CÁC DẠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11 CÓ LỜI GIẢI
Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản
Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Trắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Trắc nghiệm phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Dạng 4: Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác
Trắc nghiệm phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác
Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng
Trắc nghiệm phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng
Dạng 6: Cách giải các phương trình lượng giác đặc biệt
Trắc nghiệm giải các phương trình lượng giác đặc biệt
Dạng 7: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện
Trắc nghiệm tìm nghiệm của phương trình lượng giác thỏa mãn điều kiện
Dạng 8: Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác
Trắc nghiệm phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng
giác
Giải phương trình lượng giác cơ bản
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)


Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
Phương trình lượng giác không mẫu mực
Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chủ đề: Phương trình lượng giác
Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
Cách giải phương trình lượng giác cơ bản
A. Phương pháp giải & Ví dụ


- Phương trình sinx = a

(1)

♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π-α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện

và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:


- Phương trình cosx = a

(2)

♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.


Nếu α thỏa mãn điều kiện

và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là
x = arccosa + k2π, k ∈ Z
và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a

(3)

Điều kiện:
Nếu α thỏa mãn điều kiện

và tanα = a thì ta viết α = arctan a.


Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là
x = arctana + kπ,k ∈ Z
- Phương trình cotx = a

(4)

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện
Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là
x = arccota + kπ, k ∈ Z

và cotα = a thì ta viết α = arccot a.


Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sin(π/6)
b) 2cosx = 1.

c) tanx – 1 = 0
d) cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos2 x - sin2x =0.
b) 2sin(2x – 40º) = √3
Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sinπ/6


b)

c) tanx=1⇔cosx= π/4+kπ (k ∈ Z)
d) cotx=tan2x


Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sinx cosx=0
⇔ cosx (cosx - 2 sinx )=0

b) 2 sin(2x-40º )=√3
⇔ sin(2x-40º )=√3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sin(2x+1)=cos(3x+2)


b)

⇔ sinx+1=1+4k
⇔ sinx=4k (k ∈ Z)
Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vô nghiệm
Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 .Khi đó:
⇔sinx = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) cos(3x + π) = 0
b) cos (π/2 - x) = sin2x
Lời giải:



Bài 2: Giải các phương trình sau
a) sinx.cosx = 1
b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0
Lời giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau
a) cos2 x - 3cosx + 2 = 0


b) 1/(cos2 x) - 2 = 0.
Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.
Lời giải:

Bài 5: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx + (√3+1)cosx = 2√2 sin2x
Lời giải:


Trắc nghiệm giải phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1: Giải phương trình sau:

.

Hiển
thị đáp án
Đáp án: D


Vậy chọn D
Bài 2: Giải phương trình: cos2x.tanx = 0.


Hiển
thị đáp án
Đáp án: D

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sinx = m có nghiệm.
A. m ≠ 1

B. m ≠ -1

C. -1 ≤ m ≤ 1

D. m > 1

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
sinx = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Chọn C
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của m đế phương trình cosx - m = 0 có nghiệm.
A. m ∈ (-∞,-1]
C. m ∈ [-1,1]

B. m ∈ (1,+∞]
D. m ≠ -1

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
cosx - m = 0 có nghiệm ⇔ cosx = m có nghiệm ⇔ |m| ≤ 1. Chọn C

Bài 5: Số nghiệm của phương trình sin(2x – 40º) = 1 với -180º < x < 180º là:


A.1

B.2

C.3

D.4

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
sin(2x-40º) = 1 ⇔ 2x-40º = 90º + k360º ⇔ x = 65º + k180º
-180º < x < 180º ⇒ x=65º (k=0),x= -115º (k= -1) .Chọn B.

