CHUYÊN ĐỀ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Phương pháp chung để giải một phương trình bậc cao hơn 2 ta có thể dùng
phép thử trực tiếp để tìm ra một nghiệm đặt biệt, hoặc dùng phương pháp phân tích
đa thức thành tích các thừa số có bậc thấp hơn. Ngoài ra có rất nhiều phương trình sử
dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về các dạng phương trình ta đã biết cách giải để
giải.
Đối với phương trình bậc cao ta cần nhớ ba tính chất sau:
1. Nếu tổng các hệ số bằng 0, thì phương trình có một nghiệm x = 1.
2. Nếu tổng các hệ bậc chẵn bằng tổng các hệ bậc lẻ, thì phườn trình có một
nghiệm x = -1. (Với phương trình bậc ba ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 thì điều kiện là
a - b + c - d = 0. Với phương trình bậc bốn ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 thì điều kiện
là a - b + c - d + e = 0)
3. Phương trình a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+... + a

1
x + a
0
= 0 (Với các hệ số nguyên) nếu có
nghiệm nguyên, thì nghiệm đó phải là ước của a
0
.
Chú ý: * Đối phương trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (1)
- Nếu a, b, c, d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ tự là ước
của d và a.
- Nếu ac
3
= bd
3
(a, d
≠
0) thì (1) có nghiệm
c
x
b
= −
* Đối với phương trình bậc bốn ax
4

+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0. (Với a, b, c,
d, e nguyên) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ tự là ước của e và a.
I. PHƯƠNG TRÌNH TAM THỨC .
Phương trình tam thức là phương trình có dạng:
ax
2n
+ bx
n
+ c = 0 (a
≠
0) (1)
Trong đó a, b, c là các số thực, n nguyên dương và n
≥
2.
* Nếu a, b, c đồng thời khác 0 và n = 2 thì phương trình (1) có dạng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 là phương trình trùng phương ta đã biết cách giải.
* Trường hợp n > 2. đặt x
n


= y . Để tìm nghiệm của phương trình, ta giải hệ:
2
0
n
x y
ay by c

=


+ + =


1
Ví dụ: Giải phương trình x
6
- 9x
3
+ 8 = 0
Cách 1. Đặt x
3
= y ta có: y
2
- 9y + 8 = 0 Giải phương trình này ta được nghiệm
y
1
= 1, y
2
= 8.
Với y

1
= 1 ta có x
3
= 1 <=> x = 1.
Với y
2
= 8 ta có x
3
= 8 <=> x = 2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
Cách 2. đưa về phương trình tích.
x
6
- 9x
3
+ 8 = 0 <=> (x
6
- x
3

) - (8x
3
- 8) = 0
<=> x
3
(x
3
- 1) - 8 ( x
3
- 1) = 0

<=> (x
3
- 1) (x
3
- 8) = 0
<=>
3
3
1 0
8 0
x
x

− =

− =

<=>
1
2
x
x
=


=

II. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG: ( x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m. Với a + b = c + d.
Phương pháp chung để giải phương trình có dạng
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m. (1)

Ta thực hiện theo các bước:
* Bước 1. Ta nhóm
( ) ( ) ( ) ( )
.x a x b x c x d+ + + +   
   

Viết lại phương trình dưới dạng:
( ) ( )
2 2
.x a b x ab x c d x cd m
   
+ + + + + + =
   
(2)
* Bước 2. Đặt t = x
2
+ (a + b)x + ab, suy ra x
2
+ (c + d)x + cd = t - ab + cd.
Khi đó: (2) <=> t(t - ab + cd) = m (3)
Đó là phương trình bậc hai với biến t, ta giải tìm được nghiệm t.
* Bước 3. Thay giá trị của t, giải tiếp phương trình bậc hai với ẩn x.
Kết luận nghiệm của phương trình (1).
+ Chú ý: Dạng phương trình trên được mở rộng tự nhiên cho lớp phương trình: *
(a
1
x + a
2
)(b
1

x + b
2
)(c
1
x + c
2
)(d
1
x + d
2
)= m. Với điều kiện:
1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
a b c d
a b a b c d c d
=


+ = +

khi
2
đó ta nhóm
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
a x a b x b c x c d x d m+ + + + =   
   
. Khai triển đặt ẩn phụ
t = a
1

b
1
x
2
+(a
1
b
2
+ a
2
b
1
)x + a
2
b
2
đưa về dạng phương trình bậc hai giải tiếp.
* (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = mx
2
Với điều kiện ad = bc. Khi đó ta nhóm [(x
+ a)(x + d) ]. [(x + b)(x + c) ] = mx
2
. Khai triển đặt ẩn phụ
ad
y x
x
= +
đưa về dạng
phương trình bậc hai giải tiếp.
Ví dụ: Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 (1)

Bước 1. Viết phương trình dưới dạng: (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) = 3 (2)
Bước 2. Đặt t = x
2
+ 5x + 4 suy ra x
2
+ 5x + 6 = t + 2. Khi đó
(2) <=> t(t + 2) = 3 <=> t
2
+ 2t - 3 = 0 <=>
1
3
t
t
=


= −


Bước 3. Với t = 1 <=> x
2
+ 5x + 4 = 1 <=> x
2
+ 5x + 3 = 0 <=>
1,2
5 13

2
x
− ±
=
Với t = -3 <=> x
2
+ 5x + 4 = - 3 <=> x
2
+ 5x + 7 = 0 Vô nghiệm.
Vậy phương trình có hai nghiệm
1,2
5 13
2
x
− ±
=
III. PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
Giải phương trình có dạng (x +a)
4
+ (x + b)
4
= c (1)
Ta thực hiện theo các bước:
* Bước 1. đặt
2
a b

t x
+
= +
=>
2
2
a b
x a t
a b
x b t
−

+ = +



−

+ = −


Khi đó phương trình đã cho có dạng
(1) <=>
2 4
4 2
2 12 2
2 2
a b a b
t t c
− −

   
+ + =
 ÷  ÷
   
(2)
* Bước 2. Giải phương trình (2) và kết luận nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ: Giải phương trình (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2
Đặt
3 5
4
2
t x x
+
= + = +
suy ra
3 1
5 1
x t
x t
+ = −


+ = +

khi đó
(1) <=> (t - 1)

4
+ (t + 1)
4
= 2 <=> t
4
+ 6t
2
= 0 <=> t = 0 <=> x + 4 = 0
<=> x = -4 Vậy phương trình có nghiệm x = -4.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG.
3
Một phương trình dạng: a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ ... + a
n- 1
x + a
n
= 0 trong đó vế trái là đa
thức bậc n được gọi là đối xứng nếu các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu
và cuối bằng nhau, nghĩa là: a
n
= a
0
; a

n- 1
= a
1
; a
n- 2
= a
2
; ... Tuỳ theo n là số chẵn hay lẻ
mà ta có phương trình đối xứng bậc chẵn hay lẻ.
Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc n
đối với y bằng cách đặt
1
x y
x
+ =
.Giải phương trình với ẩn y , rồi suy ra x.
Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1,
do đó bằng cách chia hai vế phương trình cho x + 1 ta hạ được bậc của phương trình
thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n.
Nếu a là nghiệm của phương trình đối xứng thì
1
a
cũng là nghiệm của phương
trình đó.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2

+ 3x + 2 = 0 (1)
Dễ dàng nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của
phương trình cho x
2
ta có (1) <=> 2x
2
+ 3x - 16 + 3
1
x
+
2
2
x
= 0
<=>
2
2
1 1
2 3 16 0x x
x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
x y
x
+ =
thì

2 2
2
1
x 2y
x
+ = −
ta được phương trình bậc hai
2(y
2
- 2) + 3y - 16 = 0
<=> 2y
2
+ 3y - 20 = 0
Giải phương trình này ta được y
1
=
5
2
; y
2
= -4
+ Với y
1
=
5
2
ta có
1 5
2
x

x
+ =
<=> 2x
2
-5x + 2 = 0
phương trình này có hai nghiệm x
1
= 2; x
2
=
1
2
+ Với y
2
= -4 ta có
1
4x
x
+ = −
<=> x
2
+ 4x + 1 = 0
Phương trình này có hai nghiệm x
1
= -2 + 3 ; x
2
= -2 - 3
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x
1
= -2 +

3
; x
2
= -2 -
3
; x
3
=
1
2
; x
4
= 2
4
Ví dụ 2. Giải phương trình: 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 (1)
Đây là phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5). Phương trình này có tổng các hệ
số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ, có nghiệm
x = -1 Biến đổi (1) thành (x + 1)(2x
4
+ x
3
- 6x

2
+ x + 2) = 0
<=>
4 3 2
1 0
2 6 2 0
x
x x x x
+ =


+ − + + =

Tiếp tục giải phương trình 2x
4
+ x
3
- 6x
2
+ x + 2 = 0 như ví dụ 1 ta được các
nghiệm của phương trình (1) là x
1
= x
2
= 1; x
3
= -2; x
4
= -
1

2
PHẦN BÀI TẬP.
Bài 1. Giải các phương trình sau.
a. x
6
- 3x
3
+ 2 = 0
b. x
6
+ 7x
3
+ 6 = 0
c. x
8
- 17x
4
+ 16 = 0
d. x
8
+ x
4
- 2 = 0
e. x
10
+ x
5
- 6 = 0
f. x
10

- 10x
5
+ 31 = 0
g. x
3
(x
3
+ 4) = 5
h. x
6
- 13x
3
+ 6 = 0
k. x
4
(x
4
+ 6) = 7
Bài 2. Giải các phương trình.
a. (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 16
b. (x + 6)
4
+ (x + 4)
4
= 82
c. (x - 4,5)

4
+ (x - 5,5)
4
= 1
d. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = 0
e. (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
f. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8
Bài 3. Giải các phương trình.
a. (x - 8)(x - 4)(x - 2)(x - 1) = 4x
2
b. (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) - 4 = 0
c. (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x + 2) - 6 = 0
d.(x - 18)(x - 7)(x + 35)(x + 90) = 2001x
2
e. (x
2
- 5x) + 10(x
2
- 5x) - 24 = 0
f. x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = 18
Bài 4. Giải các phương trình.
a. 2x
3
+ x
2
- 5x + 2 = 0

b.2x
3
+ x + 3 = 0
c. 3x
3
- 8x
2
- 2x + 4 = 0
d. x
3
+ x
2
- x
2
- 2
2
= 0
đ. x
3
- 5x
2
+ 7x - 2 = 0
e. x
3
+ 3x
2
+ 4x + 2 = 0
Bài 5. Giải các phương trình.
( )
( )

4 2
4 3 2
2
2
2
) 6 8 0
) 2 2 4 8 0
) 6 2 3 81
a x x x
b x x x x
c x x x
+ + − =
− + + − =
− − − =
4 2
4 2 2
4 3 2
) 16 40 25 0
) 2 1 5 10 5
) 2 2 6 5 0
d x x x
e x x x x
f x x x x
− − − =
− + = − + −
+ − − + =
Bài 6. Giải phương trình.
5