Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

2018_2019

MÔN: TOÁN 12
Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3

A.

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
 3 3
 2 2
 4 4
− ; ÷
− ; ÷
− ; ÷
2

2
3
3




B.
.
C.
.
D.  3 3  .

( −1;1) .

3
2
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số y = x + 3 x + mx + m − 2 có các điểm

cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?
A. 4 .
B. 2 .
C. Vô số.

D. 3 .

Câu 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m


để đồ thị hàm số

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3

A.

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
 3 3
 2 2
 4 4
− ; ÷
− ; ÷
− ; ÷
2
2
3
3




B.
.
C.
.
D.  3 3  .

( −1;1) .

4

2
4
2
Câu 4. Cho biết hai đồ thị của hai hàm số y = x − 2 x + 2 và y = mx + nx − 1 có chung ít nhất một

điểm cực trị. Tính tổng 1015m + 3n.
A. 2018 .
B. 2017 .

Câu 5.

D. −2018 .

C. 2017 .

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

2
y = − x 3 + ( 2m 2 − 1) x 2 + ( m − 1) x − m3
3
có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

( 1;+∞ ) .
( −∞;1) .
C.
A.


B.
D.

( 0;1) .

( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ ) .

( C ) với a, b, c là các số thực. Biết ( C ) có hai
có đồ thị
điểm cực trị A và B , ba điểm O, A, B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = abc + ab + c bằng

Câu 6. Cho hàm số

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c,

A. −9 .

Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên

B.

−

25
9 .

C.


−

16
25 .

m ∈ [ −2018; 2018]

để đồ thị hàm số
hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y = − x ?
A. 2017 .

B. 4034 .

C. 4033 .

D. 1 .
y=

1 3
x − mx 2 + ( 2m − 1) x − 3
3
có

D. 2016 .

3
2
Câu 8. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x − 2 . Tính đố dài đoạn thẳng AB.

A. AB = 2 2 .


B. AB = 2 17 .

C. AB = 2 5 .

D. AB = 2 10 .

1


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

3
2
Câu 9. Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 5 x − 3x + 1 . Tìm tọa độ trung điểm

của AB.
 5 358 
M  ;−
÷
A.  3 27  .

 5 338 
N − ;−
÷
27  .
B.  3


C.

Q ( −5; −234 )

.

D.

P ( 5; −14 )

.

3
2
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = − x + x + 2 x − 1 . Viết phương trình
đường thẳng AB .

Câu 10.

7
14
y =− x+
9
9 .
A.

B.

y=


14
7
x−
9
9.

C.

7
14
x−
9
9 .

y=

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
·
điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

Câu 11.

A.

Câu 12.
A.
C.

Câu 13.


y=

D.

y=−

14
7
x+
9
9.

1 3
x − mx 2 + ( m 2 − 1) x
3
có hai

 m < −1

−1 < m < 1 .
B. m > 1 .
C. m < −1 .
D.  m > 1 .
uuu
r uuu
r
3
cos OA, OB
y
=

x
−
3
x
+
1
A
,
B
Gọi
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
. Tính
.
uuu
r uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
2
2
cos OA, OB = −
cos OA, OB =
5.
5.

B.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
1
cos OA, OB =
cos OA, OB = −
5.
5.
D.

(

(

)

(

)

(

)

(

)


)

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 + 6mx 2 + 9 x + 2m có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
4 5
đường thẳng AB bằng 5 . Tính tích các phần tử của S
37
37
A. −1 .
B. 8 .
C. 64 .

D. 1

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m
A
,
B
Câu 14. Gọi
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(với
m là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông

tại
A.

C ( −2;1)
−


5
8.

8
B. 5 .

C.

−

8
5.

5
D. 8

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3
Biết rằng đồ thị hàm số
luôn có hai điểm cực trị A và B ,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y = −3 x − 1 .
B. y = −3 x + 1 .
C. y = 3x + 1 .
D. y = 3x − 1

Câu 15.

3
2

Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = x + 3 x + m có hai điểm cực trị A, B sao
0
·
cho góc AOB = 120
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 4 .

Câu 16.

2


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3
Biết rằng đồ thị hàm
luôn có hai điểm cực trị A, B trong
đó A là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y = −3 x − 1 .
B. y = −3 x + 1 .
C. y = 3x + 1 .
D. y = 3x − 1

Câu 17.

Câu 18.


Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m

có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại

của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng
Tính tổng các phần tử của S .
A. −6 .

Câu 19.

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.

B. −4 2 .

C. 6 .

D. 4 2

1
4
3
y = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m + 1)
3
3
Tìm m để hàm số
có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm


2
2
khác phía với đường tròn x + y − 4 x + 3 = 0 ?

A

( −1;1) .

B.

 1 1
 − ; ÷.
C.  2 2 

( −2; 2 ) .

D.

( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

4
2
Với mọi m > 0, đồ thị hàm số y = x − 2mx − 3 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
3
1
m= 3 .
m
=
.

3
3
4
2
m
=
1.
m
=
2.
A
B.
C.
D.

Câu 20.

4
2
Với mọi m > 0, đồ thị hàm số y = x − 2mx − 3 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?
3
1
.
.
3
3
A 2.
B. 2 4
C. 1.

D. 2

Câu 21.

Câu 22.

Tìm

tất

cả

các

giá

trị

thực

y = − x3 + ( 2m + 1) x 2 − ( m 2 − 3m + 2 ) x − 4

của

tham

số

m


để

đồ

thị

hàm

số

có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục

tung.
A.

Câu 23.

m>−

1
2.

B. 1 < m < 2 .

C.

m<−

1
2.


D. m < 1 hoặc m > 2 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3m ( m + 2 ) x − 2 + m

có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
3
2
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = 2 x + mx − 12 x − 13 có điểm cực đại và
điểm cực tiểu cách đều trục tung.
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .

Câu 24.

3


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Câu 25.


Tài liệu 2018 - 2019

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x − 3x − mx + 2 có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
phần tử của S .
3

2

2
A. 3 .

3
B. 2 .

3
C. - 2 .

y = x+

D.

