TOÁN SƯU TẦM
Tác giả: LPT
Nguồn: Sưu tầm

BÀI TOÁN CHIA BÁNH
BÀI

TOÁN XỔ SỐ
Trong một giải Xổ số Toán học, mỗi tấm vé số là một bộ gồm 5 số tự nhiên không sắp thứ
tự (a; b; c; d; e) nằm từ 1 đến 90. Vào ngày ban tổ chức quay số trúng thưởng, ông A và
ông B trao đổi với nhau:
A: Ông có biết hôm nay kết quả xổ số là gì không?
B: Trong kết quả 5 số xuất hiện ở vé trúng thưởng, có một “số đặc biệt” là ước của tổng 2
số bất kỳ trong 4 số còn lại!
A: Thế số đó là gì?
B: Tôi mà nói ra thì anh sẽ biết ngay vé số trúng thưởng.
A: Ít nhất thì cũng nói cho tôi số đó là chẵn hay lẻ?
Khi ông B vừa trả lời cho ông A, thì ông A nhảy bật lên sung sướng:
- Tôi trúng xổ số rồi! Thắng rồi! Thắng rồi!
Hỏi “số đặc biệt” là số nào và vé trúng thưởng là bộ gồm 5 số nào?
Bài giải:
1. Sai lầm thường gặp
Với e = 16 ta có bộ số duy nhất là 1 hoán vị của (16 ; 32 ; 48 ; 64 ; 80)


Nguyên nhân sai lầm : Với e = 16 ta còn có bộ số (8 ; 16 ; 24 ; 40 ; 56)
2. Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát giả sử số đặc biệt là số e. Chú ý 2 giả thiết quan trọng sau đây:
– Nếu cho biết số e thì ta xác định được bộ (a;b;c;d) duy nhất
– Trong 2 trường hợp e chẵn hoặc lẻ thì có 1 trường hợp cho ta duy nhất 1 số e tương ứng
với 1 bộ (a;b;c;d) duy nhất

Từ đó suy ra:
Nếu e chẵn thì có thể chỉ ra 2 trường hợp của e đều có bộ nghiệm duy nhất (a;b;c;d)
tương ứng
+ ) Với e = 22 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 11 ; 33 ; 55 ; 77)
+ ) Với e = 24 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 12 ; 36 ; 60 ; 84)
Như vậy e chẵn bị loại.
Với e lẻ ta có thể chứng minh được các số a ; b ; c ; d cùng phải chia hết cho e. Từ đó suy
ra chỉ có duy nhất e = 17 tương ứng với bộ duy nhất (a;b;c;d) là 1 hoán vị của (34 ; 51 ;
68 ; 85 ), và vé trúng thưởng là 1 hoán vị của ( 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85).

BÀI TOÁN CHIA TÀI SẢN
Một người đàn ông giàu có nói với người vợ đang mang thai là nếu sinh con trai sẽ chia
cho đứa bé 1/2 tài sản, là con gái thì chia cho 2/3. Vậy nếu bà vợ sinh đôi một trai, một
gái thì tài sản sẽ được chia như thế nào? (Vũ Duy Minh)
Bình luận: Bài toán này không thể giải được về mặt Toán học và mấu chốt do tổng tài
sản của con trai và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1
Ta có thể thấy rõ điều này nếu thay đổi các phân số để tổng của chúng < 1 thì bất cứ ai
cũng có thể chia được và sẽ không tạo ra sự bàn luận sôi nổi về bài toán này!. Xét 3 ví dụ
sau đây:
+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 1/3 thì 1/2 + 1/3 = 5/6 < 1 và khi đó chia tài sản thành 6
phần, con trai 3 phần và con gái 2 phần.
+ Con trai nhận 1/4, con gái nhận 1/3 thì 1/4 + 1/3 = 7/12 < 1 và khi đó chia tài sản thành
12 phần, con trai 3 phần và con gái 4 phần.
+ Con trai nhận 1/2, con gái nhận 2/5 thì 1/2 + 2/5 = 9/10 < 1 và khi đó chia tài sản thành
10 phần, con trai 4 phần và con gái 5 phần.


Nhưng nếu chúng ta là Tòa án mà phải giải quyết bài toán thực tế: "Phân chia tài sản theo
di chúc cho 1 con trai và 1 con gái" thì làm thế nào? Không nhẽ lại nói không thể chia
được và xung toàn bộ tài sản vào "Quỹ Quốc gia"?

Trong trường hợp bài toán đã nêu, để xử lý điều kiện phi logic: Tổng tài sản của con trai
và con gái là 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1 ta có 2 cách tiếp cận sau đây:
+ Nếu lấy tổng tài sản làm thước đo trung gian thì tỷ lệ tài sản của con trai với con gái là:
(1/2) : (2/3)= 3/4 thì sẽ có vô số cách chia như sau: "Chia tài sản thành n ≥ 7 phần bằng
nhau tùy ý, con trai nhận 3 phần, con gái nhận 4 phần". Nhưng khi đó cả 3 đại lượng tài
sản con trai, tài sản con gái, tài sản còn lại luôn thay đổi theo n tức là cách tiếp cận này
hoàn toàn không có giá trị thực tiễn.
+ Nếu hiểu thông tin của người cha theo "logic mềm": Ông ta không lường trước được
chuyện sinh đôi 1 trai, 1 gái và ý tưởng của ông ta là chia tài sản theo tương quan tỷ lệ
giữa tài sản nhận được của con trai hoặc của con gái với tài sản còn lại thì ta có lời giải
sau đây:
Lời giải:
Tài sản con trai bằng 1/2 tổng tài sản nên tài sản còn lại cũng bằng 1/2 tổng tài sản. Tức
là tài sản con trai bằng tài sản còn lại (1)
Tài sản con gái bằng 2/3 tổng tài sản nên tài sản còn lại bằng 1/3 tổng tài sản. Tức là tài
sản con gái bằng 2 lần tài sản còn lại (2)
Từ (1) và (2) suy ra tài sản con gái gấp đôi tài sản con trai và gấp đôi tài sản còn lại. Từ
đó suy ra cách chia tài sản của ông bố ra làm 4 phần bằng nhau. Con trai được chia 1
phần và con gái được chia 2 phần.
Kết luận:
Bài toán trên gần giống bài toán cổ chia ngựa trong di chúc của ông bố cho các con: “Một
ông bố viết di chúc chia tất cả 17 con ngựa cho 3 đứa con, đứa lớn nhất được 1/2 tổng số
ngựa. Đứa thứ 2 được 1/3 tổng số ngựa, và đứa út được 1/9 tổng số ngựa”. Vì 17 không
chia hết cho các mẫu số nên các con không thể chia theo di chúc được mà đưa ra Tòa
phán xử. Khi đó, Tòa đã mượn thêm 1 con ngựa để có 18 con ngựa, và lần lượt 3 người
con nhận được 9, 6, 2 con ngựa tương ứng với 1/2, 1/3, 1/9 trong tổng số 18 con ngựa. Vì
9 + 6 + 2 = 17 nên vẫn thừa ra 1 con ngựa để hoàn trả lại.
Như vậy, bài toán chia tài sản sai về mặt Toán học bởi tổng tài sản thừa 1/2 + 2/3 = 7/6 >
1 thì bài toán chia ngựa sai bởi tổng giá trị thiếu 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.
Việc mượn thêm 1 con ngựa rồi mới thực hiện phép chia sẽ làm cho mỗi người con đều

nhận được số ngựa lớn hơn so với việc chia ngay theo tỉ lê từ 17 và quan trọng hơn số
ngựa nhận được của mỗi người đều là các số nguyên nên họ dễ dàng đồng ý với cách chia
của Tòa. Đây chính là giải pháp tối ưu cho các bài toán thực tế, dù sai logic về mặt Toán
học.
BÀI TOÁN ĐOÁN NGÀY SINH NHẬT


