UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN
--------

BÙI VIẾT TÂN

VỀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 05 năm 2017


UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN
--------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

VỀ TÍCH PHÂN LEBESGUE

Sinh viên thực hiện

BÙI VIẾT TÂN
MSSV: 2113010145
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
KHÓA 2013 – 2017

Cán bộ hướng dẫn
ThS. NGUYỄN THỊ BÍCH LÀI
MSCB:

Quảng Nam, tháng 05 năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Bích Lài.

Tác giả

Bùi Viết Tân


LỜI CẢM ƠN
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy, cô giáo thuộc Khoa toán, quý
thầy cô Ban giám hiệu của trường Đại học Quảng Nam, đã tạo điều kiện giúp đỡ em
trong quá trình học tập nghiên cứu. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
Ths. Nguyễn Thị Bích Lài, người đã luôn giúp đỡ, động viên, tận tình hướng dẫn em
trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện,
động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện khóa luận này.

Tác giả

Bùi Viết Tân

MỤC LỤC



A. MỞ ĐẦU....................................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.......................................................................................................................1
2. Mục tiêu của đề tài....................................................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu...........................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................................1
5. Cấu trúc đề tài...........................................................................................................................2
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU....................................................................................................3
Chương 1: Kiến thức cơ sở..........................................................................................................3
1.1. Đại số,  - đại số....................................................................................................................3
1.1.1. Đại số....................................................................................................................................3
1.1.2.  - đại số...............................................................................................................................3
1.2. Độ đo trên một số tập hợp....................................................................................................3
1.2.1. Hàm tập................................................................................................................................3
1.2.2. Độ đo.....................................................................................................................................3
1.2.3. Một số tính chất của độ đo................................................................................................4
1.3. Độ đo ngoài.............................................................................................................................4
1.3.1. Định lý Carathéodory........................................................................................................4
1.3.2. Định lý thác triển................................................................................................................5
n

1.4. Độ đo Lebesgue trên � ........................................................................................................5
1.4.1. Độ đo trên đường thẳng.....................................................................................................5
1.4.2. Độ đo trên không gian Euclide n chiều............................................................................6
1.5. Hàm đo được..........................................................................................................................7
1.5.1. Định nghĩa............................................................................................................................7
1.5.2. Một số tính chất..................................................................................................................7
1.5.3. Các phép toán trên hàm số đo được.................................................................................8
1.6. Hàm tương đương và hầu khắp nơi....................................................................................8

1.6.1. Định nghĩa............................................................................................................................8
1.6.2. Nhận xét...............................................................................................................................8
1.7. Hội tụ theo độ đo....................................................................................................................8
1.7.1.Định nghĩa.............................................................................................................................8
1.7.2. Một số tính chất..................................................................................................................8
....................................................................................................................9
1.8.1. Hàm đặc trưng
1.8.2. Hàm đơn giản......................................................................................................................9
1.8.3. Định lý..................................................................................................................................9
1.8.4. Nhận xét...............................................................................................................................9
Chương 2: Tích phân Lebesgue................................................................................................11


2.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm...........................................................................11
2.1.1. Định nghĩa..........................................................................................................................11
.................................................................................................................11
2.1.2. Một số tính chất
2.2. Tích phân các hàm đo được không âm.............................................................................16
2.2.1. Định nghĩa..........................................................................................................................16
................................................................................................................16
2.2.2. Một số tính chất
2.2.3. Mệnh đề 1...........................................................................................................................18
2.2.4. Mệnh đề 2...........................................................................................................................18
2.2.4. Mệnh đề 3...........................................................................................................................19
2.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ...................................................................................19
2.3.1. Định nghĩa..........................................................................................................................19
2.3.2. Nhận xét.............................................................................................................................19
2.4. Tính cộng tính của tích phân..............................................................................................20
2.4.1. Mệnh đề..............................................................................................................................20
2.4.2. Hệ quả.................................................................................................................................21

2.5. Tính bảo toàn thứ tự của tích phân...................................................................................21
2.5.1. Mệnh đề..............................................................................................................................21
2.5.2. Hệ quả.................................................................................................................................22
2.6. Tính tuyến tính của tích phân............................................................................................23
2.6.1. Mệnh đề..............................................................................................................................23
2.7. Tính khả tích của tích phân................................................................................................25
2.7.1. Mệnh đề..............................................................................................................................25
2.7.2. Định lý 1.............................................................................................................................26
2.7.3. Định lý 2.............................................................................................................................27
2.7.4. Định lý 3.............................................................................................................................27
2.7.5. Định lý 4.............................................................................................................................28
2.8. Qua giới hạn dưới dấu tích phân.......................................................................................29
2.8.1. Định lý Levi.......................................................................................................................29
2.8.2. Định lý về sự hội tụ đơn điệu..........................................................................................29
2.8.2.1. Định lý.............................................................................................................................29
2.8.2.2. Hệ quả.............................................................................................................................30
2.8.4. Bổ đề Fatou........................................................................................................................30
2.8.4.1. Bổ đề................................................................................................................................30
2.8.4.2. Nhận xét..........................................................................................................................31
2.8.4.3. Mệnh đề...........................................................................................................................32
2.9. Định lý về sự hội tụ, bị chặn.............................................................................................32
2.9.1. Định lý 1.............................................................................................................................32