−

1
2 . Tính tổng các

2

3.

3
2
3
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại và điểm
cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x .

Câu 26.

A. 2 .

Câu 27.

C. 0 .

B. 1 .

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

y = x3 + ( m + 2 ) x 2 − m 2 x − m3 − 2m 2
A. 8 .


B. 5 .

m ∈ ( −5;5 )

D. 3 .
để

đồ

thị

của

hàm

số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
C. 7 .
D. 6 .

1 4
x − mx 2 + m 2
m
>
0
4
Câu 28. Với mọi
; đồ thị hàm số

luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi
qua ba điểm cực trị nay đi qua điểm A(2; 24) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1 < m < 3 .
B. 5 < m < 7 .
C. 3 < m < 5 .
D. 0 < m < 2 .
y=

Câu 29.

Biết rằng hàm số
S=

2 x 2 − 3x + m
x+2
có hai điểm cực trị phân biệt x1; x2 .Tính giá trị biểu

f ( x1 ) − f ( x2 )
x1 − x2
.

thức
A. S = −2 .

Câu 30.

y=

B. S = 4 .


D. S = −4 .

x 2 − m ( m + 1) x + m3 + 1
y=
( Cm ) . Hỏi điểm nào trong các điểm
x−m
Cho hàm số
có đồ thị

dưới đây là điểm cực đại của

( Cm )

C. S = 2 .

tương ứng với
1 5
M ; ÷
2 4.
A.

m = m2

( Cm )

tương ứng với

m = m1

đồng thời cũng là điểm cực tiểu của


.

 1 7
N − ;− ÷
B.  2 4  .

1 5
P ;− ÷
C.  2 4  .

 1 7
Q− ; ÷
D.  2 4  .

3x 2 − 5 x + 1
x 2 − 2 x + m có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m > 1 . Viết
Câu 31.
Biết rằng hàm số
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
x
3
x
3
y=
+
y=
−
2 ( m − 1) 2 ( m − 1)
m −1 m −1 .

A.
B.
.
x
3
x
3
y=
−
y=
+
2 ( m − 1) 2 ( m − 1)
m −1 m −1 .
C.
.
D.
y=

4


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
đường tròn đi qua ba điểm A, B, C .

Câu 32.


2
2
A . x + y − 4 = 0

C.

x2 + y2 −

B.

3
y − 1 = 0.
2

1 4
x − x2 + 2
2
. Viết phương trình

y=

 x 2 + y 2 +

3
y − 7 = 0.
2

2
2
D. x + y + 3 y − 10 = 0 .


4
2 2
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m có ba
điểm cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện
tích bằng nhau.

Câu 33.

{−
A.
Câu 34.

2; 2

}

{−
B.

6

2; 6 2

}

{ 2}
C.

{ 2}

D.
6

y = ( 2m − 1) x + 3 + m
Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng
vuông góc với

3
2
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1

A.

Câu 35.

m=

3
4.

B.

m=

1
4

C.

m=−


1
2

D.

m=

3
2

y = ( m + 1) x + 4 + m
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng

3
2
song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 .
1
{ −3} .
{ −6} .
A.
B. { } .
C.
D. ∅ .

Câu 36.

y = ( m + 1) x + 4 + m
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
tạo


3
2
0
với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1 góc 45 .
2
 4 2
 4 

 − ; 2
−4; − 
− ; − 
{ −4; 2} .
3 .
A.  3  .
B. 
C.
D.  3 3  .
4
2
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m có
ba điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.

Câu 37.

A. m > 1 .

Câu 38.

B. 0 < m < 1 .


C. 0 < m < 2 .

D. m > 2 .

4
2
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m có ba điểm cực trị

2
.
cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4
1
1
m=
.
m= .
2
2
A.
B.
C. m = 2.

D.

m=

1
2 2


.

x 2 − 3x + m − 3
C .
C
x−m
Câu 39. Cho hàm số
có đồ thị ( ) Biết đồ thị ( ) có một điểm cực trị thuộc
đường thẳng y = x − 1 . Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.
x = 2.
B. x = 3.
C. x = 5.
D. x = 7.
A.
y=

5


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

y=

Câu 40.

Tài liệu 2018 - 2019

x2 − 2 x + m
C .
C

x−m
có đồ thị ( ) Biết ( ) có một điểm cực trị thuộc đường

Cho hàm số
thẳng y = 4 x − 8 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m < −1.

B. −1 < m < 0.

C. 0 < m < 1.

D. m > 1.

3
2
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = − x + 3mx − 3m − 1 có hai điểm cực
trị đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8 y − 74 = 0 .

Câu 41.

A. m = 2 .

B. m = −4 .

C. m = −2 .

D. m = 4 .

4
2

Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2 x + 2m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

Câu 42.

B. m = 1 .

A. m = 0 .

C. m = 2 .

D.

2
2 .

m=

4
2 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m − 1 có ba
điểm cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Câu 43.

A.

Câu 44.

m=±


Gọi

1
5.

6

B.

A( x1; y1 )
T=

,

m=±

B ( x2 ; y2 )

1
5.

3

C.

m=±

1
5.


D.

m=±

1
5.

4

1
y = x 3 - mx 2 - x + m
3
là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
.

y1 - y2
x1 - x2

Tính tỉ số
2
T = − ( 1 + m2 )
3
A.
.

B.

T=


2
( 1 + m2 )
3
.

C.

T=

1
( 1 + m2 )
3
.

D.

T =−

1
( 1 + m2 )
3
.

y = x 4 - 4 ( m - 1) x 2 + 2m - 1
Với m >1 , đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị. Viết phương
trình của parabol đi qua ba điểm đó.
y = −2 ( m − 1) x 2 + 2m − 1
y = 2 ( m − 1) x 2 + 2m − 1
A.

.
B.
.
2
2
y = 6 ( m − 1) x + 2m − 1
y = −6 ( m − 1) x + 2m − 1
C.
.
D.
.

Câu 45.

3
2
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x - 2 x - 4 x + 3 . Tính diện tích S
của tam giác OAB .