Đề bài: Một chàng trai hỏi ngày sinh nhật của một cô gái mới quen. Cô gái kiêu kỳ trả
lời: "Hai ngày trước em 17 tuổi, nhưng năm tới em sẽ 20 tuổi cơ đấy!". Bạn hãy giúp
chàng trai đoán ngày sinh nhật của cô gái.
Bình luận: Khi đọc xong đề bài chúng ta có cảm giác đề bài hết sức vô lý vì tuổi của một
người bất kỳ ở năm liền sau với năm liền trước chỉ cách nhau 2 tuổi, không thể cách 3
tuổi được. Điều hay nhất của bài toán nằm ở một nút thắt rất tinh vi: "Cô gái có duy nhất
1 ngày của năm liền sau có khoảng cách 3 tuổi so với năm liền trước". Để làm sáng tỏ
điều này chúng ta có các nhận xét sau đây:
+ Tháng 12 có 31 ngày và ngày cuối năm là ngày 31/12
+ Ngày sinh nhật là ngày cuối cùng của tuổi hiện tại
+ Ngày liền sau sinh nhật là ngày đầu tiên của tuổi hiện tại cộng 1
+ Nghĩ đến ý tưởng: "Ngày cuối cùng của tuổi 17 và ngày đầu tiên của tuổi 20"
Từ những nhận xét trên ta có lời giải sau đây:
Để tạo ra khoảng cách lớn nhất giữa tuổi của năm liền sau với năm liền trước thì thời
điểm hiện tại mà cô gái trò chuyện với chàng trai phải là một trong các ngày đầu năm và
sinh nhật cô gái là một trong các ngày cuối năm. Xét 2 khả năng sau:
+ Nếu ngày hiện tại ≥ 2/1 thì dễ thấy toàn bộ các ngày trong năm liền sau (năm tới) tuổi
của cô gái không vượt quá 19.
+ Nếu ngày hiện tại là ngày 1/1 thì trước đó 2 ngày là ngày 30/12 của năm liền trước, đây
là ngày sinh nhật và là ngày cuối ở tuổi 17 của cô gái. Trong năm hiện tại từ ngày 1/1 đến
ngày 30/12 cô gái 18 tuổi. Trong năm liền sau (năm tới) từ ngày 1/1 đến ngày 30/12 cô
gái 19 tuổi và ngày 31/12 là ngày đầu tiên cũng là ngày duy nhất trong năm cô gái bước
sang tuổi 20.

Kêt luận: Sinh nhật của cô gái là ngày 30/12.
BÀI TOÁN NGƯỜI NHỌ MẶT
Trên một đoàn tàu hỏa, phụ trách toa tàu thông báo trong toa có một số người bị nhọ mặt
và ra hiệu lệnh: Mọi người tập hợp xung quanh tôi, không được soi gương, nói chuyện
hay bất kỳ hành động nào có thể giúp cho người khác biết về tình trạng nhọ hay không
nhọ.
Chỉ được phép nhìn nhau và suy nghĩ, nếu ai biết chắc chắn mình bị nhọ thì khi tàu dừng
sẽ xuống rửa. Kết quả là sau khi tầu dừng ở ga thứ 4 thì không còn ai bị nhọ. Hỏi ban đầu
trong toa tàu có bao nhiêu người bị nhọ mặt?
Đáp án:
Ta sẽ biện luận bài toán theo các tình huống sau:


TH1: Giả sử chỉ có một người bị nhọ mặt. Người đó sẽ thấy tất cả mọi người còn lại đều
không nhọ nên khẳng định chính mình bị nhọ và xuống rửa ở ga thứ 1. Nhưng theo đề bài
lại là ga thứ 4, vậy giả sử này sai.
TH2: Giả sử có 2 người bị nhọ mặt. Cả hai người sẽ nhìn thấy chỉ có một người bị nhọ và
nghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, người còn lại sẽ nghĩ như TH1 và xuống rửa ở ga thứ
1. Nhưng qua ga thứ 1, cả hai đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ
xuống rửa xong ở ga thứ 2. Vậy giả sử này cũng sai.
TH3: Giả sử có 3 người bị nhọ mặt. Cả ba người sẽ nhìn thấy có hai người còn lại bị nhọ
và nghĩ: Nếu như mình không bị nhọ, hai người sẽ nghĩ như TH2 và xuống rửa ở ga thứ
2. Nhưng qua ga thứ 2, cả 3 đều không xuống nên nhận ra mình cũng bị nhọ và sẽ xuống
rửa xong ở ga thứ 3. Vậy giả sử này cũng sai.
Tiếp tục suy diễn như trên và kết hợp với giả thiết khi tầu dừng ở ga thứ 4 thì không còn
ai bị nhọ. Ta kết luận có 4 người bị nhọ mặt.
BÀI TOÁN ĐỒNG XU
Có 10 đồng xu mặt ngửa và 10 đồng xu mặt úp nằm lẫn lộn trên bàn. Giả sử bạn bị bịt
mắt lại và đeo găng tay để không cảm nhận được đồng xu nào là ngửa hay úp, làm cách
nào để chia số đồng xu trên thành hai phần bằng nhau sao cho số đồng xu ngửa của phần

này bằng số đồng xu ngửa của phần kia? Bạn chỉ có thể di chuyển và lật những đồng xu
qua lại.
BÀI TOÁN ĐỔI VỊ TRÍ CHỮ SỐ
Đề bài: Tuấn viết lên bảng một đẳng thức sai 1995 + 146 = 210 + 1117. Bạn có thể giúp
Tuấn làm cho đẳng thức này đúng bằng cách dịch chuyển 2 chữ số có mặt trong đẳng
thức sai từ vị trí ban đầu của chúng đến hai vị trí mới ? (Cho phép nhét một chữ số vào
giữa hai chữ số khác).
Sai lầm thường gặp
Một số bạn đọc đưa các đáp án thể hiện đẳng thức đúng nhưng bị phạm quy vì dịch
chuyển nhiều hơn hai chữ số.
Ví dụ A. 1995 + 126 = 410 + 1711
Phạm quy: Dịch chuyển 3 chữ số 2, 4 và 7.
Ví dụ B. 1975 + 146 = 211 + 1910
Phạm quy: Dịch chuyển 4 chữ số 0, 1, 7, 9.
Hướng dẫn lời giải
Bài toán này nếu không dùng phần mềm trợ giúp thì nó là bài toán không dễ tìm được lời
giải trong một thời gian ngắn. Nếu tổ hợp hết tất cả các khả năng trong Toán học thì từ


