TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
BAN CƠ BẢN

TÀI LIỆU HƢỚNG DẪN ÔN TẬP VÀ KIỂM TRA
MÔN: TOÁN CAO CẤP

Mục đích
Tài liệu này nhằm hỗ trợ cho học viên hình thức giáo dục từ xa nắm vững nội dung ôn tập
và làm bài kiểm tra hết môn hiệu quả.
Tài liệu này cần được sử dụng cùng với tài liệu học tập của môn học và bài giảng của
giảng viên ôn tập tập trung theo chương trình đào tạo.
Nội dung hƣớng dẫn
Nội dung tài liệu này bao gồm các nội dung sau:
Phần 1: Các nội dung trọng tâm của môn học. Bao gồm các nội dung trọng tâm
của môn học được xác định dựa trên mục tiêu học tập, nghĩa là các kiến thức hoặc
kỹ năng cốt lõi mà người học cần có được khi hoàn thành môn học.
Phần 2: Cách thức ôn tập. Mô tả cách thức để hệ thống hóa kiến thức và luyện tập
kỹ năng để đạt được những nội dung trọng tâm.
Phần 3: Hướng dẫn làm bài kiểm tra. Mô tả hình thức kiểm tra và đề thi, hướng
dẫn cách làm bài và trình bày bài làm và lưu ý về những sai sót thường gặp, hoặc
những nỗ lực có thể được đánh giá cao trong bài làm.
Phần 4: Đề thi mẫu và đáp án. Cung cấp một đề thi mẫu và đáp án, có tính chất
minh hoạ nhằm giúp học viên hình dung yêu cầu kiểm tra và cách thức làm bài thi.

-1-


PHẦN 1. CÁC NỘI DUNG TRỌNG TÂM
Chƣơng 1: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1. Đạo hàm và vi phân.
1.2. Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị.

1.3. Phân tích một số bài toán kinh tế.
Chƣơng 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
2.1. Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
2.2. Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện.
2.3. Ứng dụng vào bài toán kinh tế.
Chƣơng 3: Ma trận
3.1. Định nghĩa và các phép toán.
3.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng .
3.3. Tìm ma trận nghịch đảo.
Chƣơng 4: Định thức
4.1. Định nghĩa, các phương pháp tính và tính chất.
4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
Chƣơng 5: Hệ phƣơng trình tuyến tính
5.1. Định nghĩa và phương pháp Gauss-Jordan.
5.2. Hệ thuần nhất và phương pháp Cramer
5.3. Mô hình cân bằng tuyến tính
5.4. Mô hình Input-Output

-2-


PHẦN 2. CÁCH THỨC ÔN TẬP
Chƣơng 1: Phép tính vi phân hàm một biến
o Đạo hàm và vi phân :
 Các khái niệm và kỹ năng cần nắm vững : đạo hàm, vi phân.
- Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và vi phân.
- Nhớ bảng đạo hàm cơ bản, biết cách vận dụng để tính đạo hàm và vi phân
của các hàm đa thức , mũ , logarit,…
 Đọc TLHT trang 51- 60, xem kỹ các ví dụ trong TLHT.
 Làm bài tập 1,8 trang 104,105.

o Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị.
 Khái niệm và kỹ năng cần thiết:
- Nắm được các phuơng pháp tìm cực trị của hàm số, đặc biệt phải biết
cách xét dấu của một biểu thức.
 Đọc TLHT trang 78, 79 , xem kỹ các ví dụ trong TLHT.
 Làm bài tập 14 trang 107.
o

Phân tích một số bài toán kinh tế.
 Kiến thức và kỹ năng cần thiết :
- Nhớ được biểu thức toán học của biên tế, hệ số co giãn, giải được bài toán
lợi nhuận cực đại.
- Áp dụng chính xác các công thức để tính các đại lượng kinh tế.
 Đọc TLHT trang 90 – 95.
 Làm bài tập 18 trang 109.

