GỈÁOTRÌN

DŨNG CHO SINH ViÊN KHOA T
CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC

ỈQGHN

L ^ J NHÃ XUÃT BÁN


TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

HÀM SÔ BIÊN SÔ PHỨC

(GIÁOTRÌNHDÙNGCHOSINHVIÊNKHOATOÁNCÁCTRUỒNGĐAI HỌCSƯPHẠM)
(Túi bản làn thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


Chịu trách nhiệm xuất hán :
Chù tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRAN á i
Phó Tổng Giám dốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO
Tỏ’chức bán thào và chịu trách nhiệm nội du nạ :
Phó Tổng Giám dốc kiêm Giám đốc NXBGD tại Tp. Đà Nàng HUỲNH BÁ VÂN

Biên tập nội dunịi :
TRẦN PHUỚCCHUONG
Biên tập tái bàn :
NGUYỄN THỊ MINH CHÂU
Trình bày bìa :

HỒ MINH QUÂN
Sửa bàn in :
TRỊNH THANH SƠN
Chê bán :
TRUƠNG VÁN THUONG

"Bản quyển thuộc Nhà xuất bản Giáo dục"
___________________________________
11 - 20G7/CXB/232 - 2 1 1 9/GD

k

.

----

—

—- —
-----

Mã sô : 7K 411 n7 - D ai


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách Hàm sỏ biến s ổ phức dược biên soạn dựa theo chương trình
hiện hành, liùnỊị ciẽ giáng dạy cho sinh viên ngành Toán. Nội dung chính
gốm các chưtmg : Chương I , Chương 2 và Chương 3 : giới thiệu về s ố phức,
các hàm sô' biến sô plìức và các pliép biên hình bào giác nhờ các hàm sơ
cấp. Chương 4 : giới thiệu vê lích phân phức và lí thuyết tích phân.

Chương 5 : trình bày phần lí thuyết chuỗi và lí thuyết thặng dư. Niịoài ra,
trong chương này giới thiệu một sô' ứng dụng cùa lí thuyết thặng dư trong
việc tính tích phản thực mà việc tính toán chúng trong giải tích thực rất
phức tạp, thậm chí khó có thể tính bàng phương pháp tích phân thông
thường, và trình bày một số kết quá vé nghiệm của các phương trình dại số.
Đê có thề đọc tốt cuốn sách này, sinh viên cần phải dược trang hị một
số kiến thức cơ bán về phép tính vi tích phân của hàm một biên và nhiều
biến thực, một số dứng phương trình của các đườní> quen thuộc trong hình
học giải tích.
Với mục đích là tinh qiàn, nhiừig đầy đù, do đó có một vài mục nhò, tác
giả chi giới thiệu chứ không trình bày chi tiết hoặc đưa vào bài tập đ ể sinh
viên tự nghiên cứu. Ở phần cuối cuốn sách có phần hướng dán giải bài tập
vờ kết quả nhằm giúp sinh viên phương pháp giải một sô bời toán và kiểm
tra kết quá học tập của mình.
Cuốn sách dược hiên soạn lần đầu nên khôn(Ị tránh khỏi những thiếu
sót. tác giả rất mong nhận dược sự đóng góp ỷ kiến của các bạn đọc đê’lần
in SUII được hoàn hảo hơn.

TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

3


C hưưng 1
SỐ P H Ứ C
Ịjl. SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬ P s ố PHỨC
1 .1 . Đ ịn h n g h ĩa .
Chúng ta đã biết rằng trong tập hưp số thực, phương trình bậc
n > 2 không phải bao giờ cũng có nghiệm. Vì vậy cần phải đưa vào
một loại số mới có bân chất tống quát hơn, mà số thực là một trường

liựp đặc biệt. T ất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta cần phải trang
bị trên nó một số phép toán, mà các phép toán này cần phải phù hợp
vứi những phép toán đã có trên tập hợp số thực. Có nhiều phương
pháp đ ể xảy dựng loại số mới này. ơ đây ta đưa vào số i (gọi là đơn
vị ảo) là nghiệm ciỉa phương trình X2 + 1 = 0 trong tập hợp các số mới
đưa vào.
Đ in h n g h ĩa . Số phức là số có dạng 2 = X + iy, trong đó X, y G R
và i gọi là (lơn vị ảo (i 2 + 1 = 0).
X gọi là phần thực của số phức 2 , kí hiệu Re 2 ;
y gọi là phần ảo cứa số phức 2 , kí hiệu I1112.
Đặc biệt, nếu y — 0. khi đó số phức 2 = X + ¿0 là số thực X. Nếu
X = Ü. khi đó z — iy gọi là số thuần ảo.
Hai số phức Z\ = Xi + iyi và Z2 = X2 + iy -2 gọi là b ằ n g n h a u nếu
Xị = X 2 và yx = V2-

Cho số phức z = X + iy , số phức có (lạng X — iy được gọi là s ố
p h ứ c liê n h ợ p ciỉa số phức 2, kí hiệu Z, nghĩa là
z — X + iy và z = X + iy = X —iy.
Kí hiệu c = { z = X + i y I 1 , 1/G R } là tập họp tất cá các số phức.
1 .2 . C á c p h é p to á n tr ê n cá c s ố p h ứ c .
Trên tập số phức ta trang bị các phép toán 3au:

5


CB

P h é p c ô n g . Ta gọi tống của hai số phức ¿1 — Xi + iy 1 và '2 =
J~2 + iy 2 là số phức
z = (x\ + x 2) + i(y\ + ỉ/2 )•


(1)

Kí hiệu 2 = 21 + 22 '
Từ định nghĩa ciìa phép cộng, ta có các tính chất sau:
1) Kết hợp: Z\ + (22 + 23 ) = (zi + 22 ) + 23 2) Giao hoán: Z\ + 22 = 22 + Z\.
Các tính chất nàv được chứng minh dựa vào tính kết hạp và tính
giao hoán của các số thực.
Đặc biệt khi Z\ và Z2 là hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với
định nghĩa ciỉa phép cộng số thực.
P h é p tr ừ . Phép cộng trên có phép toán ngược. Với hai số phức
Z\ = X\ + iy\ và Z2 = X2 + iy2 ta ró th ể tìm được số phức 2 sao cho
Z2 + z = Z \ . SỐ phức này gọi là hiệu cùa hai số phức Z \ và 22' kí liiệu
z — Z\ - Z2Rõ ràng từ định nghĩa ta cố
z = ( n - x 2 ) + i ( y i - y?).

P h é p n h â n . Ta gọi tích của hai số Z\ — X\ + i y \ và 22 =
là một số phức 2 xác định bời
2 = (XịX2 - Ỉ/1Ỉ/2 ) + i {x\V 2 + y \ x 2).

(2)
x '2

+ i y -2

(3)

Kí hiệu 2 = 21 . 22 T ừ định nghĩa ta có các tính chất sau:
1) Kết hợp: 21 ( 22 -23 ) = (ZI.Z2)Z32) Giao hoán: Z1 .Z2 = 22-21 .
3) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng

Z \ (2 2 +

Z \ , Z 2 4- Z\ . 2 3 .

23) =

Nốu Z \ v à 22 là hai số thực thì định nghĩa (2) trùng với (lịnh nghĩa

thông tlnrờng cứa phép nhân trong tập hợp các số thực.

6


Đặc biột khi lấy Z\ = Z2 = i- T ừ clịnh nghĩa (3) ta có
i.i = - 1 = /2.

(4)

Rõ ràng V(VÌ
= Xi -f i y 1 và 22 = ^2
¿3/2 thì ('ông thức (3) sẽ
có (lược hằng cách nhân thông thường (phép nhản trong tập hợp số
tliưc) và thay i = —1.
C h ú ý.

Z.Z

= X2 + y 2 > 0.

P h é p ch ia . Phép toán nhân có phép toán Iigirưc nếu ít Iihất một

tỉ ung liai số đ ó khác không. Giả sử 22

0. Khi đó ta có th ế tìm được

một số phức z = X + i y sao cho 22*2 = 2i. Theo định nghĩa của phép
nhân ta có hệ phương trinh sau
J’2vT — 'ỉ/2V — x \

(5)

V2* + *2V = .Vi •
Vì 2*2 Ỷ w nghĩa là định thức cda hộ Cramer khác 0, nên hộ phưcmg
trình trên luôn luôn có một lừi giải duy nhất. Số phức 2 cỏ được gọi
là thương của hai số phức

Z\

và

¿ 2-

*1^2
x\
y\X2
y = — xTị

X—

Giải hệ phương trình (5) ta được
+ 2/12/2

+ ỳị
- X\XJ2
+T y ị2

,

Kí hiên c
C h ú ý.
1) Hộ tliức (6) cùng có được bằng cách nhản ^ với ẳ*.
2) Tập hự]) tất cả các số plníc với hai phép toán cộng và Iihản
(tirợc xảy (lựng trên tao thành một trường, đirorc goi là trirừng số phức.
L u ỳ th ừ a b âc n. Tích cùa 71 lần số phức z được gọi là luỹ thừa
bac 11 ( lia số phức z . Kí liiộu Z n .
C ă n bâc n. Số pliức w đưực gọi là cản bậc n ciia số phức 2 nếu
w'u — z. Kí liiộu w = ự z .

7


V í d ụ . Thực hiện các phép tính sau
(1 —ỉ) ( l + i) = (1 —ỉ 2 — i + i) = 2.
1+ i

_

1+ i

1 - iy/ 2

1 + v/2


1 - n/2

3

3

1 + ¿ v /2 ~~ 1 + i v / 2 1 - t > / 2 ~

( 1 + 3 ì)2 = 1 + 9i2 + 6ỉ = - 8 + Í.9.
Đ in h lí 1. Với các số phức Z, Z 1 , Z2 , ta có
1) f = z; Z\ + 22 = Z\ + Zi\ 21.22 = Z\-Z22) z + Z = 2Rez = 2x; z — Z = 2ilni2 = 2 iy.
3) Z . Z — X 2 + y 2 > 0.