Câu 46.

A.

S=

322
27 .

B.


S=

166
27 .

C.

S=

232
27 .

D.

S=

116
27 .

3
Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số y = x − 3x + m có hai điểm cực trị
là A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 10 , với O là gốc tọa độ.
A. m = −20 ∨ m = 20 . B. m = 20 .
C. m = 10 .
D. m = −10 ∨ m = 10

Câu 47.

3
Gọi A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x + m . Hỏi tam giác OAB có chu

vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).

Câu 48.

A. 4 5 .

B. 2 5 .

C. 2 5 + 2 .

D. 4 .
6


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

3
Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x + ax + b có phương trình

Câu 49.

y = −6 x + 7 . Tính y ( 2 ) .

A.

y ( 2 ) = 33

Câu 50.


.

B.

y ( 2 ) = −3

.

C.

y ( 2) = 3

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

.

D.

m

y ( 2 ) = −33

.

để đồ thị của hàm số

1 3
x − mx 2 + ( 2m − 1) x − 3
3

có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.
1

1
m ∈  ; +∞ ÷\ { 1}
− < m <1
2

A. m ≠ 1 .
B.
. C. 2
.
D. 0 < m < 2 .
y=

Câu 51.

3
2
2
( C ) . Biết gốc tọa độ O
Cho hàm số y = ax + bx + cx + d , ( a ≠ 0, b − 3ac > 0) có đồ thị

thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
S = abcd + bc + ad ?
A.

Câu 52.

−


1
36 .

B.

−

27
4 .

C.

( C) .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9
4.

−

−

D.

25
9 .

y = x4 − 2 ( m + 2 ) x 2 + m2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba
0

điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 120 .
1
1
1
m = −2 + 3
m = −2 + 3
m= 3
3.
2.
3
A.
B.
C.

D.

m=

1
2.

3

y = x3 − 3 x 2 + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có hai

điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .
1
m=
2.
A. m = 2 .
B. m = 4 .
C.
D. m = 1 .

Câu 53.

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số
(với
m là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán

Câu 54.

kính đường tròn ngoại tiếp bằng
5
8
−
A. 8 .
B. 5 .

Câu 55.

5 , trong đó C ( −2;1) .
8
5.


5
D. 8 .

4
2
Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2 có ba điểm cực trị A, B, C sao

3 9
D ; ÷
cho tứ giác ABCD nội tiếp với  5 5 
A. 4 .
B. 2 .

Câu 56.

C.

−

C. 3 .

D. 1 .

4
2
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2 có ba điểm cực trị A, B, C sao

3 9
D ; ÷

cho tứ giác ABCD nội tiếp với  5 5  .
A. 4 .
B. 2 .

C. 3 .

D. 1 .
7


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

4
2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − 3 có ba
điểm cực trị và ba điểm này nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1.

Câu 57.

A.

m = 1; m =

−1 + 3
2
.

−1 + 5

2
B.
.
−1 + 3
m=
2
D.
.
m = 1; m =

C. m = 1 .

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 3m + 2
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba điểm
cực trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.

Câu 58.

3
A. m = −1 + 15 .

3
B. m = −1 + 120 .

3
C. m = −1 + 60 .

3
D. m = −1 + 2 120 .


y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 3m − 2
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 .
A. m > −1 .
B. 0 < m < 1 .
C. −1 < m < 1 .
D. −1 < m < 0 .

Câu 59.

y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2 m + 3
Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba điểm
cực trị A, B, C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện

Câu 60.

4
tích của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 9 .

A.

m=

−1 + 15
2
.


B.

m=

−1 + 3
2 .

C.

m=

5+ 3
2 .

D.

m=

1 + 15
2 .

----------HẾT----------

GIẢI VẬN DỤNG CAO

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019

2018_2019

MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc
BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

8


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3

A.

( −1;1) .

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.
3
3

 2 2
 4 4
− ; ÷
− ; ÷
− ; ÷
2
2
3
3





B.
.
C.
.
D.  3 3  .
Lời giải

Chọn C
y′ = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) ( 1)
Ta có
.
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi
biệt x1 , x2 và y1. y2 < 0 .

( 1)

có hai nghiệm phân

2
2
9m 2 − 9m 2 + 9 > 0

 ∆′ > 0
9m − 9m + 9 > 0
⇔
⇔

2

−
2
x
−
m
−
2
x
−
m
<
0
y1. y2 < 0
(
)
(
)
4 x1.x2 + 2 m ( x1 + x2 ) + m < 0

1
2


Khi đó ta có
2
2

9m − 9m + 9 > 0
2
2

⇔ 2
⇔− 2
2
2
4
m
−
4
+
4
m
+
m
<
0


⇔ 9m − 4 < 0
3
3.
2
2
− 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy 3
3
2
Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên không âm m đề đồ thị hàm số y = x + 3 x + mx + m − 2 có các điểm

cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?
A. 4 .
B. 2 .
C. Vô số.
Lời giải
Chọn D
2
( 1) .
Ta có y′ = 3 x + 6 x + m

D. 3 .

Để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía trục hoành khi
nghiệm phân biệt x1 , x2 và y1. y2 < 0 .

( 1)

có hai

9 − 3m > 0

2
 ∆′ > 0 ⇔  2m − 6 

 3 ÷ ( x1 + 1) ( x2 + 1) < 0
y1. y2 < 0



Khi đó ta có

m < 3

⇔  2m − 6  2
 3 ÷ ( x1.x2 + ( x1 + x2 ) + 1) < 0


m < 3

⇔  2 m − 6  2  m − 3 
 3 ÷  3 ÷ < 0
 


⇔ m < 3.
Vậy

m ∈ { 0;1; 2}

thỏa mãn yêu cầu bài toán.
9


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x − m
3

A.

2

( −1;1) .

2

m

để đồ thị hàm số

3

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
 3 3
 2 2
 4 4
− ; ÷
− ; ÷
− ; ÷
2
2
3
3




B.

.
C.
.
D.  3 3  .
Lời giải

Chọn A
y′ = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) ( 1)
Ta có
.
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi
x1 x2
,
và x1.x2 < 0 .

( 1)

có hai nghiệm phân biệt

9m 2 − 9m 2 + 0 > 0

∆′ > 0 ⇔  3 ( m 2 − 1)

<0

x .x < 0
3

⇔ m 2 − 1 < 0 ⇔ −1 < m < 1 .
Ta có  1 2

m ∈ ( −1;1)
Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4
2
4
2
Câu 4: [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số y = x − 2 x + 2 và y = mx + nx − 1 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m + 3n.

A. 2018 .

B. 2017 .

D. −2018 .

C. 2017 .
Lời giải

Chọn D
4
2
3
Ta khảo sát hàm y = x − 2 x + 2 xem các điểm cực trị. y ′ = 4 x − 4 x .
x = 0
y' = 0 ⇔ 
 x = ±1 .

A ( 0; 2 )
B ( −1;1) , C ( 1;1)

Vì a = 1 > 0 nên ta có
là điểm cực đại,
là điểm cực tiểu.
Để đồ thị hai hàm số trên có chung ít nhất 1 điểm cực trị, điểm cực trị đó là B, C ứng với
trường hợp m < 0, n > 0 (các trường hợp còn lại loại)
4
2
Hàm số y = mx + nx − 1 có điểm cực đại là B, C nên
 y ( 1) = 1
 m + n − 1 = 1  m = −2
⇔
⇔
⇒ 1015m + 3m = −2018

 4m + 2n = 0
n = 4
 y′ ( 1) = 0
Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

2
y = − x3 + ( 2m 2 − 1) x 2 + ( m − 1) x − m3
3
có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
( 0;1) .
( 1;+∞ ) .
A.

B.
( −∞;1) .
( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ ) .
C.
D.
Lời giải
Chọn A

Ta tính

y′ = −2 x 2 + 2 ( 2m 2 − 1) x + m − 1

y′ = 0 có 2 nghiệm trái dấu

⇔

.

m −1
< 0 ⇔ m <1
−2
.

10


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

( C ) với a, b, c là các số thực. Biết ( C ) có hai
có đồ thị
điểm cực trị A và B , ba điểm O, A, B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = abc + ab + c bằng

Câu 6: Cho hàm số

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c,

A. −9 .

B.

−

25
9 .

C.
Lời giải

−

16
25 .

D. 1 .

Chọn B
3

2
Ta có công thức đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số y = ax + bx + cx + d , a ≠ 0 là
 2c 2b 2 
bc
y = −
÷x + d −
9a
 3 9a 

Áp dụng vào bài, ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số
 2b 2a 2 
ab
d:y = −
÷x + c −
9 
9
 3
ab
⇔c−
= 0 ⇔ ab = 9c
9
Ba điểm O, A, B thẳng hàng
.

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

2

5  25
25


S = abc + ab + c = 9c 2 + 9c + c = 9  c + ÷ −
≥−
9
9
9


Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên

m ∈ [ −2018; 2018]

để đồ thị hàm số
hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng y = − x ?
A. 2017 .

B. 4034 .

C. 4033 .

y=

1 3
x − mx 2 + ( 2m − 1) x − 3
3
có

D. 2016 .

Lời giải

Chọn
Hàm số

B.
y=

1 3
x − mx 2 + ( 2m − 1) x − 3 ( 1)
3

TXĐ: D = ¡ .
2
Ta có y ′ = x − mx + 2m − 1

Hàm số có

( 1)

2
có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y′ = x − mx + 2m − 1 có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆′ = ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1
2

11 
1
2




A 1; m − ÷
B  2m − 1; ( 2m − 1) ( 2 − m ) − 3 ÷
3  và 
3
.
Khi đó hai điểm cực trị là 
Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng y = − x khi
 
11   
1
2

1 +  m − 3 ÷  2m − 1 + 3 ( 2m − 1) ( 2 − m ) − 3 < 0
 

 
⇔ ( 3m − 8 ) ( −4m3 + 12m2 − 3m − 10 ) < 0
⇔ ( 3m − 8 ) ( m − 2 ) ( −4m 2 + 4m + 5 ) < 0
11


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019


1− 6
m <
2


1 + 6
⇔
 2
8

m > 3


Vì

m

là

số

nguyên

thỏa

m ∈ { −2018; −2017;... − 1;3; 4;...2018}

m ∈ [ −2018; 2018]

mãn

nên

ta

có

có 4034 giá thị thỏa mãn.

3
2
Câu 8: Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x − 2 . Tính đố dài đoạn thẳng AB.

A. AB = 2 2 .

B. AB = 2 17 .

C. AB = 2 5 .

D. AB = 2 10 .

Lời giải
Chọn

C.

TXĐ: D = ¡ .
2
Ta có y′ = 3x − 6 x

x = 0
⇔
x = 2
Khi đó y′ = 0

A ( 0; −2 )

Không mất tính tổng quát, giả sử hai điểm cực trị là

B ( 2; −6 )

và

Dễ có AB = 2 5
3
2
Câu 9: Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 5 x − 3x + 1 . Tìm tọa độ trung điểm

của AB.
 5 358 
M  ;−
÷
A.  3 27  .

 5 338 
N − ;−
÷
27  .
B.  3

C.

Q ( −5; −234 )

.

D.

P ( 5; −14 )

.

Lời giải
Chọn

A.

TXĐ: D = ¡ .
2
Ta có y′ = 3 x − 10 x − 3 . Dễ có y ′ luôn có hai nghiêm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị
A , B . Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm uốn I

Ta có y′′ = 6 x − 10 ; y′′ = 0

⇔x=

5 ⇒ I  5 ; − 358 

÷
 3 27  . Hay I ≡ M .
3

3
2

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = − x + x + 2 x − 1 . Viết phương trình
đường thẳng AB .
7
14
14
7
7
14
14
7
y =− x+
y = x−
y = x−
y =− x+
9
9 .
9
9.
9
9 .
9
9.
A.
B.
C.
D.

Câu 10:

12

Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

Lời giải
Chọn

B.

