Hình học AFIN trong không gian

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (361.62 KB, 52 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

HÌNH HỌC AFIN TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THU HIỀN

HÌNH HỌC AFIN TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI – 2018

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng
với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến
nay, khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm
ơn chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Hình học cũng như các
thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý
báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa
học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc
tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo
tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên
bản khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất
mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các
bạn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm cùng với sự cố
gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu
với sự trân trọng và lòng biết ơn.

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân,
không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hiền

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Một số khái niệm cơ bản

3

1.1

1.2

1.3

Vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

Định nghĩa vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số tính chất của các vectơ

. . . . . . . . .

4

Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính .

5

1.2.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính . .

6

Tích có hướng của hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Không gian afin (3 chiều)
2.1

2.2

3

11

Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Phẳng, độc lập afin và phụ thuộc afin . . . . . . . . . .

14

2.2.1

Phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.2

Độc lập afin và phụ thuộc afin . . . . . . . . . .

15

i

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

2.4

2.5

2.6

Nguyễn Thị Thu Hiền

Tọa độ afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1

Mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.2

Tọa độ afin của điểm . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.3

Đổi mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Phương trình của mặt phẳng trong không gian A3 . . .

19

2.4.1

Phương trình tham số của mặt phẳng . . . . . .

19

2.4.2

Phương trình tổng quát của mặt phẳng . . . . .

20

Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5.2

Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Mặt bậc hai
3.1

3.2

3.3

26

Mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.1.2

Giao của mặt bậc hai với đường thẳng . . . . .

27

3.1.3

Tâm và phương tiệm cận . . . . . . . . . . . . .

28

3.1.4

Siêu phẳng kính liên hợp của mặt bậc hai . . .

30

3.1.5

Tiếp tuyến của mặt bậc hai . . . . . . . . . . .

32

Phân loại các mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.1

Phương trình chuẩn tắc của mặt bậc hai . . . .

34

3.2.2

Các loại mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . . .

37

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

KẾT LUẬN

43

ii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

44

iii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học afin là môn hình học không có bao hàm các khái niệm
về tọa độ gốc, chiều dài hay góc, mà thay vào đó là các khái niệm
về phép trừ của các điểm để cho ra một véctơ. Lý thuyết về hình
học afin trong toán học là một phần không thể thiếu của hình
học. Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về hình học
afin thấy nó có rất nhiều ứng dụng, vị trí quan trọng và tương
đối khó trong chương trình toán phổ thông.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu
sâu hơn nữa về hình học afin, tôi đã chọn đề tài “Hình học afin
trong không gian” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những đặc trưng cơ bản và có cái nhìn sâu hơn về
hình học afin trong không gian.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết cơ bản hình học afin trong không gian.
• Các tài liệu tham khảo liên quan đến hình học afin.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan
đến hình học afin trong không gian.
1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

5. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương :
Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2

Không gian afin

Chương 3

Mặt bậc hai

2

Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Chương này trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản của vectơ và
định lí liên quan đến vectơ. Các kiến thức của chương được viết dựa
trên tài liệu [3] .

1.1

Vectơ

1.1.1

Định nghĩa vectơ

Định nghĩa 1.1. Vectơ là một cặp điểm (A, B) sắp thứ tự và được
−→
kí hiệu là AB, trong đó A được gọi là điểm đầu, B được gọi là điểm
cuối của vectơ.
−→
−−→
Định nghĩa 1.2. Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương với
nhau nếu đường thẳng AB và đường thẳng CD song song hoặc trùng
nhau.
−→
−−→
Định nghĩa 1.3. Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng
hướng với nhau nếu chúng có cùng hướng đi từ điểm đầu đến điểm
cuối, ngược lại được gọi là hai vectơ ngược hướng với nhau.
3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

Định nghĩa 1.4. Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ
−→
−→
AB và được kí hiệu là |AB|.
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ
→
−

