PHẦN XÁC SUẤT
Bài tập chương I.
Định nghĩa xác suất cổ điển
1.1 Ba xạ thủ, mỗi người bắn một phát. Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn
trúng. Hãy biểu diển Ai qua các biến cố sau:
a. A : chỉ có người thứ nhất bắn trúng.
b. B : người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật.
c. C : có ít nhất một người bắn trúng. d. D: cả 3 người đều bắn trúng.
e. E: có ít nhất hai người bắn trúng. f. F: chỉ có hai người bắn trúng.
g. G : không có ai bắn trúng
h. H : không có hơn 2 người bắn trúng.
i. I: người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng
bắn trúng.
j. K : người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng.
1.2.Một túi đựng 12 quả cầu, trong đó có 7 quả màu xanh, 5 quả vàng.
Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ túi ra 4 quả cầu.
a) Tính xác suất để có 2 quả cầu xanh trong 4 quả cầu lấy ra từ túi.
b) Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu xanh.
ĐS.a) C72C52 / C124
b) 1 − C54 / C124
1.3.Một người gọi điện thoại quên mất hai chữ số cuối của số điện thoại
cần gọi và chỉ nhớ là hai chữ số đó khác nhau và chữ số cuối cùng là 1,
4, hoặc 5 gì đó.
Tìm xác suất để xãy ra biến cố A: quay ngẫu nhiên một lần thì trúng
ngay số điện thoại đó.
ĐS. 1/27.
1.4.Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 3 phế phẩm).Lấy ngẫu nhiên
(không hoàn lại) từ hộp ra 5 sản phẩm.Tính xác suất để có không quá 1 phế
phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra.
5
ĐS. (C75 + C74C31 ) / C10

1.5.Một kiện hàng có 12 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 4 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ kiện hàng. Tìm xác suất để trong 3 sản
phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm.
3
ĐS.P(A) = 1 − P( A )= 1 − C43 / C12
.
1.6 Gieo đồng thời hai con xúc xắc được chế tạo cân đối, đồng chất. Tìm
xác suất để:
a. Tổng số nốt là 7.
b. Tổng số nốt là 8.
ĐS.a)1/6
b)5/36
97

Nguyeãn Ñình AÙi

1.7 Trên giá sách có 50 cuốn sách, trong đó có 3 cuốn sách của cùng một
tác giả. Tìm xác suất để 3 cuốn đó không đứng cạnh nhau.
1.8 Một dãy ghế trong hội trường rạp chiếu phim có 20 chổ ngồi, xếp 20
người vào ngồi một cách ngẫu nhiên, trong đó có Lan và Tuấn. Tính xác
suất để:
a. Lan được ngồi ở một trong hai đầu dãy ghế.
b. Lan và Tuấn được ngồi gần nhau.
ĐS. a) 1/10
b)1/10
1.9 Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn ( trong đó
có 4 nữ và 2 nam ). Giả sử khả năng trúng tuyển của 6 người là như
nhau. Tính xác suất để:
a. cả 2 người trúng tuyển đều là nam.
b. cả 2 người trúng tuyển đều là nữ.

c. có ít nhất một nữ trúng tuyển.
ĐS. a)1/15
b) C42 / C62
c)1−1/15 = …
1.10 Trong một lớp có 25 sinh viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ. Chọn
ngẫu nhiên một nhóm gồm 8 sinh viên để đi chiến dịch sinh viên tình
nguyện. Tính xác suất để:
a. Có 4 nam trong số 8 sinh viên được chọn?
b. Có nhiều nhất 3 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
c. Không có sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
d. Có ít nhất 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?
8
8
8
ĐS.a) C104 C154 / C25
b)1− P(A) = … c)P(C)= C15
c)P(D)=1−P(C)
/ C25
1.11 Trong 30 đề thi, trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm xác
suất để:
a. Một học sinh bốc 1 đề, gặp đề trung bình.
b. Một học sinh bốc 2 đề, gặp ít nhất một đề trung bình.
2
ĐS.a)20/30 = …
b) 1 − C102 / C30
1.12 Một công ty có 60 nhân viên, trong đó có 20 nam và 40 nữ. Tỷ lệ
nhân viên nữ có thể nói tiếng Anh lưu loát là 15% và tỷ lệ này đối với
nam là 20%
a. Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Tìm xác suất để gặp được
nhân viên nói tiếng Anh lưu loát?

b. Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của công ty. Tìm xác suất để có ít nhất
một người nói tiếng Anh lưu loát trong số 2 người gặp?
HD&ĐS. Số nhân viên giỏi tiếng Anh là 10 và kém là 50
2
2
a)10/60 = 1/6
b) 1 − C50
/ C60
Công thức cộng và công thức nhân xác suất
Nguyeãn Ñình AÙi

98


1.13.Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh gan là 9%, bệnh sốt rét
là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng.
Tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2 bệnh. Giả sử vùng
dân cư khoảng 100.000 người. Số người không mắc bệnh nào trong 2 bệnh
khoảng chừng bao nhiêu ?
ĐS. 0,86;
86000 (người)
1.14.Biết trong lớp 100 học sinh có 15 em giỏi môn toán và 20 em giỏi
Ngoại ngữ, trong đó có 5 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ. Quy định giỏi
ít nhất một môn thì được thưởng. Chọn ngẫu nhiên một em trong lớp.
Tính xác suất để em đó được thưởng.Suy ra tỉ lệ học sinh được thưởng
của lớp.
ĐS.30/100=… ;
30%
1.15 Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng nổ súng vào một mục tiêu.
Xác suất bắn trúng của xạ thủ A, B, C tương ứng là 0,4; 0,5 và 0,6. Tính

xác suất để:
a. Chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.
b. Ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
HD. Gọi các biến cố xạ thủ A, B, C bắn trúng lần lượt là A1, B1, C2.
E : biến cố có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.
F : biến cố có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.
a) E = A1 B1 C1 ∪ A1B1 C1 ∪ A1 B1C1 …
b) F = A1 B1 C1 ,…
1.16.Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất các máy 1, 2, 3 bị hỏng trong
ngày tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,15. Tính các xác suất của các biến cố sau
a)A: có một máy bị hỏng trong ngày.
b)B: có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày.
HD. Gọi các biến cố máy 1, máy 2, máy 3 hỏng lần lượt là A1, A2, A3.
a)A = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 b) B = A1 A2 A3
1.17.Một bộ đề thi vấn đáp gồm 10 đề, trong đó có 4 đề về câu hỏi lý thuyết
và 6 đề bài tập tính toán. Có 4 sinh viên lần lượt vào thi, mỗi sinh viên chỉ
lấy một đề và không hoàn lại. Tìm xác suất để xãy ra biến cố A : sinh viên
vào lần 1 gặp đề bài tập và 2 sinh viên kế tiếp gặp đề lý thuyết và sinh viên
thứ tư gặp đề bài tập.
6 4 3 5
ĐS. . . .
10 9 8 7
1.18 Có hai túi đựng các quả cầu. Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7 quả
đỏ và 15 quả xanh. Túi thứ hai đựng 10 quả trắng, 6 quả đỏ và 9 quả
xanh. Từ mỗi túi chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để 2 quả
cầu được chọn đều có cùng màu.

99

Nguyeãn Ñình AÙi


HD.Gọi các biến cố lấy được ở túi i quả cầu là trắng, đỏ , xanh lần lượt
là Ti , Đi , Xi , i = 1, 2. Khi đó A = T1T2 ∪Đ1Đ2 ∪X1X2
1.19 Chị Lan có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài rất giống
nhau nhưng trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa tủ. Chị Lan thử ngẫu
nhiên từng chìa ( chìa nào không đúng thì bỏ ra). Tìm xác suất để chị
Lan mở được cửa ở lần thử thứ 3.
7 6 2
ĐS. . .
9 8 7
1.20 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem phim. Họ làm 3 lá thăm,
trong đó có 2 thăm có đánh dấu. Mỗi người lần lượt rút một thăm. Nếu ai
rút được thăm có đánh dấu thì được vé đi xem phim. Hãy chứng minh sự
công bằng của cách làm này.
HD.Goi các biến cố sinh viên thứ i lấy được thăm có dấu là A1, A2, A3.
A2 = A1 A2 ∪ A1 A2 ,… , A3 = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3
Công thức Bernoulli
1.21.Cho một lô hạt giống với tỉ lệ hạt nảy mầm là 90 %.
a)Nếu 10 hạt thì xác suất để có 3 hạt nảy mầm là bao nhiêu?
b)Lấy một mẫu để kiểm tra. Để xác suất mẫu có ít nhất một hạt lép không
bé hơn 0,9, cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu hạt?
HD.a)Coi việc kiểm tra 10 hạt là 10 phép thử Bernoulli với xác suất nảy
3 3 7
mầm trong mỗi phép thử là p = 0,9. ⇒ P(A) = C10
p q =…
b)Giả sử mẫu kiểm tra có n hạt.
Coi việc kiểm tra n hạt là n phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm trong
mỗi phép thử là p = 0,9.
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 hạt nảy mầm ⇒ B là biến cố không có hạt nảy
mầm. ⇒ P(B) = … = 1 − 0,9n .

Yêu cầu: P(B) ≥ 0,9 ⇔ …⇔ 0,9n ≤ 0,1 ⇔ n.lg 0,9 ≤ lg 0,1
⇔ n≥−1/lg 0,9 = 21,8543.KL. Mẫu phải có số hạt n1 ≥ 22
1.22 Có 3 lô hàng với số lượng sản phẩm rất lớn. Tỷ lệ sản phẩm loại I
của lô hàng 1, 2, 3 lần lượt là: 70%, 80% và 90%. Lấy từ mỗi lô ra 10
sản phẩm để kiểm tra (không hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra
kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô hàng đó.
a. Tìm xác suất để lô hàng 1 được mua?
b. Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?
c.Nếu chỉ có một lô hàng được mua. Tìm xác suất để đó là lô hàng 1?

Nguyeãn Ñình AÙi

100


HD&ĐS. Các lô hàng có số lượng sản phẩm rất lớn. Do đó trong quá
trình lấy các sản phẩm trên, tỉ lệ sản phẩm loại I của các lô hàng coi như
không đổi.
⇒Coi việc kiểm tra 10 sản phẩm là 10 phép thử Bernoulli với xác suất
được sản phẩm loại I trong mỗi phép thử là
+ p=0,7 đối với lô 1 + p=0,8 đối với lô 2
+ p=0,9 đối với lô 3
a)Gọi A1, A2, A3 là các biến cố lô hàng 1, 2, 3 được mua.
8
9
P(A1) = C10
.0, 78.0,32 + C10
.0, 79.0,3 + 0, 710 = 0,3828
8
9

.0,88.0, 22 + C10
.0,89.0, 2 + 0, 710 = 0,6778
b)Tương tự P(A2) = C10
8
9
P(A3) = C10
.0,98.0,12 + C10
.0,99.0,1 + 0,910 = 0.9298

(

)

P(B)=1− P A1 A 2 A3 =…
c)Gọi C là biến cố chỉ có một lô hàng được mua.
C = A1 A 2 A3 ∪ A1A 2 A3 ∪ A1 A 2 A3 …
P(A1/C)=

P(A1C) P(A1 A 2 A3 )
…
=
P(C)
P(C)

1.23 Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất để mỗi máy sản xuất ra sản
phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7. Trong một giờ
mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm. Tìm xác suất để trong một giờ cả 3
máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỷ thuật?.
HD.Coi việc kiểm tra 5 sản phẩm là 5 phép thử Bernoulli với xác suất
đạt tiêu chuẩn trong mỗi phép thử là

+p=0,9 đối với máy 1 +p=0,8 đối với máy 2 +p=0,7 đối với máy 3
Gọi biến cố trong 1 giờ, máy 1, máy 2, máy 3 sản xuất được k sp tốt lần
lượt là Ak, Bk, Ck. Gọi D là biến cố cần tìm xác suất. Ta có
D = A5.B5.C5 ∪ A4B5C5 ∪A5B4C5 ∪A5B5C4…
P(D) = 0.161
Công thức xác suất đầy đủ và xác suất điều kiện.
1.25 Trong hồ có 10 con cá cảnh (trong đó có 3 cá có đuôi màu đỏ và 7
cá có đuôi màu xanh). Bắt ngẫu nhiên từ hồ ra một con cá. Nếu bắt ra cá
có đuôi màu đỏ thì bỏ vào hồ một con cá có đuôi màu xanh. Nếu bắt ra
cá có đuôi màu xanh thì bỏ vào một cá có đuôi màu đỏ. Sau đó từ hồ bắt
tiếp ra một con cá.
a. Tính xác suất để cá được bắt lần sau có đuôi màu đỏ?
b. Nếu hai con cá được bắt ra (lần 1 và lần 2) có đuôi cùng màu. Tính
xác suất để hai con cá này có đuôi cùng màu xanh?.
101

Nguyeãn Ñình AÙi

HD&ĐS.Gọi biến cố cá bắt lần đầu đuôi đỏ là A1.
Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.
a)P(A)=…0,34 b)B= A1A ∪ A1 A , P( A1 A /B) = …=7/8
1.26 Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm.
Phân xưởng 1 sản xuất 25%; phân xưởng 2 sản xuất 25% và phân xưởng
3 sản xuất 50% sản phẩm của toàn nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của các
phân xưởng 1, 2 và 3 lần lượt là: 1%, 5% và 10%. Lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm từ lô hàng do nhà máy sản xuất.
a. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế của xác suất
này?
b. Nếu lấy được một phế phẩm, khả năng cao nhất sản phẩm đó do phân
xưởng nào sản xuất?

c. Nếu lấy được một chính phẩm, khả năng cao nhất sản phẩm đó do
phân xưởng nào sản xuất?
HD.a) Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy được do phân xưỡng i sản xuất, i=
1, 2, 3. Gọi B : biến cố sản phẩm đó là phế phẩm.
a)P(B) = 0,065, …b)do phân xưỡng 3
c)Do phân xưỡng 3
1.27.Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 3%. Biết tỉ lệ
người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60% và tỉ lệ người
viêm họng trong số người không nghiện lá thuốc là 20%. Chọn ngẫu
nhiên một người trong vùng.
a)Tìm xác suất để người đó viêm họng. Suy ra tỉ lệ người viêm họng
trong vùng.
b)Giả sử người đó viêm họng. Tìm xác suất để người đó nghiện thuốc
c)Giả sử người đó không viêm họng. Tìm xác suất để người đó nghiện
thuốc lá.
HD.Gọi A1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá.
Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.
a)P(A) =…=0, b) P(A1/A) =…=0,0849
c)P(A1/ A )=0,0152
1.28 Có hai hộp sản phẩm, biết rằng:
Hộp thứ 1: có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Hộp thứ 2 : có 5 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ở hộp thứ 1 bỏ vào hộp thứ 2 rồi sau đó từ
hộp thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm thì được chính phẩm.
Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp từ hộp thứ 2 là sản phẩm của
hộp thứ nhất bỏ vào.
HD.Gọi A1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá.
Hệ biến cố A1, A1 là đầy đủ và xung khắc.
Nguyeãn Ñình AÙi


102


Gọi B : biến cố sản phẩm lấy lần 2 là phế phẩm. P(B) = …= 57/90
C : biến cố sản phẩm lấy từ hộp 2 là do từ hộp 1 bỏ vào.
P( C ) = …= 7/57