đẳng thức sai ban đầu 1995 + 146 = 210 + 1117 ta có thể tạo ra hàng triệu các đẳng thức
khác nhau bằng cách chỉ thay đổi đúng 2 vị trí chữ số.
Vì thế nếu đặt nó là bài toán giải trí, không đặt nặng mục đích phải tìm bằng được ngay
lời giải bất chấp mọi thủ thuật, thì ta sẽ thấy nó thú vị hơn. Khi giải bài toán chúng ta cần
hiểu rằng, thuật ngữ: “Cho phép nhét một chữ số vào giữa hai chữ số khác” có nghĩa là
khi đó chỉ được tính 1 lần dịch chuyển 1 chữ số và đó chính là chữ số mang đi nhét.
Ngoài ra kết hợp với phương pháp đánh giá và nhận xét chữ số tận cùng ta có thể chỉ cần
xét dưới 10 khả năng để đưa ra một đáp án duy nhất khi không có thêm phép toán là:
1975 + 146 = 210 + 1911.
BÀI TOÁN ĐI QUA ĐƯỜNG HẦM
Bốn cô gái A, B, C, D muốn đi qua một đường hầm tối nhưng họ chỉ có một ngọn đuốc.

Biết A, B, C, D mỗi người lần lượt có thể đi qua đường hầm trong 1 phút; 2 phút; 5 phút;
10 phút.
Giả sử rằng, họ cần đuốc để đi qua mỗi lần và đường hầm cho phép tối đa 2 cô gái đi qua
trong một lần. Hỏi số thời gian ít nhất để cho cả 4 cô gái đi qua được đường hầm là bao
nhiêu? (Chú ý: Nếu 2 người cùng đi một lượt qua đường hầm thì thời gian chung tính
theo thời gian của cô gái đi chậm hơn).
BÀI TOÁN THAY LỐP Ô TÔ
Đề bài:
Một chiếc ôtô có 4 bánh. Mỗi lốp ở hai bánh trước sử dụng được tối đa 300 km, mỗi lốp
ở hai bánh sau sử dụng được tối đa 450 km. Nếu có thể thay đổi vị trí giữa lốp trước và
lốp sau thì quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp là bao nhiêu?
Lời giải:
Giả sử khi ôtô đi được a km thì ta thực hiện đổi 2 lốp trước và 2 lốp sau cho nhau. Sau
khi đổi lốp, ôtô đi được thêm b km nữa. Ta có các nhận xét sau:
- Tại thời điểm đổi lốp thì lốp trước bị hao mòn a/300 và lốp sau bị hao mòn a/450.
- Từ thời điểm thay lốp đến thời điểm ôtô đi được quãng đường tối đa thì lốp trước bị hao
mòn thêm b/300; lốp sau bị hao mòn thêm b/450.
- Để ôtô chạy được quãng đường xa nhất thì cả 4 lốp mòn tối đa cùng một lúc.
Từ các nhận xét trên ta có phương trình:
(a/300) + (b/450) = (a/450) + (b/300) = 1.
Giải phương trình ta có: a = b = 1 : [(1/300) + (1/450)] = 180 (km).
Vậy quãng đường lớn nhất xe có thể đi với một bộ 4 lốp như nhau là 360 km.


BÀI TOÁN VẼ QUỸ ĐẠO CÁC CHUYỂN ĐỘNG
Đề bài:
Vẽ quỹ đạo của các chuyển động sau:
a) Một con kiến bò quanh miệng giếng.
b) Một quả dừa lăn theo một dốc nghiêng.
c) Một con chim ngã từ cành cây xuống đất.

d) Một con chim bay theo một đường thẳng.
Phân tích:
a) Bạn có thể nghĩ đến một đường tròn là quỹ đạo của con kiến. Nhưng không chắc vì
miệng giếng chưa chắc đã là một đường tròn. Và ngay khi miệng giếng là đường tròn thì
không có giả thiết nào nói rằng con kiến sẽ bò theo một đường tròn.
b) Vì không chắc quả dừa có tròn không và dốc nghiêng có nhẵn không nên nếu bạn nghĩ
đến quỹ đạo của quả dừa là một đường thẳng thì chưa chắc đúng.
c) Thoạt tiên có thể bạn nghĩ quỹ đạo của con chim là một đường thẳng vuông góc với
mặt đất, giống như con chim đang rơi tự do. Một người khác có thể lập luận rằng ở đây
con chim “ngã” từ cành cây xuống nên sẽ có một đoạn đường cong ban đầu sau đó mới
rơi thẳng. Vì chúng ta không biết sức cản của gió lúc con chim rơi nên cả hai phương án
đều chưa chắc đúng. Có thể bạn còn nghĩ đến chuyển động quay của con chim trong lúc
rơi nữa, nhưng không chắc vì không biết “cách ngã” của chim.
d) Câu này có vẻ chắc chắn nhất vì đề bài nói rõ là con chim bay thẳng. Vậy chỉ cần vẽ
một đường thẳng? Không hẳn vậy vì đầu bài không cho biết con chim bay theo phương
nào. Giả sử bạn vẽ đường thẳng có phương ngang chẳng hạn, như thế bạn đã “bắt” con
chim bay thẳng theo phương ngang. Chúng ta hoàn toàn chưa biết con chim bay theo
phương nào nên không thể vẽ được.
Kết luận:
Như vậy bài toán khá đơn giản nhưng lại không có đáp số vì chưa đủ giả thiết. Để tìm lời
giải cho một bài toán cần xem có đủ giả thiết hay không rồi mới thực hiện các suy luận
logic để tìm kết quả. Chúng ta không nên đặt “niềm tin vào một thói quen nào đó” để đưa
ra cách giải, đáp số và lại càng không nên cố đưa ra kết luận khi giả thiết còn chưa đủ.
BÀI TOÀN ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG
Đề bài:
Điền vào chỗ trống với các con số sao cho câu trong hộp này là đúng:
Trong hộp này, số chữ số 0 là _____, số chữ số 1 là _____, số chữ số 2 là _____, số chữ
số 3 là _____, số chữ số 4 là _____, số chữ số 5 là _____, số chữ số 6 là _____, số chữ số
7 là _____, số chữ số 8 là_____, và số chữ số 9 là _____.



Đáp án:
"Trong hộp này số chữ số 0 là 1, số chữ số 1 là 7, số chữ số 2 là 3, số chữ
số 3 là 2, số chữ số 4 là 1, số chữ số 5 là 1, số chữ số 6 là 1, số chữ số 7 là
2, số chữ số 8 là 1, số chữ số 9 là 1".
BÀI TOÁN BỐ CHỞ CON ĐI HỌC
Đề bài:
Bố và hai con trai đi thăm bà nội cách thành phố 33 km. Bố đi xe Honda có thể chạy với
vận tốc 25 km/h và nếu chở thêm một người thì có vận tốc 20 km/h (xe không thể chở 3).
Hai anh em có thể đi bộ với vận tốc 5 km/h. Hãy tìm cách để họ đến thăm bà sau khoảng
thời gian ngắn nhất có thể (thời gian được tính từ lúc đi đến lúc tất cả đều về đến nhà bà).
Đáp án:
Bố chở con trai thứ nhất đi trong vòng 1,2 giờ, được 24km rồi bỏ con trai thứ nhất xuống
rồi quay lại đón con trai thứ hai.
Lúc này, con trai thứ hai cũng đã đi được 1,2 x 5 = 6 (km), do đó quãng đường giữa hai
bố con là 18km.
Hai bố con đi ngược chiều nhau với tổng vận tốc là 30km giờ nên họ gặp nhau sau 18/30
= 0,6 giờ.
Lúc này người con thứ hai đã đi được 1,2 x 5 + 0,6 x 5 = 9 (km), còn người con thứ nhất
đi được 24 + 0,6 x 5 = 27km.
Hai bố con cách nhà bà 33 - 9 = 24 (km)
Người con thứ nhất cách nhà bà 33 - 27 = 6 (km).
Như vậy họ sẽ tốn thêm 24/20 = 6/5 = 1,2 giờ để cùng đến nhà bà.
Vậy tổng số thời gian đến nhà bà là: 1,2 + 0,6 + 1,2 = 3 giờ
BÀI TOÁN NHỮNG VIÊN ĐÁ CUỘI
Đề bài:
Có 100 đống đá cuội trên một cái bàn chứa lần lượt 1, 2, 3,…, 99, 100 viên.Trong một
bước bạn có thể giảm một số viên cuội từ bất kỳ nhóm viên cuội nào, miễn rằng bạn phải
lấy ra cùng một số cuội từ mỗi nhóm. Hỏi bạn phải cần ít nhất bao nhiêu bước để lấy hết
tất cả các viên đá cuội ra khỏi bàn?



BÀI

TOÁN TÌM SỐ
Đề bài:
Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mỗi chữ số đúng 1 lần, hãy lập một số có 9 chữ số
abcdefghk sao cho ab chia hết cho 2; abc chia hết cho 3; abcd chia hết cho 4; abcde chia
hết cho 5, …, abcdefgh chia hết cho 8 và chính số đó chia hết cho 9.
Hướng dẫn giải:
Xét số abcdefghk thỏa mãn yêu cầu bài toán. Từ giả thiết suy ra:
(b, d, f, h) là hoán vị của (2, 4, 6, 8)
(a, c, e, g, k) là hoán vị của (1, 3, 5, 7, 9).
Do abcde chia hết cho 5 nên e = 5.
Do abcdefgh chia hết cho 8 mà f chẵn nên gh chia hết cho 8, kết hợp với g lẻ và khác 5
suy ra gh = 16, 32, 72.
Do abc chia hết cho 3 và abcdef chia hết cho 6 nên def chia hết cho 3, kết hợp với
abcdefghk chia hết cho 9 nên ghk chia hết cho 3.
Từ đó suy ra ghk = 165 (loại vì e = 5); 321; 327; 723; 729, dẫn đến h = 2.
Do abcd chia hết cho 4 mà c lẻ nên d = 6, suy ra def = 654
Do đó b = 8.
Ta có abcdefghk = a8c654g2k.


Do a8c654g chia hết cho 7 nên theo dấu hiệu chia hết cho 7 ta có (a + 54g – 8c6) chia hết
cho 7, từ đó suy ra (a + g – 3c) chia hết cho 7.
Nếu g = 3 thì a = 9, c = 4 (loại vì c lẻ) hoặc c = 9, a = 3 (loại vì g = 3).
Nếu g = 7 thì a = 3, c = 1 và số cần tìm là 381654729.
Đáp số: 381654729.
BÀI TOÁN HỘT XÚC XẮC

Đề bài:
Có 4 hột xúc xắc giống hệt nhau được xếp úp mặt vào nhau như hình vẽ. Các hột xúc xắc
này không giống các hột thông thường, tức là không nhất thiết tổng các nút ở hai mặt đối
diện bằng 7. Hãy xác định tổng các nút trên 6 mặt úp vào nhau.

Hướng dẫn làm bài:
Ta đánh số 6 mặt cần tìm từ trái qua phải là 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ta thấy 3 kề 1, 3, 4, 6 suy ra đối diện của 3 là 5. 1 kề 2, 3, 6 (trên hình) và kề 5 (do 5 và 3
đối diện nhau), suy ra đối diện của 1 là 4. Và đối diện của 6 là 2.
Từ đây dễ dàng suy ra mặt 6 có số 2 (đối diện 6). Hai mặt 4, 5 có số là 2, 6 (ta nhìn thấy
các mặt 3, 4, đối diện chúng là 5, 1). Hai mặt 2, 3 có số là 4, 1 (ta nhìn thấy hai mặt 3, 2,
đối diện chúng là 5, 6).
Cuối cùng, ở quân xúc xắc đầu tiên, ta nhìn thấy 2 mặt 1, 2. Đối diện của chúng là 4, 6.
Vậy hai mặt còn lại là 3, 5. Nhưng mặt úp vào trong là số mấy?
Dựa vào thông tin các mặt đối diện, đặc biệt là vào quân xúc xắc ta nhìn thấy 3 mặt. Ta
suy ra quân xúc xắc có dạng sau:


BÀI TOÁN “KÌNH NGƯ QUÁ HẢI”
Đề bài:
Nhà hàng "Cá vàng" chuyên phục vụ các món đặc sản biển. Riêng món "Kình ngư quá
hải", một món mang thương hiệu của nhà hàng luôn được phục vụ vào thứ hai và thứ năm
hàng tuần. Vài năm trước, bếp trưởng nhận xét rằng trong tháng 1 năm đó, nhà hàng đã
phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày. Hỏi ngày 1/1 năm đó rơi vào ngày thứ mấy?
Lời giải:
Mỗi tháng có ít nhất 4 ngày thứ hai và nhiều nhất 5 ngày thứ hai. Tương tự với thứ năm.
Tháng đó nhà hàng đã phục vụ món Kình ngư quá hải trong 8 ngày, suy ra tháng đó có 4
ngày thứ hai và 4 ngày thứ năm.
Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ 2 thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai, mâu thuẫn.
Nếu ngày 1/1 rơi vào ngày thứ ba, thứ tư hoặc thứ năm thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ

năm, mâu thuẫn.
Cuối cùng, nếu ngày 1/1 rơi vào thứ bảy hoặc chủ nhật thì tháng đó sẽ có 5 ngày thứ hai,
mâu thuẫn. Vậy chỉ có khả năng duy nhất còn lại là 1/1 rơi vào ngày thứ sáu. Kiểm tra lại
ta thấy đúng là trong trường hợp này có 4 ngày thứ hai và 4 ngày thứ tư.
Đáp số: Thứ sáu.


BÀI TOÁN THAY CHỮ CÁI BẰNG CHỮ SỐ
Đề bài:
Điền các chữ số thích hợp vào đẳng thức sau để được một phép tính đúng. Chữ cái giống
nhau được thay bằng các chữ số giống nhau, chữ cái khác nhau được thay bằng các chữ
cái khác nhau:
TEN + TEN + FORTY = SIXTY
Lời giải:
Ta xếp lại phép tính theo cột
TEN
TEN
FO RTY
SI XTY
Ta thấy N + N + Y = Y + (0 hoặc 10), suy ra N = 0 hoặc 5.
Xét ở hàng chục thì:
E + E + T + (0 hoặc 1) = T + (0 hoặc 10) => E + E + T + (0 hoặc 1) = (0 hoặc 10).
Nếu có nhớ 1 từ hàng đơn vị sang thì vế trái lẻ, vế phải chẵn, mâu thuẫn.
Vậy phép cộng hàng đơn vị không nhớ, suy ra N = 0. Và từ đây suy ra E = 5.
Vì S và F khác nhau nên phép cộng ở hàng ngàn phải có nhớ, và ta có S = F+1. Vì phép
cộng ở hàng trăm nhớ tối đa là 2, mà I khác 0 nên từ đây để phép cộng ở hàng ngàn có
nhớ, ta phải có O = 9 và I = 1 và phép cộng ở hàng trăm phải nhớ 2.
Như vậy T phải là 6, 7 hoặc 8.
Nếu T = 6 thì do tối đa R có thể bằng 8 và phép cộng hàng chục nhớ 1, do đó X chỉ có thể
bằng 0 hoặc 1 (trùng với I = 1 và N = 0).

Nếu T = 7 thì trường hợp R = 6 cho kết quả tương tự, còn R = 8 ta được X = 3. Lúc này
các số 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9 đã được dùng, ta không còn cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S =
F+1.
Còn lại trường hợp duy nhất T = 8.
Lúc này nếu R = 6 thì X = 3 và các số 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9 đã được dùng, ta cũng không còn
cặp 2 số liên tiếp nào cho F và S = F+1.


Nếu R = 7 thì X = 4, ta còn cặp 2 số liên tiếp duy nhất là 2, 3 cho F và S = F+1. Vậy F =
2, S = 3. Số 6 duy nhất còn lại ta dành cho Y.
Vậy ta được đẳng thức 850 + 850 + 29786 = 31486.
Đáp án: 850 + 850 + 29786 = 31486.
BÀI TOÁN ĐIỀN SỐ
Đề bài:
Hãy điền các số từ 1 đến 9 vào vòng tròn, mỗi số sử dụng đúng một lần sao cho cả ba
cạnh của tam giác đều có tổng các số bằng nhau.

Giải:
Khi cộng số trên các cạnh thì các số ở 3 đỉnh sẽ được cộng 2 lần.
Do đó nếu gọi x là tổng các số trên một cạnh thì ta có:
3x = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + (tổng ba số ở đỉnh).
Từ đây suy ra tổng ba số ở đỉnh = 3(x-15) sẽ luôn chia hết cho 3.
Tổng 3 số đó bé nhất là bằng 6 nên ta có thể bắt đầu từ 6.
Ta điền 3 số 1, 2, 3 vào 3 đỉnh.
Lúc này x = 17 nên từ đây ta dễ dàng tìm được cách điền (xuất phát từ đỉnh trên cùng
theo chiều kim đồng hồ): 1, 6, 8, 2, 5, 7, 3, 9, 4.
Chú ý bài toán có nhiều cách điền, nhưng x chỉ có thể bằng 17, 19, 20, 21, 23.
BÀI TOÁN TÌM TỔNG SỐ VIÊN KẸO
Đề bài:



Bình có 75 tấm thẻ màu đỏ và 85 tấm thẻ màu xanh. Có một chiếc máy tự động mà ở đó
Bình có thể bỏ hai thẻ màu đỏ vào và nhận được một viên kẹo và một tấm thẻ màu xanh.
Lại có một máy tự động khác mà ở đó Bình có thể bỏ vào 3 tấm thẻ màu xanh để nhận
được một viên kẹo và một tấm thẻ màu đỏ. Bình liên tục đổi thẻ lấy kẹo cho đến khi
không thể đổi được nữa.
Hỏi lúc đó Bình sẽ có tổng cộng bao nhiêu viên kẹo?
Hướng dẫn giải:

BÀI TOÁN ĐẾM SỐ ĐOẠN THẲNG CỦA TRÁI BÓNG
Đề bài:
Một quả bóng đá có 32 mặt gồm các ngũ giác đều và lục giác đều. Hỏi trên mặt quả bóng
có bao nhiêu đoạn thẳng?


Lời giải:
Giả sử trái bóng có m mặt ngũ giác đều và n mặt lục giác đều thì
m + n = 32 (1).
Ta sẽ tính tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo 2 cách khác nhau.
Tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo các mặt ngũ giác là:
5m + 5m/2 = 15m/2
Tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng theo các mặt lục giác là:
6n – 3n/2 = 9n/2
Ta có phương trình 15m/2 = 9n/2
Tương đương 5m = 3n (2)
Từ (1) và (2) suy ra n = 20, m = 12.
Vậy tổng số đoạn thẳng xuất hiện trên trái bóng là: 9n/2 = (9 x 20)/2 = 90.
BÀI TOÁN TÌM CHỮ SỐ CUỐI CÙNG
Đề bài:
Từ số 12345678901234567890...1234567890 (có 5.000 chữ số trong số này), hãy bỏ bớt

tất cả chữ số nằm ở hàng lẻ.
Với số có 2.500 chữ số còn lại, ta cũng tiếp tục làm như trên cho tới khi còn lại một số có
một chữ số.
Hãy tính xem chữ số còn lại sau cùng là chữ số nào?
Đáp án:


BÀI TOÁN TÌM SỐ ĐỒNG XU
Đề bài:
Tom và Jerry cùng chơi một trò chơi sau. Tom có một số đồng xu và Jerry không có đồng
xu nào. Jerry có thể lấy một số đồng xu (khác 0) tùy ý từ Tom. Sau đó Tom có thể lấy lại
một số đồng xu (vẫn phải khác 0) nhưng phải là một con số khác với con số Jerry đã lấy.
Tiếp theo, Jerry lại lấy từ Tom một đồng xu, khác 0 và khác với những số đồng xu từng
được lấy trước đó (ví dụ lần đầu Jerry lấy 3, sau đó Tom lấy 2 thì lần tiếp theo Jerry
không thể lấy 2 hoặc 3 đồng xu). Và cứ như vậy, trò chơi sẽ kết thúc khi có ai đó không
đi được nữa.
Hỏi Jerry có thể có tối đa bao nhiêu đồng xu lúc kết thúc trò chơi nếu ban đầu Tom có 13
đồng xu?
Hướng dẫn giải:
Ý tưởng cách chơi của Jerry là dồn Tom vào tình huống chỉ có một lựa chọn duy nhất và
dẫn dắt Tom đi theo kịch bản của mình.
Cụ thể chiến thuật của Jerry như sau:
Đầu tiên Jerry lấy 2 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy lại một đồng xu.


Tiếp theo Jerry lấy 3 đồng xu và sẽ có 4 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy
lại cả 4 đồng xu.
Jerry lại lấy 6 đồng xu. Tom có một phương án duy nhất là lấy lại 5 đồng xu.
Jerry lại lấy 7 đồng xu và sẽ có 8 đồng xu. Tom lại bắt buộc phải lấy lại 8 đồng xu.
Và cứ tiếp tục như thế, Jerry lấy 10, Tom lấy lại 9, Jerry lấy 11, Tom lấy lại 12 và cuối

cùng là Jerry lấy 13 đồng xu, trò chơi kết thúc vì Tom không đi được nữa.
Như vậy, đáp án là 13.
Chiến thuật của Jerry có thể tổng quát nếu số đồng xu ban đầu là lẻ. Nhưng nếu số đồng
xu ban đầu là chẵn, chẳng hạn là 20 thì Jerry không có cách nào để lấy hết các đồng xu
được. Chứng minh điều này thế nào? Và lúc đó Jerry có được tối đa bao nhiêu đồng xu?
Các câu hỏi này xin dành để bạn đọc tiếp tục suy nghĩ.
BÀI TOÁN GARA Ô TÔ
Gara ôtô có hình dạng hình vuông 10x10 ô, mỗi ô có thể để được một ôtô.
Gara có tường rào bao bọc xung quanh, chỉ để một cửa ra vào ở góc trên bên trái (ô A).
Người chủ gara muốn sắp xếp ôtô thế nào để một chiếc xe bất kỳ có thể ra vào gara mà
không bị chắn bởi các xe khác. Trên hình là một phương án thích hợp với 54 chỗ để xe.
Chắc chắn phương án này chưa phải là tối ưu vì còn quá nhiều chỗ trống.
Hãy đề xuất một phương án mà bạn cho là tốt nhất.
A

X

X

X

X

X

X

X

X


X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X


X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X


X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X


X

(Vì trong lời giải phải có thể phải vẽ hình nên chúng ta có thể quy ước các ô được đánh
số từ trái sang phải là A, B, C, D, E, F, G, H, I, J và từ trên xuống dưới là 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10 và viết đáp án bằng cách ghi tọa độ các ô dùng để xe).
Lời giải:


Xuất xứ bài toán là đề thi Olympic toán của Matxcơva. Trong đề cũng ghi rõ: hãy cố
gắng tìm phương án càng được nhiều xe sẽ càng được nhiều điểm. Trong đáp án nêu ra
một phương án với 60 xe và ghi rõ luôn là "cho đến nay, chúng tôi không biết là có
phương án nào xếp được nhiều xe hơn hay không".
Vậy: "Liệu 60 xe có phải là phương tốt nhất hay chưa?", "Nếu có thì có thể chứng minh
điều này bằng lý thuyết được không?". Tất nhiên là câu hỏi thứ hai khó hơn (và bao trùm)
câu hỏi thứ nhất.
Chúng tôi có một số lý luận cơ bản sau (ta quy ước ô đen là ô có xe, ô trắng là ô trống):
- Một ô đen phải kề với ít nhất một ô trắng.
- Một ô trắng chỉ có thể kề với nhiều nhất 3 ô đen.
Từ lý luận này, nếu gọi a là số ô trắng và b là số ô đen thì b ≤ 3a và a + b = 100.
Suy ra 4a ≥ 100, a ≥ 25 và b ≤ 75.
Lý luận này có thể làm mạnh hơn (điều này cần xét chi tiết hơn một chút) với mệnh đề
sau: "Nếu ta có một cách xếp mà có ô trắng kề 3 ô đen thì ta có thể điều chỉnh để ô trắng
chỉ kề 2 ô đen nhưng không làm thay đổi số ô đen".
Bằng cách này, ta suy ra b ≤ 2a, 3a ≥ 100 và a ≥ 34, suy ra b ≤ 66.
Xét lý thuyết chỉ có thể được đến đó.
Để giải quyết câu hỏi 1, cũng là điều mà chúng ta cùng quan tâm, chúng tôi quay sang
tìm sự trợ giúp của tin học. Vì kích thước 10x10 là khá nhỏ nên chúng tôi dùng phương
pháp khá thủ công là duyệt từng bước. Cụ thể ý tưởng như sau.
- Khảo sát lần lượt từng ô, thử gán ô đen trước, thử gán ô trắng sau.

- Điều kiện chặn đệ quy là ước lượng số ô đen tối đa ở phương án hiện tại và so sánh với
đáp án tốt nhất hiện có:
* Ước lượng bằng công thức: * thresh + số ô đen hiện có>
* thresh có giá trị thuộc (0, 1].
* Ví dụ ta đang xét ô (2, 2) trên bảng 4x4 và tình trạng bảng hiện tại như sau:
0100
01**
Khi đó, ta đã gán 2 ô đen, nên số ô đen tối đa có thể gán là số ô đánh dấu * nhân với một
hệ số. Giá trị tối đa của hệ số là 1, nghĩa là toàn bộ các ô * sẽ đều được gán là 1.


* Hệ số thresh này là tỷ lệ tối đa của số ô đen so với số ô cần xử lý, hiện tại giá trị mặc
định được đặt là 0.75, nghĩa là cứ 4 ô thì gán được tối đa 3 ô đen. Thresh càng nhỏ, đáp
án càng thiếu chính xác nhưng tốc độ càng nhanh, và ngược lại. Thresh = 1 đảm bảo có
kết quả tối ưu.
Chúng tôi đã chạy chương trình và cho ra kết quả: con số tối ưu đúng là 60. Dưới đây là
kết quả do chương trình chạy ra.

Đây thực sự là một bài toán rất thú vị, tuy nhiên lời giải của nó cũng như các hướng mở
rộng (với kích thước lớn chương trình của chúng tôi sẽ chạy chậm và đến một mức nào
đó không xử lý được do bùng nổ trường hợp) nằm ngoài khuôn khổ của một chuyên mục
mang tính giải trí và giáo dục nhẹ nhàng.
BÀI TOÁN TÌM SỐ LƯỢNG LÁ BÀI
Đề bài:
An, Bình, Châu và Danh cùng đánh bài với bộ bài 32 lá. Danh chia hết bộ bài cho 4
người, nhưng bạn ấy chia không đều. Để sửa lỗi cho Danh, đầu tiên An chia đều một nửa
số bài của mình cho Bình và Châu, sau đó Bình lại làm điều tương tự giữa An và Châu.


Cuối cùng Châu lại chia một nửa số bài mà mình có cho An và Bình. Bây giờ thì cả 4

người đều có số bài như nhau.
Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu lá bài?
Hướng dẫn giải:
Ta giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ dưới lên. Chú ý là Danh không tham gia
vào quá trình chia bài sau đó và cuối cùng Danh cũng có số bài bằng các bạn, do đó Danh
có 32/4 = 8 lá bài.
Ta lập bảng sau:
An

Bình

Châu

Danh

Sau khi Châu chia

8

8

8

8

Sau khi Bình Chia

4

4


16

8

Sau khi An chia

2

8

14

8

Sau khi Danh chia

4

7

13

8

Đáp án. An 4, Bình 7, Châu 13, Danh 8.
BÀI TOÁN XẾP PHÒNG KHÁCH SẠN
Đề bài:
Có 10 người bạn đi nghỉ mát Vũng Tàu. Họ thuê 10 phòng sát nhau từ phòng 201 đến 210
thành một dãy dọc như hình vẽ.


201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

Nhóm trưởng đề ra một quy định. Sau mỗi đêm, mọi người sẽ đổi phòng cho nhau, sao
cho 2 người bất kỳ ở cạnh nhau không quá một đêm. Hỏi nhóm bạn này có thể ở lại Vũng
Tàu tối đa bao nhiêu ngày nếu tuân thủ nghiêm ngặt quy định trên? Hãy nêu rõ cách xếp
phòng mỗi ngày để đạt được điều đó.
Đáp án:


Ta phát cho mỗi người 9 lá phiếu. Sau mỗi đêm, ta sẽ thu lại từ mỗi người 1 hoặc 2 phiếu
tùy thuộc đêm trước người đó ngủ cạnh 1 hay 2 người. Như thế ta phát tất cả 90 phiếu và

sau mỗi đêm ta thu lại 18 phiếu (8 phòng bên trong thu 2 phiếu, 2 phòng đầu hè thu 1
phiếu).
Vậy nhóm bạn ở được tối đa 90/18 = 5 ngày.
Việc sắp xếp thế nào để đạt được điều này hóa ra không đơn giản. Từ lý luận ở phần trên,
ta rút ra một kết luận quan trọng: Để có thể xếp được đủ 5 ngày thì mỗi người phải dùng
đủ 9 phiếu, tức là mỗi người chỉ được ở hai phòng đầu hè một lần. Đây là nguyên tắc
quan trọng để ta xây dựng ví dụ. Dưới đây là một ví dụ:
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
2-4-6-8-10-1-3-5-7-9
3-6-9-1-4-7-10-2-5-8
4-8-1-5-9-2-6-10-3-7
5-10-4-9-3-8-2-7-1-6
Để kiểm tra, chú ý hiệu các số cạnh nhau ở hàng 1 bằng 1, ở hàng 2 bằng 2 hoặc 9, ở
hàng 3 bằng 3 hoặc 8, ở hàng 4 bằng 4 hoặc 7, ở hàng 5 bằng 5 hoặc 6 nên tất cả các đôi
một khác nhau.
BÀI TOÁN TÌM SỐ NGUYÊN DƯƠNG
Đề bài:
Gọi S(X) là tổng các chữ số của số nguyên dương X.
Ví dụ S(2014) = 2+0+1+4=7.
Hãy tìm số nguyên dương X nhỏ nhất sao cho S(X) và S(X+1) đều chia hết cho 7.
Hướng dẫn giải:
Nếu X không tận cùng bằng 9 thì S(X+1) = S(X) + 1.
Như thế cả hai số này không thể cùng chia hết cho 7.
Giả sử X = a9..9 (k chữ số 9, sau đó đến số a là một số không tận cùng bằng 9).
Khi đó X+1 = (a+1)0..0 (k chữ số 0).
Vậy ta có S(X) = S(a) + 9k, S(X+1) = S(a) + 1.
Suy ra 9k - 1 chia hết cho 7.
Như vậy số k nhỏ nhất là số 4.



Ta lại chọn a nhỏ nhất sao cho S(a) + 1 chia hết cho 7
Tức là a = 6
Ta được số 69999.
BÀI TOÁN HOA CÚC DẠI
Đề bài:
Hoa cúc dại nở vào buổi sáng, hoa sẽ có màu vàng trong 2 ngày, sang sáng ngày thứ ba sẽ
thành màu trắng và đến chiều hôm đó thì sẽ bay mất. Ngày hôm qua vào buổi trưa ở bãi
cỏ có 20 hoa cúc vàng và 14 hoa cúc trắng còn hôm nay có 15 hoa cúc vàng và 11 hoa
cúc trắng.
a) Hỏi vào hôm kia ở bãi cỏ có bao nhiêu hoa cúc vàng?
b) Ngày mai ở bãi cỏ sẽ có bao nhiêu hoa cúc trắng?
Lời giải:
Ta chia hoa cúc vàng thành 2 loại: hoa cúc vàng mới nở (V1) và hoa cúc vàng sắp chuyển
màu trắng.
Ngày hôm nay có 11 hoa cúc trắng thì ngày hôm qua phải có 11 hoa cúc vàng sắp chuyển
màu trắng. Suy ra ngày hôm kia phải có 11 hoa cúc vàng mới nở.
Ngày hôm qua có 14 hoa cúc trắng suy ra ngày hôm kia có 14 hoa cúc vàng sắp chuyển
màu trắng.
Như vậy tổng cộng ngày hôm kia có: 11 + 14 = 25 hoa cúc vàng.
Từ đây cũng suy ra ngày hôm qua có: 20-11 = 9 hoa cúc vàng mới nở.
Suy ra ngày mai có 9 hoa cúc trắng.
Ta có bảng minh họa sau:
Ngày hôm kia Ngày hôm qua Ngày hôm nay Ngày mai
V1

11

9

V2


14

11

9

14

11

T
BÀI TOÁN ĐI XE ĐẠP
Đề bài:

9


BÀI TOÁN ROBINSON CÂN ĐÁ
Đề bài:
Sau một thời gian sống trên đảo hoang, Robinson Crusoe thu lượm được 32 hòn đá quý.
Nhìn bề ngoài không thể phân biệt được hòn đá nào nặng hơn. Robinson Crusoe cũng
không có cân đồng hồ để cân chính xác khối lượng các hòn đá mà chỉ có thể dùng cân đĩa
để so sánh nặng nhẹ.
Hỏi Robinson Crusoe cần phải sử dụng ít nhất bao nhiêu lần cân để xác định được 2 hòn
đá nặng nhất?
Lời giải:
Nếu đề bài cần xác định hòn đá nặng nhất thì Robinson cần 31 lần cân, vì mỗi một lần
cân, anh ta loại được một hòn đá (không nặng nhất). Để tìm hòn đá nặng
nhất, Robinson phải loại đi 31 hòn đá còn lại, do đó cần ít nhất 31 lần cân.

Để ý rằng trong quá trình cân, nếu Robinson ghi nhận lại các kết quả thì hòn đá nặng thứ
nhì sẽ phải là một trong các hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất. Robinson có thể bố trí
cách cân để hòn đá nặng nhất chỉ cân với 5 hòn đá khác.
Cụ thể:
Lượt 1 cân 16 cặp, loại 16 còn 16.
Lượt 2 cân 8 cặp, loại 8 còn 8.
Lượt 3 cân 4 cặp, loại 4 còn 4.
Lượt 4 cân 2 cặp, loại 2 còn 2.
Lượt 5 cân cặp hòn đá còn lại, loại 1 còn 1.
Robinson tìm được hòn đá nặng nhất sau: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 lần cân.
Bây giờ Robinson còn 5 hòn đá nhẹ hơn hòn đá nặng nhất. Hòn đá nặng nhì phải nằm
trong số này. Anh ta cần 4 lượt cân nữa để xác định hòn đá nặng nhất trong 5 hòn đá này.
Vậy Robinson cần: 31 + 4 = 35 lượt cân để tìm ra 2 hòn đá nặng nhất.
BÀI TOÁN 7 CHÚ LÙN CHIA SỮA
Đề bài:
Bảy chú lùn ngồi quanh một cái bàn tròn, trước mặt mỗi chú là một cái cốc có chứa sữa
bên trong (có thể có cốc không có sữa). Có tổng cộng nửa lít sữa ở trong tất cả cốc.


Một chú lùn đứng dậy và chia đều lượng sữa trong cốc của chú vào cốc các bạn. Sau đó
lần lượt các chú lùn khác cũng làm như vậy. Sau khi chú lùn thứ bảy chia xong sữa thì
mọi chú lùn đều có một lượng sữa bằng lượng sữa mà họ có lúc ban đầu. Hỏi lượng sữa
có trong mỗi cốc lúc đầu là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi lượng sữa của mỗi chú lùn theo thứ tự chia sữa là a1, a2, …, a7, đồng thời lượng sữa
mà mỗi chú lùn này chia cho những người còn lại theo thứ tự là s1; s2; …; s7.
Đặt s1 + s2 + s3 + … + s7 = S.
Chú lùn thứ nhất chia cho mỗi người khác s1 và sau đó được nhận vềa1 = s2 + s3 + … + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ nhất là a1 = 6s1
nên ta có: 7s1 = a1 + s1 = S

Chú lùn thứ 2 chia cho mỗi người khác s2 và sau đó được nhận vềa2 = s3 + s4 + … + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 2 là a2 + s1 = 6s2
nên ta có: 7s2 = a2 + s1 + s2 = S
Chú lùn thứ 3 chia cho mỗi người khác s3 và sau đó được nhận vềa3 = s4 + s5 + s6 + s7
mà trước khi chia lượng sữa của chú lùn thứ 3 là a3 + s1 + s2 = 6s3
nên ta có: 7s3 = a3 + s1 + s2 + s3 = S
Tương tự ta sẽ có S = 7s4 = 7s5 = 7s6 = 7s7 Þs1 = s2 = s3 = … = s7 = (1/7)S
Suy ra: a1 = (6/7)S; a2 = (5/7)S; a3 = (4/7)S; …; a7 = 0.
Theo đề bài ta có: a1 + a2 + …+ a7 =1/2 nên 3S=1/2 hay S=1/6.
Vậy lượng sữa có trong mỗi cốc của 7 chú lùn lần lượt là: 1/7 lít, 5/42 lít, 2/21 lít, 1/14
lít, 1/21 lít, 1/42 lít và 0 lít.
BÀI TOÁN GỬI TIỀN NGÂN HÀNG
Vào dịp đầu năm mới 2015, giám đốc một công ty tin học đến làm việc với Ban chủ
nhiệm khoa Toán - Tin về việc hợp tác phát triển nguồn nhân lực.
Bên cạnh các hoạt động như giáo dục hướng nghiệp, tham quan thực tập, đào tạo chuyên
môn chuyên ngành, công ty còn đề xuất sẽ trao học bổng cho các sinh viên của khoa vào
dịp cuối năm. Tổng học bổng mỗi năm là 100 triệu đồng và được trao trong vòng 10 năm.
(Như vậy tổng quỹ học bổng là một tỷ đồng). Công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản
tiền để vừa đủ thực hiện cam kết trong vòng 10 năm.


Giả định rằng lãi suất huy động của ngân hàng trong suốt 10 năm cố định ở mức
10%/năm, thì công ty sẽ cần gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền vào đầu năm 2015?
BÀI TOÁN TRÒ CHƠI BỐC KẸO
Đề bài:
Hai bạn An và Bình chơi trò chơi bốc kẹo. Ban đầu trên bàn có 25 viên kẹo. Bắt đầu từ
An, hai bạn luân phiên nhau bốc kẹo, mỗi lần được phép bốc 1, 2 hoặc 3 viên. Đến khi
hết kẹo trên bàn ai bốc được tổng cộng một số chẵn viên kẹo sẽ thắng.
Hỏi ai là người có chiến thuật thắng nếu cả hai cùng chơi đúng?
Hướng dẫn giải:

Ta giải bài toán bằng cách đi ngược từ dưới lên. Vì tổng số kẹo là 25 nên nếu cuối cùng
một người bốc được số lẻ viên kẹo sẽ thua, do người kia sẽ bốc được một số chẵn viên
kẹo.
Ta ký hiệu mỗi trạng thái đến lượt An hay Bình đi bằng hai tham số (CL, k), trong đó CL
là tính chẵn lẻ của số kẹo mà người chơi đang có, k là số kẹo còn lại trên bàn. Ta viết
f(CL, k) = 1 nếu người đi có chiến thuật thắng từ trạng thái này. Trong trường hợp ngược
lại f(CL, k) = 0. Mục đích của chúng ta là cần tính F(C, 25). Nếu giá trị này bằng 1 thì An
thắng, ngược lại nếu giá trị này bằng 0 thì Bình thắng.
Ví dụ f(C, 1) = 0 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và bắt buộc phải bốc viên kẹo cuối
cùng, kết thúc cuộc chơi. f(C, 2) = 1 vì người đi đang có số chẵn viên kẹo và có thể bốc 2
viên kẹo cuối cùng để giành chiến thắng. Cũng như vậy f(C, 3) = 1 (bốc 2). Tương tự như
thế thì f(L, 1) = 1 (bốc 1), F(L, 2) = 1 (bốc 1), F(L, 3) = 1 (bốc 3).
Để tính f(C, 4) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số lẻ viên kẹo. Nếu ta bốc 1, 2 hoặc 3
viên thì sẽ đưa đối thủ đến các trạng thái (L, 3), (L, 2), (L, 1) tương ứng, và đều là các
trạng thái thắng của đối thủ. Suy ra f(C, 4) = 0. Với f(L, 4) ta bốc 3 viên, đưa đối thủ vào
trạng thái thua (C, 1) và giành chiến thắng.
Tiếp tục, để tính f(C, 5) ta để ý rằng lúc này đối thủ đang có số chẵn viên kẹo. Do đó ta
bốc 1 viên và đưa đối thủ vào trạng thái (C, 4) là trạng thái thua, như vậy f(C,5) = 1.
Ngược lại từ (L, 5) ta chỉ có thể đưa về (L, 4), (L, 3), (L, 2) là các trạng thái thắng, suy ra
f(L, 5) = 0.
Nói tóm lại, một trạng thái là thua nếu mọi cách đi đều đưa về trạng tháng thắng (cho đối
thủ), một trạng thái là thắng nếu có một cách đi đưa về trạng thái thua (cho đối thủ). Bằng
lý luận này, ta lập được bảng giá trị sau.

C

1

2


3

4

5

6

7

8

9

0

1

1

0

1

1

1

1


0