Chƣơng 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
o Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững : đạo hàm riêng, vi phân toàn phần.
- Công thức tính vi phân toàn phần cấp 1, cấp 2.
- Cần ghi nhớ : đối với hàm z f x, y có hai biến x, y , khi tính đạo hàm
riêng theo biến x ( z x ) ta coi y là hằng số, và ngược lại khi tính đạo hàm
riêng theo biến y, coi x là hằng số. Khi đó, việc tính đạo hàm riêng giống
như tính đạo hàm của hàm 1 biến.
-Xem kỹ các ví dụ được trình bày trong TLHT.
 Đọc TLHT trang 113 – 118.
 Làm bài tập 2, 3,7,8,9 trang 133,134, 135.
o Cực trị địa phương, cưc trị có điều kiện.
-3-



 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững :
- Cực đại và cực tiểu địa phương , cực đại và cực tiểu có điều kiện.
- Các bước tìm cực trị địa phương.
- Biết dùng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị có điều kiện.
Chú ý : Nếu từ điều kiện

x, y

0 ta tính được y theo x : y

x

x vào z ta xem z như hàm một biến . Khi đó có
thì bằng cách thay y
thể tìm cực trị của hàm z như hàm theo biến x ( làm tương tự nếu tính được
x theo y).

 Đọc TLHT trang 119 – 123.
 Làm bài tập 10,11 trang 135.
o Ứng dụng vào bài toán kinh tế.
 Khái niệm và kỹ năng cần thiết :
- Ứng dụng tìm cực trị địa phuơng để giải được bài toán tìm sản luợng để
lợi nhuận cực đại trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo, và trong điều kiện
sản xuất độc quyền.
- Ứng dụng cực trị có điều kiện để giải được bài toán người tiêu dùng.
 Đọc TLHT trang 127 – 132.


Làm bài tập 12,13,14 trang 135,136.


Chƣơng 3: Ma trận
o Định nghĩa và các phép toán.
 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững:
-Nhận dạng được các loại ma trận , sử dụng được các phép toán ma trận.
- Đặc biệt đối với phép nhân hai ma trận, cần nắm vững điều kiện khi nào thì
nhân được và quy tắc nhân hai ma trận.
 Đọc TLHT trang 292 – 299.
 Làm bài tập 1 trang 319
o Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng .
 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững:
- Ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ma trận bậc thang, hạng của ma trận .
- Biết cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về ma
trận bậc thang tương đương.
- Biết cách tìm hạng của ma trận .
 Đọc TLHT trang 299 – 306.
 Đọc kỹ các ví dụ trang 301, 303.
o Tìm ma trận nghịch đảo.
 Khái niệm và kỹ năng cần nắm vững : Ma trận khả nghịch,
-4-


- Biết cách tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp
trên dòng.
- Biết giải phương trình ma trận . Chú ý phép nhân hai ma trận không có
tính chất giao hoán nên chú ý thứ tự A và X : Nếu tồn tại A 1 thì
A. X B
X A 1.B và X . A B
X B.A 1 .
 Đọc TLHT trang 306 – 309.

 Làm bài tập 4 trang 320.
Chƣơng 4: Định thức
o Định nghĩa, các phương pháp tính định thức và tính chất.
 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết :
- Hiểu được định nghĩa và tính được định thức.
- Biết vận dụng các tính chất của định thức để tính định thức.
- Khi tính định thức các phép biến đổi được áp dụng cho cả dòng và cột.
- Đặc biệt, biết sử dụng quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3.
- Lỗi sai thuờng gặp khi tính định thức : không đổi dấu định thức khi đổi chỗ
hai dòng ( hoặc hai cột ) .
 Đọc TLHT trang 323 – 334.
 Làm bài tập 1,2, trang 344, 345.
o Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
 Các khái niệm và kỹ năng cần nắm vững :
- Tìm được điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo.
- Hiểu rõ khái niệm ma trận các đồng thừa (phần phụ đại số), ma trận phó .
- Công thức tính ma trận nghịch đảo.
 Đọc TLHT trang 334 – 338.
 Làm bài tập 7 trang 346.
Chƣơng 5: Hệ phƣơng trình tuyến tính
o Định nghĩa và phương pháp Gauss-Jordan.
 Khái niệm và kỹ năng cần thiết : Hệ phương trình tuyến tính, phương
pháp Gauss – Jordan.
- Kỹ năng sử dụng các phép biến đổi trên dòng của ma trận để tìm ma trận
bậc thang tương đương . Nắm vững định lý Kronecker – Capelli .
- Lỗi hay mắc : không xác định được hạng của ma trận hệ số và hạng của ma
trận mở rộng từ đó không kết luận đuợc nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính trong các trường hợp.
Đọc TLHT trang 334 – 338.
-5-



 Làm bài tập 7 trang 346.
o Hệ thuần nhất và phương pháp Cramer
 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết : Quy tắc Cramer.
- Tính thành thạo định thức . Áp dụng công thức nghiệm của hệ Cramer.
 Đọc TLHT trang 339 – 343.
 Làm bài tập 8 trang 347.
o Mô hình cân bằng tuyến tính:
 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết:
- Hiểu được mô hình cân bằng tuyến tính.
- Biết áp dụng quy tắc Cramer để tìm đơn giá tại thời điểm cân bằng thị
trường.
 Đọc TLHT trang 416 – 418.
 Làm bài tập 1,2 trang 424,425.
o Mô hình Input-Output
 Các khái niệm và kỹ năng cần thiết:
- Hiểu được mô hình input – output mở Letiontief : giải thích được ý nghĩa
của các hệ số của ma trận hệ số đầu vào .
- Tính được sản lượng của các ngành kinh tế, chi phí nguyên liệu đầu vào và
nhu cầu của ngành kinh tế mở.
 Đọc TLHT trang 418- 424.
 Làm bài tập 3, 4 trang 425,426.

-6-


PHẦN 3. HƢỚNG DẪN LÀM BÀI KIỂM TRA
a/ Hình thức kiểm tra và kết cấu đề:
Đề kiểm tra được ra theo hình thức tự luận, thời gian 90 phút. Sinh viên được phép

sử dụng tài liệu giấy.
Đề gồm có 5 bài, điểm và nội dung mỗi bài được phân phối như sau:
o Bài 1 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 1 (Phép tính vi phân
hàm một biến):
 Tính đạo hàm, tìm cực trị của hàm số 1 biến.
 Ứng dụng cực trị hàm một biến trong kinh tế: Bài toán lập kế hoạch
sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại.
o Bài 2 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 2 (Phép tính vi phân
hàm nhiều biến), trong đó:
 Tìm đạo hàm riêng hoặc vi phân toàn phần cấp 1 hoặc cấp 2 của
hàm số 2 biến. Tìm cực trị( cục bộ) của hàm hai biến.
 Ứng dụng trong kinh tế: Bài toán lập kế hoạch sản xuất để đạt lợi
nhuận cực đại( trong điều kiện kinh doanh hoàn hảo hoặc độc quyền).
o Bài 3 (2 điểm): bao gồm các kiến thức của chương 3 (Ma trận), trong đó
tập trung vào tìm dạng nghịch đảo ( nếu có) của một ma trận vuông cấp 3.
o Bài 4 (2 điểm):bao gồm các kiến thức của chương 4 (Định thức)trong đó
tập trung vào các phương pháp tính định thức của một ma trận vuông( đến
cấp 4).
o Bài 5 (2 điểm):bao gồm các kiến thức của chương 5 (Hệ phƣơng trình
tuyến tính) trong đó:
 Giải một hệ phương trình tuyến tính (có 3 hoặc 4 ẩn ). Yêu cầu phải
trình bày từng bước giải , không được dùng máy tính để tìm ngay ra
nghiêm.
 Ứng dụng trong kinh tế: Mô hình cân bằng tuyến tính( hay tìm điểm
cân bằng thị trường).
Lƣu ý: trong hai bài 1 và 2, phải có ít nhất một bài ứng dụng trong kinh tế.
b/ Hƣớng dẫn làm bài phần tự luận:
Yêu cầu chung :
o Trước hết phải đọc thật kỹ đề bài để làm đúng và vừa đủ theo yêu cầu của
bài. Làm thừa hoặc không đúng phương pháp so với yêu cầu sẽ không được

tính điểm.
o Không cần làm bài theo thứ tự. Câu dễ làm trước.
o Các yêu cầu tính toán cần làm cẩn thận để tránh bỏ sót.
o Bài làm phải thật chi tiết, không viết tắt, các kí hiệu toán học phải viết rõ
ràng và thống nhất.
-7-


Hƣớng dẫn cụ thể
o Chƣơng 1 : Khi tìm cực trị , trước hết phải tìm miền xác định của hàm số .
Tìm điểm dừng thuộc miền xác định, Sau đó có thể dùng một trong hai cách
sau để tìm cực trị :
1) Lập bảng xét dấu y’, suy ra cực trị.
2) Tính giá trị của y’’ tại các điểm dừng đó rồi suy ra cực trị .
Trong các bài toán kinh tế, sau khi tính toán xong phải kiểm chứng tính
đúng đắn( phải dương) của các đại lượng như chi phí, doanh thu, hàm cung,
hàm cầu,...
o Chƣơng 2: Lưu ý kĩ yêu cầu đề bài: tính đạo hàm riêng hay vi phân toàn
phần, cấp 1 hay cấp 2. Đối với vi phân toàn phần cấp 2, nhớ nhân 2 vào
Z”xy.
o Chƣơng 3 :
Trước khi tìm ma trận nghịch đảo cần kiểm tra điều kiện khả nghịch
của ma trận .
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp 3 bằng một trong hai
cách.
1) Dùng phương pháp Gauss : cần ghi rõ các phép biến đổi sơ cấp
trên dòng.
1
adjA .
det A

Trình bày cụ thể các bước tính định thức và ma trận phó ( adj A ).

2) Dùng định thức : Cần nhớ chính xác công thức A

1

Khi giải xong cần thử lại ngoài giấy nháp (nhân ma trận tìm được với
ma trận ban đầu phải bằng ma trận đơn vị I để kiểm tra)
o Chƣơng 4 : Tính định thức :
- Chú ý khi tính định thức có thể biến đổi trên cả dòng và cột.
- Nhớ đổi dấu định thức khi đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột.
- Khi tính định thức cần lưu ý dấu của định thức.
o Chƣơng 5 : Giải hệ phương trình tuyến tính có thể bằng hai cách
1) Phương pháp Gauss ( dùng cho mọi loại hệ ) chú ý thực hiện chính
xác các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
2) Quy tắc Cramer cho hệ Cramer .
Cả hai cách trên đều phải trình bày từng bước giải. Tuyệt đối không
bấm máy tính ra ngay nghiệm của hệ.
o Chép bài người khác sẽ không được tính điểm.
-8-


PHẦN 4. ĐỀ THI MẪU VÀ ĐÁP ÁN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM
BAN CƠ BẢN

ĐỀ THI
MÔN : TOÁN CAO CẤP

NĂM HỌC:


LỚP :

HỆ : ĐTTX

Thời gian làm bài : 90 phút

SV đƣợc sử dụng tài liệu.

Câu 1(2 điểm):Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm Q và bán với giá P, biết

P
và hàm tổng chi phí là C = C(Q) = Q3 – 77Q2 + 1000Q +
2
40.000. Hãy xác định mức sản lượng sản phẩm Q để công ty có lợi nhuận cao nhất.
hàm cầu QD = D(P) = 656

Câu 2(2 điểm): Tìm cực trị của hàm số hai biến: z

Câu 3(2 điểm):Cho ma trận: A

2
1
1

x3

y 3 18 xy

2 3

-1
1 0 . Hãy tìm A (nếu có).
2

1

Câu 4 (2 điểm):Hãy tính định thức của ma trận sau: B

Câu 5 (2 điểm): Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

1
2

1
3

1
1

1
0

1
1

1
2

1
1


1
1

x1 2 x2 3 x3
2 x1 2 x2 2 x3

2

3 x1 x2 x3 x4 5
2 x1 4 x2 x3 x4 3

---------------HẾT---------------

-9-

x4
x4

3


ĐÁP ÁN
Câu 1:
Từ hàm cầu Q 656

P
2

P 1312 2Q

1312 2Q .Q 1312Q 2Q 2

Doanh thu: R P.Q
Lợi nhuận:
L

R C
L 1312Q 2Q 2
Q 3 75Q 2

L

Q 3 77Q 2 1000Q 40000
312Q 40000

Bài toán trở thành tìm Q sao cho L cực đại.
Ta có: L'
Cho L'

3Q 2 150Q 312

Q
Q

0

2
52

Ta loại nghiệm Q = -2 do Q là sản lượng nên luôn dương.