→
−
không và kí hiệu là 0 . Vậy | 0 | = 0.
−→
−−→
Định nghĩa 1.5. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu
−→ −−→
chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau, kí hiệu AB = CD.
→
−
−
Định nghĩa 1.6. Cho hai vectơ →
a và b , tổng của chúng là một
→
−
−
vectơ, được kí hiệu là →
a + b và được xác định như sau:
Từ một điểm A bất kì ta xác định được điểm B và điểm C sao
−
→
−
−→ − −−→ →
−→
−
cho AB = →
a , BC = b . Khi đó ta có →
a + b = AC.
Vậy với ba điểm A, B và C bất kì trong không gian ta có:
−→ −−→ −→

AB + BC = AC.
−
Định nghĩa 1.7. Cho vectơ →
a và số thực k, tích của chúng là một
−
vectơ, kí hiệu là k →
a và được xác định như sau:
−
−
i. |k →
a | = |k|.|→
a |;
−
−
ii. k →
a và →
a cùng hướng nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0.
→
−
−
Nếu k = 0 thì ta có: 0.→
a = 0.
1.1.2

Một số tính chất của các vectơ

Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa ta có một số tính chất sau:
−
−
−

−
−
−
i. →
x +→
y =→
y +→
x , ∀→
x ,→
y ∈ V;
−
−
−
−
−
−
−
−
−
ii. (→
x +→
y)+→
z =→
x + (→
y +→
z ), ∀→
x ,→
y ,→
z ∈ V;
→

−
→
− −
→
−
−
−
iii. ∃ 0 ∈ V: 0 + →
x =→
x + 0 =→
x;
→
−
−
−
−
−
−
−
iv. ∀→
x ∈ V, ∃ − →
x ∈V:→
x + (−→
x ) = (−→
x)+→
x = 0;
4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

−
−
−
−
−
−
v. α(→
x +→
y ) = α→
x + α→
y , ∀→
x ,→
y ∈ V, ∀α ∈ R;
−
−
−
−
vi. (α + β)→
x = α→
x + β→
x , ∀→
x ∈ V, ∀α, β ∈ R;
−
−
−
vii. (αβ)→
x = α(β →

x ), ∀→
x ∈ V, ∀α, β ∈ R;
−
−
−
viii. 1.→
x =→
x .1 = →
x , ∀x ∈ V.
−
−
trong đó −→
x được gọi là vectơ đối của vectơ →
x.

1.2

Các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc
tuyến tính

1.2.1

Các định nghĩa

−
−
−
Định nghĩa 1.8. Cho k vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →

ak và k số p1 , p2 , . . . , pk . khi
−
−
−
đó ta gọi vectơ p →
a +p →
a +...+p →
a là một tổ hợp tuyến tính của
1 1

2 2

k k

−
−
−
các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak và các số p1 , p2 , . . . , pk là các hệ số của tổ hợp
tuyến tính ấy.
−
−
−
Định nghĩa 1.9. Các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak gọi là phụ thuộc tuyến tính
nếu tồn tại các số p1 , p2 , . . . , pk không đồng thời bằng 0 sao cho

→
−
−
−
−
p1 →
a1 + p 2 →
a2 + . . . + p k →
ak = 0 .
−
−
−
Trong trường hợp ngược lại, các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak được gọi là độc
−
−
−
lập tuyến tính. Nói cách khác, nếu các vectơ →
a ,→
a ,...,→
a độc lập
1

2

k

tuyến tính thì ta có

→
−
−
−
−
ak = 0 ⇔ p1 = p2 = . . . = pk = 0.
p1 →
a1 + p 2 →
a2 + . . . + p k →

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Nguyễn Thị Thu Hiền

Điều kiện để các vectơ phụ thuộc tuyến tính

−
−
−
Định lí 1.1. Các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak , k > 0 phụ thuộc tuyến tính khi
và chỉ khi có ít nhất một trong các vectơ ấy là tổ hợp tuyến tính của
các vectơ còn lại.