2
2
Ta có y′ = −3x + 2 x + 2 , y′ = 0 ⇔ −3 x + 2 x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là hoành độ A, B

1
14
7
1
14
7
y =  x − ÷. y′ + x −
y = x−
3
9
9
9


9

9.
Do
nên phương trình đường thẳng AB là
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
·
điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

Câu 11:

A. −1 < m < 1 .
Chọn

B. m > 1 .

y=

1 3
x − mx 2 + ( m 2 − 1) x
3
có hai

 m < −1

D.  m > 1 .

C. m < −1 .
Lời giải

D.

x = m −1
y′ = 0 ⇔ 
y′ = x − 2mx + ( m − 1)
x = m +1.
Ta có
,
2

Do

đó

2

2

m − 1) ( m + 2 )
(
A  m − 1;

3


2
 
m + 1) ( m − 2 )
(
÷, B  m + 1;
÷ 
3

 

uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
( m2 − 1)
cos OA, OB > 0 ⇔ OA.OB > 0 ⇔ ( m 2 − 1) +

(

⇔

(m

)

2

− 1)

9

2

(m

2

− 4)

9


÷
÷
.

nhọn

thì

>0

 m < −1
 m 4 − 5m 2 + 13 > 0 ⇔ m 2 − 1 > 0 ⇔ 
m > 1 .

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3 x + 1 . Tính
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
2
2
cos OA, OB = −
cos OA, OB =
5 .B.

5.
A.
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
1
1
cos OA, OB =
cos OA, OB = −
5 . D.
5.
C.
Lời giải
3

Câu 12:

Chọn

·AOB

Để

(

)

(

)

(

)

(

)

uuu
r uuu
r
cos OA, OB

(

).

A.

3
A ( 1; −1) , B ( −1;3 )
Ta có y′ = 3x − 3 , y′ = 0 ⇔ x = ±1 . Do đó
.

Do đó

uuu

r
uuur
OA = ( 1; −1) , OB = ( −1;3)

. Suy ra

uuu
r uuur
cos OA, OB = −

(

)

4
2
=−
2. 10
5.

13


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Câu 13:

Tài liệu 2018 - 2019

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 + 6mx 2 + 9 x + 2m có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
4 5
đường thẳng AB bằng 5 . Tính tích các phần tử của S
37
37
A. −1 .
B. 8 .
C. 64 .
Lời giải

D. 1

Chọn A
TXĐ: D = ¡

y′ = 3 x 2 + 12mx + 9
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt


3
 m>
2
⇔

3
m < −
2

2 ( 1)

⇔ ∆′ = 36m − 27 > 0

2m 
1
2
y = x+
÷ y ′ + 2 ( 3 − 4m ) x − 4 m
′
y
y
3 
3
Lấy chia cho
ta được:
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

2 ( 3 − 4m 2 ) x − y − 4m = 0

d ( O; ∆ ) =
Theo giả thiết:
⇔ 16m2 =

4m
 2 ( 3 − 4m 2 ) 2  + 1



=

4 5

5

2
16 
4 ( 3 − 4m2 ) + 1


5 

 m2 = 1
⇒  2 37
m =

64
⇔ 1024m 4 − 1616m 2 + 592 = 0

Kết hợp với điều kiện

( 1)

suy ra giá trị m thỏa mãn là m = 1; m = −1

1. ( −1) = −1
Do đó tích các giá trị m của S là
.
y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m
A
,
B
Câu 14: Gọi

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
(với
m là tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông

tại

C ( −2;1)
14


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

A.

−

5
8.

8
B. 5 .

C.
Lời giải

−

8

5.

5
D. 8

Chọn C
TXĐ: D = ¡
Ta có:

y′ = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 9m 2 − 9 ( m 2 − 1) = 9 > 0

luôn đúng với ∀m

⇒ x1 = m − 1; x2 = m + 1
m
1
y =  x − ÷ y′ − 2 x
3
3
Lấy y chia cho y ′ ta được:
⇒ phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 x + y = 0
A ( m + 1; −2m − 2 ) B ( m − 1; −2m + 2 )
Gọi
;
uuur
uuur
⇒ AC ( −3 − m;3 + 2m )

BC ( −1 − m; 2m − 1)
và
uuur uuur
AC.BC = 0 ⇔ ( 3 + m ) ( 1 + m ) + ( 3 + 2m ) ( 2m − 1) = 0
Theo giả thiết
 m=0
⇒
m = − 8
2
5

⇔ 5m + 8m = 0

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là:

−

8
5.

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3
Biết rằng đồ thị hàm số
luôn có hai điểm cực trị A và B ,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y = −3 x − 1 .
B. y = −3 x + 1 .
C. y = 3x + 1 .
D. y = 3x − 1

Câu 15:

Lời giải
Chọn B
TXĐ: D = ¡
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ ∆′ = 9m 2 − 9 ( m 2 − 1) = 9 > 0

luôn đúng với ∀m

⇒ x1 = m − 1; x2 = m + 1
15


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

m
1
y =  x − ÷ y′ − 2 x − m
3
3
Lấy y chia cho y ′ ta được:
⇒ phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 x + y + m = 0
Gọi

A ( m − 1; −3m + 2 )

;

B ( m + 1; −3m − 2 )

.

Ta thấy điểm cực đại A nằm trên đường thẳng 3 x + y + 1 = 0 hay y = −3x − 1
3
2
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = x + 3 x + m có hai điểm cực trị A, B sao
0
·
cho góc AOB = 120
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải

Câu 16:

Chọn C
 x = 0 ⇒ yA = m
y = x3 + 3 x 2 + m ⇒ y′ = 3x 2 + 6 x = 0 ⇔  A
 xB = −2 ⇒ yB = m + 4 .

uuuruuu
r
m ( m + 4)
−1
OA.OB
−1

2
0
·
cos AOB = cos120 =
⇔
=
=
⇔m=
−4
2
OA.OB m 4 + ( m + 4 ) 2
2
3

.