4)(Ç) = fe§2. B lỂ ư DIỄN HÌNH HỌC CỦA s ố PHỨC
2 .1 . D a n g lư ư n g g iá c c ủ a s ố p h ứ c.
Xét mặt phảng tương ứng với hệ toạ độ Descartes x O y và ta biểu
diễn một số phức z = X + i y bởi một điểm có toạ độ (x ,y ). Như vậy
các số thực sẽ được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi
là trục thực; các số thuần áo được biển diễn bời các điểm trên trục
O y , nó được gọi là trục ảo.
Ngược lại, với mỗi điểm của mật phảng x Oy có toạ độ ( x. y) . ta
đặt tương ứng với một số phức z = X + iy.
Vậy có sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp tất cả các số phức c với
tập hợp tất cả các điểm ciỉa một mặt phảng.
Vì mỗi điểm có toạ độ [ x, y) trong mặt phảng tương ứng với một
vectcr có bán kính vectơ r = \J x 2 + y 2 và góc cực tưcrng ứng (p. Do đó
mỗi số phức z = X + i y có th ể biểu diễn dưới dạng:
2 = r(cos Lp + i silly 1)


trong đó r,

(7)

lần lượt là bán kính cực và góc circ của số phức z. Bán

kính r gọi là mođun cùa số phức 2 , kí hiệu r — |z|. Góc cực ọ gọi là
argument của số phức z, kí hiệu ự} = Arg 2 .

8


Mođun cùa số Ị)hức (lược xác: định một cách duy nhất
\z\ = v /x 2 + y 2 > 0

(8)

và argumentcủa số phức được xác định với sai khác: một bội cùa 2n.
arctg^ + 2kn (k € Z)
(nếu số phức z ở góc phần tư thứ I, IV')
ý? = Arg 2 = <
artg* + (2k + 1)7T (k € Z)
k (liến số phức 2 ở góc phần tư thứ II, III)
với arctg^ 6 [—§ ’ §] là giá tri chính cila hàm arctg.
V í d u . Tìm mođun và argument cùa số phức
Z\

=

1 4- i V 3 ,


Z2 =

— ì — i V 3.

Hình 1
Từ công thức (7) và (8). ta có:
2,1 = y j l 2 + (v^ã)2 = 2.
ý>i = Argzi

/3
arctg-ý- + 2Ả:7r (vì Zi ớ góc phần tư thứ nhất)

Vậy
Arg^!

=

-r +

U

2/C7T

9

(ả: 6 Z).


Tưcmg t ự


va
— V/ 3
^
1
ự>2 — Arg 2‘2 — arctg— ------h (2k + 1^7T (vì 22 ở góc phan tư thứ ba).
V

Vạ V

7T
ArgZ2 = — + (2Ẳ’ + 1 )7Ĩ (k G Z)

2 .2. T ín h c h ấ t c iỉa m o đ u n v à a r g u m e n t
Đ ịn h lí 2.
1) I~1•~2I

A llte l

2)

1*1 > |Rez|

3)

UI > |Imz|

4)

M < |Rez| + |Irnz|


5) 1- 21 +

I211 + Iz21

221 <

6)1*1 - 221 > 1*11- 1 - 2
C h ứ n g m in h . Tính chất 1), 2). 3), 4) hạn đọc chứng minh ul.ir
hài tập.
ĐỔ chửng minh tính chất 5). Ta viết
\z\ + 221 = (z ì + z 2 )(z l + ¿2 )
— (-1 + ¿2 H^l + - 2 )
— Z \ Z \ -Ị- Z '2 z 1 - f Z \ Z 2 +

‘2 Re( Z 2 Z \ )

i 2 1 12 4 -

=

22 ~ 2

4 - IZ ‘2 12 -

Chú ý rằng Re( 2-2Ĩ i ) < \Z'2 Zi\ = 12:2 11^11 = I-2111-221* ta suy ra
| ~ 1

+


-

2

I 2

5

:

j 2

1

12

+

2

| c

i

| | c

2

|


+

I - 2 2 12

< (|* l| + N ) 2Lấy CH11 bậc hai cùa hai vế ciỉa bất đẳng thức trên, ta có 5).
10


Tưưiitt tự cho hất (tang thức G).
Đ in h lí 3. Cho hai số pliửc
Z\ = r ị ( c o s ^ i + í s i n ^ i ) . 2*2 = r 2 ((-osy>2 + 7 sin ^2,)-

Khi lỉó ta có các lir thức sau:
1)~ 1~2 = rir2Ị«>s(v7i + ý>2 ) + « siií(í^i + ý?2 )J

(9)

2 ) — = — (cos<^i — is in ^ l) .

( 10 )

-1

n

C h ứ n g m in h .
ZịZ -2 = r \ ĩ ' 2 {cos{p\ + ỉsin^i)(cos
= rir*2 Ị(cosự>i c o s-I- ¿(sin

cos ý?2 + sin ¿¿>2 cos (¿>1 )]

= r ir 2[cos(v?i + Ọ2 ) + isin(Chứng niinli tưưng tự cho đẳng thức 2).
Tòng; quát, ta cỏ cong thức sau:
z n = r n ( c os r ap + i s i m u p ) .

