Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018
TỈNH QUẢNG NINH
TIME: 180 PHÚT

Bài 1 (4 điểm).
1. Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m2  m  1 , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ
thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24  m3  .
Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy
(không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Bài 2(4 điểm).
1. Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , AB  c thỏa mãn

2a  c .cos

B
B
 2a  c .sin , với
2
2

2a  c . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông
màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt
ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông
khác nhau.

Bài 3 (3 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau


 y  1 log 4  x  1 y  1   16   x  1 y  1
.
 2
2
4
x

7
xy

3
x

y

99


Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB  2 AD . Điểm N thuộc cạnh AB
sao cho AN 

1
AB , M là trung điểm của DC . Gọi I là giao điểm của MN và BD . Viết
4

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN . Biết điểm A  2;1 , đường thẳng BD có
phương trình 11x  2 y  5  0 , điểm B có hoành độ là số nguyên.

Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB  a, BC  2a. Mặt bên
BCCB là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai
mặt phẳng  BCC B  và  ABBA  bằng  , với tan  

5 2
, hãy tính theo a :
4

a) Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC  và BC.
Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
10
P

16 xy  2 10 yz  2 10 xz 45  x  y  z

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018
TỈNH QUẢNG NINH
TIME: 180 PHÚT



Bài 1 (4 điểm).
1. Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m2  m  1 , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ
thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.

2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24  m3  .
Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy
(không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.
Lời giải
Tác giả: Lê Đình Năng, FB: Lê Năng
1. Hàm số y xác định với mọi x 

và y '  4 x3  4  m  1 x  4 x  x 2  m  1 .

x  0
Ta có y '  0   2
 x    m  1

Hàm số có 3 điểm cực trị    m  1  0  m  1 (*).
Với điều kiện (*) thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là
A  0; m2  m  1 , B



 



m  1; m  2 , C  m  1; m  2 .


 AB   m  14   m  1  AC

 Tam giác ABC cân tại đỉnh A với m  1 .
Ta có 

 BC  2 m  1
Do đó để tam giác ABC đều thì AB  BC   m  1  3  m  1  0  m  1  3 3 .
4

Vậy với m  1  3 3 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều.
2. Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y

 m

(Điều kiện: h, x, y  0 )

h
h  4 x
 4

Theo đề bài ta có  x

6
y 2
 xyh  24

x


Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của bể là S  xy  2 xh  2 yh  8 x 2 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

54
x

Trang 2 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

Ta đi tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
Ta có S  8 x 2 

27 27
27 27
3

 3 3 8x2 . .
 54 . Dấu ‘=’ xảy ra khi x  .
x
x
x x
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 54 khi x 
Cách 2 : Xét hàm số S  8 x 2 
Có S '  16 x 


3
8
y .
2
3

54
, x 0.
x

3
54
; S'0 x .
2
2
x

Ta có bảng biến thiên :

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 
Vậy khi chiều dài của bể bẳng

3
8
y .
2
3

8

m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất.
3


Bài 2(4 điểm).
1. Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , AB  c thỏa mãn

2a  c .cos

B
B
 2a  c .sin , với
2
2

2a  c . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Lời giải:
Tác giả: Trần Hải;Fb: Trần Minh Hải
Bình phương hai vế ta có phương trình:

 2a  c  .cos2

B
B
  2a  c  .sin 2
2
2

 2a  c 


  2a  c  . 1  cos B    2a  c  . 1  cos B   2a.cos B  c  4R.sin A.cos B  2R.sin C

 2.sin A.cos B  sin C  sin  A  B   sin  A  B   sin C
 sin(1800  C )  sin( A  B)  sin C  sin( A  B)  0  A  B do 0  A, B   .
Vậy tam giác ABC cân tại C .
2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông
màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông
khác nhau.
Lời giải:
Chuồng thứ nhất bắt ra 1 con thỏ có 20 cách.
Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách.
Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n    15.20  300
Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu"
+ TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13. 19 = 247 (cách)
+ TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1. 2 = 2 (cách)
n( A)  247  2  249 (cách)  P( A) 

n( A) 249

n    300


Do đó xác suất bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau là: 1 

249 17
.

