Phụ lục
Phụ lục 4A

PHÂN BỐ RAYLEIGH VÀ RICE
Phân bố Rayleigh:
Xét trường hợp chỉ một tần số fc được phát và máy di động nhận được M tín hiệu tán xạ
với cùng thời gian trễ. Tín hiệu tán xạ i đến máy di động tại góc θi so với phương chuyển
động của máy di động sẽ bị dịch tần Doppler như sau:
f di =

vfc
c

cosθi

(4A.1)

trong đó: v là vận tốc chuyển động của máy di động; c là vận tốc ánh sáng; θi là một biến
ngẫu nhiên phân bố đều có hàm mật độ xác suất như sau:

 1 , θ ∈ [-π,π)

p(θ) =  2π
0, nÕu kh¸c

(4A.2)

Tín hiệu của tia tán xạ thu thứ i tại máy di động được biểu diễn là:
vf cos θi

x i (t) = R i cos  2πfc t + 2π c

t + φi 
c



(4A.3)

trong đó: Ri là biên độ ngẫu nhiên của sóng thứ i, φi là pha ngẫu nhiên phân bố đều của
sóng thứ i. Tần số của sóng i được biểu diễn như sau:
fi (θ) = fc +

vfc
c

cosθi

(4A.4)

Khai triển lượng giác (4A.3) ta được:

 vf cosθi

 vf cosθi

x i (t) = R i cos  c
t + φi  cos2πf c t − R isin  c
t + φi  sin 2πf c t
c
c






(4A.5)

= R Ii (t)cos ( 2πf c t ) − R Qi (t) sin ( 2πf c t )

trong đó:
R Ii (t) = R i cos
R Qi (t) = R isin

(
(

vfc cosθi
c
vfc cosθi
c

t + φi
t + φi

)
)

(4A.6)
(4A.7)

Tín hiệu tổng của M tia tán xạ được biểu diễn như sau

M

M

i =1

i =1

x(t) = ∑ R Ii (t) cos ( 2πf c t ) - ∑ R Qi (t) sin ( 2πf c t )

= aµ1 (t)cos ( 2 f c t ) - aµ 2 (t)sin ( 2f c t )
= β(t)  cos ( 2f c t + ψ (t) ) 
trong đó

-335-

(4A.8)


Phụ lục
M

R I (t) = ∑ R Ii (t) = aµ1 (t)

(4A.9)

i =1
M

R Q (t) = ∑ R Qi (t) = aµ 2 (t)


(4A.10)

i=1

β(t) = a µ1 (t) + µ 2 (t)

(4A.11)

 µ1 (t) 

 µ 2 (t) 

(4A.12)

2

2

ψ (t) = arctang 

a là hằng số thể hiện công suất trung bình của µi(t); µi(t) và aµi(t) là các quá trình ngẫu
nhiên độc lập; β(t) là quá trình ngẫu nhiên thể hiện đường bao của tín hiệu thu; ψ(t) là quá
trình ngẫu nhiên phân bố đều có hàm mật độ xác suất như sau:

 1 , θ ∈ [-π,π)

f Ψ (ψ ) =  2π
0, nÕu kh¸c


(4A.13)

trong đó: Ψ là biến ngẫu nhiên; ψ là giá trị của biến ngẫu nhiên của quá trình ngẫu nhiên
ψ(t).
Theo định lý giới hạn trung tâm, khi M đủ lớn, ta có thể coi aµ1(t) và aµ2(t) là các quá
trình ngẫu nhiên Gauss không tương quan có trung bình không và phương sai σ2. Khi này
ta có:
u = aµ1 (t) = β cos ψ

v = aµ 2 (t) = β sin ψ

(4A.14)

trong đó: u và v là giá trị của các biến ngẫu nhiên U và V của các quá trình ngẫu nhiên độc
lâp phân bố Gauss có phương sai σ2 và trung bình không tương ứng; β là giá trị của biến
ngẫu nhiên ς của quá trình ngẫu nhiên β(t). Hàm mật độ xác suất liên hiệp của hai biến này
được biểu diễn như sau:
 u 2 + v2 

2 σ2 

−
1
f U,V (u, v) =
e
2πσ

(4A.15)

Hàm mật độ xác suất liên hiệp của hai biến ngẫu nhiên ς và Ψ của các quá trình ngẫu

nhiên β(t) và ψ(t) được xác định bằng đổi biến như sau:
f ς ,Ψ (β, ψ) = f U,V (u, v).J(β, ψ )

(4A.16)

trong đó: β, ψ là các giá trị của các biến ngẫu nhiên β(t) và ψ(t); J(.) là Jacobi xác định như
sau:

J(β, ψ ) =

∂u
∂β

∂v
∂β

=

cos ψ

sin ψ

∂u ∂v
-β sin ψ β cos ψ
∂ψ ∂ψ
= β cos 2ψ +β sin 2ψ = β

-336-

(4A.17)



Phụ lục

Sử dụng (4A.17) ta có thể biểu diễn (4A.16) như sau:
β2

β − 2 σ2
f ς ,Ψ (r, ψ) =
e
2πσ2

(4A.18)

Ta có thể biểu diễn hàm mật độ xác suất liên hiệp của hai biến ς và Ψ là tích của hàm
mật độ xác suất fς và fΨ:
f ς ,Ψ (β, ψ ) = f ς (β).f Ψ (ψ )

(4A.19)

Từ (4A.18), (4A.19) và (4A.13), ta được hàm mật độ xác suất của đường bao tín hiệu
thu do ảnh hưởng tán xạ của đường truyền như sau:
 β −β2
 e 2σ , β ≥ 0
f ς (β) =  σ 2

nÕu kh¸c
0
2


(4A.20)

Phân bố (4A.20) được gọi là phân bố Rayleigh.
Biểu diễn (4A.8) ở dạng hàm phức sau đây:
X(t) = [ µ1 (t) + µ 2 (t) ] e

j2 πf c t

= β(t).e

jψ (t)

x(t) = Re [ X(t) ] = Re ( µ1 (t) + µ 2 (t) ) e



.e

j2 πf c t

j2 πf c t 



(4A.21)
(4A.22)

Phân bố Rice:
Giả sử ngoài các tín hiệu tán xạ được xét ở phân bố Rayleigh, máy thu còn nhận được
tín hiệu đi thẳng (LOS). Khi này có thể biểu diễn tín hiệu thu như sau:

x(t) = A.cos ( 2πf c t ) + a.µ1 (t).cos ( 2πf c t ) − a.µ 2 (t).sin ( 2πf c t )

(4A.23)

trong đó A là biên độ của tín hiệu đi thẳng. Có thể viết lại (4A.22) như sau:
x(t) = a.µ1' (t).cos ( 2πf c t ) − a.µ '2 (t).sin ( 2πf c t )

(4A.24)

trong đó
µ1' (t) =

A
+ µ1 (t)
a

(4A.25)

Từ (4A.25) và nhận xét trong phân trước, có thể nói rằng: (1) aµ'1(t) là quá trình ngẫu
nhiên độc lập phân bố Gauss có trung bình bằng A, phương sai σ2; (2) aµ2(t) là quá trình
ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss trung bình không, phương sai σ2.
Nếu ký hiệu:
2

2

β(t) = a µ '1 (t) + µ 2 (t)

(4A.26)


 µ 2 (t) 

 µ1 (t) 

(4A.27)

ψ (t) = arctan g 

và tương tự như trên ta ký hiệu:
u = aµ1 (t) = βcosψ

-337-


Phụ lục
v = A + aµ 2 (t) = βsinψ

(4A.28)

Thì nhận được:
−
1
f U,V (u, v) =
e
2πσ

(u −A) 2 + v 2
2 σ2

(4A.29)