Chứng minh.
−
−
−
Giả sử các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak phụ thuộc tuyến tính ta có:
→
−
−
−
−
p1 →
a1 + p 2 →
a2 + . . . + p k →
ak = 0 ,
trong đó có ít nhất một hệ số trong bộ số khác 0, ví dụ pk = 0. Suy
ra:
p2 −
pk−1 −−→
p1 −
→
−
a1 − →
a2 − . . . −
ak−1 .
ak = − →
pk
pk

pk−1
−
→
−
−
Ngược lại, giả sử →
ak = p 1 →
a1 + p 2 →
a2 + . . . + pk−1 −
a−
k−1 . Từ đó ta có:
−
−
→ →
−
p1 →
a1 + p 2 →
a2 + . . . + pk−1 −
a−
k−1 − ak = 0 , trong đó hệ số thứ k khác 0.
−
−
−
Vậy các vectơ →
a ,→
a ,...,→
a phụ thuộc tuyến tính.
1

2

k

−
−
−
Hệ quả 1.1. Nếu các vectơ →
a1 , →
a2 , . . . , →
ak độc lập tuyến tính thì bất
kì vectơ nào trong tập hợp các vectơ ấy cũng không thể là một tổ hợp
tuyến tính của các vectơ còn lại.
Định lí 1.2. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ phụ thuộc tuyến tính
là chúng cùng phương.
Chứng minh.
−
−
Giả sử →
a1 và →
a2 phụ thuộc tuyến tính. Theo Định lí 1.1 ta có:
−
−
−
→
−
−
−
a =p →
a hoặc →
a =p →

a . Như vậy hai vectơ →
a và →
a cùng phương.
1

1 2

2

2 1

1

2

−
−
Ngược lại, nếu hai vectơ →
a1 và →
a2 cùng phương, ta sẽ chứng minh
−
−
−
−
rằng có số p1 sao cho →
a1 = p 1 →
a2 , hoặc có số p2 sao cho →
a2 = p 2 →
a1 . Ta
6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

→
−
→
−
−
−
−
−
chỉ cần xét trường hợp →
a1 = 0 và →
a2 = 0 . Gọi →
e1 và →
e2 là các
−
−
−
−
vectơ đơn vị cùng hướng với →
a1 và →
a2 . Do →
e1 và →
e2 cùng phương nên
→
−

−
−
−
−
−
e = ±→
e ( dấu + khi →
e và →
e cùng hướng, dấu − khi →
e và →
e ngược
1

2

1

2

1

2

hướng).
Ta có:
→
−
−
−
−

−
−
a1 = |→
a1 |→
e1 , →
a2 = |→
a2 |→
e2
1 →
1 →
−
−
−
−
⇒→
e1 = →
a1 , →
e2 = →
a2 .
−
−
| a1 |
| a2 |
−
1 →
1 →
|→
a1 | →
→
−

→
−
−
−
→
−
−
Mặt khác: e1 = ± e2 nên →
a1 = ± →
a2 hay a1 = ± →
a2 .
−
−
−
| a1 |
| a2 |
| a2 |
Hệ quả 1.2. Hai vectơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không
cùng phương.
−
−
Định lí 1.3. Cho hai vectơ không cùng phương →
e1 và →
e2 . Bất kì một
−
−
vectơ nào đồng phẳng với →
e1 và →
e2 cũng có thể khai triển theo các
vectơ ấy, tức là:

→
−
−
−
a = x1 →
e1 + x2 →
e2

(1.1)

và sự khai triển đó là duy nhất.
→
−
a

M2
→
−
e2

M

E2
E1
O

M1

→
−

e1

Hình 1.1: Khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Chứng minh.
−−→ − −−→ →
Chọn một điểm O bất kì, từ O ta dựng các vectơ OE1 = →
e1 , OE2 = −
e2
7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

−−→ −
và OM = →
a.
−
−
−
Theo giả thiết ba vectơ →
e1 , →
e2 và →
a đồng phẳng nên bốn điểm O, E1 , E2
và M cùng thuộc một mặt phẳng. Qua M dựng các đường thẳng song
−−→
−−→
song với các giá của các vectơ OE1 và OE2 cắt các giá của các vectơ

−−→ −−→
OE2 , OE1 tại các điểm M2 , M1 .
−−→ −−→
−−→ →
−−→
−−→
−
Vì các vectơ OE1 , OM1 cùng phương và OE1 = 0 nên OM1 = x1 OE1 .
−−→
−−→
Tương tự ta có: OM2 = x2 OE2 .
−−→
−−→
−−→ −−→ −−→
−
−
−
a =x →
e +x →
e .
Ta có: OM = OM + OM = x OE +x OE , tức là →
1