(

11)

(

12 )

Đặc biột, khi 7 = 1, ta có cóng thức Moivre
(cos (fi + i sin ọ ) n = cos n

Giã sừ w = ự z . Khi đó ta có

11


T ừ đẳng thức (13) suy ra
\ f i — COS( — Ị- k n ) + ĩsin ( — + k n ) \
4
4

k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

Vậy \f i có hai giá trị là

20 =

n ■4 -■i sni n _- ^= / 1^ —

COS -

4

4

Z

-\

(1 +

ĩ);

và
57T
Õ7T
\/2
2 j = COS — + ¿ s i n — = — —— (1 + i .
4
4
2
V í d u 2. Tìm tất cà các giá trị cua \ / 1.
Ta có

1 = COS 2‘ kn + i sin 2kn.
T ừ đẳng thức (13) suy ra
\ / ĩ = cos kn + i sin kn;

k = ü, ± 1 , ± 2 ....

Vậy v/T có hai giá tri là
2() — 1 và Z\ — —1.
N h ậ• n x é t . Khi ta xem số 1 là một
• số thực
• tin căn bậc
• hai cùa
nó là 1; còn khi ta xem số 1 là một số phức thì cán bậc hai của Ỉ1Ó có
hai giá trị là 1 và -1.
V í d u 3. Tìm tất cả các giá trị cùa \ / ĩ .
Ta có
1 = COS 2 kn + i $i n2kn.
T ừ đẳng tỉiức (13) suy ra
„r-

‘2 k n

2k n

v l = COS — —+ i s i n — —; k = 0, ± 1 , ± 2 ,...
n
n
Vậy \ / ĩ có n giá trị là

12

‘¿ kn
2/T7T
6k = cos —— + ¿sin —— : k = 0 ,1 , 2,
n

n

TI — 1.

§3. MẶT CẰƯ RIEMANN.
Trong nhiều trường hợp, điểm vô cùng có vai trò quan trọng không
thố hô qua được. Đó* hiểu rõ bản chất ciia điếm vỏ cùng, Riemann đả
l)i(Mi diền tập hự]) các số phức bằng cách sau:
Trong không gian Euclid ba chiều với hệ toạ độ Descartes vuỏng
góc

(0\Ẹ. ì7.Ç).

Xét mặt cầu

s có phương trình

£2 + r?2 + C2 = C-

(14)

Hình 2

Mặt cầu s có tâm là điểm 1(0.0, |) và bán kính r = ì.
Lấv mặt phảng Ç = 0 làm mặt, phảng phức sao cho trục thực O x
trùng với trục O ị. trục ào O y trùng với trục Or¡. Gọi điểm 7V(0,0 ,1 )
là cực bắc cila mặt cầu

s.

Từ mỗi điểm z ( x , y ) cùa m ặt phảng phức

ta kô tia N z. Tia này cắt mặt cầu

s tại điểm

2i(£,77,C)- Ngược lại, từ

mỏi điểm Z\ € S \ { N ) ta kổ tia N z \ . T ia này cắt m ặt phẳng phức tại
điểm z( x. y) .
Phép tirorng ứng này gọi là phép chiếu nối. Khi 2 ] dần đến điếm
cực bắc N , tia N z 1 trờ thành tia song song vái m ặt phẳng x Oy . Do
đó. trt có thô’ xem điểm N 6

s tương ứng với điểm

2 = oo.

Mặt phảng phức có bố sung điểm vô cùng được gọi là m ặt phẳng

phức mởrộng. Kí hiệuc, nghĩalàc = c u{oo}.
13

Tròn (lảy ta inứi thiết lập sự tương ứng giìra các (tiêm ( lia mật

s

cầu vcVi mặt pliầng phức 111(7 rộng bằng hình học. Sau đây ta sò thiết
lập sự
ứng giữa chủng bằng CÁC hộ thức giãi tích.
Th(U) gia thiết, ba điểm N, Z\ và 2 thẳng hàng. Do đổ plnrcrng
trình dĩa (tường thẳng N z là

í = ĩ =ízl
X

y

-1

Suy ra
£

X =

l-c
V

y

1 -C

Vậy
z = X + iy = —

.

(15)

Mặt khác, vì Z\ (£, r/, o nằm trên mặt cầu nên

1

I Ó

thoả màn phưcmg

trình (14). Suy ra
,2 _
*1 = *

2 ,

2 _ ( 2 + n2

+ v

í

¡T = a * =

Vậy

1 + \z

n 7—
1 + 7\ z'1
r2
=

c=

\z 12
1 + l^l2

Các hộ thức (15) và (1G) nói lên sự tưcmg ứng 1-1 giữa tập hợp
các số phức và tập lurp các điếm trên mặt cầu

s trừ điểm

N.

Khi c (lần ra vỏ cùng, từ hệ thức (10) ta suy ra điểm ~ i(£ ,7 7 .0
dan ve (lirm Ar(().(),1). Ngưực lại. khi điểm Z\ dần về điểm N. từ hệ
thức

(15) chuyển qua giới hạn

khi

c dần vồ 1. Ta có C-.Ĩ
lim 2= oc.
14

Vậy có sự t,irc an

s và tập

h(/Ị) tất cá các đicMii troiỉK mặt phảng phức I1 I(V lộng

c.

