x   m  5 .

Giải: TXĐ: D 

Hàm số đạt cực trị tại x  1  f ' 1  0  m  2 .
Thử lại, với m  2 .

x  1
y '  3x  10 x  7 . Cho y '  0  
x  7
3

2

Bảng biến thiên:
x




y/
y

7
3

1
-

0

+

0

+

+
-

CĐ



CT

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . (thỏa điều kiện bài toán)

Kết luận: Với m  2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .
1.2.4. Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải
quyết một vấn đề
Đứng trƣớc một bài tập toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh phải
vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phƣơng pháp, cách giải khác nhau.
Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức và phƣơng pháp đó, huy
động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗ lực, phát huy năng
lực giải toán của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề.

11


1.2.5. Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã
cho
Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trƣớc những bài toán có những đối
tƣợng, những quan hệ có thể xem xét dƣới nhiều khía cạnh khác nhau. Đứng trƣớc
những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lực chuyển từ hoạt động
trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lực nhìn một đối tƣợng toán
học dƣới nhiều khía cạnh khác nhau.
1.2.6. Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho
Có những bài toán các yếu tố trong đó hiện lên một cách trực tiếp qua
ngôn ngữ của đề bài nhƣng cũng có những bài toán yếu tố đƣợc ẩn ngầm dƣới
cách diễn đạt không dễ phát hiện, thậm chí là một cách đánh lừa khả năng tƣ duy
của học sinh, khi giải bài toán nếu nhìn ra trọng tâm yêu cầu của bài toán, phát hiện
cái mới, khác lạ, không bình thƣờng trong quá trình làm bài học sinh sẽ thể hiện ra
năng lực giải toán.
1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải Toán Giải tích 12
Chƣơng trình toán Giải tích 12 bao gồm những nội dung và kiến thức cơ bản
là HS tiếp thu đƣợc về kiến thức đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm và
vẽ đồ thị hàm số, hoặc nghiên cứu một số hàm lũy thừa, hàm số mũ và hàm số

lôgarit, các bài toán về nguyên hàm và tích phân và dạng toán về số phức.... HS
đƣợc hình thành vốn kiến thức một số phƣơng pháp giải toán Giải tích 12 nhằm
giúp cho các em học tiếp chƣơng trình Toán học ở các cấp học cao hơn, cũng nhƣ
các môn học khác áp dụng các dạng toán học một cách hiệu quả. Các dạng sai lầm
của HS thƣờng thể hiện qua các lời giải của từng dạng toán đã đƣợc học nhƣ: sai
lầm do tính toán, sai lầm khi vận dụng các khái niệm, định nghĩa, định lý, sai lầm
qua phép biến đổi.
1.3.1. Sai lầm khi biến đổi công thức
Những sai lầm khi biến đổi công thức thƣờng mắc khi sử dụng các đẳng thức
mà không phải là hằng đẳng thức, đó là các “các đẳng thức” chƣa đúng với điều

12


kiện nào đó. Đôi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức, sử dụng công thức
mà quên mất điều kiện ràng buộc.
1.3.2. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
- Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay
của biểu thức nhiều ẩn thƣờng do vi phạm quy tắc suy luận lôgic:

 f ( x)  m, x  A
+ Nếu 
thì min f  x   m .
A
 xo  A : f ( xo )  m
 f ( x)  M , x  A
+ Nếu 
thì max f  x   M .
A
 xo  A : f ( xo )  M

- Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tƣơng tự.
1.3.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai
Khi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả
thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những
mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu trƣờng hợp cần biện luận.
1.3.4. Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm
Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thƣờng gặp khi tính đạo hàm và
khi vận dụng đạo hàm để giải toán.
1.3.5. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến
Các sai lầm khi xét bài toán loại này xuất phát từ việc không nắm vững
thuật ngữ hoặc không hiểu đúng sự tiếp xúc của hai đồ thị là gì ?
1.3.6. Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị
Khái niệm về đƣờng tiệm cận của đồ thị quan hệ chặt chẽ tới phép tính giới
hạn (kể cả phép tính giới hạn một phía). Nhiều học sinh không nắm đƣợc định
nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán máy móc nên dẫn đến sai
lầm. Tất nhiên việc tính các giới hạn sai cũng dẫn đến sai lầm khi tìm các đƣờng
tiệm cận.
1.3.7. Sai lầm khi giải toán nguyên hàm, tích phân
Những sai lầm loại này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm
và vận dụng sai các định lý, quy tắc.
13


