Bài tập đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (100.37 KB, 2 trang )
Bài tập (Thời gian: 90 phút)
Câu 1. Tính đạo hàm của hàm số
y =
4x + 3
2− 5x
3x
.
Câu 2. Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số
y = 2x
3
(2x − 1)
2
.
Câu 2’. Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của hàm số
y =
x
100
(t − 1)(t − 2)
4
dt.
Câu 3. Tính các tích phân sau (một trong các câu b):
a)
3− 2x
x
2
− 3x + 2
dx.
b)
D
x ydxd y, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 4, y
2
= 2x.
b)
D
y
x
dxd y, trong đó D = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2x}.
b)
D
(7x + 2y − 1)dxd y, trong đó D là hình bình hành giới hạn bởi các đường
3x − 5y = −1,3x − 5y = 2,2x + y = −2,2x + y = 3.
Câu 4. Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:
u = y tg
z
x
·
Câu 4’. Cho hàm số u = x y + x f (
y
/x) với f (·) là hàm số khả vi. Chứng minh rằng:
x
∂ u
∂ x
+ y
∂ u
∂ y
= x y + u.
Câu 5. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số z = x
0,3
y
0,6
với
điều kiện 3x + 4y = 120.
Câu 6. Xét sự hội tụ của chuỗi số (một trong các câu):
∞
n=1
2n− 1
(
2)
n
;
∞
n=1
1
4.2
n
− 3
∞
n=1
1
n
2
+ 2
·
Câu 7. Giải phương trình vi phân: y
+ 4y = 3x + 1.
Câu 7’. Giải phương trình vi phân: y
cos
2
x + y = tg x với điều kiện ban đầu y(0) = 0.
Chữa bài tập
Ai cần thì tham khảo
1. Dùng tiêu chuẩn Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi:
∞
n=1
sin nx − sin(n + 1)x
n
Xét
|S
n+p
− S
n
| =
sin(n + 1)x
n + 1
−
sin(n + 2)x
n + 1
+··· +
sin(n + p)x
n + p
−
sin(n + p + 1)x
n + p
=
sin(n + 1)x
n + 1
−
sin(n + 2)x
(n + 1)(n + 2)
−···−
sin(n + p)x
(n + p − 1)(n + p)
−
sin(n + p + 1)x
n + p
≤
1
n + 1
+
1
(n + 1)(n + 2)
+··· +
1
(n + p − 1)(n + p)
+
1
n + p
≤
1
n + 1
+
1
(n + 1)
−
1
(n + 2)
+··· +
1
(n + p − 1)
−
1
n + p
+
1
n + p
=
2
n + 1
<
2
n
.
Vậy với mọi > 0, luôn tồn tại n
0
sao cho |S
n+p
− S
n
| < ,∀n ≥ n
0
, p ∈ N. Theo dấu hiệu
Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.
2. Sử dụng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của chuỗi:
∞
n=2
1
(ln n)
α
α > 0.
Vì
lim
x→∞
x
(ln x)
α
= +∞, α > 0 (theo quy tắc Lopitan)
Nên ta có:
lim
n→∞
1
(ln n)
α
1
n
= lim
n→∞
n
(ln n)
α
= +∞.
Vậy với n đủ lớn:
1
(ln n)
α
>
1
n
· Chuỗi
∞
n=1
1
n
phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ.