Xét tương tự như ở phần trên ta được hàm mật độ xác suất liên hiệp của hai biến ngẫu
nhiên β và Ψ của hai quá trình ngẫu nhiên β(t) và ψ(t) như sau:
β −
f ξ ,Ψ (β, ψ ) =
e
2πσ2

β2 + A 2 −2Ar cos ψ
2 σ2

(4A.30)

trong đó: ξ, β là biến và giá trị ngẫu nhiên của quá trình ngẫu nhiên β(t); Ψ, ψ là biến và
giá trị ngẫu nhiên của quá trình ngẫu nhiên ψ(t); trong trường hợp này không thể biểu diễn
hàm mật độ xác suất liên hiệp f ξ,Ψ (r, ψ) là tích của hàm mật độ xác suất fξ(β) và fΨ(ψ), vì
tích βcosψ gồm hai biến β và ψ phụ thuộc nhau (do các giá trị khác không của A trong các
thành phần này).

Để tìm hàm phân bố xác suất đường bao tín hiệu thu của biến β ta lấy tích phân cho tất
cả các giá trị có thể có của ψ để nhận được hàm mật độ xác suất biên như sau:
f ξ (β) =

2π

∫f

ξ ,Ψ

(β, ψ )dψ


0

(4A.31)
=

β
e
2πσ2

β2 + A 2 2 π
−
2 σ2

∫e

βA cos ψ
σ2

dψ

0

Tích phân ở vế phải của (4A.31) có dạng hàm Bessel cải tiến loại một bậc không:
I0 (x) =

2π

1
e x cos ψ dψ

∫
2π 0

(4A.32)

Nếu đặt x=Aβ/ σ2 , thì (4A.31) được viết lại như sau:
β −
f ξ (β) = 2 e
σ

β2 + A 2
2 σ2

 Aβ 
I0  2 
σ 

(4A.33)

Cũng vậy, hàm mật độ xác suất pha Ψ, fΨ(ψ) được xác định như sau:
∞

f Ψ (ψ ) = ∫ f ξ,Ψ (β, ψ )dβ
2
1 −γ
γ
 1

=
e +

cos ψe(- γ sin ψ ) 1 − erfc( γ cos ψ) 
2π
π
 2


0

(4A.34)

A2
trong đó: γ = 2 . Từ các kết quả trên cho thấy: Phân bố Rayleigh là trường hợp đặc biệt
2σ

của phân bố Rice, khi A=0 I0(0)=1. Thay I0(0)=1 vào (4A.33) ta được phân bố Rayleigh
theo (4A.20). Ngoài ra khi A=0, γ=0 ta được fΨ(ψ) phân bố đều theo (4A.13).

-338-


Phụ lục
Phụ lục 4B

HIỆU NĂNG DUNG LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG SISO,
SIMO, MISO, MIMO
Hệ thống SISO
Xét kênh phađinh trong đó chứa tạp âm Gausơ trắng cộng (AWGN) có trung bình
không và phương sai σ2 cho hệ thống SISO. Tín hiệu y tại đầu ra của kênh được biểu diễn
như sau:
y=hx+ n


(4B.1)

trong đó h, x và n là hệ số đáp ứng xung kim kênh phức, tín hiệu phát và AWGN.
Tỉ số tín hiệu trên tạp âm SNR được biểu diễn như sau:
SNR =

| h |2 PT
σ2

(4B.2)

trong đó: h là hệ số đáp ứng xung kim kênh phức, PT là tổng công suất phát còn σ2 là
phương sai của AWGN (trong trường hợp này ta bỏ qua suy hao của đường truyền).
Hiệu suất phổ (SE) bằng:
 P

SE = log 2  1 + T2 | h |2  [b/s/Hz]
 σ


(4B.3)

Hệ thống SIMO (phân tập thu)
Hình PL4B.1 cho thấy hệ thống SIMO 2×1 (hai anten thu và một anten phát).

y1

y2


Hình PL4B.1. Hệ thống SIMO 1×2. y1 và y 2 là các tín hiệu đầu ra, h1,1 và h1,2 là các kênh
con giữa cặp phát thu
Xét kênh pha đinh, trong đó chứa vectơ tạp âm AWGN η có trung bình không và
phương sai σ2=N0, N0 là mật độ phổ công suất tạp âm một biên. Vectơ y đầu ra được biểu
diễn như sau:
 y1   h1,1 
y =   =  x+η
 y 2   h1,2 

(B4.4)

Từ quan hệ trên ta có thể rút ra tỷ số SNR đầu ra cho hệ thống SIMO 1×2 như sau
(với giả thiết rằng tạp âm tăng theo số máy thu):

-339-


Phụ lục
2

SNR =

PT ∑ | h1,m |2
m =1

(4B.5)

2σ 2

trong đó h1,m là hệ số đáp ứng xung kim kênh con m.

Tương tự ta có thể biểu diễn tỷ số tín hiệu trên tạp âm cho hệ thống SIMO 1 ×nr như
sau:
nr

SNR =

PT ∑ | h1,m |2
m =1

(4B.6)

n rσ2

Tương tự ta có thể biểu diễn hiệu suất phổ hệ thống SIMO 1 ×m như sau:


P nr
SE = log 2  1 + T 2 ∑ | h1,m |2  [b/s/Hz]
 n r σ m=1


(4B.7)

Hệ thống MISO (phân tập phát)
Hình PL4B.2 cho thấy hệ thống MISO 2×1

x1

x2
Hình PL4B.2. Hệ thống MISO 2×1. x1 và x2 là các tín hiệu đầu vào; y là tín hiệu đầu ra;

h1,1 và h1,2 là đáp ứng xung kim của các kênh con giữa các cặp thu phát.
Xét kênh phađinh bao gồm tạp âm AWGN η có phương sai σ2. Tổng công suất phát
PT là một hằng số và được chia đều cho hai anten phát. Tín hiệu của hai anten này không
tương quan với nhau.
Khi này vectơ y đầu ra được biểu diễn như sau:
x 
y =  h1,1 h 2,1   1  + η
x 2 

(4B.8)

Từ quan hệ trên ta có thể rút ra biểu thức cho SNR đầu ra của hệ thống MISO 2×1
như sau (coi công suất phát đựơc chia đều cho cả hai anten phát):
2

SNR =

PT ∑ h n,1
n =1

2σ

2

2

2

=


1
2

PT ∑ h n,1

2

n =1

(4B.9)

σ2

Tương tự đối với hệ thống MISO nt×1 ta có thể viết SNR đầu ra như sau:

-340-


Phụ lục

SNR =

PT
nt

nt

∑h
n =1


σ

nt

2
n,1

2

=

1
nt

PT ∑ h n,1

2

n =1

(4B.10)

σ2

Từ công thức trên ta không thể rút ra ảnh hưởng trực tiếp cuả số lượng anten phát n
lên SNR. Tăng số lượng anten phát có thể dẫn đến tăng SNR hoặc giảm SNR.
Tương tự ta có thể biểu diễn hiệu suất phổ cho hệ thống MISO nt×1 như sau:


P nt

SE = log 2 1 + T 2 ∑ | h n,1 |2  [b/s/Hz]
 n t σ n =1


(4B.11)

Công thức này cũng cho ta thấy quan hệ không rõ ràng giữa số lượng anten phát và
hiệu suất phổ. Tuy nhiên nó cũng cho thấy quan hệ log giữa chúng.