300 100


Bài 3 (3 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau


 y  1 log 4  x  1 y  1   16   x  1 y  1
.
 2
2

4 x  7 xy  3x  y  99
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb:Chuc Nguyen
Ta có  y  1 log 4  x  1 y  1  16   x  1 y  1

 log 4  x  1  log 4  y  1 
 log 4  x  1   x  1  2 

16
  x  1 (vì x, y dương)
y 1

16

 log 4  y  1
y 1

 log 4  x  1   x  1  2  log 4

16
16

 2 1 .
y 1 y 1

Xét hàm số f  t   t  log 4 t  2 liên tục trên  0;   .
Ta có f '  t  

1
1  0 t  0 .
t  ln 4

Suy ra hàm số y  f  t  liên tục và đồng biến trên  0;   .

 16 
Phương trình 1 có dạng f  x  1  f 

 y 1 
 x 1 

16
  x  1 y  1  16  xy  x  y  15
y 1


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

 2 x  y  x  y  1  15  2  .
Ta có 4 x 2  7 xy  3x  y 2  99   2 x  y   3x  y  1  99  3 .
2

Từ  2  ,  3 ta có hệ phương trình
2


 2 x  y   x  y  1  15
 2 x  y   3  2 x  y   54


2
2
x

y

3
x
y


1

99







 2 x  y   x  y  1  15

2 x  y  9


2 x  y  9
(vì x, y dương nên 2 x  y  0 )

   2 x  y  6

 x  y  1  6
 2 x  y  x y  1  15
  


 x  1


y  7

 x 8  2 x   6
(thỏa mãn điều kiện x, y  0 ).


 x  3

 y  9  2x

  y  3

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S  1;7  ;  3;3.

Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB  2 AD . Điểm N
thuộc cạnh AB sao cho AN 

1
AB , M là trung điểm của DC . Gọi I là giao điểm của MN
4

và BD . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN . Biết điểm A  2;1 , đường
thẳng BD có phương trình 11x  2 y  5  0 , điểm B có hoành độ là số nguyên.
Lời giải
Tác giả: Cao Hữu Trường; Fb: Cao Hữu Trường

Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD .
Ta có P , M là trung điểm của AB và DC nên AP  PM  MD  AD

 APMD là hình vuông.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 5 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

 DM  DM
Xét hai tam giác vuông MNP và DJM có 
 MN  DI
 MNP  DJM  MNP  DJM  MN  BD .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD , ta có AH  d  A, BD   5 .
Ta có

1
1
1


 AB  5 .
2
2
AH
AB
AD 2

 11t  5 
Gọi B  BD  B  t ;

 . Vì điểm B có toạ độ nguyên nên t  .
2 

2
t  1
 11t  3 
2

Mà AB  5   t  2   
  5  125t  50t  75  0   3
t
 2 
 5
2

 B  1; 3 vì t là số nguyên.
Ta có AN 

1
5 
AB  N  ;0  .
4
4 

15
1 3
Gọi K là trung điểm của BN , khi đó K  ;   , KB  .
8
8 2
2


2

1 
3
225

Phương trình đường trong ngoại tiếp tam giác BIN là:  x     y   
.
8 
2
64



Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB  a, BC  2a. Mặt bên
BCCB là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai
mặt phẳng  BCC B  và  ABBA  bằng  , với tan  

5 2
, hãy tính theo a :
4

a) Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC  và BC.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung
* Nhận xét: Đề nên cho BBC là góc nhọn, nếu không phải xét thêm trường hợp BBC  900 và
BBC  900


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

a) Dựng AH  BC  H  BC  , suy ra AH   BCCB  .
Trong tam giác vuông ABC : AC  BC 2  AB 2  a 3, AH 

AB. AC a 3

.
BC
2

 BB  HI
Dựng HI  BB  I  BB thì 
 BB   AHI  hay AIH   .

BB

AH

Ta có: BH 

AB 2 a
AH

a 3 5 2 a 6
IH 2 6
.
 , IH 

:

 sin IBH 

BC 2
tan 
2
4
5
BH
5

1
1
6 2 3
Vậy VABC . ABC  3VA.BBC  3 AH . BB.BC.sin IBH 
a.
3
2
5

b) Dựng BD  BC  D  BC  , ta có BD   ABC  . Ta có
d  AC , BC   d  AC ,  BAC    d  C ,  BAC    d  B,  BAC   

BC

.d  D,  BAC   .
DC

Dựng DJ  AC  J  AC  , DK  BJ  K  BJ  , khi đó d  D,  BAC    DK .

2a

BD  BB.cos IBH 

2 6
1 
5
 cos IBH   
Trong tma giác vuông IBH : sin IBH 
5
5 
4 6a
BD  BB.sin IBH 

5
DJ CD


Trong tam giác ABC :
AB CB

2a
5  4  DJ  4 a .
2a
5

5

2a 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Suy ra DK 

DB.DJ
DB '2  DJ 2

Vậy d  AC ; BC  

Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018

4 6a 4
. a
4 42a
5 5
.

35
96 2 16 2
a  a
25

25



BC
42
.DK 
a.
DC
7


Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
10
P

16 xy  2 10 yz  2 10 xz 45  x  y  z
Lời giải
Tác giả: Phan Quang Sơn
Ta có 16 xy  2 10 yz  2 10 xz  16 xy  2 (2 y)(5z)  2 (2 x)(5z)

 8x  8 y  2 y  5z  2 x  5z  10( x  y  z) .
Vậy ta có P 
Xét f  t  

1
10
1
10




 f  t  , với t  x  y  z  0.
10  x  y  z  45  x  y  z 10t t  45

1
10
1
10
với t>0. Ta có f  (t )   2 
;

10t t  45
10t
(45  t ) 2

f (t )  0   t  45


2

t  5
t 0
 100t   45 
t  5 .
t 

11
2


Ta có bảng biến thiên

Suy ra P  f  t  

9
t  0 .
50

25

5
x y


9
x  y  z

12
Do đó giá trị nhỏ nhất của P là
đạt được khi 
2 
50
 x  y  z  5  z  5
6


Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X



TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT

Câu 1. (5.0 điểm) .
1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thẳng  d  : x  y  m  0
( m là tham số thực) và hai điểm A  1;  1 , B  2; 2  . Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  tại hai
điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành.
2. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2  x 2  y 2   1  xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2 . Tính M  m .
Câu 2. (5.0 điểm)
1. Giải phương trình  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13 .
3
3
2

 x  y  3x  6 x  3 y  4  0
2. Giải hệ phương trình 
.
2

( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 y

Câu 3. (2.0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
1 3
AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M  ;   là trung điểm HC . Xác định
2 2

tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 .
Câu 4. (6.0 điểm)
1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh

BC, CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN .
2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại

a 3  b 3  c 3 2r

 4 . Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều.
abc
R
3. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện tích
tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .
tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

Tính giá trị biểu thức T 

 ab  cd  ad  bc 
S

.

Câu 5. (2.0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng


a2
b2
c2
a 2  b2  c 2



.
2a  1 2b  1 2c  1
a 2  b2  c 2  6
-----------------Hết----------------Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC
Câu 1.1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thằng  d  : x  y  m  0 (

m là tham số thực) và hai điểm A  1;  1 , B  2; 2  . Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol

 P

tại hai điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen


Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  :
x2  mx  3m  2  x  m  x2   m  1 x  2m  2 1 .

 Đường thẳng  d  cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt  1 có hai nghiệm phân biệt
m  1
2
.
    m  1  4  2m  2   0  m2  10m  9  0  
m  9
Khi đó,  d  cắt  P  tại hai điểm M  x1 ; x1  m  , N  x2 ; x2  m  với x1 , x2 là nghiệm của 1
(giả sử x1  x2 ).

 Bốn điểm A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM .

 AB  MN  3  x2  x1 .
2m

 x1   2
 x1  x2  1  m

4m


Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:  x1 .x2  2m  2   x2 
2
x  x  3

 2 1

 x1 .x2  2m  2


Suy ra 

m  0
2m 4m
.
 2m  2  m2  10m  0  
.
2
2
 m  10

 x  1  M  1;  1  A

Với m  0 , 1 trở thành: x 2  x  2  0  
(loại).
x  2
 N  2; 2   B

 x  6  M  6; 4 

Với m  10 , 1 trở thành: x 2  9 x  18  0  
thỏa mãn ABNM tạo
 x  3  N  3;7 
thành hình bình hành.
Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 2


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

1 1
Khi đó, I  ;  là trung điểm của AB cũng là trung điểm của MN nên
2 2
 x1  x2 1
 2  2
 m  0 (loại)

 x1  x2  2m  1

2
2

Vậy m  10 .
Câu 1.2. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2  x 2  y 2   1  xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2 . Tính M  m .
Lời giải
Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình
2
P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2  7  x 2  y 2   2 x 2 y 2   4 x 2 y 2 .




 7x  y
2

P



2 2

7 2 2
 1  xy 
2 2
2 2
 10 x y  7 
  10 x y   x y  2 xy  1  10 x y .
2
4


2

2

2

33 2 2 7
7
x y  xy  .
4
2

4

Đặt t  xy , ta có

1  xy  2  x 2  y 2   4 xy  xy 

1
1
t  .
3
3

1
1
2
2
2  x  y   2 xy   1  xy  2  x  y   1  5 xy  0  xy    t   .


5
5
P

M

33 2 7 7
t  t
4
2 4


 1 1
với t    ; 
 5 3

7
20
70
7
xảy ra khi t 
hay xy  . Khi đó x 2  y 2 
.
33
33
33
33

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC



 x 



7


 y 
 xy  33
 
Ta có 


 x 2  y 2  20


33
 x 
 


 y 
 

m

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

34
2

33
11
2
34
2


33
11
2

.

34
2

33
11
2
34
2

33
11
2

18
1
1
2
xảy ra khi t   hay xy   . Khi đó x 2  y 2  .
25
5
5
5



5
 x 
5
 

5
1


 y  
 xy   5
5

Ta có 
.


5
 x2  y 2  2
 x  

5
5



 y  5
 
5

Vậy M  m 

2344
.
825

Câu 2.1. Giải phương trình  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13 .
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia
Ta có  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13
  x  1  6 x 2  6 x  25   2 x  3  2 x 2  18 x  16  0 1



TH1:

3

x


2
6 x2  6 x  25   2 x  3  0  
(PTVN)

2
 6 x  6 x  25  2 x  3

TH2:


6 x2  6 x  25   2 x  3  0

1   x  1

 2x

2

 18 x  16 

6 x  6 x  25   2 x  3
2

 2 x 2  18 x  16  0

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019



x 1
  2 x 2  18 x  16  
 1  0

 6 x 2  6 x  25   2 x  3 

2 x 2  18 x  16  0 1

x 1

1  0
2
 6 x  6 x  25   2 x  3


 2

x 1
Giải 1 ta được 
.
x  8
Giải  2   6 x2  6 x  25  3x  4
4

x

3

 x  5  2 7 .
3x 2  30 x  9  0







Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 8;  5  2 7 .
Câu 2.2. Giải hệ phương trình
3
3
2

 x  y  3x  6 x  3 y  4  0

2

( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 y
Lời giải
Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ.

Điều kiện: y  1 .
Ta có x3  y3  3x2  6 x  3 y  4  0  ( x  1)3  3( x  1)  y3  3 y (1).
Xét hàm số f (t )  t 3  3t , f (t )  3t 2  3  0, t 

. Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên

.

Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( y) nên x  1  y . Do y  1 nên x  2 .
Thế x  1  y vào phương trình ( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x2  5x  12 y ta có

( x  1) x  2  ( x  6) x  7  x2  7 x  12  ( x  1)( x  2  2)  ( x  6)( x  7  3)  x 2  2 x  8
 x  2 (TM )
( x  1)( x  2) ( x  6)( x  2)



 ( x  2)( x  4)   x  1
.
x6


 x  4 (*)
x2 2
x7 3
 x  2  2
x7 3

Giải phương trình (*):
x 1
x6
2( x  2)
2
2( x  6)

 x4
 ( x  2) 

 ( x  6)  0
x22
x7 3
x2 2
x2 2
x7 3
  x2 

  x  7 1 
2
 ( x  2) 
 ( x  6) 
 
  0 (**)
x

2

2
x

2

2
x

7

3





Dễ thấy vế trái của phương trình (**) luôn âm với mọi x  2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2;3) .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 5


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

Bổ sung: Để đánh giá (*) vô nghiệm cũng có thể xét riêng
Trường hợp 1: x  1  VT 

x 1 x  6
7

 x  x4
2
2
2

Trường hợp 2:
x 1
x6

x22
x7 3
x6  
2x 
x 1
 x6



2 
 0.

3 
x7 3 
x22
 3

1  x  2  VP  VT   x  4  

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
1 3
AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M  ;   là trung điểm HC
2 2
. Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 .

Lời giải
Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích

Gọi F là trung điểm của BC .
Gọi E là giao điểm của CD với đường thẳng qua A và song song với BC

 AEBF là hình chữ nhật  AEBF nội tiếp đường tròn (T ) có đường kính là AB và EF .
Ta có MF là đường trung bình của tam giác BHC  MF song song với BH
 EMF  900  E, M , F nằm trên đường tròn đường kính EF  A, E, B, F , M nằm trên

đường tròn (T )  AMB  900  AM  BM .
Vì B   d  : x  y  7  0  B(b; 7  b) .
Vì AM  BM  AM .BM  0  b  4  B(4; 3) .
Do D nằm trên cạnh AB và AB  3 AD  AB  3 AD  D(2;1) .


 Phương trình đường thẳng CD là: x  y  1  0  C(c; 1  c) .
c  7 C (7;6)
2
2

Do AB  AC   c  1   4  c   45  
.
c  2
C (2; 3)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

Câu 4.1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh

BC, CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn

0
Đặt AB  b, AC  c. Khi đó BC  c  b và b.c  b . c .cos60 

225

.
2

1
1
1
2
Ta có AM  AB  BM  AB  BC  b  (c  b)  c  b.
3
3
3
3
1
4
PN  AN  AP  c  b.
3 15

1
2
1
4
1 2 8 2 2
1 8 1
Khi đó AM .PN   c  b  .  c  b   c  b  b.c      .225  0.
3   3 15  9
45
15
3
 9 45 15 


Suy ra AM  PN.
Câu 4.2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

a 3  b 3  c 3 2r

 4 . Chứng mình tam giác ABC là tam
abc
R

giác đều.
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu
Ta có: S 


Do đó:

abc
abc
r
abc
r
 pr  S 2 
. p.  p  p  a  p  b  p  c  
. p.
4R
4
R
4

R

2r  a  b  c  a  b  c  b  c  a 

.
R
abc

a 3  b 3  c 3 2r

4
abc
R

 a3  b3  c3   a  b  c  a  b  c  b  c  a   4abc
2
 a3  b3  c3  a 2   b  c    b  c  a   4abc



Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

2

 a3  b3  c3  a3  a 2  b  c    b2  c 2   b  c   a b  c    4abc



 a2b  ab2  b2c  bc 2  c 2a  a 2c  6abc (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: a2b  ab2  b2c  bc2  c2a  a 2c  6abc 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Ta có: (*)  a  b  c  ABC là tam giác đều (Đpcm)
Câu 4.3 Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện tích
tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .
Tính giá trị biểu thức T 

 ab  cd  ad  bc 
S

.

Lời giải
Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến
D

c

d

O
C

A

a

b

B

Ta có : S ABC 

S .4 R
a.b. AC
 ab  ABC
4R
AC

Tương tự ta cũng có : cd 

T

S ADC .4 R
S .4 R
S .4 R
, ad  ABD
, bc  BCD
AC
BD
BD

 ab  cd  ad  bc 
S


 S ABC .4 R S ADC .4 R  S ABD .4 R S BCD .4 R 





AC
AC  BD
BD 


S
S
S
S
S
S
S
S
S

4  ABC . ABD  ABC . BCD  ADC . ABD  ADC . BCD 
AC BD
AC BD
AC BD
AC BD 
 
S



4  S ABC .S ABD  S ABC .S BCD  S ADC .S ABD  S ADC .S BCD 
S . AC.BD

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC



4  S ABC .S  S ADC .S 
S . AC.BD



Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

4S  S ABC  S ADC  4S .S

2
S . AC.BD
S .2S

4  S ABC  S ABD  S BCD   S ADC  S ABD  S BCD  
 
.
S . AC.BD
Vậy T  2 .

Câu 5. Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng

a2
b2
c2
a 2  b2  c 2
.