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3
Biết rằng đồ thị hàm
luôn có hai điểm cực trị A, B trong
đó A là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?
A. y = −3 x − 1 .
B. y = −3x + 1 .
C. y = 3x + 1 .
D. y = 3x − 1
Lời giải

Câu 17:

Chọn B
 x = m −1

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 ⇒ y ′ = 3 x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0 ⇔  1
 x2 = m + 1 .

x > xCD ⇒ x A = m + 1 ⇒ y A = −3m − 2 = −3x A + 1
Hàm số có hệ số a > 0 nên CT
.

Câu 18:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m

có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại

của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng
Tính tổng các phần tử của S .
A. −6 .

B. −4 2 .

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.

C. 6 .
Lời giải

D. 4 2

Chọn A

16


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x − m3 + m ⇒ y ′ = 3x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1) = 0

 xCD = m − 1 ⇒ yCD = −2m + 2
⇒
 xCT = m + 1 ⇒ yCT = −2m − 2
Theo giả thiết ta có:

( m − 1)
Câu 19:

2

2
2
2
+ ( −2m + 2 ) = 2 ( m + 1) + ( 2m + 2 )  ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ m1 + m2 = −6


.

1
4
3

y = x 3 − ( m + 1) x 2 + ( m + 1)
3
3
Tìm m để hàm số
có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm

2
2
khác phía với đường tròn x + y − 4 x + 3 = 0 ?

−1;1) .
A(

 1 1
 − ; ÷.
C.  2 2 
Lời giải

−2; 2 ) .
B. (

D.

( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

Chọn C

Ta có

y′ = x 2 − 2 ( m + 1) x ⇒ y′ = 0 ⇔

x=0

x = 2 ( m + 1)

.

Để hàm số có ĐCĐ, ĐCT thì m ≠ −1.
Khi đó, đặt
x=0⇒ y =

F ( x; y ) = x 2 + y 2 − 4 x + 3
4
16
3
6
( m + 1) ⇒ F1 = F ( x; y ) = ( m + 1) + 3 > 0∀m
3
9
.

x = 2 ( m + 1) ⇒ y = 0 ⇒ F2 = F ( x; y ) = 4 ( m + 1) − 8 ( m + 1) + 3 = 4m 2 − 1.
2

Giả thiết suy ra

F1.F2 < 0 ⇔ F2 < 0 ⇔ 4m 2 − 1 < 0 ⇔

.

−1
1
2
2

4
2
Với mọi m > 0, đồ thị hàm số y = x − 2mx − 3 luôn có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
3
1
m= 3 .
m
=
.
3
3
4
2
m
=
1.
m
=
2.
A
B.
C.
D.

Câu 20:

Lời giải
Chọn D
y′ = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )

y′ = 0 ⇔

x=0
x=± m

.

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
17


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

A ( 0; −3)

( m ; −m − 3)
C ( − m ; − m − 3)
2

B

2

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có
BC = 2 m
AB = AC = m4 + m
AH = m 2

Do đó,

S ABC =

1
AB. AC.BC
BC. AH =
2
4R

4
AB. AC ( m + m ) m 2
1
⇒R=
=
=
+
2
2 AH
2m
2 2m
2
m

1
1
1
=
+
+
≥ 33 .
2 4m 4m
32

m2
1
1
=
⇔m= 3 .
2
Dấu bằng xảy ra khi 2 4m
4
2
Với mọi m > 0, đồ thị hàm số y = x − 2mx − 3 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?
3
1
.
.
3
3
A 2.
B. 2 4
C. 1.

D. 2

Câu 21:

Lời giải
Chọn B
y′ = 4 x3 − 4mx = 4 x ( x 2 − m )

y′ = 0 ⇔

x=0
x=± m

.

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A ( 0; −3)

( m ; −m − 3)
C ( − m ; − m − 3)
B

2

2

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có
BC = 2 m
AB = AC = m4 + m

AH = m 2
18


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

S ABC =

Do đó,

1
AB. AC.BC
BC. AH =
2
4R

4
AB. AC ( m + m ) m 2
1
⇒R=
=
=
+
2
2 AH
2m
2 2m
2

m
1
1
1
3
=
+
+
≥ 33
= 3 .
2 4m 4m
32 2 4

m2
1
1
=
⇔m= 3 .
2
Dấu bằng xảy ra khi 2 4m

Câu 22:

Tìm

tất

cả

các

giá

trị

thực

y = − x + ( 2m + 1) x − ( m − 3m + 2 ) x − 4
3

2

của

tham

số

m

để

đồ

thị

hàm

số

2

có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục

tung.
A.

m>−

1
2.

Chọn
Ta có

B. 1 < m < 2 .

m<−

C.
Lời giải.

1
2.

D. m < 1 hoặc m > 2 .

B.

y′ = −3x 2 + 2 ( 2m + 1) x − ( m 2 − 3m + 2 )

Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục tung
⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

⇔ 3 ( m2 − 3m + 2 ) < 0 ⇔ 1 < m < 2
.

Câu 23:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3m ( m + 2 ) x − 2 + m

có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải.
Chọn
D.
Ta có

y′ = 3 x 2 − 6 ( m + 1) x + 3m ( m + 2 )

x = m
⇔
y′ = 0 ⇔ x − 2 ( m + 1) x + m ( m + 2 ) = 0
 x = m + 2 ⇒ đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực

trị với mọi m .
2

Khi đó

yCD = y ( m ) = m3 + 3m 2 + m − 2
x = m+2
và CT

 m3 + 3m 2 + m − 2 = m + 2
⇔ 3
2
m3 + 3m 2 + m − 2 = m + 2
 m + 3m + m − 2 = −m − 2
Ta có
19


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

m = 1
 m = −2

⇔
 m3 + 3m2 − 4 = 0
 m = −1
⇔ 3


2
 m + 3m + 2m = 0
m = 0 .
Vậy có 4 giá trị thực của m thỏa yêu cầu đề.
3
2
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = 2 x + mx − 12 x − 13 có điểm cực đại và
điểm cực tiểu cách đều trục tung.
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải.
Chọn
B.

Câu 24:

2
2
( *)
Ta có y′ = 6 x + 2mx − 12 , y′ = 0 ⇔ 3 x + mx − 6 = 0
2
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi m + 72 > 0 luôn đúng với mọi m .

Khi đó

( *)

có hai nghiệm phân biệt

x1 x2
, .

−m
x1 + x2 = 0 ⇔ 3 = 0 ⇔ m = 0
Giả thiết suy ra
.

Vậy có 1 số thực m thỏa đề bài.

Câu 25:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y = x3 − 3x 2 − mx + 2 có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng
phần tử của S .
2
A. 3 .

3
B. 2 .

3
C. - 2 .

y = x+

D.

−

1
2 . Tính tổng các

2
3.

Lời giải
Chọn C
Tập xác định D = ¡ .
2
Đạo hàm: y′ = 3 x − 6 x − m .

x ,x
Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2
⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3 ( 1) .
Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số là
2
b2 
bc
2
m
AB : y =  c − ÷x + d −
⇔ AB : y = (− m − 3) x + 2 −
3
3a 
9a
3
3

m
x +x 1
I  1 2 ; ( −m − 3) ( x1 + x2 ) + 2 − ÷ ⇔ I (1; − m)
3
3
Tọa độ trung điểm I của AB là  2
với

x1 + x2 = 2
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d :

y = x+

1
2
20


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

2
 3 ( − m − 3) = 1
AB
/
/
d

⇔

⇔
I ∈ d
−m = 1 + 1

2
⇔


9
ngthoû
amaõ
n)
 m= − 2 (khoâ

 m= − 3 (thoû
amaõ
n)

2
.

3
2
3
Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại và điểm
cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x .

Câu 26:

A. 2 .

C. 0 .
Lời giải

B. 1 .

D. 3 .

Chọn A
Tập xác định D = ¡ .
x = 0
y′ = 0 ⇔ 
 x = 2m
Đạo hàm y′ = 3 x − 6mx ;
2

Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ⇔ m ≠ 0 .
Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A ( 0; 4m3 ) , B ( 2m;0 )

A, B đối xứng qua đường thẳng y = x ⇔ OA = OB

Câu 27:

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

y = x3 + ( m + 2 ) x 2 − m 2 x − m3 − 2m 2
A. 8 .

B. 5 .

.

⇔ 4m3 = 2m ⇔ 4m 2 = 2 ⇔ m = ±

m ∈ ( −5;5 )

để

đồ

thị

của

1
2.

hàm

số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
C. 7 .
D. 6 .
Lời giải

Chọn C
( C ) của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành
Đồ thị
⇔ ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
x3 + ( m + 2 ) x 2 − m 2 x − m3 − 2m 2 = 0 ( 1)
Xét phương trình
.
x = m
⇔ ( x − m)( x + m + 2)( x + m) = 0 ⇔  x = −m
 x = −m − 2
.

( 1)

có ba nghiệm phân biệt

m ≠ − m
m ≠ 0

⇔ m ≠ − m − 2 ⇔ 
⇒ m ∈ {−4; −3; −2;1; 2;3; 4}
m
≠
−

1

−m ≠ −m − 2


.

( −5;5) .
Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc
1 4
x − mx 2 + m 2
m
>
0
4
Câu 28: Với mọi
; đồ thị hàm số
luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi
qua ba điểm cực trị nay đi qua điểm A(2; 24) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1 < m < 3 .
B. 5 < m < 7 .
C. 3 < m < 5 .
D. 0 < m < 2 .
y=

Lời giải
Chọn

B.
21

Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Tài liệu 2018 - 2019

x = 0
⇒ y'= 0 ⇔ 
3
 x = ± 2m .
Ta có: y ' = x − 2mx
1 4
1
mx 2
1
mx 2
2
2
3
2
y = x − mx + m = x ( x − 2mx) −
+ m = xy '−
+ m2
4
4
2
4
2
.
mx 2

y=−
+ m2
(
P
)
:
2
Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc parabol:
.
m = 6
⇒ 24 = −2m + m 2 ⇔ 
 m = −4 .
Vậy điểm A(2; 24) thuộc ( P) :

Đối chiếu điều kiện ta có m = 6 .

Câu 29:

Biết rằng hàm số
S=

y=

f ( x1 ) − f ( x2 )
x1 − x2
.

thức
A. S = −2 .
Chọn

Bổ đề:

2 x 2 − 3x + m
x+2
có hai điểm cực trị phân biệt x1; x2 .Tính giá trị biểu

B. S = 4 .

C. S = 2 .
Lời giải

D. S = −4 .

B.
y=

u ( x)
v( x) có

Thật

 y '( x0 ) = 0
u ( x0 ) u '( x0 )
y ( x0 ) =
=

v( x0 ) v '( x0 )
v( x0 ) ≠ 0 thì

vậy:

y' =

u '( x)v( x) − u ( x)v '( x)
⇒ y '( x0 ) = 0 ⇔ u '( x0 )v( x0 ) − u ( x0 )v '( x0 ) = 0
v( x)

u ( x0 ) u '( x0 )
u ( x0 ) u '( x0 )
=
⇔ y ( x0 ) =
=
⇔ u '( x0 )v( x0 ) = u ( x0 )v '( x0 ) ⇔ v( x0 ) v '( x0 )
v( x0 ) v '( x0 )

Áp dụng bổ đề ta có f ( x1 ) = 4 x1 − 3; f ( x2 ) = 4 x2 − 3 .
S=

Vậy

Câu 30:

f ( x1 ) − f ( x2 ) 4( x1 − x2 )
=
=4
x1 − x2
x1 − x2
.

x 2 − m ( m + 1) x + m3 + 1
y=
(C )
x−m
[2D1-4] Cho hàm số
có đồ thị m . Hỏi điểm nào trong các

điểm dưới đây là điểm cực đại của

( Cm )

tương ứng với

đồng thời cũng là điểm cực tiểu

( Cm )

m = m2
tương ứng với
.
1 5
 1 7
M ; ÷
N − ;− ÷
2 4.
A.
B.  2 4  .
của

m = m1

Chọn

1 5
P ;− ÷
C.  2 4  .
Lời giải

 1 7
Q− ; ÷
D.  2 4  .