Các hệ thống MIMO (phân tập kết hợp thu phát)
Hình PL4B.3 cho thấy một hệ thống MIMO 2×2.
Hình PL4B.3 mô tả một hệ thống MIMO 2×2 trong đó x1 và x 2 là các tín hiệu đầu
vào; y1 và y2 là các tín hiệu đầu ra; h1,1, h1,2, h2,1, h2,2 là các đáp ứng xung kim của các kênh
con giữa từng cặp phát thu. Tổng công suất thu PT không đổi và được chia đều giữa hai
anten phát. Cả hai tín hiệu này không tương quan với nhau. Cũng giống như các trường
hợp đã xét ở trên ta coi vectơ tạp âm AWGN η có phương sai σ2. Biểu diễn vectơ y đầu ra
như sau:
 y1   h1,1 h 2,1   x1 
y= =
 +η
 y 2   h1,2 h 2,2   x 2 

(4B.12)

x1

y1

x2


y2

Hình PL4B.3. Hệ thống MIMO 2×2. x1 và x2 là các tín hiệu đầu vào; y1 và y2 là các tín
hiệu đầu ra; h1,1, h1,2, h2,1 và h2,2 là các kênh con giữa từng cặp phát thu.
Từ quan hệ trên ta rút ra biểu thức SNR đầu ra cho trường hợp MIMO 2×2 như sau:
SNR =

PT
2

2

2

∑∑ h
n =1 m =1
2

2
n,m

(4B.13)

2σ

trong đó hn,m là hệ số đáp ứng xung kim của các kênh con (n,m). Đối với hệ thống MIMO
nt×nr, SNR đầu ra được biểu diễn như sau:

-341-



Phụ lục

SNR =

PT
nt

nt

nr

∑∑ h
n =1 m =1
2
r

nσ

2
n,m

2
1 PT nt nr
=
h
2 ∑∑ n,m
n t n r σ n =1 m=1

(4B.14)


Công thức này khá phức tạp. Độ lợi SNR (dương hay âm) phụ thuộc vào sơ đồ
MIMO và vào các điều kiện kênh cụ thể.

Đối với hiệu suất phổ, ta có thể viết như sau cho hệ thống MIMO nt ×nr:
 

P
SE = log 2 det  I N + T 2 HH h   [b/s/Hz]
n tσ

 

(4B.15)

trong đó I N là ma trận đơn vị có kích thước N=min(nt,nr), (.)h biểu thị chuyển vị Hermitian
(chuyển vị liên hợp phức) và H là ma trận nt×nr:
 h1,1 h 2,1 ... h n t ,1 


.. . .

..
H = .

.


h
h n t ,n r 

 1,n r

(4B.16)

-342-


Phụ lục
Phụ lục 4C

PHÂN BỔ KÊNH CON VÀ CÔNG SUẤT CẬN TỐI ƯU
Ở dạng lý tưởng, các kênh con và công suất nên đồng thời được phân bổ để đạt được
nghiệm tối ưu trong (4.36). Tuy nhiên, để được phân bổ tối ưu thì trạm gốc phải tính toán
quá nhiều. Hơn nữa, trạm gốc phải tính toán đủ nhanh để phân bổ công suất và cấp phát
kênh con tối ưu theo kịp với các thay đổi của kênh vô tuyến. Vì vậy, ưu tiên giải thuật cận
tối ưu độ phức tạp thấp để cảm nhận trễ và hiệu quả chi phí. Việc phân tách phân bổ công
suất và cấp phát kênh con sẽ giảm mức độ phức tạp, bởi lẽ nó gần như giảm được một nửa
số biến trong hàm mục đích. Quá trình phân bổ tài nguyên thích ứng được minh họa ở hình
PL4C.1.
Khởi tạo
Rk = 0
Ωk = ∅

Bắt đầu

Nhập thông số cho mô hình

Tìm

max H k ,n víi n ∈ A


Ω k = Ω k ∪ {n}

A = A − {n}

N

ρ
p h2
Rk = ∑ k , n log 2 1 + k ,n k , n
B
N
n =1

N0
N


Phân bổ công suất tối ưu
Các phương trình (4.47) &
(4.50)