§4. CÁC KHAI NIẸM HINH HỌC
4 .1 . K h o á n g cách .
Đ in h n g h ĩa . Khoảng cách giữa hai điếm Z\ — X \ + ¿2 /1 và 22 =
4-

iy-2

là I i t o đ u n ciỉa số phức

Z\ — 2.2•

d ( z 1 , 22 ) = \zi -

Kí hiệu (/(21 , 22)1 nghĩa là
22

V

(17)

Ta có thê’ kiểm tra lại các tiên đề ciia khoảng cách (hay còn gọi là
mòtric) trên

c.

Khoảng cách này gọi là khoảng cách Euclid. Hệ thức

(17) chì có Iighĩa khi 21.22 € c.
Vì hạn chế này người ta đưa ra m ột khoảng cách khác mà nó có
liiộu lực đối với mọi số phức 21.22 €
định nghĩa như sau:

c.

Khoảng cách cầu và nó được

Khoảng cách cầu giữa hai điểm 21,22 € c được xác định bửi hệ
thức
(18)

4 .2 . £ -lâ n câ n .
Đ in h n g h ĩa .
1)
Tập hợp những điểm z € c t.hoá mãn hệ thức \z — 2()I < f.
trong (tó f là số (lmmg cho trước, vứi ZQ G c (lược goi là e -lân cận
cùa (licin 2q. đ ó là hình tròn mờ tâm ZQ bán kính e. Kí hiệu
K(~o) = {z e
2)

c

I |z - z0\ < ( }.

Tập hợp những điểm z

6c

t.hoả mãn hệ thức \z\ > ự -7 — 1)

trong (tó ( là số dmrng cho trirức được gọi là ( -lân cận cùa điểm vô

15


cùng. Đỏ là phàn ngoài của hình tròn tâm tại gốc toạ độ bán kính
\ J -y — 1. Kí hiệu

•

K(oc) = {z e c Ị\z\ >

- l}.

T ín h c h ấ t. Từ định nghĩa của 6-lãn cận ta có các tính chất sau:
1) Nếu K ,(¿o) và K .2 ( zq ) là 6i-lản cận và É2-lân cận ciỉa điốni Z{J
thì tồn tại một í-lân cận là V€(zq) chửa trong V€ì(zq) n Vf2(zo).
2) Nếu hai điểm 21,22 bất kì m à Z\ Ỷ z2 thì tồn tại hai lân càn
K ,(~o) và Vt2{z0) sao cho K , (~o) n Vf7(zo) Ỷ W3) Nếu Z\ là một điểm bất kì thuộc e-lân cận ciỉa Z() thì tồn tại
Ci-lân cận v t l (zi) c Vf{zo).

4 .3 . Đ iể m tr o n g . T â p mỏr. P h ầ n tr o n g .
Đ iể m tr o n g . Điểm 2o G c được gọi là điểm trong của tập hơp
con E c c nếu Zo € E và 3e > 0 sao cho Vf(zo) c E.
T â p mcỉr. Tập con G c c được gọi là tập Iĩic5r nếu mọi điểm c ia
G đều là điêni trong ciỉa nó.
V í d u . Tập hợp D( 0; l) = { 2 G C | | z | < l } l à tập mớ trong c
Thật vậv. Ví e B ( 0; 1) ta có \z\ < 1. Đặt e = 1 — |z| > 0.
Xót í-lán cận
v f (z) = { t e c I \ t - z \ < e }.
Ta sò chửng minh Vf(z) chứa trong £?((); 1). Với mọi t e Vf(z) r,a
có |í — z\ < e. Theo tính chất ciỉa m ođun ta có
I |í| - M I < \t - z\ < e.
Suy ra |í| < |z| + Ễ = 1 . Vậy t G J3(0; 1).
Dí) đó 2 là điểm trong của B(0; 1). Vì điểm z đirọrc lấy bất kì. nén
#((); 1) là tập mà.
P h ầ n tr o n g . Tập hợp tấ t cả các điểm trong cila tập con E c c
0

được gọi lả phần trong của E. Kí hiệu E.

16


T ừ định nghĩa ta có các tính chất sau:
i) Ề c E .
ii) E là tập mờ.
0

iii)**E là tập mớ <=> E — E.
0

iv)

E là tập mở lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa trong E.

4 .4 . E )iểm b iê n . B iê n .
Đ iể m b iê n . Điểm b 6 c được gọi là điểm biên của tập con E c c
nếu mọi e-lân cận của điểm b đều chứa điểm của E và điểm của phần
bù của E.
B iê n . Tập hợp tất cá các điểm biên của E được gọi là biên cila
E. Kí hiệu ỜE.
V í d u 1. Cho hình cầu mở .0(0; 1). Moi điểm 2 € c có mođun
hằng 1 đều là điểm biên cda tập hạp B ( 0; 1) và
d B( 0; 1) = { z e C \ \ z \ = 1}.
V í d u 2. Cho tập hợp
5(0; 1) = { z G c I \z\ = 1}.
Khi đó mọi điểm của tập hợp 5(0; 1) đều là điểm biên của nó, nghĩa

là dS = s.
4 .5 . Đ iể m g iớ i h an . T â p đ ó n g . B a o đ ó n g .
Đ iể m g iớ i h an . Điểm 2o € c được gọi là điểm giới hạn của tập
hcrp A c c neu mọi e-lân cận của Zo đều chứa vô số phần tử ciỉa tập
hựp A.
Đ in h lí. Điểm Zo € c là điểm giới hạn của tập hợp A c c khi
và chì khi mọi e-lân cận ciỉa 2() đều rhứa ít nhất một p)hần tử cda tập
hựp A, khác với điểm ZQ.
C h ứ n g m in h .
Cần. Hiển nhiên.
i TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN

2- MSBSÒPHỨC

17


Đù. Chứng minh bằng phán chứng. Giả sứ tồn tại một í-lân cận
CIỈH 2(J chỉ dura một số liĩru hạn phần r.ữ ciia tập hợp A là Zi, Z2 ...... z p .
Gọi fi =

min IZk — zo\.

