TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn
trong cơ học lượng tử” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự
giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô.
Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn –Pgs.Ts
Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
tham gia khóa luận.
Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi
hoàn thành khoa luận này.
Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trong
suốt quá trình làm khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Nga


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành
với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà
Loan. Các dữ liệu đưa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không
trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Nga



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................... 3
1.1. Tọa độ......................................................................................................... 3
1.2. Xung lượng................................................................................................. 4
1.3. Mômen xung lượng .................................................................................... 5
1.4. Năng lượng................................................................................................. 7
Kết luận chương 1 ............................................................................................. 9
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ....................................................... 10
2.1. Biểu diễn tọa độ ....................................................................................... 10
2.2. Biểu diễn xung lượng............................................................................... 11
2.3. Biểu diễn năng lượng ............................................................................... 13
2.4. Biểu diễn Schrodinger.............................................................................. 16
2.5. Biểu diễn Heisenberg ............................................................................... 16
2.6. Biểu diễn tương tác .................................................................................. 20
Kết luận chương 2 ........................................................................................... 22
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ
HỌC LƯỢNG TỬ........................................................................................... 23
3.1. Bài tập về các trạng thái lượng tử trong các biểu diễn khác nhau ........... 23


3.2. Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau .............................. 29

Kết luận chương 3 ........................................................................................... 38
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 40


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1


Thế kỷ XX là thế kỷ của, vật lý học hiện đại với khuynh hướng xâm
nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé
như nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản...Cho đến nay, một trong những
đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại là thế giới vi
mô mà cơ học lượng tử là cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinh
phục thế giới đó. Cơ học lượng tử là một phần khá trừu tượng trong vật lý lý
thuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển.
Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lượng tử là lý thuyết của
-8

những nguyên tử và hạt nhân. Nguyên tử có kích thước vào cỡ 10 cm, còn
-13

hạt nhân có kích thước vào cỡ 10 cm. Những vật có kích thước như vậy và
nhỏ hơn được gọi là những vật vi mô.
Để nghiên cứu các đại lượng động lực của hệ các hạt vi mô, người ta có
thể dùng các biểu diễn khác nhau. Mỗi bài toán trong cơ học lượng tử thì sẽ
có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyết
bài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của

hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng.
Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn
để củng cố lý thuyết. Phải nắm được lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng
để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan. Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyết
sâu sắc hơn.
Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về
lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử”.
2. Mục đích nghiên cứu
Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyết
của các hạt vi mô.

2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử.
Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ học
lượng tử.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các đại lượng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác

3


nhau.
Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học.
Phương pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lượng tử.
6. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao
gồm ba chương:
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN.
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN.
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.

4


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Tọa độ


Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đại
lượng động lực mô tả trạng thái của hạt như tọa độ, xung lượng, momen
xung lượng, năng lượng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nó
không tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lượng tử tức là các
trạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định. Để mô tả được trạng thái
của các hạt vi mô thì các đại lượng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a
do đó các đại lượng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tương
ứng. Để tìm dạng tường minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực
chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trường hợp giới hạn của cơ học lượng
tử (khi kích thước của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô). Như vậy ta
có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng:
Những toán tử cơ học lượng tử thỏa mãn những hệ thức giống như hệ
thức giữa các đại lượng động lực tương ứng trong cơ học cổ điển (không
chứa đạo hàm). Đó là nguyên lý tương ứng.
Toán tử tọa độ ̂ . Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của

hạt mô tả bởi hàm sóng

x) đã được chuẩn hóa. Toán tử tọa độ ̂

phải là

ecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức:
̅

∫

̂

(1.1.1) Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung
bình của
x là:
̅∫
Theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa của hàm sóng thì:
P(x)=|
|
Vậy ̅

∫


Ta có:

∫

̂


∫

Vậy ̂
(1.1.2)
Như vậy toán tử ̂ là một phép nhân với x. Ta có thể viết:
̅̂(1.1.3)
Cũng tương tự như vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán
tử tọa độ


̅̂
̅̂(1.1.4)
̅̂
1.2. Xung lượng
Theo nguyên lý tương ứng thì xung lượng của các hạt vi mô là một toán tử:
̅ ̂̂
( i




 j  k )
x
y
z

Toán tử xung lượng: Đối với hạt vi mô có xung lượng ̂ và năng lượng E
chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng:
ψ=


( i

Et pr
)
ħ

Ta xét toán tử ̂ .
Hàm sóng ψ viết ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó

có giá trị

xác định, vì thế hàm ấy phải là hàm riêng của toán tử ̂, nghĩa là:
̅̂ψ=

ψ.

