- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 8
De thi hoc sinh gioi toan 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (277.99 KB, 4 trang )
Môn: Toán
Người ra đề:
Đơn vị:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
(120 phút)
Lớp: 8
Nguyễn Đức Minh Hoàng
THCS Quang Trung
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;
b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 x
4 x2
2 x
x2 3x
A(
2
):(
)
2 x
x 4 2 x
2 x 2 x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)
Cho
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
1 và 0 . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 .
x y z
a b c
a
b
c
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
ĐÁP ÁN
Nội dung đáp án
Điểm
Bài 1
a
2
2,0
1,0
0,5
0,5
2,0
1,0
0,5
0,5
5,0
3,0
2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
Bài 2:
a
ĐKXĐ :
�2 x �0
�2
�x �0
�x 4 �0
�
�
x 0
2
�2 �۹�
�x
�x 2 3 x �0
�x �3
�
�
2
3
�
�2 x x �0
2 x 4x2
2 x
x2 3x
(2 x) 2 4 x 2 (2 x) 2 x 2 (2 x)
A(
2
):( 2
)
.
2 x x 4 2 x 2 x x3
(2 x)(2 x)
x( x 3)
1,0
4 x2 8x
x(2 x)
.
(2 x)(2 x) x 3
0,5
4 x( x 2) x (2 x )
4x2
(2 x)(2 x )( x 3) x 3
0,25
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A
.
0,25
x 3
b
1,0
Với x �0, x �3, x ��2 : A 0 �
� x3 0
� x 3(TMDKXD)
c
Với x = 11 thì A =
121
2
2
4x
0
x 3
Vậy với x > 3 thì A > 0.
Bài 3
a
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
x7 4
�
x7 4 � �
x 7 4
�
0,5
x 11(TMDKXD)
�
��
x 3( KTMDKXD)
�
0,25
0,25
5,0
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x 1) 2 �0;( y 3) 2 �0;( z 1) 2 �0
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
b
Từ :
Ta có :
a b c
ayz+bxz+cxy
0�
0
x y z
xyz
� ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
1 � ( )2 1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
� 2 2 2 2( ) 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy bxz ayz
� 2 2 2 2
1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
� 2 2 2 1(dfcm)
a
b
c
1,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 4
6,0
H
C
B
0,25
F
O
E
A
D
a
Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO DFO( g c g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
b
� KDC
�
Ta có: �
ABC �
ADC � HBC
Chứng minh : CBH : CDK ( g g )
�
b,
CH CK
� CH .CD CK .CB
CB CD
Chứng minh : AFD : AKC ( g g )
K
2,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,0
0,5
1,0
0,5
1,75
0,25
AF AK
� AD. AK AF . AC
AD AC
Chứng minh : CFD : AHC ( g g )
CF AH
�
CD AC
CF AH
� AB. AH CF . AC
Mà : CD = AB �
AB AC
�
0,25
0,25
0,25
0,5
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25