2.9.2. Hệ quả.................................................................................................................................33
2.9.3. Định lý 2.............................................................................................................................33
2.9.4. Định lý 3. (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân)........................................................34
2.9.5. Định lý 4.............................................................................................................................35
2.10. So sánh tích phân Lebesgue và tích phân Riemann.....................................................35
2.10.1. Định lý 1...........................................................................................................................35

2.10.2. Định lý 2...........................................................................................................................37
2.10.3. Định lý 3...........................................................................................................................37
2.10.4. Nhận xét...........................................................................................................................38
2.10.4. Tích phân Lebesgue xem như hàm tập.......................................................................38
2.10.4.1. Định nghĩa....................................................................................................................38
2.10.4.2. Định lý...........................................................................................................................38
2.10.4.2. Nhận xét........................................................................................................................39
2.11. Mối liên hệ giữa tích phân Lebesgue và không gian metric........................................40
2.11.1. Mệnh đề 1.........................................................................................................................40
2.11.2. Mệnh đề 2.........................................................................................................................43
2.12. Tính đồng liên tục (Định lý Vitali)...................................................................................45
Chương 3. Ứng dụng của tích phân Lebesgue để giải các bài toán tích phân...................47
Dạng 1: Tính khả tích.................................................................................................................47
Dạng 2: Tính hội tụ, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo................................................53
Dạng 3: Liên hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue.......................................57
C. KẾT LUẬN.............................................................................................................................66
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................................67


A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào
đầu thế kỷ . Sau đó nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý
thuyết này đã khắc phục được những hạn chế của tích phân Riemann. Cụ thể, khi phân
tích cách xây dựng tích phân Riemann của một hàm số f trên đoạn , ta thấy rằng
trong quá trình chia nhỏ đến khi các đoạn chia này nhỏ dần thì hiệu của tổng Darboux
trên và dưới của f phải tiến tới 0. Tức là muốn tích phân tồn tại thì hàm số phải khá
liên tục, hay nói chính xác hơn là phải liên tục hầu khắp nơi. Đó là lý do vì sao tích
phân Riemann đó là lý do vì sao tích phân Riemann không thể áp dụng được cho
những hàm số quá ư là gián đoạn. Để vượt qua sự hạn chế ấy, Lebesgue đã đề ra ý kiến

độc đáo là khi chia nhỏ đoạn , không nên nhóm các điểm gần nhau trên  mà nhóm
các điểm sao cho giá trị của hàm số gần nhau. Nghĩa là không nên chia  thành từng
đoạn nhỏ mà nên chia nó ra thành từng tập hợp nhỏ, mỗi tập bao gồm những điểm ứng
với giá trị gần nhau của hàm số. Theo quan điểm đó, Lebesgue đã xây dựng được một
khái niệm tích phân tổng quát, áp dụng cho tất cả các hàm số đo được và bị chặn nên
nó được gọi là tích phân Lebesgue.
Với mong muốn được tìm hiểu và nắm vững kiến thức liên quan đến tích phân
Lebesgue, mong muốn cung cấp thêm một nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn sinh
viên khi học tập và nghiên cứu các đề tài liên quan đến tích phân Lebesgue, cùng với
sự hướng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bích Lài nên tôi chọn đề tài: “Về tích phân
Lebesgue” làm đề tài khóa luận cho mình.
2. Mục tiêu của đề tài
Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue và ứng dụng tích phân này để giải
một số dạng bài tập liên quan.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tích phân lebesgue và các vấn đề liên quan đến tích phân Lebesgue.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp các kiến thức đã học
- Phân tích nội dung các kiến thức cần nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu từ sách, mạng internet
1


- Tham khảo ý kiến chuyên gia.
5. Cấu trúc đề tài
Đề tài gồm có 4 phần:
- Phần 1: Mở đầu
- Phần 2: Nội dung
- Phần 3: Kết luận
- Phần 4: Tài liệu tham khảo.


2


B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1: Kiến thức cơ sở
1.1. Đại số,  - đại số
1.1.1. Đại số
Cho X ��. Một lớp M những tập con của tập X được gọi là một đại số nếu:
�M .

�X

c
� A �M � A  X \ A �M .

� A �M , B �M � A �B �M .

1.1.2.  - đại số
Cho X ��. Một lớp M những tập con của tập X được gọi là một  - đại số nếu:
�X

�M

c
� A �M � A  X \ A �M

�

�


Ai �M , i �{1, 2, 3, ...} � U Ai �M .
i=1

1.2. Độ đo trên một số tập hợp
1.2.1. Hàm tập
Cho X �� và M một  - đại số trên X . Hàm μ: M � [0 ;  �) được gọi là hàm
tập.
Hàm tập μ được gọi là cộng tính nếu với mọi A �M , B �M , A �B  � và

A �B � M nếu:
μ( A �B )  μ(A)  μ(B).
{A } ��
M ,ƹ
Ai
Hàm tập μ được gọi là   cộng tính nếu với mọi i

Aj

(i

j)

và

�

U Ai �M

i=1


nếu:
�

μ( U Ai ) 
i=1

�

�μ(A ).
i

i=1

1.2.2. Độ đo
Cho M là một đại số trên X . Hàm tập μ xác định trên M được gọi là một độ đo
trên M nếu:
3


� μ( A) �0

với mọi A �M

�μ(�)  0
�μ

là  - cộng tính.

Độ đo μ được gọi là hữu hạn nếu μ( X )  �.


( X n ) �M sao cho
Độ đo μ được gọi là  - hữu hạn nếu tồn tại dãy

�

X  U Xn
n=1

và

μ( X n )  �, n ��. 
1.2.3. Một số tính chất của độ đo
Tính chất 1. Nếu
i)

μ là một độ đo trên đại số M thì

A, B �M và A �B

μ(B) nếu μ( A)  � thì μ( B \ A)  μ(B)  μ(A)

μ(A)

�

ii )

{ Ai }i�� �M , A �M và


A μ(
�U
) Ai

�

�

μ(A )

i=1

Ai

i=1

�

�

M ,Aƹ�
Aj
iii ) { Ai }i�� ��
i

(i

j), A M

và


μ(
� ) Ai μ( ). A

U Ai �A

i=1

i=1

Tính chất 2. Nếu μ là độ đo σ  hữu hạn thì mọi tập A �M đều có thể phân tích thành
hợp của một số đếm được tập hợp có độ đo hữu hạn.
Tính chất 3. Cho μ là độ đo trên đại số M . Lúc đó:
�

μ(Ai )  0, U Ai �M

�

i=1

�A �M , μB  0

�

thì

μ( U Ai )  0
i=1


thì μ( A �B)  μ( A \ B)  μ(A).

Tính chất 4. Nếu μ là một độ đo trên đại số thì
�

�

i=1

i=1

Ai �M , A1 �A2 �...,μ(
U Ai �)M lim
� μ(U )Ai 

�

i ��

Ai

�

�

i=1

i=1

Ai �M , A1 �A2 �...,μ( A1)  �, I Ai �M � μ( I Ai )  lim μ( Ai).


�

i ��

1.3. Độ đo ngoài
P ( X )   A : A �X 
Hàm tập μ * xác định trên
được gọi là một độ đo ngoài nếu:
� μ *( A) �0

với mọi A �X

� μ *(�)  0

4


�

�

�Nếu

A �U Ai
i=1

thì

μ *( A) � �μ *( Ai ).

i=1

1.3.1. Định lý Carathéodory
Giả sử μ * là một độ đo ngoài trên X và M là lớp tất cả các tập con A của X sao
cho:
μ * ( E )  μ * ( E �A)  μ * ( E \ A), E �X . (*)

μ  μ*|M
Khi đó M là một σ  đại số và hàm tập
(thu hẹp của μ * trên M ) là một
độ đo trên M .
Độ đo μ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài μ * . Tập A thõa mãn điều
kiện (*) gọi là tập μ *  đo được.
Một độ đo μ trên một σ  đại số M là đủ nếu mọi tập con của một tập bất kỳ thuộc

M có độ đo 0, đều thuộc M và có độ đo 0, nghĩa là nếu:

N �E, μE  0 � N �M , μN  0.
Độ đo μ cảm sinh bởi độ đo ngoài μ * bao giờ cũng là độ đo đủ (trên σ  đại số M
các tập μ * đo được) và họ các tập có độ đo μ bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo
ngoài μ * bằng 0.
1.3.2. Định lý thác triển
Giả sử m là một độ đo trên đại số M �P( X ). Với mỗi A �X , ta đặt:

μ *( A)  inf{

�

�


n=1

n=1

�m( An ) :{ An }n�� �M , A � U An }

thì μ * là một độ đo ngoài trên X và μ *( A)  m( A) với mọi A �M , đồng thời mọi tập
thuộc σ  đại số F ( M ) đều μ * đo được. (Với F ( M ) là σ  đại số bé nhất trên X chứa

M)
n
1.4. Độ đo Lebesgue trên �

1.4.1. Độ đo trên đường thẳng
Ta gọi gian trên đường thẳng � là một tập con của � có một trong các dạng sau:

(a, b), [a, b], [a, b), (a, b], [a, +�), (a, +�), (-�, b], (-�, b), (-�, +�). Ký hiệu độ dài của
gian  là |  | .
5


Gọi C là lớp tất cả các tập con của � với
n

C �
{ P
��
| Pƹ�
U i,


i

i=1

: gian,

i

(i

j

j), n

�}

Khi đó C là một đại số.
m: C ��
Trên C ta xây dựng một hàm tập
n

P a m( P)  �|  i |
i=1

Khi đó m là một độ đo trên đại số C.
Với mỗi A ��, đặt:

μ *( A)  inf{

�


ri

�

�mP | U P �A, P  � , P �C }.
i

i=1

i=1

i

i

ij

i

i=1

Một tập hợp A được gọi là đo được nếu nó thỏa mãn điều kiện

μ *( E )  μ *( E �A)  μ *( E �Ac ), E ��
Và khi đó μ  μ *( A).
Độ đo μ xây dựng theo cách trên gọi là độ đo Lebesgue trên đường thẳng. Các tập
đo được theo nghĩa đó, tức là thuộc σ  đại số L được gọi các tập đo được theo nghĩa
Lebesgue hay đo được ( L )
Tập Borel là những thu được bằng cách xuất phát từ các tập mở và thực hiện một

số hữu hạn hay đếm được những phép toán về tập hợp trên các tập đó.
Mọi tập Borel trong � đều đo được ( L ).
Độ đo Lebesgue là độ đo đủ và bất kỳ tập hợp đo được ( L ) nào chẳng qua cũng là
một tập hợp Borel, thêm hay bớt một tập hợp có độ đo bằng không.
Một tập hợp N có độ đo không khi và chỉ khi với mỗi ε  0 có thể tìm được một
(hệ hữu hạn hay đếm được) khoảng

 n phủ N và độ dài tổng cộng nhỏ hơn ε :

N �� n , �|  n |ε.

n

n

Mọi tập hợp hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều có độ đo không.
Đối với một tập A trên đường thẳng ba điều kiện sau là tương đương:
a) A đo được ( L ).
b) Với mỗi ε  0 có thể tìm được một tập hợp mở G � A sao cho μ *(G \ A)  ε.
c) Với mỗi ε  0 có thể tìm được một tập hợp đóng F � A sao cho μ *( A \ F )  ε.
6


1.4.2. Độ đo trên không gian Euclide n chiều
n
Những kết quả trên không gian � có thể suy rộng cho không gian � .
n
Trong không gian � ta gọi gian là một tập hợp gồm những điểm

x  (x1 , x 2 ,..., x n ) mà mỗi tọa độ x i chạy trên một gian của � có hai đầu mút là

a i , bi (i = 1, 2,..., n)

thì thể tích của  là số
n

|  | �(bi  a i ).
i=1

n
n
Gọi C là lớp các tập hợp trong � có thể biểu diễn thành hợp của một số hữu
k

n

hạn rời nhau. Với mỗi tập hợp P �C có dạng

P  U i ,
i=1

trong đó các

i

là những

gian rời rạc nhau, ta đặt:
k

m( P )  �|  i |

i=1

Cn.
thì hàm tập hợp m là độ đo trên đại số
n
n
n
n
Độ đo m có thể mở rộng thành một độ đo μ trên một σ  đại số L �F (C ) �C .
n
n
n
Độ đo μ này gọi là độ đo Lebesgue trong � , và các tập hợp thuộc lớp L gọi là
n
n
n
tập hợp đo được (L) trong � , F (C ) chính là σ  đại số Borel trong � .

1.5. Hàm đo được
1.5.1. Định nghĩa
Cho F là một σ  đại số các tập con của X và A �F . Một hàm f : A � (�; �)
xác định liên tục trên tập A được gọi là hàm đo được trên A đối với σ  đại số F nếu
 a �� thì:

{ x �A | f(x)  a } � F , (1)
Điều kiện (1) tương đương với ba điều kiện sau:

{ x Σ�
A | f(x)


a}

F,

{ x �A | f(x)  a } � F ,
{ x γ�
A | f(x)

7

a}

F.


Khi trên σ  đại số F có một độ đo μ ta nói f đo được đối với độ đo μ hay μ  đo
n
n
được. Trong trường hợp X  � , F  L thì ta nói f là đo được theo nghĩa Lebesgue

hay đo được (L) .
1.5.2. Một số tính chất
a) Nếu f đo được trên A thì f(x)  c  const đo được,
b) Nếu f đo được trên A, B � A thì f cũng đo được trên B,
c) Nếu f đo được trên A thì  a ��: { x �A | f(x)  a } � F ,
d) Nếu f đo được trên A thì kf đo được trên A,
�

U An ,
(A )

e) Nếu f đo được trên dãy n I thì đo được trên i = 1

f) Nếu μA  0 và μ là độ đo đủ thì f xác định trên A sẽ đo được.
1.5.3. Các phép toán trên hàm số đo được
α
a) Nếu f đo được trên A thì | f | (α  0) đo được trên A,

b) Nếu f, g đo được và hữu hạn trên A thì f �g, f.g, max{f, g}, min{f, g} cũng

đo được và nếu g(x) �0

f
thì g cũng đo được trên A,

+


c) Nếu f đo được thì f , f cũng đo được trên A (với f  max{f, 0},

f   max{f, 0} ),
d) Nếu

(f n ) n�� là dãy các hàm số đo được và hữu hạn trên A thì các hàm số

sup f n , inf f n , limf n , lim f n
n��

n�
�


n

n ��

lim f n
cũng đo được trên A, và nếu tồn tại n �� thì hàm số

này cũng đo được trên A.
1.6. Hàm tương đương và hầu khắp nơi
1.6.1. Định nghĩa
Trong không gian X bất kỳ, cho một σ  đại số và một độ đo μ trên F . Ta nói
một tính chất P(x) nào đó thỏa mãn với hầu hết mọi x �A , hay thỏa mãn hầu khắp

8


nơi (h.k.n) trên A, nếu tồn tại B �A sao cho μ( B)  0 và P (x) được thỏa mãn với
mọi x �A \ B.
Hai hàm số f, g bằng nhau hầu hắp nơi thì gọi là tương đương nhau và viết là: f  g.
1.6.2. Nhận xét
a) Nếu f liên tục h.k.n trên A và μ là độ đo đủ thì f đo được trên A
b) Nếu f đo được μ là độ đo đủ và f  g thì g đo được.
1.7. Hội tụ theo độ đo
1.7.1.Định nghĩa
Cho dãy

(f n ) n��, f

(f )
đo được trên A. Dãy n n�� được gọi là hội tụ theo độ đo μ


về f trên A nếu:

ε  0 : lim(μ{ x �A | f n (x)  f(x) | > ε}) = 0
n ��

μ

Kí hiệu là: f n � f .
1.7.2. Một số tính chất
Cho μ là một độ đo đủ.
μ

μ

f �g
a) Nếu f n � f trên A và f  g thì n
trên A
μ

μ

f �g
b) Nếu f n � f và n
trên A thì f  g.
μ

c) Nếu dãy

(f n ) n��


đo được f n � f thì tồn tại dãy con (f n )k�� hội tụ h.k.n về hàm f .
k

d) Dãy (f n )n�� đo được trên A, f n hội tụ h.k.n về hàm f đo được. Hơn nữa, nếu
μ

μ( A)  � thì f n � f.
1.8. Cấu trúc hàm đo được
1.8.1. Hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng của tập A, kí hiệu là

χ A hàm số xác định như sau:

0 x �A
�
χ A (x)  �
1 x �A
�

1.8.2. Hàm đơn giản
9


Cho ( X , A , μ) là một không gian độ đo. Hàm f xác định trên tập hợp A�A . được
gọi là hàm đơn giản nếu f chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn.

f ( A)  {C1 , C2 , ... , Cn } ��.
Giả sử f là hàm đơn giản trên A. Ta có
Đặt


Ai  { x �A | f(x)  Ci }; i  1, 2, ... , n.

Khi đó, ta có

Ai �A
ƹ
j

(i

j)

và

n

A  U Ai .
i=1

n

Suy ra

f(x)  �cχi Ai(x); x �A
i=1

n

hay


f  �cχi
i=1

Ai

(*)
n

A
Mọi hàm f có dạng như (*) với các i rời nhau đôi một và

A  U Ai
i=1

là các hàm

đơn giản trên A.
1.8.3. Định lý

(f )
Nếu f là hàm đo được, không âm trên A thì tồn tại một n hàm đơn giản A trên
sao cho:
f  lim f n .
n ��

1.8.4. Nhận xét




a) Nếu f là hàm đo được bất kỳ trên A thì f  f  f . Trong đó: f  max(f, 0),



f   max(f, 0) là các hàm đơn giản và f  f  f .

b) Nếu f, g là các hàm đơn giản trên A thì f + a, a.f, f.g, g.f đều là những hàm đơn
giản trên A.

10


Chương 2: Tích phân Lebesgue
2.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm
2.1.1. Định nghĩa
Trong không gian X , với một   đại số F và một độ đo μ trên F , cho một tập
hợp A đo được ( tức A �F ), nếu f là một hàm đơn giản, không âm trên A lúc đó f
sẽ có dạng:
n

f = �cχi
i =1

11

Ai


n


với

Ai

đo được,

Ai �ƹ
Aj =

(i

j)

A  U Ai , ci �0.

và

i 1

Khi đó tích phân của f trên A

được định nghĩa:
n

fdμ  �ci μ( Ai ).
�
i=1

A


Thường sử dụng kí hiệu đơn giản cho tích phân của f là:
Nếu

fdμ, �
f(x)dx
�
A

A

hoặc

f.
�
A

fdμ  �
�

thì ta nói f khả tích trên A.

A

2.1.2. Một số tính chất
Cho f, g là các hàm đơn giản xác định trên A, ta có:
a) Nếu

f �0, μ( A)  0

thì


b) Nếu f �0, B �A thì
c) Nếu f �0 thì

fdμ
�
A

fdμ  0.
�
A

fdμ ��
fdμ.
�
B

A

được xác định một cách duy nhất.

d) Nếu f �0, g �0, α, β �0 thì
e) Nếu f �0, g �0, f �g thì

(αf
�
A

+ βg)dμ  α �
fdμ + β �

gdμ.
A

A

f ��
g.
�
A

A

lim f n  f
(f )
f) Nếu f �0 và n là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, n ��
thì

lim �
f n dμ  �
fdμ.
n ��

g) Cho

(f n ) là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu, tăng, f �0.

lim f n
� Nếu n ��
�Nếu


�f

f � lim f n
n ��

trên X thì

lim �
f n dμ ��
fdμ.
n ��

A

A

fdμ � lim �
f dμ.
�
n ��

trên A thì A

h) Nếu hai dãy hàm đơn giản, không âm

n

A

(f n ) n , (g n ) n trên A có tính chất


f n  lim g n
f n �f n+1 , g n �g n+1 với mọi n và lim
n ��
n ��
trên A thì

12


lim �
f n  lim �
gn

n ��

k) Nếu f  g trên A thì

n ��

A

A

fdμ  �
gdμ.
�
A

A


Chứng minh:
a) Do f là hàm đơn giản, không âm xác định trên A nên ta có:
n

fdμ  �ciμ( Ai ).
�
i=1

A

n

Vì

A  U Ai
i=1

nên

n

n

i=1

i=1

μ( A)  μ( U Ai )  �μ(Ai )


(1)

Ai �Aj  �

(do

).

μ(A)  0 � μ( Ai )  0 ( do μ( Ai ) �0 ). (2)

Theo giả thuyết

Từ (1) và (2) ta suy ra:
n

fdμ  �c μ( A )  0.
�
i

i

i=1

A

n

b) Ta có:

fdμ  �ciμ( Ai ).

�

Vì B �A nên:

n

n

n

i=1

i=1

i=1

B  B �A = B �( U Ai ) = U ( B �Ai )  U Bi
n

Suy ra:

Đặt Bi  B �Ai , i  1, n. Suy ra Bi �Ai , i  1, n.

i=1

A

n

fdμ  �c μ( A ) ��c μ( B )  �

fdμ.
�
i

A

i=1

i

i

i

i=1

B

c) Thật vậy, giả sử f có hai dạng biểu diễn hàm đơn giản như sau:
n

f  �cχi
i=1

s

�
d χj

Ai


j=1

Bj .

Ta sẽ chứng minh:
n

s

i=1

j=1

d μ(
�cμ(
i Ai)  �
j B j).

Đặt:

Cij  Ai �Bj , i  1, n; j  1, s.

Lúc đó, i �{1, 2,..., n} ta có:
s

s

s


j=1

j=1

j=1

Ai  Ai �A  Ai �( U Bj )  U ( Ai �Bj )  U Cij .

Suy ra:
n

n

s

i=1

i=1

j=1

Ai)  �
c μ(
U Cij).
�cμ(
i
i

13



B �Bj2  �
Mặt khác, với mọi j1 , j2 � {1, 2,..., s} và j1 �j2 , ta có: j1
nên:
Cij1 �Cij2  Ai �( Bj1 �Bj2 )  �, i � {1, 2,..., n}.
Suy ra:
s

s

j=1

j=1

μ( U Cij )  �Cij .