1.4. Thực trạng sai lầm trong giải Toán của HS ở trƣờng THPT
Thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo sát một số giáo
viên thì ngƣời viết nhận thấy thực trạng dạy và học bài tập Giải tích 12 hiện nay của
giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi thì còn có những khó khăn và tồn
tại, việc phát huy năng lực giải toán, tính tích cực, chủ động của học sinh chƣa thực
sự đạt hiệu quả, mặc dù các giáo viên đã nỗ lực điều hành, định hƣớng và tổ chức
quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh bằng những phƣơng pháp dạy học tích cực

tuy nhiên chất lƣợng dạy học vẫn còn khiêm tốn. Điều đó do nhiều nguyên nhân, cả
khách quan và chủ quan:
+ Thứ nhất, hệ quả này xuất phát từ sự ảnh hƣởng của phƣơng pháp dạy học
cũ, nặng về truyền thụ một chiều của ngƣời dạy, lấy ngƣời dạy làm trung tâm, một
số giáo viên còn chậm đổi mới.
+ Thứ hai, hệ thống học tập bài tập Giải tích 12 đƣa ra trong những giờ dạy
còn chƣa thật phong phú, đa dạng về nội dung, đơn giản về hình thức.
+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hình
thức, đối phó.
+ Thứ tƣ, việc ra những bài toán có khả năng sáng tạo chƣa đƣợc quan tâm
nhiều nên chƣa kích thích đƣợc ngƣời học, chƣa phù hợp với từng đối tƣợng học
sinh.
+ Thứ năm, năng lực làm bài tập Giải tích 12 của các em học sinh còn hạn
chế, tâm lí coi nhẹ việc thực hành, do đó khi đứng trƣớc một bài toán gây nên sự
chán nản, nặng nề.
Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huy
năng lực giải toán, tính chủ động của học sinh trong giờ thực hành làm bài tập Giải
tích 12.
1.4.1 Những sai lầm chủ yếu ghi nhận từ HS
Tiến hành khảo sát ba lớp 12 (122 học sinh) tại Trƣờng THPT Nguyễn Trung
Trực năm học 2015 – 2016 và ghi nhận một số nguyên nhân chính:
- Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn.

14


- Xét thiếu trƣờng hợp, không lôgic trong suy diễn .
- Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện
- Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém....
Đây là những sai lầm có tần xuất cao trong các lời giải toán của HS, nhƣ đã

nói, các sai lầm này nằm chủ yếu ở bộ môn Giải tích 12 phổ thông trung học.
1.4.2. Nguyên nhân dấn đến sai lầm
1.4.2.1. Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm
toán học
Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tƣ duy toán
học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trƣng
cho bản chất của các đối tƣợng đƣợc phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm
của các khái niệm. Tập hợp các đối tƣợng có chứa các dấu hiệu trên là chính là
ngoại diện của khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai
lệch bản chất của khái niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện.
1.4.2.2. Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý
Định lý là một mệnh đề đã đƣợc khẳng định đúng. Cấu trúc thông thƣờng
của định lý có dạng A  B . Trong cấu trúc của định lý A  B thì A là giả thiết
của định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng đƣợc của định lý. Ngƣời ta còn
nói A là điều kiện đủ để có B . Nhƣng khá nhiều học sinh không nắm vững hoặc
coi thƣờng giả thuyết A nên dẫn tới sai lầm.
Nhiều học sinh nhầm giả thuyết A của định lý cũng là điều kiện cần để có
kết luận B nên mắc sai lầm.
1.4.2.3. Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản
- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán cơ bản, HS không nghĩ
đƣợc đủ trƣờng hợp cần xét và dẫn đến điều kiện sai.
- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ không biện luận đủ
các trƣờng hợp xảy ra của bài toán.
- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ không áp dụng
đúng phạm vi và dẫn đến bế tắc, không đi đến lời giải.

15


- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ bỏ qua những bƣớc

quan trọng và đi ngay tới kết luận.
- Không nắm vững phƣơng pháp giải, lời giải của học sinh sẽ không có trình
tự lôgic và sẽ không biết khi nào kết thúc lời giải.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Thông qua việc nghiên cứu những cơ sở lí luận và thực tiễn chƣơng trình
cũng nhƣ thực trạng dạy và học Giải tích 12, ngƣời viết bƣớc đầu góp phần làm
sáng tỏ nội dung “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phát
hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học giải tích 12”, đồng thời chỉ ra đƣợc những
thuận lợi, khó khăn đối với giáo viên và học sinh trong dạy và học Giải tích 12 theo
hƣớng rèn luyện năng lực giải toán. Kết quả nghiên cứu của chƣơng này một lần
nữa đã khẳng định tính cấp thiết của đề tài. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên cần quan
tâm để rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Từ đó học sinh mới
trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũng nhƣ trong đời sống xã hội, phát
triển toàn diện và đóng góp sức mình cho đất nƣớc.