Muốn thế thì phải chọn:
̅̂iħ
Thực vậy


x

(1.2.1)


*

(


̅⃗

)+


i
( p )

=
( i

Et  pr
)
ħ

x

ħ

đó là điều cần chứng minh
Cũng tương tự như vậy ta có thể chứng minh rằng:
̅̂
̅̂
Tóm lại.


 j 
)
(1.2.2)

x
y
z

̅⃗̂ =
k

( i



1.3. Mômen xung lượng
Trong cơ học lượng tử, cũng như trong cơ học cổ điển mômen xung lượng L
được định nghĩa như sau:
̂ ̂⃗
̅⃗̂
(1.3.1)
Trong đó là vectơ tia nối từ gốc tọa độ đến vị trí của hạt (coi là một điểm).
Đó là một toán tử vectơ có ba thành phần:
̅̂

̅̂ ̂

̅̂ ̂

{̂
̅̂

̅̂ ̂


̅̂ ̂

̅̂ ̂

̅̂ ̂

Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ
mômen xung lượng lên các trục x,y,z. Nếu chọn
̅̂
̅̂
̅̂

(1.3.2)


̅ ̂i ħ
̅ ̂i ħ
̅ ̂i ħ


x

y

z

Thì các hình chiếu của toán tử mômen xung lượng trong tọa độ Đêcac có
biểu thức như sau:



̅̂iħ ( y



z
)
z
y

̅̂iħ ( z



x )
x
z



̅̂iħ ( x
{

y

(1.3.3)


)
y
x


Người ta còn định nghĩa toán tử bình phương mômen xung lượng:
̅̂(1.3.4)
Các thành phần của toán tử mômen xung lượng tuân theo những hệ thức
giao hoán quan trọng sau đây:
[̂ ̂ ]
[ ̂ ̂]

̂
̂

[̂ ̂ ]

(1.3.5)
̂

Đồng thời:
[ ̂ ̂]
[ ̂ ̂]
(1.3.6)

[ ̂ ̂]

Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo được một cách chính xác đồng
thời hình chiếu của mômen xung lượng lên hai trong ba trục tọa độ vuông
góc. Nếu đã đo được chính xác

chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo



được chính xác

hoặc

. Có thể đo được chính xác đồng thời bình

phương của mômen xung lượng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì.
Đôi khi để cho thuận tiện, người ta đưa vào các toán tử sau đây:
̅̂ + ̂ ; ̂

̂

̂

(1.3.7)

Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán:
[̂ ̂]

̂

[ ̂ ̂]

̂

[ ̂ ̂]
̂

Và


(1.3.8)
̂

̂

̂̂

̂
̂+ ̂

̅̂ ̂

(1.3.9) Nếu

viết biểu thức của các toán tử mômen xung lượng trong tọa độ cầu
thì ta có:
̅ ̂(
)




 


L y  iħ  cos φ  cotgθsin φ
θ


φ


(1.3.10)

̅̂
Còn đối với ̂ thì
̅ ̂[ 1 



2

1 
]
 sinθ  (1.3.11)
2
2
sinθ θ
θ sin θ φ

Hay, có thể viết:
̅̂(1.3.12)
1.4. Năng lượng
Trong cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần được biểu diễn qua tọa độ x và
xung lượng p theo biểu thức sau đây:


H

p2
 V  x, y,z 

2m

Trong đó m là khối lượng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng,

(1.4.1)


Theo nguyên lý tương ứng thì toán tử năng lượng toàn phần (hay toán tử
Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tương tự biểu thức (1.4.1), trong đó
các đại lượng động lực được thay thế bằng các toán tử tương ứng:
2

p
Hˆ 
 V  xˆ , yˆ , zˆ  ,
(1.4.2)
2m

Trong đó

̅̂
=(

iħ


) +(
x

2



( 2
x

=
=
̂

Và

̅̂
̅̂
Vậy: ̂ =

ħ

(1.4.3)
2m

2

iħ )

y
2



 2  2 )

y z

(

iħ
z



)


Kết luận chương 1
Ở trong chương 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ,
Xung lượng, Mômen xung lượng, Năng lượng.
Trong cơ học lượng tử, thì các đại lượng động lực này đã có biểu thức
có dạng giống như trong cơ học cổ điển nhưng viết đối với các toán tử. Các
đại lượng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên không
thể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái. Sai số của phép đo các đại
lượng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg.


CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
2.1. Biểu diễn tọa độ
Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt. Ta gọi ψ(x)
là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn. Cho một toán tử
biểu diễn một biến số động lực. Các hàm riêng của toán tử ̂ được kí hiệu là
(x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ. Nói cách khác ta có thể biểu
diễn ψ(x) dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng
ψ(x)=∑


(x):

(x)

(2.1.1) tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n. Nếu biết
tất cả các hệ số

thì ta có thể xây dựng được tổng ở (2.1.1), tức là biết được

biểu thức ψ(x). Tập hợp các hệ số

hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để

mô tả trạng thái của hạt, người ta nói rằng: tập hợp các hệ số

là hàm sóng

của hạt trong L-biểu diễn. Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật
lý nào, được gọi là việc chọn biểu diễn.
Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lượng tử bởi chỉ số a. Hàm sóng phụ
thuộc vào tọa độ và kí hiệu là

(chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọa

độ).
Bình phương mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằng
mật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định.
Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là:
|

|
Và do đó:
∫
Nghĩa là:

̂

∫|

|

∫

̂

Như vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa
độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân.


Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thường:
̅̂
2.2. Biểu diễn xung lượng
Biểu diễn xung lượng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử
xung lượng có giá trị liên tục. Hàm riêng của toán tử xung lượng, ứng với trị
riêng p, trong biểu diễn tọa độ là: