Phỉång Trçnh Lỉåüng Giạc låïp 11 Nàm hc 2009 -2010
Gv: Nguùn Phè Âỉïc Trung
PHỈÅNG TRÇNH LỈÅÜNG GIẠC
Cosu = cosv  u = ± v + k2π



+−=
+=
⇔=
k2πvπu
k2πvu
sinvsinu

tanu = tanv  u = v + kπ
cotu = cotv  u = v + kπ

kπu0sinu
=⇔=
,
k2π
2
π
u1sinu
+=⇔=

k2π
2
π
u1sinu
+−=⇔−=

,
k2πu1cosu
=⇔=

kπ
2
π
u0cosu +=⇔=
,
kππu1cosu
+=⇔−=
tanu = ±1 
kπ
4
π
u
+±=
; cotu = ±1 
kπ
4
π
u
+±=
Pt báûc 2 âäúi våïi mäüt hm
säú lg
* Dảng : asin
2
x + b sinx + c =
0 . (1)
Âàût t = sinx ,

1t1
≤≤−
.
Phỉång trçnh tråí thnh : at
2
+ bt
+ c = 0 .
* Dảng : acos
2
x + bcosx + c =
0 . (TT

)
* Dảng : atan
2
x + btanx + c =
0 .(2)
Âàût t = tanx
Phỉång trçnh tråí thnh : at
2
+ bt
+ c = 0 .
* Dảng : acot
2
x + bcotx + c =
0 . (TT)
Phỉång trçnh báûc nháút âäúi våïi Sin
v Cos
* Dảng : asinx + bcosx = c ; a ≠ 0, b ≠
0 .

Chia hai vãú phỉång trçnh cho
22
ba
+
räưi
cọ thãø âàût

2 2
a
cos
a b
= α
+
;
2 2
b
sin
a b
= α
+

âỉa vãư phỉång trçnh lỉåüng giạc cå bn.
*** Chụ : cos(a ± b) = cosa .cosb


sina.sinb
sin(a ± b) = sina.cosb ±
cosa.sinb
Phỉång trçnh thưn nháút
asin

2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x
= 0. Hồûc
asin
2
x + bsinx.cosx + c.cos
2
x
= d .(3)
* Gi sỉí cosx ≠ 0 . Chia hai vãú
phỉång trçnh cho cos
2
x räưi âỉa
vãư PT (2).
* Kiãøm tra
kπ
2
π
x
+=
cọ phi l
nghiãûm ca phỉång trçnh ?
*
kπ
2
π
x
+=

l nghiãûm ca (3) khi
a = d.
* Cọ thãø gii (2) bàòng cạch
dng cäng thỉïc hả báûc âỉa
vãư Phỉång trçnh báûc nháút âäúi
våïi sin v cos .
Phỉång trçnh âäúi xỉïng , phn xỉïng
âäúi våïi Sin v Cos
+ a( sinx + cosx) + bsinx.cosx + c =
0 . (4)
Âàût t = sinx + cosx =
2sin x
4
π
 
+
 ÷
 
;
2t2
≤≤−
Suy ra sinx.cosx =
2
1t
2
−
thay vo (4) räưi
tçm t , so sạnh âiãưu kiãûn ca t räưi tỉì âọ
tçm nghiãûm x .
+ a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c =

0 . (5)
Âàût t = sinx - cosx =






−
4
π
xSin2
;
2t2
≤≤−
Suy ra sinx.cosx =
2
t1
2
−
thay vo (5) räưi
tçm t , so sạnh âiãưu kiãûn ca t räưi tỉì âọ
tçm nghiãûm x .
*** Chụ : Ngoi cạc dảng phỉång trçnh thỉåìng gàûp åí trãn ta cn thỉåìng gàûp cạc dảng
phỉång trçnh khạc nhỉ :
1
Phổồng Trỗnh Lổồỹng Giaùc lồùp 11 Nm hoỹc 2009 -2010
Gv: Nguyóựn Phố ổùc Trung
1/ Phổồng trỗnh daỷng tờch







=
=
=
=
0(x)h
...............
0(x)h
0(x)h
0(x)(x)...h(x).hh
n
2
1
n21
2/ Phổồng phaùp tọứng bỗnh phổồng :