16


Chƣơng 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS
THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY
HỌC GIẢI TÍCH 12
2.1. Nội dung, chƣơng trình chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị hàm số
- Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
+ Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2  K ,

x1  x2  f  x1   f  x2  .
+ Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2  K ,


x1  x2  f  x1   f  x2  .
- Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
+ Nếu f  x  và g  x  là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D thì tổng f  x   g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D . Tính
chất này nói chung không đúng với hiệu f  x   g  x  .
+ Nếu f  x  và g  x  là hai hàm số dƣơng, cùng đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên D thì tích f  x  .g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D . Tính chất này nói chung không đúng với tích f  x  .g  x  khi f  x  và g  x  là
hai hàm số không cùng dƣơng trên D .
- Công thức tính đạo hàm:
Hàm số hợp y  u có đạo hàm y '   .u -1.u ' (*)
+ Công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số.
+ Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dƣơng.
- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số:
Định lí: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trong khoảng K .
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
+ Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .

17


+ Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K .
+ Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  không đổi trên K .
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần.
- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số:
a) Định lí 1: Giả sử hàm số


y  f  x

liên tục trên khoảng

K  ( xo  h; xo  h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \  xo  , với h  0 .
+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( xo  h; xo ) và f '  x   0 trên khoảng

( xo ; xo  h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f  x  .
+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( xo  h; xo ) và f '  x   0 trên khoảng

( xo ; xo  h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .
b) Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng

( xo  h; xo  h) , với h  0 . Khi đó:
+ Nếu f '  x   0 , f ''  x   0 thì xo là điểm cực tiểu.
+ Nếu f '  x   0 , f ''  x   0 thì xo là điểm cực đại.
Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều
kiện cần. Do vậy, điều ngƣợc lại nói chung không đúng.
- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D :


 f  x   m, x  D
m  min f  x   
D

xo  D : f  xo   m

 f  x   m, x  D
M  max f  x   
D


xo  D : f  xo   M
+ Nếu f ( x)  m , x  D (hay f ( x)  M , x  D ) nhƣng không tồn tại

xo  D sao cho f  xo   m (hay f  xo   M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó,
không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền D .

18


+ Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền

D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g  t  với
phép đặt t  u  x  thì cần chuyển đổi điều kiện để đƣợc bài toán tƣơng đƣơng.
- Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  của hàm số y  f  x  :
+ Tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo    C  có phƣơng trình: y  f '  xo  x  xo   yo .
+ Tiếp tuyến với  C  có hệ số góc k , đi qua điểm A  x A ; y A  có phƣơng trình:

y  k  x  x A   y A . Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:


 f  x   k  x  xA   y A
(**)

f
'
x

k





Nếu điểm A  x A ; y A  nói trên thuộc  C  thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ
(**). Trong trƣờng hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn một tiếp tuyến.
2.2. Một số khó khăn của HS trong nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo
sát, vẽ đồ thị hàm số
Trong thực tế, khi học sinh học chƣơng I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và
vẽ đồ thị hàm số” thƣờng gặp phải những khó khăn sau:
- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm xo .
- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
một miền D .
- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc
đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
2.3. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.3.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

19


- Một số học sinh thƣờng mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa
về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 2.1: Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f ( x) 

x2
x2


Một số học sinh trình bày nhƣ sau:

\ 2 . Ta có: y ' 

Tập xác định: D 

4
 0, x  D
( x  2)2

Bảng biến thiên:
x

-2

y'

+

+
2

y
2
Suy ra: Hàm số đồng biến trên (; 2)  (2; )
* Phân tích:

Lời giải trên có vẻ nhƣ đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán. Chú ý rằng: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên tập D thì với mọi


x1, x2  D , x1  x2  f  x1   f  x2  . Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy

x1  3  D

và x2  0  D thì x1  x2 nhƣng

f  x1   5 , f  x2   1 nên

f  x1   f  x2  .
* Lời giải đúng là:

\ 2 . Ta có: y ' 

Tập xác định: D 

4
 0, x  D .
( x  2)2

Bảng biến thiên:
x

-2

y'