Bài 6: Gọi a là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
đề nào sau đây đúng:

. Mệnh

Hiển thị đáp án
Đáp án: C

k = 0 ⇒ x= π/4 (không thoả mãn)
k = 1 ⇒ x= 3π/4→Chọn C
Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx = m +1 có
nghiệm:
A.1


B.2

Hiển thị đáp án

C.3

D. vô số.


Đáp án: C
cosx = m + 1 có nghiệm ⇔ |m+1| ≤ 1 ⇔ -2 ≤ m ≤ 0
Vì m nguyên ⇒ m ∈ {-2;-1;0}→Chọn C
Bài 8: Phương trình nào sau đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương
trình tanx = 1:
A.sinx = √2/2

B. cosx = √2/2

C.cotx = 1

D. cot2x = 1

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
tanx = 1 ⇒ cotx = 1 ⇒ Chọn C
Bài 9: Giá trị nào là nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 0

Hiển
thị đáp án
Đáp án: D


Kết hợp với điều kiện ta chọn D.
Bài 10: Số nghiệm của phương trình tanx = tan(3π/11) trên khoảng [π/4,2 π] là:


A.1

B.2

C.3

D. vô số.

Hiển thị đáp án
Đáp án: B

Bài 11: Tổng các nghiệm của phương trình tan5x – tanx = 0 trên nửa khoảng [o,
π) bằng:
A. π

B.2 π

C. 3π/2

D. 5π/2.

Hiển thị đáp án
Đáp án: C
tan5x = tanx ⇔ x = kπ/4. x ∈ [0; π) ⇒ x=0; π/4; π/2; 3π/4
⇒ Tổng các nghiệm: 3π/2 .Chọn C

Bài 12: Nghiệm nhỏ nhất của phương trình cosx = 1 trên [0,10 π] là:
A. π

B.2 π

C. 3π/2

D. 5π/2.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
cosx=1 ⇔ x = k2π ⇒ nghiệm nhỏ nhất là 0 . Chọn A
Bài 13: Số nghiệm của phương trình cosx = 0.566 trên đoạn [π/2,2 π] là:
A.1

B.2

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
cosx = 0,566

C.3

D. 4.


⇔ x ≈ ± 0,3π + k2π ⇒ Số nghiệm trên [π/2;2π] là 1 → Chọn A
Bài 14: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos(x/2 + 15º)=sinx. Mệnh đề nào
sau đây đúng:
A.290º ∈ X


B. 20º ∈ X

C. 220º ∈ X

D. 240º ∈ X.

Hiển thị đáp án
Đáp án: A

Bài 15: Phương trình sin2 x=0.5 tương đương với phương trình nào sau đây.
A.cosx = 1

B. cos2x = 1

C. sin2x = 0

D. sin(0.5x) = 1

Hiển thị đáp án
Đáp án: B

Dạng 2: Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Định nghĩa:


Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng :
a.f2(x) + b.f(x) + c = 0

với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).
Cách giải:
Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0
Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x
Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
Ví dụ minh họa
Bài 1: sin2x +2sinx - 3 = 0

Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0

B. Bài tập vận dụng
Bài 1: 1/(sin2 x)+tanx-1=0
Lời giải:


Bài 2: cosx – sin2x = 0
Lời giải:

Bài 3: cos2x + cosx – 2 = 0
Lời giải:

Bài 4: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0
Lời giải:
⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0
⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0


⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0

Bài 5: cos23xcos2x – cos2x = 0

Lời giải:

Trắc nghiệm hương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Bài 1: Giá trị x ∈ (0,π) thoả mãn điều kiện cos2x + sinx – 1 = 0 là:
A.x = π/2

B.x = π/4

Hiển thị đáp án

C.x = -π/2

D.x = 2π/3


Đáp án: A
cos2x + sinx-1=0 ⇔ -sin2x + sinx = 0

x ∈ (0,π) nên x = π/2 (k=0). Chọn A
Bài 2: Tập nghiệm của phương trình tanx + cotx -2 = 0 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
ĐK: x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)
tanx + cotx - 2 = 0

Chọn B.
Bài 3: Tập nghiệm của phương trình 2sin2x – sin2x = 0 là:



Hiển thị đáp án
Đáp án: A
2sin2x- sin2x = 0 ⇔ 2sin2x - 2sinxcosx = 0

Chọn A
Bài 4: Tập nghiệm của phương trình 2cos 25x + 3cos5x – 5 = 0 thuộc khoảng (0;π)
là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: B
2cos25x + 3 cos5x - 5 = 0

Bài 5: Tập nghiệm của phương trình sin4x – 13sin2x + 36 = 0 là:


Hiển thị đáp án
Đáp án: D
sin4x - 13 sin2x + 36 = 0

Bài 6: Tập nghiệm của phương trình sin2x – 3sinx + 2 = 0 là:

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
sin2x-3 sinx + 2 = 0

Bài 7: Số phần tử thuộc tập nghiệm của phương trình 4sinx = 1/sinx trong khoảng
[0;2π}
A. 2

B.4


Hiển thị đáp án
Đáp án: B

C.6

D.8


ĐK: sinx ≠ 0

Bài 8: Trong khoảng (0;2π) phương trình cot2 x - tan2 x=0 có tổng các nghiệm là:
A. π

B.2π

C. 3π

D. 4π

Hiển thị đáp án
Đáp án: D

Trong (0,2 π) có các nghiệm: π/4,5π/4,3π/4,7π/4 và tổng các nghiệm là 4π. Chọn
D
Bài 9: Trong các nghiệm của phương trình cos 2 xcos2x- cos2 x=0, nghiệm nằm
trong khoảng (0;π) là:
A. π/2

B. 3π/2


C. π

D. 2π


Hiển thị đáp án
Đáp án: A
cos2xcos2x - cos2x = 0

0 < x < π nên x = π/2 (k=0). Chọn A
Bài 10: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos 2x + 5cosx + 3 = 0
trên đường tròn lượng giác là?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
2cos2x + 5cosx + 3 = 0

Bài 11: Cho phương trình cot23x - 3cot3x + 2 = 0 Đặt t = cot3x , ta được phương
trình nào sau đây?
A. t2 – 3t + 2 = 0

B. 3t2 – 9t + 2 = 0


C. t2 – 9t + 2 = 0

D. t2 – 6t + 2 = 0

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
cos2x + 3cosx + 4 = 0
⇔ 1 - 2 cos2x + 3 sinx + 4 = 0


Bài 12: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình cos2x + 3sinx +4 = 0 trên
đường tròn lượng giác là?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị đáp án
Đáp án: A
cos2x + 3sinx +4 = 0 ⇔ -2sin2x + 3sinx + 5 = 0

Vậy x = -π/2 + k2π. Vậy chỉ có một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Chọn A
Bài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx + mcotx =
8 có nghiệm.
A. m > 16


B.m < 16

C. m = 16

D. m ≤ 16

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
tanx + m cotx = 8
⇔ tan2x + 8 tanx + m = 0
Δ' = 16-m. Để pt có nghiệm thì Δ' ≥ 0 ⇔ m ≤ 16. Chọn D
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x – (2m +
1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm trên khoảng (π/2,3π/2).
A. -1 < m < 1.

B. -1 ≤ m <0.

C. -1 < m < 0.

D. -1 < m < 0.5.


Hiển thị đáp án
Đáp án: B
cos2x-(2m+1) cosx+m+1=0⇔2 cos2x (2m+1) cosx+m=0

Để pt có nghiệm trên (π/2, 3π/2)thì thì cosx < 0 do đó -1 ≤ m < 0. Chọn B
Bài 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos2x – (2m +
1)cosx + m + 1 = 0 không có nghiệm trên khoảng (π/2,3π/2).

A. m > 1.

B. -1 < m < 0.

C. Không tổn tại m.

D. m ≥ 0 và m < -1.

Hiển thị đáp án
Đáp án: D
Từ bài 14 ta có D là đáp án đúng.
Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng