TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

BÙI NHƯ NGỌC

THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG HỆ NHIỀU HẠT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

Hà Nội – 2018


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn trân thành và sự tri ân sâu sắc tới các thầy cô của trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy cô trong khoa Vật Lý của trường đã tận
tình giảng dạy, trang bị kiến thức cho em trong những năm học qua, tạo điều kiện có
nhiều thời gian để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Nguyễn Thị Phương Lan và thầy giáo
ThS Đỗ Chí Nghĩa đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp.
Thầy cô là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm đam mê khoa học trong
suốt quá trình làm việc.
Trong quá trình ngiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương
pháp ngiên cứu nên đề tài khó tránh khỏi nhưng thiếu sót. Em mong nhận được những
ý kiến đóng góp của các thầy cô để em họ thêm được nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn
thành tốt bài báo cáo tốt nghiệp sắp tới.
Em xin trân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2018.

Sinh viên

Bùi Như Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận và những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, nghiêm
khắc của cô ThS Nguyễn Thị Phương Lan và thầy ThS Đỗ Chí Nghĩa. Bên cạnh đó, em
cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa Vật Lý
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.
Vì vậy, em xin cam đoan nội dung đề tài: “ Thống kê Bose – Einstein và các
ứng dụng trong hệ nhiều hạt” là kết quả nghiên cứu, học tập của riêng em. Các kết
quả trong đề tài này là trung thực và hoàn toàn không trùng lặp với các đề tài khác.

Sinh viên

Bùi Như Ngọc


MỤC LỤC
MỞ
ĐẦU...............................................................................................................................................1
1. Lý do lựa chọn đề tài................................................................................................... 1
1. Mục đích nghiên cứu................................................................................................... 1
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................. 2
NỘI DUNG...................................................................................................................... 2
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN................................3
1.1 Hệ nhiều hạt và phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt.............................................3
1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt. ....................................................................................................... 3

1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt. ................................................................... 4
1.2. Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson..................................................................... 4
1.2.1. Giới thiệu về hệ hạt Boson. ............................................................................................... 4
1.2.2. Đặc trưng của hệ hạt Boson. ............................................................................................ 5
1.3. Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein.

7

1.4. Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein..............................10
1.3.1. Thống kê Bose – Einsstein. ............................................................................................... 7
1.3.2 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein. .......................................................................... 8
CHƯƠNG II. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN
TRONG HỆ NHIỀUHẠT. .............................................................................................11
2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng....................11
2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng. .....................................................................................................11
2.1.2 Các định luật bức xạ. ........................................................................................................13
2.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein.

18

2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein. ...........................................................................18


2.2.2. Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng photon

22

2.2.3. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium. ......................................24
2.3. Lý thuyết nhiệt dung của vật rắn.


25

2.3.1. Lý thuyết nhiệt dung của Einstein. ................................................................................26
2.3.2. Lý thuyết nhiệt dung Debye. ........................................................................................... 27
KẾT LUẬN....................................................................................................................30
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................31


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Cùng với sự phát triển nhanh chóng của nền văn minh nhân loại vật lý học
cũng phát triển một cách không ngừng, trải qua nhiều giai đoạn và đạt được rất nhiều
thành tựu khoa học đáng kể.Vật lý thống kê là một bộ phận trong vật lý hiện đại. Vật lý
thống kê gồm vật lý thống kê cổ điển và vật lý thống kê lượng tử, vật lí thống kê lượng
tử tổng quát hơn, chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển.
Nhắc đến vật lí hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến nhà bác học Anh-xtanh (18791955) là nhà vật lý lý thuyết người Đức, người đã phát triển thuyết tương đối tổng
quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại.
Vật lý thống kê là ngành vật lý ngiên cứu hệ nhiều hạt. Từ việc nghiên cứu mối
liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động
của hạt vi mô tạo nên hệ bằng các phương pháp thống kê. Hiện nay, các phương pháp
của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện
đại kể từ các vật ngưng tụ cho đến lý thuyết các hạt cơ bản.Thông qua việc tìm hiểu
các thống kê lượng tử người ta áp dụng để ngiên cứu những tính chất và các ứng dụng
trong hệ nhiều hạt. Trên đây là cơ sở để tôi lựa chọn đề tài: “ Thống kê Bose –
Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” để có cái nhìn tổng quan hơn, sâu sắc
hơn về tính chất của hệ nhiều hạt và sự hứng thú giải quyết các bài tập trọng tâm. Từ
đó, vận dụng vào thực tiễn khơi dậy niềm đam mê đối với bộ môn Vật lý và nhận thấy
được những ứng dụng to lớn của vật lý đối với các ngành khoa học khác.
1.


Mục đích nghiên cứu

-

Tìm hiểu, hệ thống lí thuyết thống kê Bose – Einstein.

-

Tìm hiểu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.

-

Áp dụng thống kê Bose – Einstein để nghiên cứu một số hiện tượng vật lí mới.

2.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1


-

Các hạt đồng nhất Boson.

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu

-


Áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ lượng tử.

-

Nghiên cứu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.

4.

Phương pháp nghiên cứu

-

Đọc và nghiên cứu các tài liệu tham khảo.

-

Phương pháp vật lí lí thuyết.

-

Phương pháp thống kê.

NỘI DUNG
2


CHƯƠNG I
TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN


1.1

Hệ nhiều hạt và phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt

1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt
Hệ nhiều hạt là hệ gồm hai hạt trở lên. Chúng ta khảo sát trong bài toán hệ nhiều
hạt có thể là các nguyên tử, phân tử, ion, electron, photon, neutron trong các hạt nhân
lớn… Hiểu nôm na là hệ có các bậc tự do lớn. Việc gia tăng thêm số hạt trong hệ sẽ
dẫn đến sự thay đổi tính chất của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ nhiều hạt. Bài
toán hệ nhiều hạt thực chất là bài toán của hệ phương trình Hamilton (cho hệ cổ điển)
hay phương trình Shrodinger (cho hệ lượng tử).
Khảo sát theo quan điểm cơ học cổ điển.
Xét 1 hệ gồm có N hạt tự do, khảo sát không gian pha tức không gian 2Nf chiều
đối với hệ có f bậc tự do.
Trong trường hợp đơn giản f = 3, trạng thái của hệ được diễn tả bằng 3N tọa độ
và 3N vận tốc. Ta cũng biết rằng trạng thái của hệ được diễn tả bằng 3N tọa độ suy
rộng, 3N xung lượng suy rộng:
q1,q2,q3,…..q3N q
p1,p2,p3,…..p3N

(1.1)

p

(1.2)

Chúng ta đi giải các phương trình Hamilton sau để xác định tọa độ và xung
lượng của các hạt trong hệ tại thời điểm bất kì: (đây là hệ 6N phương trình 6N ẩn)
{


với k = 1,2, …3N

Trong đó H là hamilton của hệ,

và

(1.3)

lần lượt là đạo hàm theo thời gian của tọa độ

và xung lượng.
H(q,p) = T(q,p) + U(q,p)

(1.4)

3


Với T(q,p) và U(q,p) lần lượt là động năng, thế năng của hệ.
Để xác định được trạng thái của hệ N hạt ở thời điểm bất kì ta cần phải biết 6N
điều kiện ban đầu.
Khi t = 0, tọa độ suy rộng và xung lượng của hệ có dạng:

↔

q1(t, q(0), p(0)), q2(t,q(0),p(0)),…, q3N(t,q(0),p(0))

(1.5)

p1 (t, q(0), p(0)), p2(t,q(0),p(0)),…, p3N(t,q(0),p(0))


(1.6)

{ q1(0), q2(0),…, qf(0)

{ p1(0), p2(0),…, pf(0)

q(0)

p(0)

(1.7)
(1.8)

Mỗi trạng thái của hệ được gọi là một điểm pha (q,p). Do sự chuyển động
không ngừng của các hạt trong hệ khiến tọa độ và xung lượng của hệ luôn biến đổi
theo thời gian, do đó điểm pha của hệ di chuyển vẽ nên quỹ đạo pha.
1.1.2

Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt.

Đối với hệ nhiều hạt (N ≥ 2), một trong những khó khăn khi nghiên cứu đó là có biến
số lớn(3N). Vì vậy, ta dựa vào các đặc trưng khác nhau của hệ để có thể lựa chọn các
phương pháp giải bài toán phù hợp. Về nguyên tắc, ta chỉ cần giải một số phương trình
nhất định, tìm 6N điều kiện ban đầu của hệ là bài toán sẽ được giải quyết. Tuy nhiên,
trong thực tế ta còn gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy,đơn giản nhất, căn bản nhất là
áp dụng các phương pháp thống kê.
1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson
1.2.1


Giới thiệu về hệ hạt Boson
Boson được đặt theo tên nhà vật lý học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose.

Boson là tất cả các loại hạt có spin nguyên (0, ±1, ±2…) tất cả các hạt trong tự nhiên
đều được chia làm hai loại: boson và fermion. Boson có thể nằm cùng một trạng thái
lượng tử, không tuân theo nguyên lý Pauli. Theo lý thuyết thống kê spin, Boson lấy các
giá trị nguyên. Chúng là loại hạt duy nhất tuân theo thống kê Bose – Einstein.

4


1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson
Trong tự nhiên, các hạt tạo nên từ các hạt cơ bản hơn như proton hay hạt nhân
nguyên tử cũng thuộc nhóm Boson hoặc Fermion tùy thuộc vào tổng spin của chúng.
Boson là nhóm các hạt sơ cấp có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose –
Einstein, bao gồm các hạt mang tương tác điện từ (Photon), tương tác yếu (Boson W và
Z), tương tác mạnh (Gluon), tương tác hấp dẫn ( Graviton) và hạt Higgs.
Tên

Kí

Phản

hiệu

hạt

Charge(e) spin

Khối


Trung

Hạt

2
lượng(GeV/c ) gian

tương
tác
photon

Boson

Y

Tự nó

W

-

W

+

0

-1


1

0

1

80,4

W

Điện

Xác

từ

nhận

Lực

Xác

Tương

nhận

tác yếu
Boson Z Z

Tự nó


0

1

91,2

Lực

Xác

Tương

nhận

tác yếu
Gluon

g

Tự nó

0

1

0

Lực


Xác

tương

nhận

tác
mạnh
Higgs

H

0

Tự nó

0

0

125,3

boson
Graviton G

Tự nó

0

2


0

5

Khối

Xác

lượng

nhận

Lực

Chưa


hấp

xác

dẫn

nhận

Boson W hay hạt W là một hạt cơ bản có khối lượng bằng 160.000 lần khối
lượng của electron hay khoảng 80 lần khối lượng của proton hay neutron tương đương
với khối lượng của nguyên tử Brôm.
Boson W là hạt mang điện tích hoặc -1 hoặc +1. Chúng là phản hạt của nhau,

nhưng cả hai đều không là hạt vật chất. Boson W là hạt truyền tương tác trong tương
tác yếu, và tồn tại ở một thời gian cực ngắn, chỉ khoảng 3.10

-25

giây sau đó phân rã

sang các dạng khác.
Boson W phân rã tạo thành hoặc là một quark, hoặc là 1 phản quark có điện
tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino.

Hình1: Biểu đồ Feynman cho thấy sự trao đổi cặp Boson W. Đây là một trong các ví
dụ về sự dao động của hạt trung hòa điện Kaon.[Ảnh Internet]
2

Boson Z hay hạt Z là một hạt cơ bản, có khối lượng khoảng 91 GeV/c , tương
đương với khối lượng của nguyên tử Zirconium. Boson Z là hạt trung hòa và không có
sự khác biệt trong số lượng tử. Vì vậy, phản hạt của boson Z chính là boson Z.
6


Boson Z là hạt trung gian trong tương tác yếu và không làm ảnh hưởng đến điện
tích, do khối lượng của boson Z là rất lớn so với khối lượng của photon; trong lớp năng
lượng thấp các hiệu ứng trao đổi boson Z là bé nếu so sánh với sự trao đổi photon.
Boson Z được tạo ra bởi quá trình va chạm của electron và positron- phản hạt của
electron. Năng lượng của vụ va chạm này vừa đủ để sinh ra một boson Z và đã được
nghiên cứu trong máy va chạm tuyến tính ở SLAC.
Theo mô hình chuẩnmột lý thuyết Gauge, lực giữa các fermion được mô hình
hóa bằng cách tạo ra các boson, có tác dụng như các thành phần trung gian. Hệ
Lagrange của mỗi tập hợp hạt boson trung gian không thay đổi dưới một dạng biến đối

gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là Gauge boson. Gauge
boson là các hạt cơ bảnmang tương tác cơ bản. Chúng là W boson của lực hạt nhân
yếu, gluon của lực hạt nhân mạnh, photon của lực điện từ, và graviton của lực hấp
dẫn.[5]
1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
1.3.1 . Thống kê Bose – Einsstein
Albert Einstein (1879 – 1955) là nhà vật lý học người Đức. Trong suốt cuộc đời,
ông đã xuất bản rất nhiều sách và hàng trăm bài báo về vật lý, về chính trị.
Trong vật lý,ông là người đã phát triển thuyết tương đối tổng quát một trụ cột của vật
lý hiện đại.
Khi bắt đầu sự nghiệp ông đã nhận ra cơ học Newton không còn thống nhất các
định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ. Từ đó, ông phát triển
thuyết tương đối đặc biệt thông qua các bài báo đăng năm 1905.
Năm 1916, ông cho ra đời lý thuyết về hấp dẫn, xuất bản một bài báo về thuyết tương
đối tổng quát.
Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tương đối tổng quát miêu tả mô hình cấu
trúc của toàn thể vũ trụ.

7


Năm 1921, ông được trao giả Nobel Vật Lý “Cho những cống hiến của ông đối
với vật lí lí thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang
điện”.Ngoài những nghiên cứu của bản thân ông còn hợp tác với rất nhiều các nhà
khoa học khác để tạo ra các nghiên cứu mới như thống kê Bose – Einsstein, máy làm
lạnh Einstein và nhiều ngiên cứu khác…
Năm 1924, Einstein nhận được một miêu tả về mô hình thống kê từ nhà vật lý
học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose trên cơ sở một phương pháp đếm với giả sử ánh
sáng có thể được hiểu là khí của các hạt không thể phân biệt được.
Thống kê Bose – Einstein do Satyendra Nath Bose phát triển, Albert Einstein

ủng hộ và mở rộng ra đối với các hạt có khối lượng và spin nguyên. Thống kê này chỉ
áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái hay các
hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Những hạt này được các nhà vật lý gọi
chung là Boson.
1.3.2

Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein
Chúng ta xét hệ có N hạt thay đổi, áp dụng công thức chính tắc lượng tử lớn[2]:
{

}

.

(1.9)

Trong đó:
là xác suất xác định trạng thái của hệ.
là độ suy biến của hệ ở mức năng lượng
N là số hạt trong hệ;

;

là nhiệt độ tuyệt đối;

là thế hóa học;
là thế nhiệt động lớn.
Gọi

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ;


lượng .
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có:

8

là số hạt trong hệ có cùng năng


∑

;
(1.10)
∑
(1.11)

Vậy phân bố chính tắc lượng tử lớn có dạng:
∑

∑

(1.12)

Ta đặt
Khi đó phân bố được viết lại dưới dạng:
(

∑

)


(1.13)

Trong trường hợp tổng quát có thừa số G(

vì có khả năng xuất hiện các

trạng thái vật lí mới khi chúng ta hoán vị (về tọa độ) các hạt.
Đối với hệ boson là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng nên các phép hoán vị về
tọa độ không làm xuất hiện trạng thái vật lí mới nên khi đó:

Từ định lí xác suất ta có thể tìm được số hạt trung bình trên mức năng lượng
̅∑

bất kì:

∑
(1.14)

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có: ∑
(1.15)
Với Z = exp {
Ta có:

∑

{ }

) là tổng trạng thái.
.


Xét đạo hàm

(1.16)

Suy ra trị trung bình của số chứa đầy
Đối với hệ hạt Boson:

∑

∑
: ̅̅

|

ta có tổng trạng thái:
9

(1.17)
(1.18)


∑

∑

∏

(1.19)
Từ đó:

∑

;

(1.20)

Theo (1.18) ta có phân bố của các số chứa đầy trung bình:
̅|
(1.21)
(

)

Chú ý đến sự suy biến năng lượng ở mức

và

,

Thế hóa học theo (1.20) và (1.21) được xác định từ điều kiện ∑
̅

̅= N ta có:
̅̅

{

)

(1.22)


Công thức (1.22) được gọi là công thức của thống kê Bose – Einstein
1.4 Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein
Thống kê Bose – Einstein là lý thuyết thống kê miêu tả hệ lượng tử trong đó không
giới hạn các hạt phân bố trên cùng một mức năng lượng, áp dụng khi hệ có hàm sóng
đối xứng nhau hay nói cách khác là ứng với trường hợp khi hạt có spin nguyên.
Thống kê Bose – Einstein chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ
trong một trạng thái, hay các hạt không tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli.
Thống kê Bose - Einstein miêu tả tập hợp các hạt không phân biệt được, không tương
tác với nhau ở vào một lớp các trạng thái năng lượng rời rạc khác nhau ở cân bằng
nhiệt động, một đặc trưng của các hạt tuân theo thống kê Bose - Einstein lý giải cho
nguyên lý hoạt động của Laser và sự chảy không ma sát của heli siêu lỏng….


CHƯƠNG II
MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN TRONG
HỆ NHIỀU HẠT
2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng
2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng
Bức xạ là hiện tượng một vật thể phát ra các sóng điện từ lan truyền trong không
gian thực chất quá trình phát và lan truyền sóng điện từ là quá trình lan truyền năng
lượng. Con người có thể làm cho các vật chất phát sóng điện từ bằng cách truyền năng
lượng cho nó bằng các tác dụng hóa học, cơ học…
Phương pháp đơn giản nhất để truyền năng lượng cho vật thể là truyền nhiệt trực tiếp
cho vật.
Bức xạ nhiệt là bức xạ điện từ được tạo ra bởi các chuyển động nhiệt của các hạt
điện tích trong vật chất. Mọi vật luôn bức xạ các sóng điện từ ra môi trường xung
quanh.
Khi nhiệt độ của vật lớn hơn độ không tuyệt đối thì sự va chạm giữa các nguyên
tử hoạt động làm thay đổi động năng của các nguyên tử hoặc phân tử. Điều này làm

tăng tốc độ điện tích hoặc gây ra các dao động lưỡng cực từ đó sản sinh ra bức xạ điện
từ.
Ở nhiệt độ thấp sóng điện từ bức xạ có tần số nằm trong vùng hồng ngoại, nhiệt
độ của vật càng tăng thì tần số cũng tăng theo. Nếu nhiệt độ của vật không đổi thì bức
xạ đó được gọi là bức xạ nhiệt cân bằng.
Năng lượng truyền đi bằng bức xạ không cần thông qua một môi trường trung gian
mặc dù bức xạ có thể chụp, chép lại khi nó đi qua nhiều môi trường khác nhau.
Đặc trưng cho bức xạ là cường độ bức xạ (phụ thuộc vào tần số hoặc bước sóng). Bức
xạ phát ra thông qua vùng bước sóng mà bức xạ đó phát ra.


Công suất bức xạ là năng lượng vật chất mất đi trong một đơn vị thời gian do
vật bức xạ. Nó phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ. Nhiệt độ tuyệt đối của
vật càng cao thì công suất bức xạ càng cao và ngược lại.
Nếu một vật phát ra bức xạ đáp ứng các đặc tính vật lí của vật đen ở trạng thái
cân bằng nhiệt động lực học thì các bức xạ này được gọi là bức xạ vật đen với công
thức nổi tiếng của Planck về mật độ năng lượng bức xạ. Định luật Planck mô tả quang
phổ của bức xạ vật đen chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật.

Hình 2: Đường cong bức xạ Planck khi nhiệt độ tăng dần.(Ảnh Internet).
Vật đen là một vật có hệ số đặc trưng cho bức xạ hoặc hấp thụ bằng một.
Vật đen được xem như là khí photon có spin S = do đó chúng là các hạt boson.
Chúng ta sẽ đi tới công thức Planck bằng việc áp dụng thống kê Bose – Einstein cho
khí photon.
Ở trạng thái cân bằng nhiệt động các photon được bức xạ và hấp thụ không ngừng,
đồng thời năng lượng của trường bức xạ không đổi. Mỗi hạt photon mang năng lượng
, tần số (

). Vì vậy với khí photon thế hóa bằng không.


Ta được hàm phân bố photon theo các trạng thái lượng tử:


f(E) =

(

)

kí hiệu

=

(

= f(

)

(2.1)

là năng lượng của photon tương ứng với tần số ; N(

là số photon

có năng lượng .
Xét trong không gian vector tổng số trạng thái photon được xác định bởi ⃗ nằm
trong khoảng (k, k+dk) trên một đơn vị thể tích là:
(2.2)
ở đây thừa số 2 xuất hiện phía trước vì trạng thái lượng tử có 2 bội suy biến g =

2 ứng với 2 phân cực độc lập của photon. Thay k =

vào (2.2) ta có số trạng thái

photon ứng với cả hai phân cực có tần số nằm trong khoảng (
d

:

(2.3)

Vậy ta có thể tính trung bình tổng số photon trong khoảng tần số khảo sát:
N = f( =
(2.4)
(

)

Tiếp tục ta chia năng lượng trung bình nhận được cho khoảng tần số d ta sẽ thu được
năng lượng bức xạ của vật đen:
(

)

(2.5)

Công thức phân bố cường độ bức xạ theo tần số (2.5) được gọi là công thức Planck.
2.1.2 Các định luật bức xạ
a, Định luật Stefan – Boltzmann về bức xạ
Năm 1879, Josef Stefan sau khi tiến hành nhiều thí nghiệm về bức xạ nhiệt dựa

trên các đo đạc thực nghiệm của John Tyndall đồng thời kết hợp với những cơ sở lý
thuyết do Ludwig Boltzmann suy luận ra bằng các tính toán lý thuyết vào năm 1884, sử
dụng nhiệt động lực học, đã đúc kết thành định lý Stefan – Boltzman.


Định lý Stefan – Boltzmann mô tả năng lượng bức xạ từ một vật đen tương
ứng với nhiệt độ cụ thể.
Công suất bức xạ nhiệt của một vật thì tỷ lệ với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối
của vật bức xạ và diện tích bề mặt của vật bức xạ.
Theo công thức Planck (2.5) lượng năng lượng bức xạ vật đen tuyệt đối dưới
dạng sóng điện từ có tần số nằm trong khoảng (
dE(
=
=
(

)

có dạng:
(2.6)

Từ công thức (2.1.6) ta xác định năng lượng toàn phần của bức xạ cân bằng
trong thể tích V có dạng:
E=∫
Đặt x =

(

∫


)

(2.7)

rồi tính tích phân:
∫
;

Khi đó (2.1.7) được viết lại bằng:
E=

(2.8)

Với a =
Suy ra:

(2.9)

Công thức (2.9) là biểu thức của định luật Stefan – Boltzmann.
Trong đó: k là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng trong
chân không.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng những vật thể hấp thụ mạnh mọi bức xạ tới cũng là
những phát xạ tốt và ngược lại những vật thể cho sự phát xạ mạnh những bức xạ tới
cũng là những vật thể phát xạ kém.


Do mọi vật đều phát ra các bức xạ nhiệt vào môi trường xung quanh nên đồng
thời nó cũng hấp thụ bức xạ nhiệt từ các vật thể xung quanh nó. Các vật có sự tập trung
dày đặc của các phân tử có tính chất phát xạ tương đương như vật đen tuyệt đối. Do đó,
định luật Stefan – Boltzmann rất gần gũi với thực tiễn, gắn liền với quá trình nóng lên

và phát sáng của vật rắn, hay các thiên thể khí đậm đặc như mặt trời và những ngôi
sao…
Ví dụ tính công suất bức xạ: Cho biết công suất bức xạ của Mặt Trời gần bằng
4.

W, bán kính Mặt Trời là 6,5.

. Tính nhiệt độ tuyệt đối ở bề mặt Mặt Trời

nếu có thể xem Mặt Trời là vật đen tuyệt đối
là 1

. Tính nhiệt lượng của một diện tích

trên bề mặt Trái Đất được hấp thụ ánh sáng mặt trời trong một giây. Cho biết

hệ số hấp thụ của Trái Đất là
quanh Mặt Trời là 1,5.

. bán kính quỹ đạo của chuyển động Trái Đất

km. Tính nhiệt lượng đó bằng Cal và eV.

Lời giải:
Áp dụng công thức tính công suất bức xạ (đối với Mặt Trời) ta được:
=

=

= 132,8.


Suy ra T = 3395
Công suất hấp thụ trên 1

trên bề mặt trái đất:

Năng lượng Mặt Trời phân bố trên một hình cầu bán kính là khoảng cách đến Trái Đất
nên trong một giây năng lượng đó là 0,0109J hay bằng 6,8.
b, Định luật dịch chuyển Wien.
Vào năm 1896, nhà vật lí Wilhelm Wien đã đưa ra định luật Wien dùng để mô
tả quang phổ của bức xạ nhiệt. Phương trình mô tả chính xác ngắn bước sóng(cao tần)
phổ phát xạ nhiệt từ các vật thể nhưng nó không phù hợp với thực nghiệm đối với bước
sóng(tần số thấp) phát xạ.


Wilhelm Wien đã khảo sát công suất bức xạ của vật đen tuyệt đối (
theo
từng bước sóng ở các nhiệt độ khác nhau. Ông dùng cách suy luận nhiệt động lực học
và các số liệu thực nghiệm để dẫn đến mối liên hệ giữa công suất bức xạ và bước sóng.
Đối với vật thể bức xạ có nhiệt độ tuyệt đối nhất định ứng với bước sóng
sao cho
bước sóng đó ứng với công suất bức xạ cực đại.
Ta viết lại công thức Planck (2.5) theo bước sóng của ánh sáng bức xạ:
(

)

(2.10)

Sau đó, ta lấy vi phân (2.1.10) theo bước sóng

Đặt x =

và cho nó bằng 0.

(2.11) ta có phương trình siêu việt:

x.exp(x) = 5.exp(x) – 5
giải phương trình ta được nghiệm x = 4,9650.
Thay giá trị x vào (2.11) ta được định luật dịch chuyển Wein:
(2.12)
với b là hằng số Wien có độ lớn bằng 2,896.
Tích số của bước sóng Wien

m.K;

là bước sóng Wien.

và nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ là một

hằng số không đổi.

Hình 3: Đồ thị biểu diễn bước sóng ứng với đỉnh của bức xạ đối với quang phổ khác
nhau của các vật đen như là một hàm nhiệt độ.[Ảnh Internet]


Nếu ta xét mức phát xạ vật thể tối đa trên một đơn vị tần số thì ta phải sử dụng
một hằng số tỉ lệ khác nhau nhưng hình thức vẫn giữ nguyên: bước sóng đỉnh tỉ lệ
nghịch với nhiệt độ hay tần số đỉnh tỉ lệ thuận với nhiệt độ.
Trong thực tiễn, động vật có vú với nhiệt độ da khoảng 300kK phát ra bức xạ
cực đại ở khoảng 10


trong hồng ngoại xa. Hay khi so sánh màu sắc rõ ràng của

nguồn sáng (đèn huỳnh quang, đèn LED, photoflash…) thường thường phải trích dẫn
nhiệt độ màu, ánh sáng huỳnh quang màu xanh – trắng đôi khi được sử dụng trong văn
phòng có thể có nhiệt độ màu 6500K, đèn sợi đốt màu đỏ nhạt có thể có nhiệt độ màu
2000K.
c, Định luật Reyleigh – Jeans.
Định luật Rayleigh – Jeans do nhà vật lý học Lord Rayleigh phát triển có thể được sử
dụng để mô tả phổ bước sóng dài của bức xạ nhiệt nhưng không mô tả phổ bước sóng
ngắn của phát xạ nhiệt.
Quan điểm của vật lí cổ điển coi các nguyên tử phát xạ và hấp thụ liên tục từng lượng
năng lượng bức xạ nhỏ bao nhiêu tùy ý.
Định luật Rayleigh – Jeans tương đương với sự phát xạ quang phổ của bức xạ điện từ
như một hàm của bước sóng từ vật đen có nhiệt độ nhất định.
Giả sử trong trường hợp

. Dựa vào công thức Planck (2.5) ta cũng có thể xác

định được công thức Rayleigh – Jaens có dạng:
;
Trong đó: k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Định luật Raylaigh – Jeans phù hợp với kết quả thực nghiệm ở bước sóng lớn.
Có một điều khá thú vị liên quan đến công thức này đó là nó được tìm ra trước
công thức Planck vì vậy người ta nghĩ rằng nó đúng với mọi tần số. Do đó nảy sinh


mâu thuẫn giữa quan sát và dự đoán của vật lí cổ điển được gọi là “thảm họa tử
ngoại”.
2.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là trạng thái vật chất đặc biệt của khí Boson
loãng, các nguyên tử được làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối. Dựa vào
các điều kiện này, một phần lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất,đó là
khi các boson giảm đến trạng thái không vận tốc, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở
nên rõ rệt ở mức vĩ mô. Ta gọi hiệu ứng này là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô.[5]
Vào những năm đầu của thế kỷ XX (1924 – 1925), hai nhà vật lí học Satyendra
Nath Bose và Albert Einstein đã tiên đoán sự tồn tại của trạng thái vật chất này. Tiên
đoán này dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi
ông Bose để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối. Sau đó, Einstein đã
mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất.
Trong quá trình nghiên cứu các thí nghiệm đã cho thấy sự phức tạp trong hệ.
Những nỗ lực không ngừng của Bose và Einstein đã cho kết quả về khái niệm khí Bose
trong lý thuyết thống kê Bose – Einstein miêu tả phân bố thống kê cho những hạt đồng
nhất với spin nguyên. Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử heli-4
được phép tồn tại ở cùng một trạng thái lượng tử như nhau.
Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh hay hạ nhiệt độ của các nguyên tử
Boson đến nhiệt độ thấp thì hệ này sẽ tích tụ hay ngưng tụ lại trong trạng thái lượng tử
thấp nhất có thể và tạo ra một trạng thái vật chất mới.
Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của heli-4 vào năm 1938, Fritz London đã
đề xuất ra các phương pháp gần đúng đầu tiên dựa vào tính siêu chảy của heli-4.
Cho đến nay trên khắp thế giới có đến 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười
trong số các ngưng tụ này được tạo ra từ mười nhóm nguyên cứu khác nhau. Lí thuyết


đầu tiên của tương tác khí Bose trong lĩnh vực BEC được xây dựng vào năm 1947 bởi
Bogoliubov.
Năm 1995,khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bới nhóm của Eric Cornell và
Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ tiêu chuẩn quốc gia
(NIST) tại đại học Colorado ở Boulder. Họ tạo ra bằng cách làm lạnh nguyên tử khí

Rubidi đến 170(nK).
Cùng thời gian đó, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts
tạo ra ngưng tụ Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép ngiên cứ tính chất này của hệ. Chính thành tựu này đã
giúp Cornell, Wieman và Ketterle nhận được giải Nobel Vật Lý vào năm 2001.
Cuối cùng một ngưng tụ nữađược nghiên cứu thành công đó là ngưng tụ của nguyên tử
Hidro đã được hoàn thành vào năm 1998. Có hai kĩ thuật làm lạnh để tạo ra các nguyên
tử BEC loãng trong phòng thí nhiệm bằng cách kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh
bay hơi. Kĩ thuật làm lạnh nhờ kết hợp tia laser dựa trên bẫy các nguyên tử có sự dịch
chuyển Zeeman trong bẫy từ - quang và làm lạnh chúng đến khoảng 10 K. Sau đó
được bắn phá bởi các photon trong chùm tia laser phản lan truyền trong không gian ba
chiều. Kĩ thuật làm lạnh thứ 2 được thực hiện bằng cách loại bỏ đuôi năng lượng cao
của phân bố nhiệt từ cái bẫy do đó làm giảm nhiệt độ.
Trong vật lý các hạt được chia ra làm hai lớp hạt cơ bản: lớp Boson và lớp
Fermion. Boson là các hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose – Einstein. Đối
với mô hình khí lí tưởng khi nhiệt độ đạt đến độ không tuyệt đối tất cả các hạt boson có
thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tự với năng lượng thấp nhất. Đó chính là
ngưng tụ Bose – Einstein. Trong trường hợp một hệ khí lí tưởng ba chiều tồn tại một
chuyển động pha mà hệ khí sẽ ngưng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này. Sau khi sát
hiện tượng Ngưng tụ Bose các nhà vật lí thực nghiệm đã tiếp tục đạt được những thành
công trong việc làm lạnh khí Fermion dù khó hơn như là đối với boson.


Áp dụng thống kê Bose – Einstein cho hệ các hạt có spin nguyên hay spin bằng không
(photon, mezon,..) được gọi là các hạt Boson hay khí Bose.

Hình 4: Trạng thái ngưng tụ của nguyên tử Rubidi. Qua hình vẽ ta thấy tốc độ phân bố
chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí, màu sắc. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển
động nhanh, màu xanh và màu trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Phía bên trái là
trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên

phải là chỉ trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. ở đỉnh màu trắng các nguyên tử có
cùng vận tốc và vị trí hay cùng trạng thái năng lượng. (Ảnh Internet).
Đối với khí Bose lí tưởng, theo công thức thống kê Bose – Einstein số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng (
dn(
;
(

trong đó: dN(

được xác định:
(2.13)

)

là số các mức năng lượng trong khoảng (

.

Ta đi xác định dN( . Theo quan điểm lượng tử, các hạt Bose chứa trong thể
tích V có thể xem như các sóng đứng De Broglie. Do đó, ta có thể xác định
dN( thông qua công thức cho ta số sóng đứng có chiều dài của vector sóng ⃗ (k, k+dk):
dN(k) =
theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng

(2.14)
và vector sóng ⃗ :

20