Vậy:
n

n

s

�cμ(
�c μ(
i Ai)  �
i Ci j).
i=1

i=1j=1


Tương tự, ta cũng chứng minh được:
s

s

n

�dμ(j B)j  ��d μ(
j Ci ).
j
j=1

j = 1i = 1

C �0
Mặt khác, với mọi i � {1, 2,..., n}, j � {1, 2,...,s}, nếu i j
thì
x 0 �Ci j  Ai �Bj .

Lúc đó, ta có

ci  f(x 0 ) vì x 0 �Ai và d j  f(x 0 ) vì x 0 �Bi . Hay ci  d j .

Vậy:
n

s

i=1


j=1

Ai)  �
d μ(
fdμ.
�cμ(
i
j Bj)  �
A

Hay giá trị tích phân của hàm f không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành
tổ hợp tuyến tính những hàm đặc trưng dạng (1).
d) Ta có

n

s

i=1

j=1

f  �cχi Ai, g  �
d χj B.j
n

Đặt

Cij  Ai �Bj .


Ta có:
n

Suy ra

s

n

i=1j=1

j = 1i = 1

Cij

s

αf + βg  ��(αci  βd j )χ Cij
i=1j=1
n

Nên

s

f  ��cχi Cij, g  ��
d χj

s


n

s

n

s

(αf + βg)dμ  ��(αc i  βd j )μ( Cij )  ��αc iμ( Cij )  ��βd jμ( Cij).
�
i=1j=1

A

e) Ta có

i=1j=1

n

s

i=1

j=1

i=1j=1

f  �cχi Ai, g = �

d χj B j.

Trong đó:

Ai �A
��
, ƹBi
j

Bj

; (i

j)

và

14

n

s

i=1

j=1

A  U Ai  U Bj



s

s

s

j=1

j=1

j=1

n

n

n

i=1

i=1

i=1

Ai  Ai �A  Ai �( U Bj )  U ( Ai �Bj )  U Cij .

Ta có:

Bj  Bj �A  Bj �( U Ai )  U ( Ai �B j )  U Cij .
n


Suy ra:

n

s

f  �cμ(
�c μ(
i Ai)  �
i Ci) (1)
�
i=1

A

i=1j=1

s

n

s

g  �dμ(
�d μ(j C)j (2)
j B)
j �
�
j=1


A

i=1j=1

c �d j ; i = 1, n; j = 1, j. (3)
Do f �g nên i
(1), (2), (3)

Từ

suy ra

f ��
g.
�
A

A

k

f) Đặt

lim f n = f.

n �+ �

Ta chứng minh


Vì f là hàm đơn giản nên f có dạng:

lim �
f n �
f.

n ��

A

A

f = �cχi

Ai

i=1

Thật vậy, chọn t �(0,1) bất kỳ. Đặt:

Ai,n  {x  Ai | f n (x)

tci }.
�

Do

f n �f n+1

nên


Ai,n �Ai,n+1 .

Ta chứng minh

Ai  U Ai,n+1.
n 1

�

Ta có
Với

U Ai,n+1 �Ai

n 1

( hiển nhiên ).

(1)

x �Ai thì f(x) = ci , mà (f n ) là dãy tăng và f n Z f và t �(0,1) nên tồn tại n đủ
�

lớn sao cho

�

Ai,n+1.
Ai �U Ai,n+1. (2)

f n (x) �tci hay x �U
n=1
n=1
Suy ra
�

Ai  U Ai,n+1.

Từ (1) và (2), ta suy ra

n=1

Vậy

μAi  lim Ai,n .
n ��

k

Đặt

g n  �tcχi
i=1

Ain

g �f �f trên A. Suy ra:
khi đó n n

g ��

f ��
f .
�
n

A

Cho n � �, ta được:
n

g n  �tcμ
i
�
A

i=1

n

Ai,n

��
tc μ
f .
i Ai=t �
i=1

Hay
15


n

A

A

A


t�
f �lim �
f n ��
f.
n ��

A

A

A

Cho t � 1 ta được:

lim �
fn  �
f.

n ��

A


(đpcm)

A

g)
�Ta

lim f n �f

có

Suy ra

n ��

và

(f n ) đơn điệu, tăng nên f n �f , n

f dμ ��
fdμ
�
n

A

A

lim �

f n dμ ��
fdμ.

cho n � � ta được

n ��

A

A

k

�Lấy

t �(0,1), đặt Ai,n  {x  Ai | tf(x)

f n (x)}

và f có dạng:

f = �cχi
i=1

Ai

�

Do


Ai,n+1.
f n �f n+1 nên Ai,n �Ai,n+1. Ta chứng minh Ai  nU
=1
�

Ta có
Với

U Ai,n+1 �Ai

n 1

x �Ai

thì

( hiển nhiên ).

f(x) = ci ,

mà

(f n )

(1)

là dãy tăng và

f �lim f n
n ��


�

đủ lớn sao cho

t.f(x)χ Ai �f n (x)

x �U Ai,n+1.

hay

n=1

�

Ai  U Ai,n+1.

Từ (1) và (2), ta suy ra
Đặt

g n =t.f(x)χ Ai,n

n=1

Vậy

và t �(0,1) nên tồn tại n
�

Suy ra


Ai �U Ai,n+1. (2)

μAi  lim Ai,n .
n ��

g (x) �f n (x). Suy ra
do n

g ��
f .
�
n

A

n

A

Cho n � �, ta được:
k

g n  �tcμ
i
�
i=1

A


k

��
tc μ
f .
i Ai=t �

Ai,n

i=1

A

Hay

t�
f �lim �
fn .
n ��

A

A

Cho t � 1 ta được:

f �lim �
f .
�
A


n ��

n

A

16

(đpcm)

n=1


h) Vì

g n �g n+1

và

g k �lim f n
n ��
nên k  1,n, ta có
trên A nên theo

lim f n  lim g n
n ��

n ��


tính chất (e), ta suy ra:
g dμ
�
k

A

� lim �
f n dμ.
n ��

A

Cho k � � ta có:
lim �
g k dμ �lim �
f n dμ.
k ��

n ��

Tương tự, ta có:
lim �
f k dμ �lim �
g n dμ.
n ��

k ��

Suy ra:

lim �
f n dμ  lim �
g n dμ.

n ��

k) Giả sử

n

s

i=1

j=1

f  �cχi Ai, g  �
d χj

n ��

Bj

Ta có f  g trên A hay B �A, μB  0, f(x) = g(x) x �A \ B.
Suy ra

fdμ 
�
A




n

n

�c μA  �c μ  ( A \ B) �B 
i

i

n

�cμ(
i

A\ i )B μ B 

n

�cμ( A \
i

i=1



�fdμ 

A\ B


i

i=1

i=1



i

i=1

i

(

( Ai \ B ) �B  �)

n

n

i=1

i=1

B)  �
cμ
c μ(

Ai \ B)
i B  �
i
s

�gdμ  �d jμ( Ai \ B)
j=1

A\ B

s

s

j=1

j=1

 �dμ(
Ai\ B)  �
d μj B  �
gdμ.
j
A

( do μB  0 )

2.2. Tích phân các hàm đo được không âm
2.2.1. Định nghĩa
Cho f là hàm đo được không âm xác định trên A. Khi đó có một dãy hàm số đơn


f n �0, đơn điệu tăng và hội tụ đến f . Ta định nghĩa tích phân của hàm f trên tập
hợp A đối với độ đo μ là:
giản

fdμ  lim �
f dμ.
�
A

n ��

17

n

A


2.2.2. Một số tính chất
a) Nếu f �0, μ( A)  0 thì

fdμ  0,
�
A

fdμ ��
fdμ,
�


b) Nếu f �0, B �A với A, B là hai tập đo được thì
c) Nếu f �0 thì

fdμ
�

B

A

được xác định một cách duy nhất.

A

d) Nếu f �0, g �0, α, β �0 thì
e) Nếu f �0, g �0, f �g thì

(αf  βg)dμ  α �
fdμ  β �
gdμ,
�
A

A

A

f ��
g.
�

A

A

Chứng minh:
a) Do f là hàm đo được không âm xác định trên A nên theo định nghĩa ta có tích
fdμ  lim �
f dμ.
�

phân của hàm f trên tập hợp A là:

n ��

A

n

A

( với

f n là dãy hàm đơn giản,

không âm).
Từ kết quả đã chứng minh ở hàm đơn giản, không âm ta có:
f dμ  0 �
�
n


A

lim �
f n dμ  0
n ��

A

hay

fdμ  0.
�
A

b) Từ định nghĩa tích phân của hàm đo được không âm ta có:
fdμ  lim �
f dμ
�
n ��

A

n

A

và

fdμ  lim �
f dμ.

�
n ��

B

n

B

Từ kết quả đã chứng minh ở hàm đơn giản, không âm:

B �A với A, B là hai tập đo được suy ra

f dμ ��
f dμ
�
n

n

B

A

Xét n � �, ta được:
lim �
f n dμ  �
fdμ �lim �
f n dμ  �
fdμ.


n ��

B

n ��

B

A

A

c) Từ định nghĩa tích phân hàm đo được, không âm ta có:

fdμ  lim �
f dμ.
�
A

n ��

Từ kết quả đã chứng minh của hàm đơn giản, không âm ta suy ra

n

A

f dμ
�

n

A

định một cách duy nhất.
fdμ  lim �
f n dμ
�
n ��
n
�

�
,
A
A
Xét
ta được:
được xác định một cách duy nhất.

18

được xác