ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 1
Câu 1 : Cho ma trận A =

1 +2 i 2 −i
1 +2 i 3 +2 i






1
−1 0
−2


Câu 2 : Cho hai ma trận A = 
−1
2
1
và
B
=


 1
3

−3 1
3
T
Tìm ma trận X thỏa 2 I + AX = B .






Câu 3 : Giải hệ phương trình 




x1
2 x1
3 x1
5 x1

√
5
z.

. Đặt z =det( A) . Tính

+ x2
+ x2
+ x2
+ 3 x2


− x3
− 3 x3
− 5 x3
− 7 x3

3
−2
1

− 2 x4
− 5 x4
− 8 x4
− 1 2 x4

6
7



5 
.

=
=
=
=

0
0

0
0

Câu 4 : Trong IR3 , cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 3 x1 y1 + 2 x1 y2 + 2 x2 y1 + 5 x2 y2 + x3 y3 .
Tìm độ dài của vécto u = ( 1 , 2 , −1 ) .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết
f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −6 , −3 , −3 ) , f( 1 , 1 , 0 ) = ( 6 , 5 , 2 ) , f( 1 , 0 , 1 ) = ( 6 , 2 , 5 ) .
Tìm tất cả các vécto riêng của f ứng với trò riêng λ1 = 3 .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết
f ( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 + x2 − 3 x3 , x1 + 2 x2 + x3 , x1 − 2 x3 ) .
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 0 ) }

Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = 5 x21 − 4 x1 x2 + 8 x22 về dạng chính tắc bằng biến đổi TRỰC
GIAO. Nêu rõ phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 3, X1 , X2 , X3 ∈ IR3 là 3 vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
A · X1 = X2 , A · X2 = X3 , A · X3 = X1 . Tìm tất cả trò riêng và vécto riêng của A3 .
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 2
√
√
2 +6 i
3 + 2 i) z +
= 3 iz + ( 3 + i) ( 2 − i) . Tính 10 z.

1 +i




1 1 1
−2 1 2



0 1 
Câu 2 : Cho hai ma trận A =  1 2 1  và B =  3
 .
1 1 2
1
4 2
Tìm ma trận X thỏa 3 B + AX = I, trong đó I là ma trận đơn vò cấp 3.
Câu 1 : Cho z thỏa phương trình (

Câu 3 : Trong IR3 , cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 4 x1 y1 + 5 x2 y2 + 2 x2 y3 + 2 x3 y2 + 2 x3 y3 .
Tìm khoảng cách giữa hai vécto u = ( 1 , 2 , −1 ) và v = ( 2 , 1 , 3 ) .
Câu 4 : 
Tìm cơ
x1



 2 x
1


7
x

1


5 x1

sở
+
+
+
+

và số
x2
x2
4 x2
3 x2

chiều của không gian
− x3 − 2 x4 =
− 3 x3 − 5 x4 =
− 8 x3 − 1 3 x4 =
− 7 x3 − 1 2 x4 =

nghiệm của hệ
0
0

0
0

Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
 t ma trận củ
 a f trong cơ sở
1 −1 2
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) } là A = 
3
5 
 2
.
3
7
8
Tìm ma trận của f trong cơ sơ E1 = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } .

Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân của f sinh ra bởi hai vécto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 )
và f ( 1 , 1 , 0 ) = ( −1 , −1 , 0 ) . Tìm tất cả các trò riêng và vécto riêng của ánh xạ f .

Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x21 + 8 x22 + 2 x23 − 2 x1 x2 + 4 x1 x3 + 6 x2 x3 về dạng chính
tắc bằng biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp). Nêu rõ phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X1 , X2 ∈ IR2 là hai vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
A · X1 = X2 , A · X2 = X1 . Tìm tất cả trò riêng và vécto riêng của A100 .
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN


Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2010-2011, ca 1
Thang điểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 điểm. Các câu còn lại 1 điểm.
Nếu cách làm đúng mà đáp án sai, thì vẫn cho điểm tùy theo mức độ.

√
Câu 1. det ( A) = −5 + 5 i = 5 2 ( c o s ( 3 π/4 + i s in 3 π/4 ) .
√
√
3 π/4 + k2 π
3 π/4 + k2 π
5
z = zk = 10 5 0 c o s
+ i s in
, k = 0 , 1 , ..., 4 .
5
5




5
1 −1
−2 3 −4 1 1


1 −1 
−5
8 
Câu 2. X = A−1 B T − 2 I , A−1 =  4
 Suy ra X =  −1 9

−3 0
1
1 8

2
−4
Câu 3. Đưa về bậc thang, giải ra được nghiệm tổng quát X = ( 2 α + 3 β, −α − β, α, β) .
√
√
Câu 4. Độ dài vécto ||u|| = ( u, u) = 3 + 4 + 4 + 2 0 + 1 = 3 2

Câu 5. Có nhiều cách làm. Tìm f( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 8 , 1 0 , 1 0 ) , f( 0 , 1 , 0 ) = ( −1 2 , 
−5 , −8 ) , f ( 0 , 0 , 1 ) =
1 8 −1 2 −1 2
−5
−8 
( −1 2 , −8 , −5 ) , suy ra ma trận của f trong chính tắc là A = 

 1 0
1 0
−8
−5
Ứng với trò riêng λ1 = 3 , giải hệ ( A − 3 I) X = 0 , ta có nghiệm X = ( 4 α, 5 α − β, β) T . Suy ra tất cả
các vécto riêng của f ứng với trò riêng λ1 = 3 là X = ( 4 α, 5 α − β, β)

Câu 6. f ( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 4 , 1 ) , suy ra [f ( 1 , 1 , 1 ) ]E = ( −1 , 5 , −4 ) T ;
f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 3 , 3 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 1 , 0 ) ]E = ( 1 , 2 , 0 )

T






−1 1 1

T
2 0 
f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 , 1 ) , suy ra [f( 1 , 0 , 0 ) ]E = ( 1 , 0 , 1 ) . Ma trận cần tìm: A =  5

−4 0 1
5
−2
Câu 7. Ma trận của dạng toàn phương: A =
. Chéo hóa trực giao A = P DP T , trong
−2
8


1
2
√ 
 √
9 0

5
5 
đó D =
, P =  −2
.
1

0 4
√

√ 
5
5
Dạng chính tắc cần tìm: f ( y1 , y2 ) = 9 y12 + 4 y22 . Phép đổi biến X = P Y .
Câu 8. Ta có A3 ( X1 ) = A( A( AX1 ) ) = A( AX2 ) = AX3 = X1 . Suy ra X1 là vécto riêng của A3 ứng
với trò riêng λ1 = 1 .
Tương tự 2 vécto X2 , X3 đều là vécto riêng của A3 ứng với trò riêng λ1 = 1 .
Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên Bội hình học của λ1 bằng 3. Suy ra A3 chỉ có một trò riêng
và A3 = I.

1


ðáp án ðề ñại số tuyến tính 2011 – Ca 2.
Thang ñiểm: câu 1, 2, 5, 6: 1.5 ñiểm, các câu còn lại 1 ñiểm.
Nếu cách làm ñúng, ñáp án sai, thì vẫn cho ñiểm tùy theo mức ñộ.
3 − 3i 3 2 
 π 
 π 
=
 cos  −  + i sin  −  
2 
3 −i
 12 
 12  

 π

 π


− + k 2π 
− + k 2π  



3 2
12
⇒ 10 z = 10
 cos  12
 + i sin 
,k
2 
10
10



 






 7 −3 −6 
3


−
1

Câu 2: AX = I − 3B =  −9 1 −3  ⇒ X = A . ( I − 3B ) =  −1

 −3 −12 −5 
 −1




Câu 1: z =

= 0,1,..., 9

−1 −1 7 −3 −6   33 2 −10 

 

1 0  −9 1 −3  =  −16 4
3 
 −3 −12 −5   −10 −9 1 
0 1 
 


Câu 3: v − u = (1, −1, 4 ) ⇒|| ( v − u ) ||= v − u, v − u = 25 = 5
1

Câu 4: Viết ở dạng ma trận:  2
7

5


1 −1 −2 0   1 1 −1 −2 0    x1 = − x4
 
 
1 −3 −5 0   0 −1 −1 −1 0    x2 = x4
→
⇒
4 −8 −13 0   0 0 2 4 0    x3 = −2 x4
 

3 −7 −12 0   0 0 0 0 0    x4 ∈ R

Câu 5: Gọi P là ma trận chuyển cơ sở từ E sang E1. Tìm P ta giải hệ:
1 1 1 1 1 1
 2 2 1




1 1 0 2 1 1 suy ra P =  0 −1 0  suy ra ma trận của f trong cơ sở E1 là:
1 0 1 1 2 1
 −1 0 0 

2
B = P −1 AP =  1
 −6
Câu 6: Ta có: f

−3
−1 −2

3 11 
(1,1, 2 ) = 0, f (1, 2,1) = 0 suy ra (1,1,2)T và (1,2,1)T là 2 VTR ứng với TR λ = 0
1

f (1,1, 0 ) = − (1,1, 0 ) nên (1,1,0)T là VTR ứng với TR λ = −1
T

T

T

Vì 3 vecto (1,1,2) , (1,2,1) , (1,1,0) có hạng bằng 3 nên:

 E = (1,1, 2 )T , (1, 2,1)T
 λ =0

T
 Eλ =−1 = (1,1, 0 )


(không còn trị riêng khác nữa)
2

Câu 7:

2

x
8  32


 15 
f = 2  x1 − 2 + x3  +  x2 + x3  − x3
2
2
15  15


1
19

 x1 = y1 + 2 y 2 − 15 y 3

15
32 2
Phép biến ñổi:  x = y − 8 y
Dạng chính tắc: f = 2 y12 + y22 −
y3
 2
2
3
2
15
15

 x3 = y 3


x2

 y1 = x1 − 2 + x3


8

y2 = x2 +
x3

Hoặc phép biến ñổi 
15
 y 3 = x3



Câu 8: ta có: A2 X 1 = X 1, A2 X 2 = X 2 nên X1,X2 là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của A2, do ñó X1,X2
cũng là 2 vecto riêng ứng với TR λ=1 của ma trận A100.
Vì X1,X2 ñltt nên A100 không còn TR nào khác. Vây: Eλ =1 ( A100 ) = X 1 , X 2