N G U Y Ễ N HỮU MÌNH (chủ biên)
TẠ D U Y LỢI - Đ Ỗ Đ Ì N H T H A N H - LÊ T R Ọ N G T Ư Ờ N G

»

Bài tập
V

Ậ

T

L

í

L

í

T

H

U

Y

Ế

T

Tập hai
(Cơ học lượng tử - Vật lí thống kê)
(Tái bản lần thứ ba)

N H À X U Ấ T B Ả N G IÁ O D U C V IÊ T N A M


-\V‘v

■


4. Tìm bước s ó n g Đ ơ Brơi ch o các trường hợp sau :

a) Electron bay qua các hiệu điện thế IV, 100V, 1000V
b) E le c tr o n b ay với vận tốc V = 10 8 cm /s
c) E le c tro n c h u y ể n đ ộ n g với n ă n g lượng 1 M e V .
d) Quả cầu c ó

khối

lượng

lg

chuyển


động

với

vận

tốc

V = lm /s.

5. D ùn g điều kiện lượng tử hoá Bo (ỳpdq = nh (q là t o ạ độ
suy rộng tương ứng với x u n g lượng suy rộng p, n là s ố ng uy êm n =

1, 2, 3... và h là h ằ n g số P lă n g ) (P la n c k ) để tìm :
a) Bán k ính q u ỹ đ ạ o Bo th ứ n h ất và th ứ hai c ủ a ê l e c t r ồ n Itrong
n g u y ê n tử hiđrô và c á c vận tốc của nó trên các q u ỹ đạo đó.

b) Các m ức n ă n g lượng c ủ a e le c tro n trong n g u y ê n tử h i đ r ồ xạc
định giá trị mức năng lượng của electron trên quỹ đạo Bo thứ nhất.

c) Bước s ó n g c ủ a vạch q u a n g p h ổ khi ê l e c tr ô n tr o n g nguytên tử
h iđ rồ c h u y ể n từ q uỹ đạ o lượng tử thứ tư (n = 4) về q u ỹ đ ạ o hượng
tử thứ hai (n = 2 ).
6. D ù n g điều kiện lượng tử hóa Bo để tìm c á c mức năng hượng
của dao đ ộ n g tử điều hoà m ột ch iểu với tần s ố 00 .
7. Hàm s ó n g của hạt trong g iế n g thế một c h ié u c ó d ạ n s :
V|/n(x) = A s in

/ Ĩ17ĨX


trong đó 0 < X < d với n = 1, 2, 3, 4... Xác định A từ điều kiện
chuẩn hoá hàm són£.
8. Trạng thái của hạt được mô tả bàng hàm s ó n g :

*2 + ikx
■„
Vị/(x) = A e

2a2

trong đó A , a, k là những hằng số.

4


a) Từ điéu kiện ch u ẩn hoá hàm sóng xác định A.
b) Xác định X để c h o mật độ xác suất tìm thấy hạt c ó trị lớn
nhất.
c ) Tìm x á c suất để hạt nàm trong k h o ả n g từ - a đến + a trên
trục X. Cho biết :

-GO
9 . Hàm s ó n g củ a electro n trong n g u y ê n tử hiđrô ở trạng thái
c ơ bản (trạng thái c ó mức năng lượng thấp nhất) c ó dạng :

cp(r) = A e

a

trong đó a = 0 , 5 2 9 . 1 0 10m là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất.

a) D ù n g điểu kiện ch u ẩ n hoá hàm s ó n g xác định A.
b) Xác định r để c h o mật độ xác suất theo bán kính c ó giá trị
lớn nhất.

§2. T O Á N TỬ
10. Chứng minh rằng :

1 1. C hứng minh rằng nếu các toán tử Ẵ và B là những toán
tử tu yến tính thì toán tử ( Ầ + B ) và toán tử A B c ũ n g là những
toán tử tuyến tính.

5


12. Chứng tỏ rằng nếu các toán tử A và B là n hữn g toáíni tử
ecm it thì các toán tử ( A + B ) và ( A B + B A ) là n hữn g toáín tử
ecmit. Với điều kiện nào thì A B hoặc BA là toán tử e c m i t ?
13. Chứne; tỏ rằng các toán tử sau đây là e c m i t :
X = X, ỳ = y, z = z, p x =

a)

õx

,

ổ
A ., õ
Py = ~in Ĩ T ’ Pz = - ^ t :
õy


2

2

OZ

2

^
Px + Pv + Pz
b) H = —
y
+ U (x,y,z)
2m
(m là khối lượng của hạt, u là t h ế năng của hạt)
/V

)

Ỵ

Lz

A A

A A

/\


*

A A

= xpy - ypx ,

A

/N

A

Ỵ

A A

L y = z p x- x p z , L x

A A

= y p z- z p y

L2 = L2x + L y + L2z
14. C h ứ n e m i n h rằ n g nếu A , B là những to án tử e c m i t thì
XV

yv

/V


A

A

/V

-A .

[ A , B ] = A B - BA = i c
trong đó c là toán tử ecmit.

15. C h ứ n g m i n h rằnơ n ế u

Ẫ,

B là n h ữ n g to á n tử ecimit,

f Ẩ , B ] = i C và a là s ố thực thì :
J Ì ( a Ầ - i B ) i | / ( x ) | 2 dx = J \|/* (x ) (a 2 A 2 + a C + B 2 )\|/(x)dx
16. Toán tử tịnh tiến một v ec tơ vô c ù n g bé ã được k í hiệui là

Tã và được đ ịnh n g h ĩa n h ư sau :
Tãi|/(r) = i ị / ( f + ã)


Tìm dạnc toán tử tịnh tiến Tà và biểu diễn nó qua toán tử
xung lượng
P=

= -i /?v


- \ h

ỡx

dy

dz

1 7 . T ì m t o á n t ử q u a y m ộ t 2 ÓC ôcp rất b é q u a y h ư ớ n g

biếu diẻn nó qua toán tử mômen xung lượng L = [r

A

n ơ và

p]. Cho biết

toán tử quay một góc bé ỗ(p = n 0 ỗ(p được kí hiệu là R(ỗcp) và được
đ ịn h n e h ĩa như sau :

R(ftộ)ụ(?) = Vị/(r + ỗr)
tr a n g đó 8 r = [Sep A r ] .

18. Toáĩ> tử A + được gọi là toán tử liên hiệp ecmit với toán tử
Ẩ mếu :

j\ị/(x)(A+cp(x)) dx = Jcp (x)Ai|/(x)dx
Chứng minh rằng :

a ) T o á n tử A là t o á n tử e c m i t n ế u A + = Â
b) (A B )+ = B+ A +

c ) JẨ,B]+ = [ B + , A Ĩ ]
19. Chứng minh rằng ta có các hẹ thức eiao hoán giữa các

toán tử sau :
a) ỵ p x -

PxY = ° ’

z Px -

b ) x L x - Lxx = -i/?z,
...

tro»n2 đ ) p x = - i n —

õ

ổx

z

Ly

C' _ ^

Pxz = ° ’


— Lxz = ì hy

, Lx = ypz -

^

zpy .

x Px -

Pxx =


Phần I I I

Cơ HỌC LƯỢNG TỬ

A - ĐE BAI

§1. N H Ữ N G C ơ SỞ V Ậ T LÍ CỦA c ơ H Ọ C LƯ Ợ N G TỬ
M Ẩ U N G U Y ÊN T Ử R O Z E P H O (R U TH E FO R D )
L Ị T H U Y Ế T 130 ( B O H R )
1.

Xác định năns; lượng, khối lượng và xung lượnơ của phôtôn

có bước sóng tương ứng với :
a) Anh sáng trông ihấy có

X = 0,7 Ịim


b) Bức xạ Rơnghen có

X = 0 ,25Ả

c) Bức xạ gamma có

X = 0 , 0 16Ả

2. Ánh sáng có bước sóng X = 4,2.10 7m được chiếu trên mặt
kiiĩìi loại kali. Công thoát của electron từ mặt kim loại kali bằng
3,2.. 10

19 J.

Xác định vận tốc cực đại của electron bay ra từ mặt

kirm loại kali.
3. Tìm công thức để tính bước sóng Đơ Brơi (DeBroglie) cho
hat tương đối tính.

3


2 0 . Đ ặt L+ = L x + i L y , L _ = L x - iLy chứng m in h ràng :

â) u L-f

L-t-


—/? L-f

b) LZL_ - L_LZ = - hL_
c) Q C C ) - ( C C ) C = o

d) L2 = C C + L 2z + Í '
e) L^L2 - L 2 L ^ = 0 , L^L2 - L 2 L^ = 0 , Q l 2 - L 2 L^ = 0
tron g

đ ó

L

2

=

L X

+

L y

+

.

2 1 . Chứn-g m in h rằng ta c ó c á c hệ thức g ia o h o á n sau :

a) pxf ( x ) - f ( x ) p x = - \ h —~


ơx

b) pA(x,y,z) - A(x,y,z)p = - ih d iv A
õ

trong đ ó p x

p = -ifìV ,

f ( x ) là hàm của

X

'
và A

lả

vcc: tơ

ỡx
phụ th u ộ c và o

X,

y , z.

c) Êt - tÊ = i tì với Ê = ih — và
ỡt


t

là thời gian.

2 2 . T ìm h à m riên g và trị riên g của c á c toán tử sau đây :
X

a) K = - i
Va2

d

4- ——

với a = con st.

dx

b) L x = - in — .
x
ãp.
c)

Px = - \ h — nếu hàm r iên g của p x là V|/(x) thoả mãn điều
dx

k iện Vj/(x) = V|/(x + a) với a = c o n s t .



L2

d) T = — =
21

21 acp2

trong đó I = c o n s t (I là m ômen quán tính và T là toán tử đ ộ n g
năng của rôtato p h ả n g ).
23.

Toán tử H a m in tơ n H của hạt ở trong g i ế n g t h ế v u ô n g g ó c

m ột chiêu c ó d ạ n g :

0 khi 0 < X < d
trong đó U (x) =
00 k h i X > d v à X < 0

T ìm hàm r i ê n g đ ã c h u ẩ n hoá và trị r i ê n s c ủ a to á n tử H .
24. Gọi L z là trị riêng c ủ a toán tử Lz và L 2 là trị riê n g c ủ a
toán tử ]} .
a) Chứng m inh r ằ n g L 2 - l \ > 0.
b) Chứng tỏ rằng nếu V|/m(cp) là hàm riêng của toán tử L z tương ứng
với trị riêng mh thì L V|/m(cp) và L_i|/m(của toán tử L z tươns ứng với các trị riêne (m + l)ft và (m - 1)/L
2

2

c) Gọi / là giá trị lớn nhất của m, chứng minh rang L = h 1(1 + 1).
2 5. Tim c á c trị r i ê n s của toán tử L2 tương ứng với hàm riêng :
Y ( 0 , cp) = A { c o s 0 + 2sin0coscp}, A = const.

9


26. Từ điều kiện chuẩn h oá hàm só n g , xác định hệ số chuẩn
hoá N /m của hàm Y /m(0, cp) = N / mP/m( c o s 0 ) e irn(p ( Y /m(9, cpj llà hàm
riêng của toán tử L? ).
2 7. Chứnơ tỏ rằns trị trung bình của bình phương tcoán tử
e c m it là k h ồ n e âm.
28. Trạng thái của hạt được m ô tả bởi hàm só n g .
x + ikx
-1
- ——

cp(x) = A e

2a

trong đó a, k là những hằng s ố và A =

Tính các trị trung bình

X,

px , À x 2 , Áp* và n g h i ệ n

lại hệ

thức bất định.
29.

Hạt ch u yển đ ộ n e trong g i ế n s thế c h ữ nhật một chiiều c ó

thành cao vô hạn được m ô tả bằng hàm s ó n s đã chuẩn hoá :

trong đó đ là bề rộng của g i ế n s thế và n = 1, 2, 3...
a)

Dùng hệ thức bất định ước tính mức n ă n e lượns thấp nhất

c ó thể c ó của hạt .
2

b) Tính các trị trung bình X, ( x - x )

và đ ộ n g năng t r u i g )ình

T của hạt.
c)

Tìm phân b ố xác suất những giá trị khác nhau củạ xung

lượng của hạt.

10

30. Cho một dao động tử điều hoà một chiều.
a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng
thấp nhất có thê có của dao độnơ tử điều hoà.
b)

Tính c á c trị t r u n g b ì n h X, X2 , X3 v à X4 c ủ a d a o đ ộ n g tử

đ iế u h o à ở trạng thái c ơ bản (trạne thái c ó m ứ c n ã n e lư ợ n g thấp

nhất) V|/0 ( x ) .
ax

Ị

c) Các hệ thức sau đây X7 = (x)2, X4 = (x 2 ) 2 có đúng không ?
31.

Trạng thái cơ bản của electron trons nguyên tử hiđrô được

mô tả bằng hàm sóng :
e a

trong đỏ a là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất.
a) Tính các trị trung bình 7 và r2 trong trạng thái cơ bản này.
b) Tìm phân bố xác suất những giá trị khác nhau của xung
lượng của electron ở trạng thái cơ bản.
32. Chứng tỏ ràng nếu

VỊ/

là hàm riêng của toán tử Lz thì các

trị trung bình Lx và Ly tronc trạng thái này đều bằng không.
33. Rổtato phảng là mô hình của hạt chuyển động quay tronơ
mặt phảng có mômen xung lượng Lz. Tìm các giá trị có thể có cùa
mồmen Lz , các xác suất của chúng và trị trung bình của mômen
Lz trolly trạng thái cùa rồtato phẳnc mô tả bàng hàm sóng :


2

V|/(cp) = Acos (p
t r o n g đ ó A là h ệ s ố c h u ẩ n h o á v à cp là e ó c q u a y x u n g q u a n h trự(C O z .

34. Hạt c h u y ể n đ ộ n g trong g i ế n g thế m ộ t c h iể u c ó bé irộng d
c ó thành ca o vô hạn được m ô tả bằng hàm s ó n g :
Vị/(x) = A x (d - x)
trong đó A là hệ s ố chuẩn hoá.
a) Tìm p h â n b ố x á c s u ấ t c ủ a c á c g i á trị k h á c n h a u CÙ31 n ă n g

lượng của hạt.
b) Tính trị trung bình của năng lượng E và (E - E ) 2 . Chc> biết:
00

Z

n=l,3,5 n

1

1

4

tt -

4

TC

QA *

96

1

o o

1

'

2

n= l,3,5...n

IX

2

C

8

3 5 . Thiết lập q u y tắc lấy đạo hàm theo thời g ia n c ủ a tích hai
toán tử
3 6 . Chứng tỏ rằng trị trung bình của x u n g lượng ở trạnig thái
d ừ n c c ó phổ gián đoạn bằng không.
3 7. Giá trị trung bình của đại lượng L ở thời đ i ể m t đượíc xác
định như sau :
L = JV*(r,t)Lvị/(r,t)dV
trong đó L k h ô n g phụ thuộc rõ vào thời gian.

a) C hứng m in h rằng nếu ta c ó ? '( t ) = S- 1(t)LS(t) với :o>ái tử

t

ắ ( t ) được xác định bằng hệ thức S(t)iị/(f,0) = Vj/(r,t) thì :
L = J i|/* (f,0) n t ) i |/ ( r ,0 )d V .

b) C h ứ n g m in h r ằ n e ta có hệ thức :

12


tr o n g đó •'/?' = s 1HS.
//-.//!/' = l i '

c ) C h ứ n g m in h rằng nếu : L M - M L = iN thì
t r o n g đó * ĩ/ = S " 1MS, . r = S_1N S và

38. T o á n tử H am in tơn của hạt m ang điện tích e c h u y ể n đ ộ n g
tron g diện từ trường c ó d ạn g :

íì
1
e —\ 2
H = - ~ ( p - - A ) + evp
2m
c

trong đó A ( x , y, z) là thế vẻctơ, (p(x, y, z) là thế vồ hướng của
trường đ iện từ và m là khối lượng của hạt.
!

ia) Tìm toán tử vận tốc V của hạt.
b ) T h iế t lập c á c hệ thức g ia o hoán giữ a cá c toán tử thành phần
củ a v/ận tốc v x , Vy , v z
c ) T h iế t lập phương trình c h u y ể n đ ộ n g của hạt.
3 9 . X uất phát từ phương trình H a i x e n b e c ( H e i s e n b e r g ) , hãy
xét x e m đ ố i với hạt tự d o, các đại lường như nãnơ lượng, x ù n g
lư ợng, cá c

hình

ch iếu

của

m ôm en

xung

lư ợn g

và bình

m ô m e n x u n g lượng c ó được bảo toàn k h ô n ơ ?

40. Với n h ữ n g đ iểu k iệ n n à o thì Lz và L2là n h ữ n g tích

phương

.

.

p h ản

chuyển động.
4 1 . N h ữ n g đại lượng c ơ h ọ c nào (năng ỉượng, các hình c h iế u
xung

lượng, c á c hình c h iế u

m ôm en

x u n g lượng và bình p h ư ơ n g

rnômen x u n g lượn g) sẽ được bảo toàn khi hạt c h u y ể n đ ộ n e trong :

a) Trường thế U (z ) = az (a = con st).
b) Trường biến thiên U (z ,t) = a(t)z.
c) Trường đối xứng x u y ê n tâm U(r).