Ta có: L"

L"Q

6Q 150

6.52 150

52

162 0

=> L đạt cực đại khi Q = 52 với Lmax = 38.416
Khi đó: Doanh thu R = 62.816 và Chi phí C = 24.400
Câu 2:
Tìm cực trị của hàm số hai biến: z
'
Ta có Z x

3x 2 18 y; Z y'

x3

y 3 18 xy

3 y 2 18 x

3x 2 18 y

0


x

0

x

6

3 y 2 18 x

0

y

0

y

6

=> Có 2 điểm dừng M1(0;0) và M2(6;6)
"
Ta có: Z x2

6 x; Z "y2

6 y; Z xy"

18


* Tại điểm dừng M1(0;0):

- 10 -


Z x" 2 0;0

A

0.6

"
Đặt B Z xy 0;0

18

Z "y 2 0;0

C

B2

0

0.6

AC

18


0
2

0.0 324 0

=> Z không đạt cực trị tại M1(0;0).
* Tại điểm dừng M2(6;6):
Z x" 2 6;6

A

6.6

"
Đặt B Z xy 6;6

18

Z "y 2 6;6

C

B2

36

6.6

AC


18

6
2

36.36

972

972 0
A 36 0

Vì

=> Z đạt cực tiểu tại M2(6;6) với Zmin = - 216.
Câu 3 (2 điểm): Cho ma trận: A

2
1
1

2 3
-1
1 0 . Hãy tìm ma trận nghịch đảo A (nếu có).
2

1

Ta có:


A | I3

3

3 62
2

1

2

2

1
1

1 00 1 0
2 10 0 1
1

2 3
1 4 2 43

31 0 0

1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1


1

1

3

2
3

2
3

3
1

4
5
6

- 11 -

0 1 10 1 1
0 6 51 0 2

3
3
4

Câu 4 (2 điểm): Hãy tính định thức của ma trận sau: B


Ta có:

1 4 41 0 1

1
2

1
3

1
1

1
0

1
1

1
2

1
1

1
1


B


B

1
2

1
3

1
1

1
0

1
1

1
2

1
1

1
1

2 2

(2) (2) 2(1)

(3) (3) (1)
(4)

(4) (1)

1 1
0 1

1
3

1
2 (4)

0 0
0 1

2
0

2
2

6

3 0

Câu 5 (2 điểm):

Giải hệ phương trình tuyến tính sau:


x1 2 x2 3 x3
2 x1 2 x2 2 x3

A

2
2
1
4

3
2
1
1

1
1
,X
1
1

x1
x2
x3
x4

2

3 x1 x2 x3 x4 5

2 x1 4 x2 x3 x4 3

Đặt :

1
2
3
2

x4
x4

,B

2
3
5
3

Thì (*) < = > A.X = B

Ta có :

- 12 -

3

*

(4)


1 1
(2) 0
1

1
3

1
2

0 0
0 0

2
3

2
0


A| B

(2)

(3)

1
2


2
2

3
2

1 2
1 3

3
2

1
4

1
1

1 5
1 3

1
0
0

2
1
7

3

2
10

1 2
3 6
4 1

0

0

5

3

(2) (3)

3

4

1 2

3

0 1
0 0
0 0

2

1
5

1

(2)

(2) 2(1)

(3)
(4)

(3) 3(1)
(4) 2(1)

(3)

x3 14 x4
44
73 x4 219

x3

2

x4

3

1 2

1 7

0
0

7
0

10
5

4
3

2
(4)

4 53

1

x2

3
8

3 7 2

Thay vào hệ phương trình , ta có :
x4


2
6

1

3 6
14 44
3
1

x1 2 x2 3 x3 x4 2
x2 2 x3 3 x4
6

1
0

1

x4

Kết luận : Vậy hệ PT trên có nghiệm :

1

x2

1


x3

2

x4

3

- 13 -

1
1

1 2
0 1
0 0

3
2
4

1 2
3 6
18 43

0 0

5

3


1 2

3

0 1
0 0
0 0

2
1
0

1

1
2

3 6
14 44
73 219