+

+

2

y
2
20


Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (; 2) và (2; ) .
+ Nhiều khi các học sinh không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì
vậy việc xét dấu của đạo hàm y ' sẽ bị sai.
Ví dụ 2.2: Xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x   x  1  9  x 2 .
Một số học sinh trình bày nhƣ sau:
Tập xác định : D   3;3 . Ta có y '  1 

y '  0  1

x
9  x2

x
9  x2

 0  9  x2  x  9  x2  x2


x  


x 



3
2
3
2

Ta có bảng biến thiên:
x

-3

y'
y

3
-

-4

0

+

0

-

3  2 2
2


2
 3 3 
;
Hàm số đồng biến trên khoảng  
và
nghịch
biến
trên
các khoảng

2 2


3 

 3 
;3  .
 3; 
 và 
2

 2 
* Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên

3 
3  2 2

đoạn  3; 
giá trị của hàm số giảm từ 4 xuống
. Thực ra ở đây


2
2



3
không phải là điểm tới hạn của hàm số.
2
*Lời giải đúng là: Tập xác định: D  3;3 . Ta có: y '  1 

21

x
9  x2


y '  0  1


3
x  0
 0  9  x2  x  
x
2
2
2

9  x2
9  x  x


x

Bảng biến thiên:
x
y'

-3

+

0

3

-

3 2 2
2

y
-4

2

3 

 3 
;3 
Hàm số đồng biến trên khoảng  3;

 , nghịch biến trên khoảng 
2

 2 
.
2.3.2. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 2.3: Cho hàm số y  f  x    x3  3x 2  1 , có đồ thị  C  . Viết
phƣơng trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A  1;5 .
Một số học sinh trình bày nhƣ sau: f '  x   3x 2  6 x
Ta có điểm

A  1;5    C 

suy ra phƣơng trình tiếp tuyến là:

y  f '  1 . x  1  5  y  9 x  4 .
* Phân tích: Phƣơng trình tiếp tuyến y  9 x  4 là tiếp tuyến tại A (nhận

A làm tiếp điểm) . Nhƣng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị  C  đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
*Lời giải đúng là: Phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A  1;5
và có hệ số góc k là y  k  x  1  5 .

22


Điều kiện để đƣờng thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C  là hệ sau có
3
2


 x  3x  1  k  x  1  5
nghiệm: 
(I)
2
3x  6 x  k


3

 x  2  k  0
2 x  6 x  4  0
Hệ (I)  
.

2
x  1  k  9

k


3
x

6
x


Kết luận hai tiếp tuyến có phƣơng trình: y  5 và y  9 x  4 .

2.4. Nội dung, chƣơng trình chủ đề Nguyên hàm - Tích phân

- Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là
khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số

f  x  trên K nếu F '  x   f  x  , x  K .
- Định lí:
+ Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng
số C , hàm số F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .
+ Ngƣợc lại, nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi
nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f  x  là

 f  x  dx .

 f  x  dx  F  x   C với C

là hằng số.

Khi đó:

- Tính chất của nguyên hàm:
Tính chất 1:

 f '  x  dx  f  x   C .

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số khác 0) .
Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x dx   g  x dx .
- Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K
đều có nguyên hàm trên K .
- Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp


23


x 1
 x dx    1  C




  ax  b 

1

1

 1

1  ax  b 
dx  .
a
 1
1

 x dx  ln x  C

 ax  b dx  a .ln ax  b  C

e

e


x

dx  e x  C

ax b

C

1
dx  .eax b  C
a

1 a mx  n
dx  .
C
m ln a

ax
 a dx  ln a  C

a

 cos xdx  sin x  C

 cos  ax  b  dx  a .sin  ax  b   C

 sin xdx   cos x  C

 sin  ax  b  dx   a .cos  ax  b   C


x

mx  n

1

1

1

1

1

 cos2 x

dx  tan x  C

 cos2  ax  b  dx  a .tan  ax  b   C

1

dx   cot x  C

 sin 2  ax  b  dx   a .cot  ax  b   C

 sin 2 x

1


1

- Phương pháp tính nguyên hàm
+ Phương pháp đổi biến số
Định lí: Nếu
thì

 f t  dt  F t   C và t  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục

 f u  x  .u '  x  dx  F u  x   C .
+ Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K

thì

 u  x .v '  x  dx  u  x .v  x    u '  x .v  x  dx hay viết gọn là  udv  uv   vdu .
- Định nghĩa tích phân: Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b . Giả

sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn  a; b . Hiệu số F  b   F  a 
đƣợc gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn  a; b ) của hàm

24