2

1

1

2

2

1 1

2 2

Ta chứng minh sự khai triển (1.1) là duy nhất.
Thật vậy, giả sử ngoài khai triển (1.1) ta còn khai triển:
→
−
−
−
a = y1 →
e1 + y2 →
e2

(1.2)

Trừ (1.1) và (1.2) vế với vế ta được:
→
−
−
−
(x1 − y1 )→
e1 + (x2 − y2 )→
e2 = 0

(1.3)

−
−
Vì các vectơ →
e1 , →
e2 không cùng phương nên theo hệ quả (1.3) suy ra
→
−
−
e1 , →
e2 độc lập tuyến tính. Từ (1.3) ta suy ra:
x1 − y1 = 0, x2 − y2 = 0 ⇒ x1 = y1 , x2 = y2 .

8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1

Nguyễn Thị Thu Hiền

Tích có hướng của hai vectơ
Định nghĩa

−→ −−→ −→
Tam diện tạo bởi ba vectơ OA, OB và OC không đồng phẳng lấy theo
thứ tự ấy gọi là thuận (nghịch) nếu một người đứng dọc theo vectơ
−→
thứ ba OC, hướng của vectơ là hướng từ chân tới đầu, thấy hướng

−→
−−→
quay từ vectơ thứ nhất OA đến vectơ thứ hai OB theo góc nhỏ nhất
là ngược hướng quay kim đồng hồ (cùng chiều kim đồng hồ).
C

B
O
A

Hình 1.2: Minh họa tam diện thuận

→
−
−
−c
Chú ý 1.1. Tích có hướng của hai vectơ →
a và b là một vectơ →
thoả mãn các điều kiện sau:
−
−c ⊥→
−
−c ⊥→
1. →
a và →
b;
→
−
→
−

−c | = |→
−
−
2. |→
a || b ||sin ϕ|, với ϕ là góc giữa hai vectơ →
a và b ;
→
−
−
−c là thuận.
3. Tam diện tạo bởi ba vectơ →
a , b và →
→
−
→
−
−
−
Kí hiệu: Tích có hướng của hai vectơ →
a và b là →
a ∧ b.
Hệ quả 1.3. Trong không gian, hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi
chúng có tích vô hướng bằng vectơ không.
9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

Chứng minh.
→
−
−
Giả sử hai vectơ →
a và b cùng phương.
→
−
→
−
−
−
Khi đó theo định nghĩa ta có: |→
a ∧ b | = |→
a || b ||sin 0| = 0 hoặc
→
−
→
−
−
−
|→
a ∧ b | = |→
a || b ||sin π| = 0.
→
−
→
−
→
−

→
−
→
−
−
−
−
Ngược lại, nếu |→
a ∧ b | = |→
a || b ||sin ϕ| = 0 thì →
a = 0 hoặc b = 0
hoặc |sin ϕ| = 0.
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
Nếu →
a = 0 hoặc b = 0 thì hai vectơ →
a và b cùng phương vì vectơ
không có phương tùy ý.
Nếu |sin ϕ| = 0 thì hoặc ϕ = 0 hoặc ϕ = π.
→
−
−

Vậy hai vectơ →
a và b cùng phương.
1.3.2

Tính chất

Tính chất 1.1. Tích có hướng có tính chất phản giao hoán, tức là:
→
−
→
−−
→
−
a ∧ b =−b→
a.
→
−
→
−
→
−
−
−
−
Tính chất 1.2. p(→
a ∧ b ) = (p→
a)∧ b =→
a ∧ (p b ).
Tính chất 1.3. Tích có hướng có tính chất phân phối đối với phép
cộng vectơ, tức là:

→
−
− →
−
−c = (→
−
−c ) + (→
(→
a + b )∧→
a ∧→
b ∧ −c ),
→
− −
→
−
→
−
−
−
−c ).
a ∧( b +→
c ) = (→
a ∧ b ) + (→
a ∧→

10

Chương 2
Không gian afin (3 chiều)

Chương này trình bày về phẳng, phương trình của mặt phẳng và vị
trí tương đối của phẳng trong không gian afin (3 chiều) cùng với một
số ví dụ liên quan. Các kiến thức của chương được viết dựa trên các
tài liệu [1], [4] .

2.1
2.1.1

Không gian afin
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Cho không gian vectơ V trên trường R, tập A = ∅
mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ ϕ : A × A → V3 . Kí hiệu
−−→
ϕ(M, N ) = M N , với M, N ∈ A. Bộ ba (A, ϕ, V3 ) gọi là không gian
afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:
−
i) Với mọi điểm M ∈ A và mọi vectơ →
u ∈ V3 , có duy nhất điểm
−−→ −
N ∈ A sao cho M N = →
u.
−−→ −−→ −−→
ii) Với mọi ba điểm M, N, P ∈ A có M N + N P = M P .

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

Không gian afin (A, ϕ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với
không gian vectơ V còn gọi tắt là không gian afin A trên trường R.
→
−
Không gian vectơ liên kết V3 thường được kí hiệu là V .
Không gian afin A gọi là 3 chiều nếu dim V = 3.
2.1.2

Tính chất

Tính chất 2.1.
−−→ →
−
a) Với mỗi điểm M ∈ A thì M M = 0 .
−−→ →
−
b) Với mỗi điểm M, N ∈ A mà M N = 0 thì M ≡ N .
−−→
−−→
c) Với mỗi cặp điểm M, N ∈ A thì M N = −N M .
−→ −−→
−→ −−→
d) AB = CD khi và chỉ khi AC = BD, (A, B, C, D ∈ A).
−→ −−→ −→
e) Với ba điểm O, A, B ta có: AB = OB − OA.
Chứng minh.
−−→ −−→ −−→
−−→

a) Thật vậy theo tiên đề ii) ta có: M M + M M = M M nên M M =
→
−
0.
−−→
−−→
→
−
→
−
b) Thật vậy nếu M N = 0 thì do ta có M M = 0 ( tính chất a)
nên theo tiên đề i) suy ra N ≡ M .
−−→ −−→ −−→ →
−
c) Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có: M N + N M = M M = 0 , do đó
−−→
−−→
M N = −N M .
−→ −−→
−→ −−→ −−→ −−→
−→ −−→
d) Thật vậy, AB = CD ⇔ AB + BC = BC + CD ⇔ AC = BD.
−→ −→ −−→
−→ −−→ −−→ −→
e) Thật vậy, AB = AO + OB = −OA + OB = OB − OA.
12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

→
−
→
−
Ví dụ 2.1. Cho (A, ϕ, A ) và (A , ϕ , A ) là hai không gian afin trên
trường R, xét ánh xạ:
→
− →
−
φ : ((A × A ) × (A × A ) → A × A
((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N ))
→
−
→
−
Chứng minh rằng (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên
trường R.
→
− →
−
Lời giải. Ta có: (A×A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường
R vì nó thỏa mãn hai tiên đề sau:
a) Tiên đề về phép đặt vectơ:
→
− →
−
−
−

Với mọi (M, M ) ∈ A × A và mọi (→
u ,→
u ) ∈ A × A suy ra tồn
tại duy nhất cặp điểm (N, N ) ∈ A × A sao cho:
−
−
ϕ(M, N ) = →
u , ϕ(M , N ) = →
u
⇒ ((M, M ), (N, N )) → (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )).
→
−
b) Tiên đề tam giác của phép cộng vectơ: Vì (A, ϕ, A ) là không gian
afin nên:
∀M, N, P ∈ A : ϕ(M, N ) + ϕ(N, P ) = ϕ(M, P ).
→
−
Vì (A , ϕ , A ) là không gian afin nên:
∀M , N , P ∈ A : ϕ (M , N ) + ϕ (N , P ) = ϕ (M , P );
∀(M, M ), (N, N ), (P, P ) ∈ A × A .
Suy ra
φ[(M, M ), (N, N )] + φ[(N, N ), (P, P )]
13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

= (ϕ(M, N ), ϕ (M , N )) + (ϕ(N, P ), ϕ (N , P ))

= (ϕ(M, N ), ϕ(N, P )) + (ϕ (M , N ), ϕ (N , P ))
= (ϕ(M, P ), ϕ (M , P ))
= φ[(M, M ), (P, P )].
→
− →
−
Vậy (A × A , φ, A × A ) là một không gian afin trên trường R.

2.2
2.2.1

Phẳng, độc lập afin và phụ thuộc afin
Phẳng

Định nghĩa 2.2. Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ
→
−
−
A . Gọi I là một điểm của A và →
α là một không gian vectơ con của
→
−
A . Khi đó tập hợp
−−→ −
α = {M ∈ A : P M ∈ →
α}
−
gọi là phẳng đi qua I và có phương là →
α.
−

Nếu →
α có số chiều số chiều bằng 2 thì α gọi là phẳng 2 chiều
hay là 2- phẳng.
−
Định lí 2.1. Nếu α là 2- phẳng của không gian afin A có phương →
α
−
thì α là không gian 2 chiều liên kết với không gian vectơ →
α.
Chứng minh.
Rõ ràng α = ∅.
Giả sử I là một điểm nào đó thuộc α. Với mọi cặp điểm M, N của α
−−→
→
−
−−→ −
ta lấy vectơ M N = ϕ(M, N ) ∈ A theo định nghĩa của α thì IM ∈ →
α,
−→ →
−−→ −
α từ đó suy ra M N ∈ →
α.
IN ∈ −
14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

Vậy ta có thể xét ánh xạ:
−
ϕα×α : α × α → →
α
và ánh xạ thỏa mãn hai tiên đề i),ii) của không gian afin. Tiên đề i)
suy ra từ định nghĩa của phẳng, còn tiên đề ii) đúng vì nó đúng trên
toàn bộ A.
−
Vậy (α, ϕα×α , →
α ) là một không gian tức α là không gian afin liên kết
−
với không gian vectơ →
α.
2.2.2

Độc lập afin và phụ thuộc afin

Định nghĩa 2.3. Bốn điểm {A0 , A1 , A2 , A3 } của không gian afin A
−−−→ −−−→ −−−→
→
−
được gọi là độc lập afin nếu hệ ba vectơ {A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 } của A
là một hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Hệ điểm không độc lập afin gọi là phụ thuộc afin.
Chú ý 2.1. Từ Định nghĩa 2.3 ta có một số chú ý sau:
−−−→ −−−→
−−−→
1. Hệ vectơ {A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am } độc lập tuyến tính
−−−→
−−−−→ −−−−→

−−−→
⇔ Hệ vectơ {Ai A0 , . . . , Ai Ai−1 , Ai Ai+1 , . . . , Ai Am } độc lập tuyến
tính.
−−−→ −−−→
−−−→
2. Hệ {A0 , A1 , . . . , Am } phụ thuộc afin ⇔ hệ vectơ {A0 A1 , A0 A2 , . . . , A0 Am }
phụ thuộc tuyến tính.
3. Hệ 2 điểm {P, Q} trong A là độc lập ⇔ P = Q.
4. Hệ 3 điểm {P, Q, R} trong A là độc lập ⇔ chúng không thuộc
một đường thẳng.

15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

5. Hệ 4 điểm {P, Q, R, S} trong A là độc lập ⇔ chúng không cùng
thuộc một mặt phẳng.
6. Hệ m + 1 điểm {A0 , A1 , . . . , Am } trong A là độc lập ⇔ chúng
không cùng thuộc một (m − 1)- phẳng.
Định lí 2.2. Trong không gian afin 3 chiều A3 với 0 < m ≤ 4, luôn
tồn tại các hệ m điểm độc lập. Mọi hệ gồm hơn 4 điểm đều phụ thuộc.
Chứng minh.
→
−
−
−
−

Giả sử {→
e1 , →
e2 , →
e3 } là một cơ sở nào đó của A 3 . Lấy A0 ∈ A3 khi
−−−→ −
đó tồn tại duy nhất các điểm Ai sao cho A0 Ai = →
ei , i = 1, 2, 3. Theo
định nghĩa hệ {A0 , A1 , A2 , A3 } là hệ gồm 4 điểm độc lập. Khi đó, dĩ
nhiên hệ {A0 , . . . , Am } với 0 < m ≤ 4 là hệ gồm m điểm độc lập.
Nếu hệ {B0 , B1 , . . . , Bp } gồm hơn 4 điểm, tức là p > 3 thì hệ
−−−→ −−−→
−−−→
{B0 B1 , B0 B2 , . . . , B0 Bp } là hệ có nhiều hơn 3 vectơ nên phụ thuộc
tuyến tính. Theo định nghĩa hệ gồm p + 1 điểm {B0 , B1 , . . . , Bp } phụ
thuộc afin.

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Nguyễn Thị Thu Hiền

Tọa độ afin

2.3.1

Mục tiêu afin

Trong A3 trên trường R cho điểm O là một điểm thuộc A3 và một cơ
→
−
−
−
−
−
−
−
sở {→
e ,→
e ,→
e } của A 3 . Khi đó tập hợp {O; →
e ,→
e ,→
e } gọi là mục tiêu
1

2

3

1

2

3

−

−
−
afin của A3 . Điểm O là gốc của mục tiêu, {→
e1 , →
e2 , →
e3 } được gọi là cơ
sở của mục tiêu.
2.3.2

Tọa độ afin của điểm

−
−
−
Trong không gian afin 3 chiều A cho mục tiêu afin {O, →
e1 , →
e2 , →
e3 }. Với
−−→ →
−
mỗi điểm N ∈ A3 , ta có ON ∈ A 3 . Vì vậy có duy nhất ba phần tử
−−→
−
−
−
của trường K sao cho: ON = x →
e +x →
e +x →
e .
1 1

2 2

3 3

Bộ 3 phần tử (x1 , x2 , x3 ) được gọi là tọa độ của điểm M đối với mục
tiêu đã cho, kí hiệu N (x1 , x2 , x3 ) hay N = (x1 , x2 , x3 ).
Với A = (x1 , x2 , x3 ) và B = (y1 , y2 , y3 ) thì:
−→ −−→ −→
−
−
−
AB = OB − OA = (y1 − x1 )→
e1 + (y2 − x2 )→
e2 + (y3 − x3 )→
e3 .
−→
Vậy vectơ AB có tọa độ là (y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 ) đối với cơ sở
→
−
→
−
−
−
−
e = {→
e ,→
e ,→
e } của không gian vectơ A 3 .
1

2.3.3

2

3

Đổi mục tiêu afin

−
−
−
−
−
−
e3 }. Với mỗi
Trong A3 cho hai mục tiêu {O, →
e1 , →
e2 , →
e3 } và {O , →
e1 , →
e2 , →
điểm N ∈ A3 gọi (x1 , x2 , x3 ) là tọa độ của điểm N đối với mục tiêu
−
−
−
{O, →
e1 , →
e2 , →
e3 } và (x1 , x2 , x3 ) là tọa độ của điểm N đối với mục tiêu

−
−
−
{O , →
e ,→
e ,→
e }.
1

2

3

17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Hiền

−
−
−
Giả sử tọa độ của O trong mục tiêu {O, →
e1 , →
e2 , →
e3 } là (a1 , a2 , a3 ) và
−
−
−

−
−
−
ma trận chuyển cơ sở từ {→
e ,→
e ,→
e } sang cơ sở {→
e ,→
e ,→
e } là
1

2

3


C=

1

c11 c12
c21 c22

2

3




Khi đó
x = Cx + a
 
 
 
x
x
 1
 1
a1
 
 
trong đó x = x2 , x = x2 , a =   hay
 
 
a2
x3
x3

3


 xi =
cij xj + aj ,
j=1
(2.1) ⇔


 ai = 1, 3.

(2.1)

(2.2)

Công thức (2.1) và (2.2) được gọi là công thức đổi tọa độ từ mục tiêu
−
−
−
−
−
−
{O, →
e ,→
e ,→
e } sang mục tiêu {O , →
e ,→
e ,→
e }.
1

2

3

1

Chứng minh.
−−→
Giả sử OO =