ITập hợp Vf l (zo) — ị z € c

I \z — ZoI < e 1 } là Ci-lân cận cila điêni

ZQ. Lân cận này không chứa phần tử nào ciìa A ngoài 2o- Điồu này
trái với giả thiết.
Đ in h lí. Điểm ZQ 6 c là điểm giới hạn của tập hr/Ị) A c c khi và
chì khi tồn tại dãy điểm {zn }. Zn € A sao cho zn

Zm{n ^ m) vả dãy

{¿n} hội tụ về điểm 20 (khái niệm hội tụ ta sẻ xét trong phần sau).
T â p đ ó n g . Tập hợp F c c được gọi là tập đóng nếu nó chứa
tất cá các điêrn giới hạn cùa nó.
V í d u . Tập hạp B( 0; l) = { z e C | | 2 | < l } l à tập đóng.
B a o đ ó n g . Hựp ciia tập hợp E và tập tất cả các điếm giới hạn
của nó được gọi là bao đóng cùa E. Kí hiệu E.
Từ định nghĩa cùa bao đóng, ta có kết quả sau:

i) E c Ẽ.
ii) E là tập đóng.
iii) E là tập đóng <==> E — E.
iv) E là tập đóng nhô nhất chứa E.
v) Nếu A là tập đóng thì c \ A là tập IT1Ở.
vi) Nếu A là tập mờ thì c \ A là tập đóng.
vil) Ẽ — E u dE.
4 .6 . Đ ư ờ n g .
Đ ịn h n g h ĩa . Đường trong c (hay trong c ) là inột ánh xạ liên
tục 7 : [a, fe] c R — ♦ c (trong C ) cho bời biểu thức
z = l ( t ) — x ( t ) + i y{ t ) ;

f e [ a ,6 ]

V í d u 1. Đưòrng tuòn tâm o bán kính r
2 = x(t) + iy(t)

— r (c o sí + is in í);

18

t G [0.27r].

(19)


V í d u 2. Đoạn thẳng [0,1], 2 = 7 i(í)t trong đó ánh xạ 7 i : [0.1] c
R — • c xác định bởi 7 i(í) = í; t G. [0. 1] hoặc 2 = 72 ( 0 ' trong đó
ánh xạ 72 : [0, | ] c R — ♦ c xác định bởi 7 2 (t) — sin í; t € [0. | ] .
N h â n x é t. Qua ví dụ trên ta thấy rằng một đường nào đó có

till'" (lược xác (lịnh bời nhiều ánh xạ. Tuy nhiên các ánh xạ này thuộc
cùng một lứp tircmg đương theo một quail hệ tương đương được xác
định.
Đ ư ờ n g J o r d a n . Đường 7 được gọi là đường Jordan nếu 7 đơn
ánh.
V í dụ.

Ạy

Ay

Hình 3
(C’) đường Jordan.
Đ ư ờ n g c o n g k ín .

(C l) đường không Jordan.
Đường 7 được gọi là đường cong kín nếu

7 ( g) = 7(6), (7 : [a, 6] — * C).
V í d u . Điràng 7 cho bởi phương trình 7 (f) = a c o st + í sin í;
Ịí U

t 6

tt].

Đ ư ờ n g c o n g tr ơ n . Đường 7 được gọi là đường cong trơn nếu
r(t). y(t) trong công thức (19) khả vi liên tục và có
7 '(t) = x'(t) + iy'(t) Ỷ 0 với mọi t E [a.6].

Đ ư ờ n g c o n g tr ơ n từ n g k h ú c. Nếu 7 là hợp cùa một số hữu
hạu đirừng cong trơn thì 7 được gọi là đường cong tran từng khúc.

19


4 .7 . T â p liên th ô n g .
Đ in h n g h ĩa .

Tập con D c c được gọi là tập liên thông nếu

không tồn tại hai tập hap m
i) D n A ỊẾ0. D n B / t ó .
ii) D n A n B = 0 .
iii) Ỡ C / l U B .
Từ định nghĩa ta có hệ quả sau:
Tập hợp A là tập liên thông khi và chỉ khi trong A không tồn tại
tập hợp con thực sự ciỉa A khác rỗng vừa đóng vừa mờ trong A.
V í d u 1. Tập hợp c là tập liên thông.
V í d u 2. Tập hợp c \ { z i , Z2 , .... Zp} là tập liên thông.
V í d u 3. Đoạn thảng [a, b] là tập liên thòng.
Đ in h lí. Giả sử D là tập hợp m ở trong c . Khi đó hai mệnh đ ề
sau tương đương:
i) Tập hợp D là liên thông.
ii) Có th ể nối hai điểm tuỳ ý của tập hợp D bằng một đường cong
nằm trong D.
Giả sử tập hợp D c c không liên thông. Những tập hạp con liên
thông cực đại (nghĩa là chúng không nằm trọn trong một tập hợp cơn
liên thông nào khác của D ) được gọi là các th à n h p h ầ n liê n t h ô n g

của D.
4 .8 . M iề n .
Đ in h n g h ĩa . Miền là m ột tập hợp con D ciỉa mặt phẳng phức c
có hai tính chất sau:
i) Với mỗi điểm thuộc D luôn tồn tại hình tròn điỉ bé nhận điổini
đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong D (tính mở);
ii) Có th ể nối hai điểm bất kì thuộc D bằng một đường cong nằm
hoàn toàn trong D (tính liên thông).
M iề n đ ó n g . Tập hợp gồm tất cả các điểm cda miền D và các
điểm biên cda D được gọi là m iền đóng. Kí hiệu D — D u dD.

20


M iề n đ ơ n liê n . M iề n đ a liên .
Miìí‘11 D có biên là một tâp liên thông thì đirợc gọi là m iề n đ ơ n
liên .
Ngirợc lại, miền D có biên là tập không liên thông thì được gọi là
m iề n đ a liên . Nếu số thành phần liên thông của biên D là hữu hạn
till số Iiày được gọi là c ấ p liê n th ô n g của miền D ; nếu số thành phần
này là võ hạn thì D được gọi là miền v ô h a n liên .
V í d u 1. Miền D\ — {c € c I \z\ < 1} là miền đơn liên.
Miền D '2 — { z G c I 1 < \z\ < 2} là miền đa liên.
V í d u 2 . Miền D = { z G c \\z — 1| > 1, \z —2| < 2 } là một miền
(tưn liên.
V í d ụ 3.

Hình 4
Miền đom liên
4 .9 . T â p h ợ p c o m p a c t.

T ậ p h ợ p bi c h ặ n (giới nội). T ập hợp

A/ c c được gọi là tập

hạp bị chặn nếu tồn tại hình cầu

B(a,R) = {z 6 c I\z-a\ saocho A/ c B(a, R).
T â p h ợ p c o m p a c t. Tập hợp A/ c
pact nếu M

làtập

đóng trong

c.
21

c đươc goi

là tập hcrp com­


Ul

•vÇ
<

Tập hợp M c c đưực gọi là tập hợp compact nếu M là tập dóng
và bị chặn trong c .

V í dụ.
1) Tập một điểm là tập compact.
2) Tập hợp hữu hạn các điểm là tập compact.
3) Tập hợp c không phải là tập compact.
4) Tập hợp c là tập compact.
P h ù m ở . G iả sử {Ga }a çA là Ỉ1Ọ tnỳ ý các tập hợp mở sao cho
mỗi điểm 2 ẽ A Í thuộc ít nhất một tập hợp G a nào đó: Khi đó ta gọi
họ {G Q}açA là một phiỉ m ở của M.
Đ Ổ đ ề H e in e -B o r e l. Tập hợp M a c 1<1 t,HỊ) compact kill VH cil ỉ

khi từ mọi phủ mở của M đều có thế lấy ra một phiỉ con hữu hạn mà
họ này tạo thành một phủ mờ của M.
Một trong những hệ quá quan trọng nhất của bố đề Heine-Borel
là nguyên lí Bolzano-Weierstrass.
N g u y ê n lí B o lz a n o -W e ie r s tr a s s . Mọi dãy vô hạn bất kì { 2TỈ}
thuộc tập hựp M compact trong c có ít nhất một điếm giới hạn.
BÀI T Ậ P CHƯƠNG 1.
1. Thực hiện các phép tính sau đây:
a )------ò )(l - ỉn/3)6;

c ) \ / l + i V 3.

1+ i

v

2. Tìm mođun và argument của các số phức sau đây:
a )l-M ;

b) — 3 + i\/3 \

3. Giải phương trình
ì, = z n~ l .
4. Tìm những giá trị của các căn sau:
a) b ) vT;

c) \ / l - i.

5. Clurng minh các hệ thức sau đây:
a) ||fy - 1| < I arg z\.
22

c)(3 + i \ / 3 ) 2.


b) \Z\Z'2 + 1|2 + 1-1 — 22 I2 = (1 + |z i|2) ( l + \z2 ? ) .
(*) \z\\ + 12:2 I = IZl 2 'ĩ2 — \/ZiZ2\ + IZị %z* + \J Z\ ¿2 I•
d) |2 i -t- 22 ! > ị ( | 2 l | + I^2 1) IjfỶT + & •

trong đó 21,22 là những số phức bất kì.
G. Dùng công thức Moivre đ ể biêu diễn co sn x và sin nx qua các
luỹ thừa của c o sx và sin x.
7. Tính các tống sau:
a) 1 + c o sX 4- cos 2.X + ... 4- c o snx:
b) sin X + sin 2 x + ... + sin nx\
c) c o s a 4 - c o s (a + b) + ... + c o s (a + 716);

ci) sin a 4- sin(a + 6) + ... + sin(a + nb).
8. Gọi

...,e n_ i là các cản bậc n eiia đan vị
2kn
2kn
€k — c o s ------- 1- ĩ s i n -----, k = u, 1,
n
n

n —1

và giâ sứ p là số nguyên cỉmmg.
Tính tống 5 = €q + ỄJ + . . . +
cùa 77 và p không phái là bội của n.
(Trả k'ri:

, trong hai trường hựp p là bội

s = n nếu p là bội cùa n, s = 0 nếu p không phải là bội

cùa n.)
(J. Giải thích ý nghĩa hình học của các biểu thức sau:
h) \ z - 2 \ + |2 + 2| = 5 .
b)' l m z —
^z 2 = 0 .
c)> R e*z -5z^2 = 0 .

d) ItttM=

(A>0, vàlàmột

hằng

số.)

e) íirs f2 r fZ x‘2 — ữ - (-7T < c* < 7ĩ)
vứi z 1 , Z2 là những hằng số phức.
10. Tìm điồu kiện đê ba điểm đôi m ột không trùng nhau nằm trên
một đường thẳng.
11. Tìm điều kiện đ ể bốn điểm đôi một không trùng nhau nằm
trên một đường thẳng hoặc trên một đư ờng tròn.
12. Xác định tập hợp những điểm 2 €

c

thoả mãn điều kiện

Iin(^———^-)n = 0, n e N;
2-22

23


trong đó

Z\,

22 là các hằng số phức.

13. Trên tập lurp số phức c . Cho hàm giá trị thực
d :c

X c

— ♦R

sao cho d ( z \ , z 2 ) = \z\ —Z2 1 vcVi mọi 21,22 ẽ c .
Chứng minh rằng d là một metric (khoảng cách) trên c .
(Hướng dẫn: Hàm số d. : X X X — ♦ R đưựí' gọi là metric (khoáng
cách) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
i) d(x, y) > Ü nếu X Ỷ y\ d( x, y) — 0 nếu và chỉnếu X =
ii) d ( x . y ) = d ( y , x ) với mọi X, y\

y\

iii) d ( x , z ) < d ( x , y) + d ( y , z ) với mọi X, y, z . )
14. Chứng minh rang
i) Tập hợp t ì ( z o \ r ) = ị z 6 c ị Ịz -

zq \

< r} là tập hcrj)I11Ở

trong

c (với r là số thực dirơng cho trước).
ii) Tập hựp B( zo\ r ) = [ z G c I \z — 2()ị < r} là tập hợp đóng
trong c (với r là số thực dưrrng cho trước).
iii) Biên của tập hạp B( z o \ r ) là tập hưp

dB = {z € c I|z —2o| = 7~}.
(Hưứng dẫn: 1) Đổ chứng minh tập hạp B là m<3r ta chứng minh

rằng bất kì điểm Iiào cúa t ì đầu là điếm trong cila D nghĩa là với mỗi
z € B ta chọn được một lân cận của 2 sao cho lân cận đó chửa trong

24


C hương 2
H À M SỐ B IỂ N S Ố P H Ứ C
§1. DÀY SỐ PHỨC. CHƯỎI SỐ PHỨ C
1 .1 . G iớ i h a n c ủ a m ô t d ã y s ố p h ứ c .
Đ in h n g h ĩa d ã y s ố p h ứ c . Dãy số phức là một ánh xạ từ tập
hạp các số tự nhiên vào c (hay C ), nghĩa là ánh xạ

A:N —►
c
n — ♦ A ( n ) — Zn

Kí hiệu { Zn}%= 1 hay { z n }.
G iớ i h a n c iìa d ã y s ố p h ứ c . Số phức Zo gọi là giới hạn ciỉa dảy
số phức { z n } nếu với mỗi e—lân cận V ella Zo đồu tồn tại số no € N
sao cho với mọi n € N mà n > ĩiQ thì z n 6 V, nghĩa là
Ve > 0, 3no € N„ Vn G N, n > no => \zn — zq\ < e.
Kí hiệu lim z n = Zị).
n —*oc

Ta còn nói (lảy {2n } liội tụ về ZQ. Kí hiệu zn — * Z(),n — + oo.
Từ tính chất của f-lân cận ta suy ra kết quá sau:
Trong c mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Nếu biểu diễn zn = x n + iyn till định lí sau được khẳng định:
Đ in h lí 1. Dãy { z n } hội tụ về Zo = Xo + iyo khi và chỉ khi dãy

{xn } hội tụ về Xo và dãy {y„} hội tụ về y 0 .
C h ứ n g m in h . Già sử lim zn = 2o = Xo + iyo Ỷ °0 Tỉ— * O C

Khi đó với mọi e > 0, tồn tại n 0 G N sao cho
\ z n - 2ũ|

Từ đó suy ra

=

|x n

y / ( x n - X o ) 2 + { y n - 2/0)2 < v ớ i

m ọ in > n 0 .

—Zol < e và Iyn —/20 1 < É, khi

n >

lim x n = Xo và

n —»oc

Ngược lại, nếu tồn tại linin_ oc

no,nghĩa là

lim y n = 2/071—»oo
= Xo và

limn_ 00 yn = yo, thì

với mọi f > 0 tồn tại TI\ € N sao cho \xn —Xol < c/2, với mọi n > n 1
25