§3. PH Ư Ơ N G T R ÌN H S R Ô Đ IN G Ơ (Shrõdinger)

4 2 . Tìm n g h iệ m tổng quát của phương trình Sróđirgĩơ một
c h iề u phụ thuộc vào thời gian đối với hạt tự do.
4 3 . Chứng tỏ rằng hạt c h u y ể n đ ộ n g tự do c ó phổ lâ n g

lượng

liên tục.
4 4 . Hạt c h u y ể n đ ộ n g trong trườne thế năng U ( r ) k h ò m g phụ
th u ộc rõ vào thời gian.
a) Tìm dạng hàm s ó n g ở trạng thái dừng.

b) Hàm s ó n g I|/(r ,t) = ^ e
k

h

Vị.Í?)

là c h ổ n g cfìất cáic hàm

s ó n g ả các trạng thái dừne. Hàm này c ó thể là n e h i ệ m cử ap íh ư ơ n g
trình Srôđingơ tổng quát và dừng được k h ô n g ?

4 5 . Tại thời đ iểm t = 0 hạt tự do c ó hàm s ó n g :

e

b) VỊ/(x, 0) =

ikx

y/2nỉĩ
T im hàm s ó n g của hạt ở các thời đ iể m sau trong hia ttrường
hợp trên.

14


4 6 . H à m s ó n £ c ủ a hạt ở t r o n g g i ế n g t h ế v u ô n e £ÓC m ộ t c h i ề u
c ổ b ề r ộ n e d, c ó thành c a o v ô hạn ớ thời đ i ế m ban đầu t = 0 c ó

dạng Vị/(x, 0) = Ax(d - x) tron£ đó A = (30d

5 ) l/2

là hệ số chuấn

h o á h à m s ó n g . T ì m h à m s ó n g c ủ a hạt ở thời đ i ể m t bất ki.
4 7 . C h ứ n g m i n h r ằ n g bài t oán x á c đ ịn h c h u y ê n đ ộ n s c ủ a d a o đ ộ n g

tử dưới tác dụng của lực cưỡnẹ bức f(t) có thể chuyển về bài toán chuyển
đ ộ n s c ủ a d a o đ ộ n g tử đ i ề u h o à tự d o n ếu th ay b i ế n s ố X| = X - ^ ( t )
t ron g ậ ọ ^ (t) t h o ả m ã n p h ư ơ n g trình c ổ đ iển : m 'ị = f(t) - m c o 2^,.

48. Chứnồ' minh rằng :
a ) M ậ t đ ộ x á c s u ấ t và m ậ t đ ộ d ò n g x á c s u ấ t c ủ a h ạ t ở t r ạ n g
t h á i d ừ n R k h ồ n g p h ụ t h u ộ c rõ v à o t h ờ i g i a n .
b ) M ậ t đ ộ d ò n ơ x á c s u ấ t c ủ a h ạ t tự d o c ó k h ố i l ư ợ n g m ở t r ạ n g
- * 2

—

t h á i vy(x, 0 ) = A e 2a

X

»

và A -

1

i,.

..

bằng

X2

/"k

— p (x ), trong đó p (x) =

m

A 2e

—2
a

.

y j'd 'fn
c)

M ật độ

dòns

x á c suất c ủ a hạt c h u y ể n

đ ộ n g tự d o tr o n g

k h ố n g g i a n b a c h i ề u J = — ỉ— 7 — , tro n e đ ó j5 là x u n g lư ợ n g c ủ a
(2 ĩih ) m
ĩt

hạt và m là khối lượng của nó.
4 9 . T r ạ n g thái c ủ a rôtato p h ả n s ở thời đ iể m ban đầu t = 0

được mô tả bằng hàm sóne :
2

V|/(cp, 0) = Asin cp
a) Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, xác định A.
b) Giải phươnc trình Srôđingơ tìm nàng lượng, nghiệm dừng
và n g h iệ m t ổ n c quát.