=
=
=+
0B
0A
0BA
22


3/ Phổồng phaùp õọỳi lỏỷp ( Chỷn trón vaỡ chỷn dổồùi hai vóỳ ) :



=
=






=


MB
MA
BA
MB
MA

BAèI TP PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC
BAèI TP PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC
Đ
Đ
1 PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC C BAN
1 PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC C BAN
Baỡi 1: Giaới caùc phổồng trỗnh :
a.
2

3
1)Sin(2x
=+
. b.
2
2
)40Cos(3x
o
=+
c. tg(x + 15
o
) =
3
Baỡi 2: Giaới caùc phổồng trỗnh :
a.
2
2
)30Sin(2x
0
=
vồùi -100
0
< x < 120
0
. b.
2
1
1)Cos(3x
=+
vồùi

2x
<<

c. tg(2x-15
0
) = 1 vồùi -180< x< 180 . d. tg(x
2
+ 2x + 3) =
tg2 .
Baỡi 3 : Cho phổồng trỗnh :
x)
2

Sin()
4
3
Cos(2x
+=+
a. Giaới phổồng trỗnh trón .
b. Veợ caùc ngoỹn cung õaùp ssọỳ trón õổồỡng troỡn lổồỹng giaùc .
Baỡi 4: Giaới phổồng trỗnh (Cos2x + cosx).( Sinx + Sin3x) = 0 .
Baỡi 5: Giaới caùc phổồng trỗnh :
a. Sin
2
2x + Cos
2
3x = 0 . b. tg5x.tgx = 1 c.







=






+
4
5
xCos
4
3
2xSin
22
MĩT S PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC THặèNG GP
MĩT S PHặNG TRầNH LặĩNG GIAẽC THặèNG GP
I/ Phổồng trỗnh bỏỷc nhỏỳt õọỳi vồùi Sin vaỡ Cos.
+ Daỷng phổồng trỗnh : aSinx + bCosx = c ; a 0, b 0 .
+ ióửu kióỷn coù nghióỷm : a
2
+ b
2
c
2
.
+ Giaới caùc phổồng trỗnh lổồỹng giaùc sau :

1/ Sinx + Cosx = 1 , 2/ 3Cos2x - 4Sin2x = 1 , 3/
42CosxSinx5
=+
4/ Cosx - 3Sinx = 3, 5/
2Sin3xCos3x3
=+
6/ 5Cos2x - 12Sin2x
=13
7/ 3Sin5x + 4Cos5x = 5; 8/ Sin2x + Sin
2
2x =
2
1
, 9/ 3Cos
2
x -
Sin
2
x - Sin2x = 0.
10/
2
1
cosx1
sinx1
=
+
+
11/
1Sin8x2Cos8x2
=+

vồùi
10
7
x
8
3

.
12/ Cho phổồng trỗnh Sinx + mCosx = 1 .
a. Giaới phổồng trỗnh vồùi m = -
3

2
Phổồng Trỗnh Lổồỹng Giaùc lồùp 11 Nm hoỹc 2009 -2010
Gv: Nguyóựn Phố ổùc Trung
b. Tỗm m õóứ phổồng trỗnh coù nghióỷm .
13/ Tỗm m õóứ phổồng trỗnh (m +1)Cosx + (m - 1)Sinx = 2m + 3 coù
nghióỷm .
II/Phổồng trỗnh thuỏửn nhỏỳt õọỳi vồùi Sin vaỡ Cos.
+Daỷng phổồng trỗnh : aSin
2
x + bSinx.Cosx + c.Cos
2
x = 0. Hoỷc
aSin
2
x + bSinx.Cosx + c.Cos
2
x = d .(3)
+ Giaới caùc phổồng trỗnh lổồỹng giaùc sau :

1/ Sin
2
x - 3Sinx.Cosx = -1 . 2/ Sin
2
x + 3Sinx.Cosx + 2Cos
2
x =
0 .
3/
0x8Sin3Sin2xx2Cos
22
=+
4/
0,5x2CosSin2xxSin
22
=+

5/
4x2CosSin2x33x4Sin
22
=+
6/
0xCosx4Sinx.Cosx.Cosx4SinxSin
3223
=+
7/ Sin
2
x + aCos
2
x - Sinx.Cosx = 0 8/

1x)Cos3(1)Sinx.Cosx3(1x2Sin
22
=++
9/
2x2CosSinx.Cosx3x3Sin
22
=+
10/
13Sin2xx6CosxSin
22
=+
11/
2x5SinSinxCosx32x3Cos
22
=++
12/
0x3Cosx.Cosx2SinxSin
323
=+
III/Phổồng trỗnh õọỳi xổùng õọỳi vồùi Sin vaỡ Cos.
+Daỷng phổồng trỗnh: a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (a,b
0

)
+ Giaới caùc phổồng trỗnh lổồỹng giaùc sau :
1/ 2(Sinx + Cosx) = 4SinxCosx + 1 2/ Sin2x - 12(Sinx + Cosx) +
12 = 0
3/ Sin2x - 12(Sinx - Cosx) + 12 = 0 4/ 3(Sinx + Cosx) = 2Sin2x
5/ Sinx - Cosx + 4SinxCosx + 1= 0 6/ 1 + Sin
3

x + Cos
3
x =
2
3
Sin2x
7/ Cosx +
Cosx
1
+ Sinx +
Sinx
1
=
3
10
9/ 2Sin2x - 3
6
CosxSinx
+
+ 8
= 0
10/ Cho phổồng trỗnh lổồỹng giaùc: SinxCosx = 6(Sinx + Cosx + m)
a/ Giaới phổồng trỗnh khi m = -1.
b/ Tỗm m õóứ phổồng trỗnh coù nghióỷm
11/ Sinx + Cosx - Sin2x + 1 = 0 12/ Sin
3
x + Cos
3
x = 1
13/ Tgx + Cotgx = 2 14/ Tg

2
x + Cotg
2
x + Tgx +
Cotgx = 4

BAèI TP N TP
+ Giaới caùc phổồng trỗnh lổồỹng giaùc:
1/ 2Sin
3
x - Cos2x + Cosx = 0 2/ SinxCosx +
CosxSinx
+
= 1
3/
CosxSinx

+ 4Sin2x = 1 4/ 3Cos
4
x -
4Cos
2
x.Sin
2
x + Sin
4
x = 1.
5/ Sin
3
(

4

x

) =
Sinx2
6/ Cos
3
x + Cos
2
x
+ 2Sinx - 2 = 0
7/ 4(Sin3x - Cos2x) = 5(Sinx - 1) 8/ Sin
2
3x = 4.Cos4x
+ 3
3
Phæång Trçnh Læåüng Giaïc låïp 11 Nàm hoüc 2009 -2010
Gv: Nguyãùn Phè Âæïc Trung
9/ Sin
3
x - Cos
3
x = 1 - Cotgx + Cos2x 10/ Cos
3
x + Cos
2
x -
4Cos
2

2
x
= 0
11/ 8Cos
4
x - 8Cos
2
x - Cosx +1 = 0 12/ 3(Cosx - Sinx) = 1 +
Cos2x - Sin2x .
13/ (1 + Sin2x)(Cosx - Sinx) = Cosx + Sinx 14/
6Cosx4Sinx
Cosx
1
+=
15/ Sin
2
x(1 + Tgx) = 3Sinx(Cosx - Sinx) +3 16/
cosx
cosx1
xtg
2
+
=
(ÂN01)
17/ Sin
2
3x - Cos
2
4x = Sin
2

5x - Cos
2
6x (B02). 18/
3Cos2x
2Sin2x1
Sin3xCos3x
Sinx5
+=






+
+
+
(A02) 19/ Cos3x - 4Cos2x + 3Cosx - 4 = 0 (D02)
20/
0
2
x
CosxTg
4
π
2
x
Sin
222
=−







−
(D03)
21/
Sin2x
2
1
xSin
tgx1
Cos2x
1Cotgx
2
−+
+
=−
(D03) 22/ Cotgx - tgx + 4Sin2x =
Sin2x
2

(B03) 23/ (2Cosx - 1)(2Sinx + Cosx) = Sin2x - Sinx (D04) 24/ 5Sinx - 2 = 3(1 -
Sinx).Tg
2
x (B04) 25/ 1 + Sinx + Cosx + Sin2x + Cos2x = 0 (B05)
26/ Cos
2

3x.Cos2x - Cos
2
x = 0 (A05)
27/
0
2
3
4
π
3xSin
4
π
xCosxSinxCos
44
=−






−






−++
(D05)

4