Đ
S


A≠∅

CËp nhËt Ω k ,N k ,Vk ,Wk
theo c¸c ph−¬ng tr×nh

S

S

Đ

Pk ,tot > Vk

Tìm

min Rk γ k víi 1 ≤ k ≤ K

ph−¬ng tr×nh (4.48)

(4.48) vµ (4.49)
Tìm

max H k ,n víi n ∈ A

Đ
Thuật toán water-filling
Các phương trình (4.45) & (4.46)

Kết thúc


Ω k = Ω k ∪ {n}

A = A − {n}

N

ρ
p h2
Rk = ∑ k , n log 2 1 + k ,n k , n
B
n =1 N

N0
N








END

Hình PL4C.1. Trình tự phân bổ tài nguyên thích ứng cho hệ thống MU-OFDM
Cấp phát kênh con cận tối ưu
Trong giải thuật cấp phát kênh con cận tối ưu, ta coi công suất được phân bố như nhau
h
trên mọi kênh con. Ta định nghĩa H k ,n = N là tỉ lệ kênh trên tạp âm cho người dùng k

2
k ,n
B
0 N

trong kênh n, và Ωk là tập kênh được ấn định cho người dùng k. Giải thuật cấp phát kênh
con cận tối ưu được mô tải như sau:

1. Khởi tạo

-343-


Phụ lục
Đặt Rk=0, Ω k = ∅ với k=1,2,…,K và A={1,2,…,N}
2. Cho k chạy từ 1 đến K
(a) tìm n thoả mãn H k , n ≥ H k , j với mọi j ∈ A
(b) cho Ω k = Ω k ∪ {n} , A=A-{n} và cập nhật Rk theo (4.37)
3. Khi A ≠ ∅ thì
(a) tìm k thoả mãn Rk γ k ≤ Ri γ i với mọi i, 1≤ i ≤ K
(b) với k tìm được, tìm n thoả mãn H k ,n ≥ H k , j với mọi j ∈ A
(c) với k và n tìm được, cho Ωk = Ωk ∪ {n} , A=A-{n} và cập nhật Rk theo (4.37)
Nguyên lý của giải thuật cấp phát kênh con cận tối ưu là, mỗi người dùng chiếm
dụng các kênh con có tỉ lệ kênh trên tạp âm lớn nhất. Tại mỗi bước lặp, người dùng có
dung lượng cân xứng thấp nhất có tùy chọn để chọn chiếm dụng kênh con. Giải thuật phân
bổ kênh con là cận tối ưu bởi lẽ coi phân bố công suất là đồng đều trên mọi kênh con. Sau
khi phân bổ kênh con, mới chỉ đạt được tính công bằng cân xứng sơ bộ. Dưới đây sẽ xét
bài toán tối đa hóa dung lượng tổng nhưng vẫn duy trì được tính công bằng cân xứng bằng
cách phân bổ công suất.


Phân bố công suất tối ưu cho cấp phát kênh con cố định
Để cấp phát kênh con tất định, bài toán tối ưu được công thức hóa như sau
K

max ∑
pk ,n

∑

k =1 n∈Ωk



pk ,n hk2,n
1
log 2  1 +
B
N

N0
N


K

với các ràng buộc:

∑∑p
k =1 n∈Ω k


k ,n







(4C.1)

≤ Ptotal

pk , n ≥ 0 với mọi k,n

Ω k rời rạc với mọi k
Ω1 ∪ Ω 2 ∪ ... ∪ Ω k ⊆ {1,2,..., N }
R1 : R2 : ... : RK = γ 1 : γ 2 : ... : γ K

trong đó: Ω k là tập kênh con cho người dùng thứ k; Ω k & Ωl loại trừ tương hỗ nhau khi
k ≠l.
Bài toán tối ưu trong (4C.1) tương ứng với việc tình giá trị lớn nhất của hàm giá dưới
đây
K

L=∑

∑

k =1 n∈Ω k


 K

1
log 2 (1 + pk ,n H k ,n ) + λ1  ∑ ∑ pk ,n − Ptotal 
N
 k =1 n∈Ωk



γ
1
+ ∑ λk  ∑ log 2 (1 + p1,n H1,n ) − 1
γk
k =2
 n∈Ω1 N
K

∑

n∈Ωk


1
log 2 (1 + pk ,n H k , n ) 
N


(4C.2)

trong đó {λi }i =1 là các nhân tử Lagrangian. Lấy đạo hàm (4C.2) theo pk ,n và đặt bằng 0 ta

được
K

-344-


Phụ lục
K
H1, n
H1, n
∂L
1
1
=
+ λ1 + ∑ λk
=0
∂p1, n N ln 2 1 + H1, n p1, n
N ln 2 1 + H1, n p1, n
k =2

(4C.3)

H k ,n
H k ,n
γ
∂L
1
1
=
+ λ1 − λk 1

=0
∂pk , n N ln 2 1 + H k , n pk , n
γ k N ln 2 1 + H k , n pk , n

(4C.4)

với k = 2, 3,...,K và n ∈ Ω k

√ Phân bố công suất cho một người dùng:.
Từ (4C.3) hoặc (4C.4), ta được
H k ,m
1 + H k , m pk , m

=

H k ,n

(4C.5)

1 + H k , n pk , n

với m, n ∈ Ω k và k = 1, 2,...,K. Không làm mất tính tổng quát, giả thiết rằng
H k ,1 ≤ H k ,2 ≤ ... ≤ H k , N với k=1,2,...,K, và Nk là số kênh con trong Ω k . Vì vậy, (4C.5) được
viết lại là
k

p k , n = p k ,1 +

H k , n − H k ,1


(4C.6)

H k , n H k ,1

với n = 1, 2,..., Nk và k = 1, 2,...,K. Phương trình (4C.6) cho thấy, phân bố công suất cho
một người dùng thứ k trên kênh con n. Công suất càng lớn thì sẽ đặt các kênh con có tỉ lệ
kênh trên tạp âm càng cao. Đây là giải thuật đổ đầy nước trong miền tần số.
Bằng cách định nghĩa Pk ,tot là công suất tổng được phân bổ cho người dùng thứ k và
dùng (4C.6), thì Pk ,tot được biểu diễn là
Nk

Nk

H k , n − H k ,1

n =1

n=2

H k ,n H k ,1

Pk ,tot = ∑ pk ,n = N k pk ,1 + ∑

(4C.7)

với k = 1, 2,...,K.

√ Phân bố công suất giữa nhiều người dùng:
K
Một khi đã biết tập { Pk ,tot }k =1 , thì việc phân bổ công suất được xác định theo (4C.6) và

(4C.7). Sử dụng các ràng buộc tỉ lệ dung lượng và ràng buộc công suất tổng trong (4.40) để
K
đạt được { Pk ,tot }k =1 . Với (4C.5) và (4C.7), các ràng buộc tỉ lệ dung lượng được biểu diễn là

P −V 

1 N1 
⋅  log 2 1 + H1,1 1,tot 1  + log 2 W1 
γ1 N 
N1 


1 N
= ⋅ k
γk N



Pk ,tot − Vk 

 log 2  1 + H k ,1
 + log 2 Wk 
Nk





(4C.8)


với k = 2, 3,...,K, trong đó Vk và Wk được xác định là
Nk

H k , n − H k ,1

n=2

H k , n H k ,1

Vk = ∑

(4C.9)

-345-


Phụ lục
1

 Nk H  Nk
Wk =  Π k , n 
n=2
 H k ,1 

(4C.10)

với k = 1, 2,...,K.
Ràng buộc công suất tổng:
K


∑P
k =1

k , tot

= Ptotal

(4C.11)

có K biến { Pk ,tot }k =1 trong tập K phương trình ở (4C.8) và (4C.11). Tính toán tập các hàm cho
K

ta phân bổ công suất tối ưu. Ở dạng tổng quát, các phương trình này là phi tuyến. Có thể
dùng các phương pháp lặp như Newton–Raphson hoặc tựa Newton để tìm nghiệm với mức
độ tính toán nhất định. Trong phương pháp Newton–Raphson, mức độ phức tạp tính toán
chủ yếu là do việc tìm hướng cập nhật. Mức độ phức tạp tính toán của mỗi bước lặp là
O ( K ) . Trong các điều kiện cụ thể có thể tìm được nghiệm tối ưu hoặc gần tối ưu cho tập
phương trình phi tuyến trong một bước lặp. Dưới đây ta phân phân tích hai trường hợp đặc
biệt.

• Trường hợp tuyến tính:

Nếu N1 : N 2 : ... : N K = γ 1 : γ 2 : ...γ K , thì tập các phương trình (4C.8) và (4C.11), được
chuyển thành tập các phương trình tuyến tính được biểu diễn bởi:
1 1
1 a
2, 2

⋮ ⋮


1 0

1   P1,tot   Ptotal 
0   P2,tot   b2 

=
⋱
⋮  ⋮   ⋮ 

 

⋯ aK , K   PK ,tot   bK 

⋯
⋯

(4C.12)

trong đó
ak , k = −

bk =

N1 H k ,1Wk
N k H1,1W1

(4C.13)

H VW H V W
N1 

Wk − W1 + 1,1 1 1 − k ,1 k k
H1,1W1 
N1
Nk





(4C.14)

với k = 2, 3,...,K. Ma trận của {ai ,i }i = 2 trong (4C.12) chỉ có các phần tử khác không trên
K

hàng đầu tiên, trên cột đầu tiên, và trên đường chéo chính. Bằng phép thế, tìm được
nghiệm cho (4C.12) với mức độ phức tạp tính toán O ( K ) là thấp.

• Trường hợp tỉ lệ kênh trên tạp âm lớn:
Trong điều chế thích ứng, hiếm khi xuất hiện điều kiện tuyến tính và tập phương
trình vẫn là phi tuyến, dẫn đến cần phải tính toán nhiều hơn. Tuy nhiên, nếu tỉ lệ kênh trên
tạp âm lớn, ta có thể lấy xấp xỉ để đơn giản bài toán: Thứ nhất, xét (4C.9) trong đó Vk có
thể tương đối nhỏ so với Pk ,tot nếu các tỉ lệ kênh trên tạp âm lớn. Hơn nữa, nếu dùng cấp
phát kênh con thích ứng, thì các kênh con tốt nhất sẽ được chọn, và giữa chúng có sự khác
nhau về độ lợi kênh khá nhỏ. Vì vậy, xấp xỉ đầu tiên là Vk = 0; Thứ hai, giả sử trạm gốc BS
H P
phát công suất lớn và tỉ lệ kênh trên tạp âm lớn, thì thành phần N ≫ 1 .
k ,1 k ,tot
k

-346-



Phụ lục
Với hai phép lấy xấp xỉ trên, (4C.8) được sắp xếp lại và được đơn giản là
N1

N1
H W
 H1,1W1  γ 1

 (P1,tot )γ 1 =  k ,1 k
 N1 
 Nk

Nk

Nk
γk
 (Pk ,tot ) γ k


(4C.15)

trong đó k=2,3,...,K
Thế (4C.15) vào (4C.11), rút ra được một phương trình biến P1,tot là

∑ c (P )
K

k =1


dk

k

1,tot

− Ptotal = 0

(4C.16)

trong đó
k =1

1


N1γ k
  H W  Nkγ 1
 1 1
ck =   N 
 1 
 Hk ,1Wk

Nk

 1

dk =  N1γ k
N γ

 k 1

k = 2,3,..., K

(4C.17)

k =1
k = 2, 3,...K .

(4C.18)

Ta có thể dùng các phương pháp số như phương pháp tìm nghiệm của Newton hoặc
phương pháp định vị lỗi để giải phương trình (4C.16).

-347-