15


c)

Tim các giá trị c ó thế c ó của hình chiếu m ô m e n xung llượng

trên trục O z và các xác suất củ a ch ú n g.
dj Tính trị trung bình củ a hình c h iế u m ô m e n xung lư ợ n g trẻn
trục Oz, trị trung bình của bình phương hình c h iế u m ô m e n xu ng
lư ợn g trên trục O z ở trạng thái dừng tổng quát.
5 0 . Hạt có khối lượng in c h u y ể n đ ộ n g trong trường t h ế :
Okhi 0 < X < a, 0 < y < b, 0 < z < c
U ( x , y, z) = < 00 k h i X < 0, X > a, y < 0, y > b,
z < 0, z > c
Tìm hàm s ó n g và n ã n s lượng của hạt.
51. Hạt c ó khối lượng m c h u y ể n đ ộ n g trong trường thế :
Uo

U 0 khi X < 0
U (x) =

0

khi 0 < X < d

I

U 0 khi
k h i X > dd

III

II
0

d

X

; Hình 3.1 ị
Tìm phương trình xác định phổ nãng lượng E trong m iề n E <
u 0.
Lập luận về tính gián đoạn của pttiổ năng lượng (h .3 .1 ).
52.

Hạt c ó khối lượng m ch u y ể n

*

đ ộ n g trong trường t h ế c ó dạng :
U

Ư (x)=<Ị0

ị

khi X < 0

k h iO < x < d

U 2 khi X > d

với U | <

Ui

II

II!

___

0

d

X

Hình 3.2

u 2. Tìm phương trình xác định năng lượng E củ a hạt

trong vòn g E < Uj ( h .3 .2 ) .

5 3 . Hạt c ó khối lượng m, c ó năng lượng E > 0 c h u y ể n đ ộ n g từ
trái san e phải trone t r ư ờ n ơ thế c ó dạng :

16


58. X á c đ ịn h các m ức n ă n g lượng và h à m s ó n g c ù a e le c tro n
c h u y ể n đ ộ n g trong từ trường đều có cảm ứng từ B hướng d ọ c th e o

trục Oz.
5 9 . Tìm mức năng lượng và hàm s ó n g của dao đ ộ n g tử lượng
tử một c h iề u dưới tác dụng của điện trường k h ô n g đối

8 đặt d ọ c

theo phương dao đ ộ n g Ox. Cho biết k hối lượng của hạt là m và
điện t í c h c ủ a nó là e.
6 0 . Hai hạt c ó khối lượng m

J

và m 2 với m

đ ộ n g d ọ c theo trục O x và liên hệ với nhau bởi
đàn hồi p. N g o à i ra m ỗ i hạt liên hệ

Ị

=

m2

=

m ch u y ển

lực đàn hồi c ó hệ s ố

với g ố c toạ độ ( đ iể m

bằng lực đàn hồi với hệ s ố đàn hổi a .

X

X ác định c á c mức năng

lượng và hàm s ó n g của hệ hai hạt.
6 1 . Tìm mức năng lượng và hàm s ó n g của rôtato lượng tử đối

x ứ n g với to án từ H a m in t ơ n có dạn g :

trong

Lx ,

Ly , Lz là những toán tử hình c h iế u m ô m e n xung

lượng I ị , I2, I3 ( l ị = I2) là m ô m e n quán tính củ a co n quay đối với
trục O x , O y , O z đi qua khối tâm.
6 2 . T im các mức năng lượnơ và c á c hàm s ó n g của hạt ở trong

trường t h ế C ưlông ( C o u lo m b ) một chiều có dạng :
e2
ƯW = - 7 - ,
Ix I
6 3 . T im các mức năng lượng và c á c hàm s ó n g củ a hạt ở trong
trường t h ế U (x ) = U 0 ( e “2ax - 2 e _ocx) trong đó U ơ và a là những
hằng s ố ( t h ế M o (M ore)).

18

= 0)


64. Tim các mức nănơ lượng và các hàm sóng của hạt ờ trong
trường thế U(x) = ------ ^ —
ch

trong đó UQ và a là những hằne số.

(ax)

65. Tìm các hàm sóng và các mức năng lượng tương ứng của
hạt trone trường thế có dạng :
với X > 0 , A = const.

U (x)= u 0
\ X

A

6 6 . X á c định c á c m ứ c năng lượng và cá c h àm s ó n g tương ứng
của

hạt trong trường thế U ( x ) ‘= U 0 cotg

2

í nx }
—
V d )

, (0 < X < d). Tìm

hàm sóng ở trạng thái cơ bản (không tính đến chuẩn hoá).
6 7 . T rạn g thái c ủ a hạt ở trong trường x u y ê n tâm

biểu diễn

U(r) được

b ằ n g h à m s ó n g trong toạ đ ộ cầ u :

V|/(r, 0 cp)*= R(r)Y(0, cp)
a) Tìm phương trình vi phân xác định hàm bán kính R(r).
b) T im m ứ c n ă n g lư ợ n g và hàm bán kính R (r) c h ư a ch u ẩ n h oá

khi trường thế U(r) có dạng U(r) = 68

. Electron

Ze 2
r

chuyển động trong trường Culồng của hạt nhân

.
Ze2
với thê năng U(r) = -------- .
r
Xác định thừa số chuẩn hoá của hàm sóng bán kính Rn/(r).
69. Electron trong nguyên tử hiđrô ở trạng thái dừng được mồ
tả bởi hàm sóng đối xứng cầu V|/(r) = A(1 + ar)eaỉ (A, a, a là
những hằng số). Từ phư ơ nơ trình Srôđingơ xác định các hằng số a,

a và tìm năng lượns của electron. Xác định các số lượng tử tương
ứng của trạng thái electron.

19

,


—U q khi 0 < X < d
U(x) = <
0
khi X < 0 và X

>

a)

của hạt

Xác

định

hàm

són g

Ị

d

U(x)
E>0

0

(h.3.3),

I

b) T ìm hệ s ố phản xạ R và hệ s ố

-Uo

truyền qua D của hạt.
54.

III

II

Hình 3.3

Hạt c ó khối lượníỉ m ch u y ển đ ộ n s qua hàng rào t h ế chữ

nhật c ó d ạ n g :

u 0 khi
Ư(x) =

0


0

.khi

X

< 0 và

X

>d

X á c định hệ s ố phản xạ R và hệ s ố truyền qua D khi năng
*

♦

Uo

5 5 . C hứn e tỏ rằng trong trường hợp tổng
I

quát đ ố i với hàng rào thế có dạng bất kì luồn

• ‘ 11

luôn thoả mãn hệ thức R + D = 1 (R là hệ số

0

phản xạ và D là hệ sô truyền qua).

III
d

Hình 3.4

5 6 . T ì m hàm són g đã chuẩn hoá và năng lượng của dao động
tử điếu h oà một chiều. Tính các trị trung bình

—
X

và

X

2

.

5 7 . T h ế n ă n s của dao đ ộ n e tử điều hoà ba c h iề u có dạng :
T T /

1

2

U(x, y, z) = — m 031 X
2

2

+

1

—

2

2 2

11
2_2
m 002y + — inco^z

trong đó m, CủỊ , co2, CO3 là những hằng số.
a)

T ìm hặm són g và các mức năng lựợng của dao đ ộ n g tử điều

hoà bạ c h iề u .
I

ĐÁI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI _

b) Tìm bội suy biến của các ipj^$rò/tlỊnẹÕgCMl|N(Ịị|itỷự|§Nl=Ị ®3 = ®-

2 - Er VẬT LÝ...T2

17


70. T im các hàm sóng c ủ a c á c trạng thái d ừ n g và c á c inức
n ã n g lượng c ủ a h ạt trong giến g t h ế n ăn g đối xứng cầu có dạng
U (r) = 0 khi r < a và U(r) = co khi r > a.
7 1 . T im các h àm sóng và các m ứ c năng lượng tương ứng ở các
tr ạ n g th á i dừnơ với m ô m e n bằns; khôns; c ủ a hạt tro n g g i ế n g th ế
n ă n g c ó d ạ n g U(r) = - Ư 0e a , tro n g đó U 0 và a là n h ữ n g h ằ n g sổ.

72. Tìm các hàm sóng và các mức nãng lượne của hạt ở trong
A

B
t r ư ờ n s t h ế n ă n g Ư(r) = —-------tro n g đ ó A, B là n h ữ n g h à n g số.
r
r
73. T ìm các h à m s ó n g và các m ứ c n ăn g lượng c ủ a hạt ở trong
A
2
trư ờ n g t h ế năng U (r) = — + Br (A, B là n h ữ n g h ằ n g số).
r
74. T ìm các hàm sóng và các m ứ c năng lượng c ủ a d a o đ ộ n g tử
đ iề u h o à ba c h iề u đ ổ n g nhất.

75. Xác định các mức năng lượng của hạt ở trạng thái s (/ = 0)
tr o n g g i ế n g t h ế đ ố i x ứ n e x u y ê n t â m :

a
76 .

G iải bài toán K êple (K e p le r) trong trườ ng hợp hai chiểu,

n g h ĩ a là tìm các m ức n ãng lượnơ và h à m s ó n g c ủ a hạt n ằ m trone
tro n g đó

trư ờ n g t h ế U(r) = r

20


§4. LÍ THUYẾT BIỂU DIÊN
77. C h ứ n g m inh rằng :

a) N ế u F là toán tử ecmit thì m a trận với ph ần tử F nm là m a
trận ecm it.
b) N ế ù s đ ổ n g thời là ma trận unita và ma trận e c m i t thì

s

2

= z trong đó z là ma trận đơn vị.
c) Nếu A , B là các ma trận hạng hai thì A B và BA có cùng trị riêng.

78. X á c đ ịn h c á c phần tử ma trận sau :
d
a)*nm =

j V n 0 0 x V m ( x )dx

0
d

b)(Px)nm = JVnWPxVmOOdX
0

2n
c)

troní

( L z ) m m '= ÍV m (< P )L zV'(0

đó px = - i à — ,

L z = - i h — , Iị/m(cp) =

dx

dcp

7=

e im(p

là

hàm

V 27I

v iè n ị c ủ a L z và VỊ/n(x) = J — s i n ^ ^ - (n = 1, 2...) là h à m s&ng c ủ a
Vd

d

h ạ t t ron g g i ế n ^ t h ế m ộ t c h i ề u c ó bề r ộ n g d c ó t h à n h c a o v ô

79. D ù n g hệ thức sia o hoán của

X

hạn.

và p x tìm g iá trị r iê n g c ủ a

toán tử H a m i n t ơ n c ủ a dao động tử điều h o à m ộ t c h iề u và x á c đ ịn h
c á c phần tử m a trận của toạ độ X và x u n g lượng p x tr o n g b iểu
d i ể n n ă n gW lư ơ• n ev_-.


80. Gọi j x , jy , j z là các toán tử th àn h p h ần c ủ a toán t ử j
thoả m ãn các hệ thức g ia o h o á n sau :
Jx Jy “ Jy Jx — ^ Jz

Jy Jz — Jz Jy “ ^ Jx

Jz Jx “ Jx Jz “ ^ Jy

( j x , jy , j z là n h ữ n g toán tử ecm it).
1) C h ứ n g m in h rằng

a) [ ? , £ ] = [ ? S y ì = [ ? , £ ] = 0
b) [ j + , j j = - A j + ; [ j - , £ ] = ftj- ; [ j + J - ] = 2 » £
c) J

= J+ J -

Jz

^Jz » J

“ J-J+

Jz

^Jz

trong đó j + = £ + i J , L = j x “ ijy
2) Tim trị riêng của j 2 và j z
3) Tìm các phần tử ma trận của j+ , j_, j x

và jy trong j 2 và

j z - biểu diễn.
8 1 . Tìm toán tử toạ độ và toán tử xu ng lượng trong biểu diiễn
x u n g lượng.

82. V iết toán tử H a m in t ơ n c ủ a d a o đ ộ n g tử đ iều h o à một chiiều
trong biểu diễn xung lượng. Tìm hàm riêng và trị riêng của nó
trong b iểu d iễn x u n g lượng.

83. Tìm h à m s ó ng c ủ a h ạt trong x u n g lượng b iểu diễn
các trường hợ p sau :

tro>ng


1) Đối với hạt ở các trạng thái trong toạ độ biểu diễn có dạng:
Pox

1

a ) V|/(x) =

-J2 n h
Pox

1

b) Vị/(x) =

kh i

< x < —

2

7 d e

2

khi |xị > -

0

2
X

c) Vị/(x) = A e

-

2a

1
2 ”l’i p ° x

'

với A =

2 ) Đ ố i v ớ i d a o đ ộ n g tử đ i ề u h o à ở t r ạ n g t h á i c ơ b ả n

ị— N 1 / 2

/

Vị/(x) =

h

cuV

n

e

-a

2X2

/ ____ \ 1/2

với a =

mco
2 *

/

84. Tìm hàm sóng của hệ trong Lz - biểu diễn (Lz là hình
c h i ‘ế u m ô m e n x u n g l ư ợ n g t r ê n t r ụ c O z ) k h i t r ạ n g t h á i c ủ a h ệ đ ư ợ c
m ồ tả b ằ n g h à m s ó n g .

Iị/((p) = A(1 + coscp)2.
8 5 . T ì m h à m s ó n g c ủ a hạt trong b iể u d iễ n n ă n g lư ợ n g k h i hạt
ở t r o n g g i ế n g t h ế m ộ t c h iề u c ó thành c a o v ồ hạn c ó b ề rộn g d và ở
t r o i n g trạng thái :

V|/(x) =

X2 - 4 d 2 khi 0 < x < d
0

khi X > d v à X < 0.

23