2a  1 2b  1 2c  1
a 2  b2  c 2  6
Lời giải
Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a 2  b2  c 2
a 2  b2  c 2  6



a2
b2
c2


0
2a  1 2b  1 2c  1
VT

Trong đó




a2
a2
a2
1
1
1 a 11
a 2 2a

 3
  .a. 3 a   .a. 3 a.1.1   .a.
  .
2a  1
a  a 1
3
3
3
3
9
9
3 a.a.1

b2
c2
b2 2b
c 2 2c
Tương tự ta có 
và 

 
  .
2b  1
2c  1
9 9
9 9
Suy ra VT 

a 2  b2  c 2
a 2  b2  c 2  6



1 2
2
a  b2  c 2   .

9
3

2
 2
a  b  c

2
2
3
a  b  c 
Đặt t  a 2  b2  c 2  6 . Ta có 
 t  3; 15  .

3
a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  9




Lúc đó, với mọi t  3; 15  ta có

VT 

t2  6 1 2
2 t 2  6 t 2 9t 2  54  t 3  3  t  t  t  6   18
 t  6  
 

 0.
t
9
3
t
9
9t
9t

Dấu bằng xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1.
Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung
Ta có

a
a2

1 a
1
a2
a2
a 1
a2

 .
 . 2

  . 2
.
2 2a  1 2 2 a  1 2 2 a  a
2a  1 2 2 2 a  a

b2
b 1 b2
c2
c 1 c2
  .
  .
Tương tự có
và
.
2b  1 2 2 2b2  b
2c  1 2 2 2c 2  c
Suy ra

a2
b2

c2
3 1  a2
b2
c2 


   2
 2
 2
.
2a  1 2b  1 2c  1 2 2  2a  a 2b  b 2c  c 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có

a  b  c
a2
b2
c2
9





2
2
2
2a  a 2b  b 2c  c 2  a 2  b2  c 2   3 2  a 2  b2  c 2   3
2



a2
b2
c2
3 1
9
3
9
.


  .
 
2
2
2
2
2
2a  1 2b  1 2c  1 2 2 2  a  b  c   3 2 4  a  b  c 2   6

Ta cần chứng minh


3
9
a 2  b2  c 2
.


2 4  a 2  b2  c 2   6
a 2  b2  c 2  6

1

2
 2
a  b  c

2
2
3
a  b  c 
Đặt t  a 2  b2  c 2  6 . Ta có 
.
3
a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  2 ab  bc  ca  9

 



3

9
t2  6
t2  6
9
3


Suy ra t  3; 15  . Ta có 1   2



 .
2
2 4t  18
t
t
2  2t  9  2
2
2 t 4  81
t4
9
81
Mặt khác, ta có 0  2t 2  9  .9t 2  9  .
9  
 4.
2
9
9
2
9

2  2t  9  2t

6 81 3
Ta cần chứng minh t   4  .
t 2t
2
 81 t t t t t 81 t
81
t 5 7
t  4       4   5. 5
  


3 6 6 6 6 2t
3
2592 3 2 2 .
Thật vậy, vì t  3 nên  2t
 6  2

 t

6 81 7
3
Suy ra t   4   2  .
t 2t
2
2
Dấu ''  '' xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 10


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT THUẬN THÀNH 2
NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN TIME: 150 PHÚT

ĐỀ BÀI
Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y  x 2  4 x  4  m ;

Pm  .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 .
b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4
Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3x  a  0 ; x3 và x 4 là hai

Câu 2. (3.0 điểm)

nghiệm của phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng

x 2 x3 x 4


. Tìm a và b.
x1 x2 x3

Câu 3. (6.0 điểm)

a) Giải phương trình: x 2  x  2 x  1  0

 x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y
b) Giải hệ phương trình: 
4 x  6 x  1  7  4 x  1 y
Câu 4. (3.0 điểm)
a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho
AC  2. AB, OD 

1
1
OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ a, b . Từ đó
2
3

chứng minh C, D, E thẳng hàng.
b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED
Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 .
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.
Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P 

x
2019  x



y

2019  y

-----------------Hết-----------------

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1.

Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC
Cho hàm số y  x  4 x  4  m;  Pm  .
2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 .

b) Tìm m để  Pm  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1; 4 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Linh
a) Với m  1 hàm số trở thành y  x 2  4 x  3;
TXĐ: D 

 P1  .

.


Đồ thị  P1  là một parabol có đỉnh I  2; 1 và hệ số a  1  0 nên bề lõm của parabol hướng lên trên.
BBT

Đồ thị  P1  cắt trục hoành tại điểm A 1;0  , B  3;0  , cắt trục tung tại điểm C  0;3 và nhận đường
thẳng x  2 làm trục đối xứng.
Đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của  Pm  và trục hoành:

x2  4 x  4  m  0  x2  4 x  3  m  1

1 .

Dựa vào đồ thị ta thấy, 1 có 2 nghiệm cùng thuộc đoạn  1; 4 khi và chỉ khi 1  m  1  3 hay

Câu 2.

0m4 .
Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2  3x  a  0 ; x3 và x4 là hai nghiệm của
phương trình x2  12 x  b  0 . Biết rằng

x2 x3 x4

 . Tìm a và b.
x1 x2 x3
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb:Nguyễn Văn Phu

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!


Trang 2


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

Phương trình x2  3x  a  0 có hai nghiệm    9  4a  0  a 

9
. (1)
4

Phương trình x2  12 x  b  0 có hai nghiệm   '  36  b  0  b  36 . (2)

 x1  x2  3
 x .x  a
 1 2
(I )
Với điều kiện trên, theo Viet ta có: 
 x3  x4  12
 x3 .x4  b

 x2  tx1
x2 x3 x4



 t   x3  tx2  t 2 x1 .
Đặt
x1 x2 x3


3
 x4  tx3  t x1
 x1  tx1  3
 x1  tx1  3

 x .tx  a
 x1 .tx1  a
 1 1
Thế vào hệ (I) ta được:  2

2
3
t x1  t x1  12
t ( x1  tx1 )  12
t 2 x .t 3 x  b
2 3
 1 1
t x1 .t x1  b

 3
 4
5
 6

Thế (3) vào (5) ta được t 2  4  t  2 .
Với t  2 thay vào (3) ta được x1  1  x2  2; x3  4; x4  8 .

a  x1 .x2  1.2  2
Khi đó 

(t/m)
b  x3 .x4  4.8  32
Với t  2 thay vào (3) ta được x1  3  x2  6; x3  12; x4  24 .

a  x1 .x2  3.6  18
Khi đó 
(t/m)
b  x3 .x4  12.24  288
a  2
a  18
Vậy 
hoặc 
.
b  32
b  288
Câu 3.

a) Giải phương trình: ( x2  x  2) x  1  0 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Đông ; Fb: Nguyễn Đông
Điều kiện phương trình có nghĩa: x  1 .

 x  1
 x2  x  2  0
( x  x  2) x  1  0  
  x  2
 x  1  0
 x  1
2


Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là: S  1; 2 .

 x3  3x 2  4 x  2  y 3  y
b) Giải hệ phương trình 
.
4
x

6
x

1

7

4
x

1
y



Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019


Tác giả: Quốc Vương; Fb: Quốc Vương

 x3  3x 2  4 x  2  y 3  y
1
b) Giải hệ phương trình 
.
4 x  6 x  1  7   4 x  1 y  2 
Phương trình 1   x  1   x  1  y 3  y   x  1  y   x  1   x  1 y  y 2  1  0


3

2

2

y  3 y2

 1  0 x, y ).
 y  x  1 (vì  x  1   x  1 y  y  1   x  1   
2
4

2

2

Thay y  x  1 vào phương trình  2  , ta được: 4 x  6 x  1  7   4 x  1 x  1
3


 x  1
 x  1
x  2


2

 x  2  y  3.
2
x

1

3

4
x
2
x

1

3

2
x




 x  1   2 x  3






Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x; y    2;3 .
Câu 4. a. Cho tam giác OAB . Đặt OA  a , OB  b . Gọi C , D , E là các điểm sao cho AC  2 AB ,

1
1
OB , OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC , CD , DE theo các vectơ a , b . Từ đó chứng
3
2
minh C , D , E thẳng hàng.
Lời giải
Tác giả: Phạm Thu Thuận; Fb:Bon Bin
OD 

O
E
D
A

C

B

OC  2OB  OA  a  2b .






1
3
CD  OD  OC  b  a  2b  a  b (1).
2
2

1
1
DE  OE  OD  a  b
3
2

(2).

Từ (1) và (2) ta được CD  3DE . Vậy 3 điểm C , D , E thẳng hàng.
Câu 4. b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A , có trọng tâm G . Gọi E , H lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A . Chứng minh EC  ED .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hương ; Fb: NT Hương
Cách 1:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4



TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

Vì AB  AC  AB.AC  0 .
Ta có EC  AC  AE  AC 
ED  AD  AE   AH 

1
AB .
2

1
1
1
1
 1
AB    AB  AC   AB   AC  AB.
2
2
2
2
 2

1
1
1
1

 1

Suy ra EC.ED   AC  AB   AC  AB    AC 2  AC. AB  AB. AC  AB 2

2
4
2
2

 2



1
AB 2  AC 2   0. Vậy EC  ED .

2

Cách 2:
Xét hai tam giác EHC và EAD có:
EH  AE 

AC
(1).
2

EHC  EAD  135 (2).
AD  AH 

BC
BC
và CH 
nên CH  AD (3).
2

2

Từ (1), (2), (3) suy ra EHC  EAD . Suy ra HEC  AED . Mà EH  AE  EC  ED .
Cách 3:

Chọn hệ trục tọa độ Axy sao cho: A  0;0 , B  a;0  , C  0; a  với a  0 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

a
a  a a  a a

 a 
Khi đó E  ;0  , H  ;  , D   ;   . Suy ra EC    ; a  , ED   a ;   .
2
2  2 2  2 2

 2 
a
 a
EC.ED   .  a   a.     0 . Vậy EC  ED .
2
 2

Câu 5.


Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1 và B  2; 4 
a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B .

Lời giải
Tác giả: Cao Hoàng Đức ; Fb: Cao Hoang Duc
a) Vì C thuộc trục Ox nên C  x ;0  .
Tam giác ABC vuông tại B , do đó: AB .BC  0  3  x  2   12  0  x  6 .
Vậy C  6;0  .
b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Thiện , Fb: Nguyễn Công Thiện

 AB. AD  0
Gọi D  x; y  là điểm cần tìm. Để tam giác ABD vuông cân tại A thì: 
(1)

 AB  AD

Ta có: AB   3;3 , AD   x  1; y  1 . Từ (1) suy ra:
3  x  1  3  y  1  0


2
2

 18   x  1   y  1

 x  2
 y  x


 y   x

 y  2

  x  2  
2
2
  x  4

  x  4
 x  1    x  1  18


  y  4

Vậy có hai điểm D thỏa điều kiện bài toán là: D  2; 2  hoặc D  4; 4  .
Câu 6.

Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

P

2019  x



y
2019  y


.
Lời giải

Cách 1:
Tác giả: Nguyễn Thị Xuân Trinh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh
Ta có
P

x
2019  x



y
2019  y



2019  y
y



2019  x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

x


 1
1 
 2019 


 x
y 


x y



1  1 x  y  

x y



2.2019  4038

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019

1
1

1 1
4


, ta có:
 
a b ab
x
y

Áp dụng bất đẳng thức
Vậy P  2019.

4
4038

4
x y

4



4038

 4038  4038 .

 x
y


2019

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  1
.
1 xy
2
 x y

Cách 2:
Tác giả: Cô Lê Minh Huệ - QTV Strong Team Toán VD – VDC.
Ta có
x

P

2019  x



y
2019  y



x
y



y

x



x2
x y

x2

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số, ta có:

x y

Vậy P 

xy 

y2
y x



y2

 x  y



y x


x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:



2

x yy x

20192



1  1 x  y  

xy



x y



2.2019  4038

x  y 2019

2

2

20192
 4038 .
2019
. 4038
2

y
 x
x y  y x

 x
y
2019
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
.

xy
1
2
 1
 x y


Câu 6.1. ( đề xuất)
Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất

yz


của biểu thức P 

2019  y  z

xz



2019  x  z

xy



2019  x  y

.

Lời giải
Tác giả: Trần Thế Mạnh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh
Ta có

P

yz
2019  y  z



xz

2019  x  z



xy
2019  x  y



2019  x
x



2019  y
y



2019  z

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

z

Trang 7