B.
22


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

y′ =

x 2 − 2mx + m 2 − 1

( x − m)

Ta có

2

.

x = m +1
y′ = 0 ⇔ 
x = m −1
Lập

BBT

suy

ra

điểm

CĐ

và

A ( m − 1; − m2 + m − 2 ) ; B ( m + 1; − m 2 + m + 2 )

điểm

CT

của

đồ

thị

hàm

số

là

.

−3

 m1 = 2
 m1 + 1 = m2 − 1
⇔ 2
⇔
2
 −m1 + m1 + 2 = −m2 + m2 − 2
m = 1
 2 2
YCBT

 1 7
N − ;− ÷
Suy ra điểm cần tìm là  2 4  .
3x 2 − 5 x + 1
x 2 − 2 x + m có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m > 1 .
Câu 31:
[2D1-4] Biết rằng hàm số
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
x

3
x
3
y=
+
y=
−
2 ( m − 1) 2 ( m − 1)
m −1 m −1 .
A.
B.
.
x
3
x
3
y=
−
y
=
+
2 ( m − 1) 2 ( m − 1)
m −1 m −1 .
C.
.
D.
Lời giải
y=

Chọn

C.
y′ =

− x 2 + ( 6m − 2 ) x − 5m + 2

Ta có

(x

Các điểm cực trị

2

− 2x + m)

x1 ; x2

2

của hàm số thỏa mãn phương trình

x 2 − ( 6m − 2 ) x + 5m − 2 = 0

.

 x1 + x2 = 6m − 2

x . x = 5m − 2
Theo định lý ViÉt ta có:  1 2

Các điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình
y1 + y2 =

Ta có

y=

6 x1 − 5 6 x2 − 5 24 x1 x2 − 22 ( x1 + x2 ) + 20 3m − 4
+
=
=
2 x1 − 2 2 x2 − 2
4 ( x1 x2 − x1 − x2 + 1)
m −1


3m − 4
⇒ I  3m − 1;
2 ( m − 1)

Gọi I là trung điểm của AB

6x − 5
2x − 2 .

.


÷

÷
.
23


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Suy ra I thuộc đường thẳng

Tài liệu 2018 - 2019

y=

x
3
−
2 ( m − 1) 2 ( m − 1)

.

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
đường tròn đi qua ba điểm A, B, C .

Câu 32:

 x 2 + y 2 +

y=

1 4

x − x2 + 2
2
. Viết phương trình

3
y − 7 = 0.
2

A . x + y − 4 = 0
B.
3
x 2 + y 2 − y − 1 = 0.
2
2
2
C.
D. x + y + 3 y − 10 = 0 .
Lời giải
Chọn C
2

2


 x=0→ y=2

3
y′ = 0 ⇔  x = 1 → y =

2


3
 x = −1 → y =
3
y′ = 2x − 2x ,
2

3
 3

B 1; ÷ C  −1; ÷
A ( 0; 2 )
2.
Suy ra ba điểm cực trị là
,  2, 
2
2
Gọi đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là x + y + ax + by + c = 0 . Thế lần lượt các toạ độ của
ba điểm vào phương trình ta có hệ



2b + c = −4

 a=0
3
13

a
+

b
+
c
=
−


3

2
4
⇔ b = −

2
3
13


 −a + 2 b + c = − 4
 c = −1
.

Vậy phương trình đường tròn là

x2 + y 2 −

3
y −1 = 0
2

Nhận xét: Dạng bài tập này nếu làm theo cách trên thì mang thiên hướng tự luận nhiều; sau
đây tôi đưa ra một cách làm khác để bạn đọc tham khảo.
3
Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình x − x = 0

4
2
⇔ x ( x3 − x ) − x 2 + 4 = 2 y ⇔ 2 y = 4 − x 2
Ta thấy x − 2 x + 4 = 2 y
4
2
⇔ ( 4 − 2 y ) − 2 x2 + 4 − 2 y = 0
Ngoài ra, x − 2 x + 4 = 2 y
2

24


Vận dụng_Vận dụng cao_18_19

Chuyên đề_Cực trị

⇔ 4 y 2 − 18 y − 2 x 2 + 20 = 0 ⇔ 4 y 2 − 6.2 y − 2 x 2 + 20 − 6 y = 0
3
2
2
⇔ 4 y 2 − 6 4 − x 2 − 2 x 2 + 20 − 6 y = 0 ⇔ 4 x 2 + 4 y 2 − 6 y − 4 = 0 ⇔ x + y − 2 y − 1 = 0

(

)

4
2 2
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + m có ba
điểm cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện
tích bằng nhau.

Câu 33:

{−
A.

2; 2

}

{−
B.

6

2; 6 2

}

{ 2}
C.

{ 2}

D.
6

Lời giải
Chọn D
Trước hết để trục hoành chia tam giác tạo bởi ba điểm cực trị
4
2 2
thành hai đa giác thì phương trình x − 2m x + m = 0 có bốn

m4 − m > 0
⇔ m >1

 ( *)
m
>
0

nghiệm phân biệt, tức là
Do tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số k
2
nên S AMN = k S ABC .

Theo giả thiết

Suy ra:

S AMN = S MNCB ⇔ S AMN =

d ( A; Ox ) =

1
2

1
1
k=
S ABC
2.
2
. Do đó

d ( A; BC ) ⇔ c =

1Δ
2

c+

4a

 m=0

6
⇔
m= 2
1
3
4
⇔ m =

m+ m −m ⇔ m m − 2 =0
 m = − 6 2 ( **)
2


(

Từ

( *)

và

( **)

(

)

)

6
ta có m = 2

y = ( 2m − 1) x + 3 + m
Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng
vuông góc với đường
3
2
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x + 1

A.

m=

3
4.

B.

m=

1
4

m=−

C.
Lời giải

1
2

D.

m=

3
2

Chọn A
 x = 0 → y =1
y′ = 0 ⇔ 
y′ = 3( x − 2x )
 x = 2 → y = −3 .
,
2

25