BÀI TẬP BỔ SUNG
1.Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất bị hỏng
trong thời gian một năm làm việc của các máy 1, 2, 3 theo thứ tự là 0,2;
0, 3; 0,4. Biết rằng cuối năm có hai máy bị hỏng.
Tìm xác suất để hai máy bị hỏng là máy 1 và máy 2.
HD.Gọi các biến cố máy 1, 2, 3 bị hỏng trong năm lần lượt là A1, A2, A3
2.Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán hàng ở một công ty nọ. Xác
suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì
xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu lần trước không bán
được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,4.
a)Tìm xác suất để cả ba lần đều bán được hàng.
b)Tìm xác suất để có đúng hai lần bán được hàng.
ĐS.a)0,648;
b)0,176
3.Tại một siêu thị, hệ thống tự động phun nước tự động được lắp liên kết
với một hệ thống báo động hỏa hoạn. Khả năng hệ thống phun nước bị
hỏng là 0,1. Khả năng hệ thống báo động bị hỏng là 0,2. Khả năng để hai
hệ thống cùng hỏng là 0,04. Tìm xác suất để
a)Có ít nhất một hệ thống hoạt động bình thường.
b)cả hai hệ thống đều hoạt động bình thường.
ĐS.a)0,96;
b)0,74.
4.Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B như nhau.Lấy

ngẫu nhiên 1 chai rượu và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác
định đây là loại rượu nào.Khả năng đoán đúng của mỗi người là 80%.Có
3 người kết luận chai rượu là loại A và 1 người kết luận chai rượu là loại
B. Tìm khả năng chai rượu đó là loại A.
ĐS.0,9412
5.Trong một cửa hàng bán giày lớn, tỉ lệ đôi giày có 0 , có 1 hoặc có 2
chiếc bị hỏng lần lượt là 80%, 8% hoặc 2%. Lấy ngẫu nhiên một đôi giày
và lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thì biết nó bị hỏng.
Tìm xác suất để chiếc kia cũng hỏng.
ĐS.1/3
6.Hai cửa hàng I và II cung cấp đĩa mềm cho một trung tâm tin học với tỉ
lệ 3 / 2. Tỉ lệ đĩa bị hỏng của cửa hàng I và II lân lượt là 1% và 2%. Một
103

Nguyeãn Ñình AÙi

sinh viên thực tập ở trung tâm chọn ngẫu nhiên một hộp gồm 20 đĩa và
từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 đĩa.
a)Tìm xác suất để đĩa đó bị lỗi.
b)Biết đĩa bị lỗi.Tính xác suất để đĩa đó của cửa hàng I.
7.Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 1% và của máy II là 2%. Một lô sản phẩm
gồm 40% sản phẩm của máy I và 60% sản phẩm của máy II .Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra.
a)Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm đó.
b)Giả sử 2 sản phẩm kiểm tra đều là tốt. Khả năng lấy tiếp được 2 sản
phẩm tốt nữa là bao nhiêu?
8.Ba anh công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất để người
thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm là 0,9, con người thứ hai là
0,8.Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm.
Cho người đó làm tiếp 8 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm

mới lại có 6 chính phẩm.
ĐS. ≈ 0,23
9.Một nhà máy có hai dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm năng
suất như nhau với tỉ lệ phế phẩm lần lượt 1% và 2%. Một người mua 2
sản phẩm của nhà máy. Tìm xác suất để có đúng 1 phế phẩm.
10.Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta lắp đặt một thiết bị kiểm
tra tự động. Thiết bị này vẩn còn sai sót. Tỉ lệ kết luận sai khi gặp chính
phẩm là 4%, còn khi gặp phế phẩm là 1%.
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị đó kết luận sai.
b)Tìm tỉ lệ sản phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm bị kết luận sai.
Tìm tỉ lệ sản phẩm là chính phẩm trong số các sản phẩm kết luận sai.
ĐS.a)3,85%
b)1,3%; 98,7%.
11.Một công nhân đi về nhà theo hai cách: đi đường ngầm hoặc qua cầu.
Biết rằng anh ta đi đường ngầm trong 1/3 trường hợp về nhà.
Nếu đi lối ngầm thì 75% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ.
Nếu đi qua cầu thì có 70% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ.
Biết anh ta về nhà sau 6 giờ. Tìm xác suất để anh ta có qua cầu lúc về.

Nguyeãn Ñình AÙi

104


PHẦN XÁC SUẤT

Bài tập chương II.

2.1 Một dây chuyền gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất
trong thời gian 1 tuần các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3.

Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian 1 tuần
a. Lập bảng phân phối xác suất của ĐLNN X
b. Tìm hàm phân phối xác suất và vẽ đồ thị của nó.
c. Tính xác suất trong 1 tuần có không quá 2 bộ phận bị hỏng.
d. Tính E(X), D(X), giá trị tin chắc nhất của X
HD.
X
0
1
2
3
P
0,336
0,452
0,188
0,024
c) P(X ≤ 2) = 0,976; d)E(X) = 0,9; D(X)= 0,61; Mod(X) = 1
2.2 Có hai lô sản phẩm.
Lô 1: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm
Lô 2: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm
Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô
thứ hai lấy ra 2 sản phẩm
Tìm qui luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
HD.
X
0
1
2
P
190/2970

1303/2970
1477/2970
2.3 Có hai kiện hàng, mỗi kiện có 5 sản phẩm.
Kiện thứ nhất: Có 2 sản phẩm loại A
Kiện thứ hai : Có 3 sản phẩm loại A
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện một bỏ vào kiện hai, sau đó từ kiện
hai lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào kiện một. Lập bảng phân phối xác
suất của số sản phẩm loại A trong kiện một?
HD.
X
1
2
3
4
P
2/75
25/75
39/75
9/75
2.4 Có hai hộp đựng bi:
Hộp thứ nhất: có 2 bi xanh và 4 bi vàng
Hộp thứ hai : có 4 bi xanh
Rút ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó từ hộp
thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ vào hộp thứ nhất. Gọi X 1 , X 2 lần lượt là
số bi xanh có ở hộp thứ nhất, thứ hai sau khi thực hiện phép thử. Tìm qui
luật phân phối xác suất của X 1 , X 2 .
ĐS.
X1
1
2

3
X2
3
4
5
P
11/90 55/90 24/90
P
24/90 55/90 11/90
105
Nguyeãn Ñình AÙi

2.5 Có 3 kiện hàng.
Kiện thứ nhất: Có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B
Kiện thứ hai : Có 5 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
Kiện thứ ba : Có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B.
a. Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm loại A. Lấy tiếp từ kiện đã
chọn ra 2 sản phẩm. Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản phẩm
loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra lần sau?.
b. Chọn ngẫu nhiên 2 kiện rồi từ 2 kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại mỗi kiện 1 sản phẩm.Tìm qui luật phân phối xác suất của số sản
phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra?
ĐS.
X1
0
1
2
P
149/1092 493/1092 450/1092

X2
0
1
2
P
59/300
162/300
79/300
2.6 Lãi suất thu được trong một năm (tính theo %) khi đầu tư vào công ty
A, công ty B tương ứng là các ĐLNN X và Y (X và Y độc lập).
Cho biết qui luật phân phối xác suất của X và Y như sau:
X
4
6
8
10
12
P
0,05
0,1
0,3
0,4
0,15
Y
-4
2
8
10
12
16

P
0,1
0,2
0,2
0,25
0,15
0,1
a. Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?
b. Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao?
ĐS.a)E(X)=9; E(Y)=7,5 ⇒ … b) D(X)= 4,2; D(Y)=31,15 ⇒…
2.7 Số tiền lời trong năm tới (tính theo đơn vị: triệu đồng) thu được khi
đầu tư 100 triệu đồng vào hai nghành A và B tùy thuộc vào tình hình
kinh tế trong nước và cho ở bảng sau:
Tình hình Kém phát triển ổn định
Phát triển
kinh tế
Số tiền lời
Ngành A
10
40
80
Ngành B
-30
70
110
Dự báo xác suất
0,25
0,45
tình hình kinh tế
a. Số tiền lời kỳ vọng ngành nào là cao hơn?

b. Mức độ rủi ro ngành nào là ít hơn?
Nguyeãn Ñình AÙi

0,3

106


ĐS.Gọi X(triệu đồng), Y(triệu đồng) lần lượt là tiền lời khi đầu tư 100
triệu tương ứng vào ngành A, nghành B.
Lập các bảng phân phối xác suất của X , của Y và suy ra
a)E(X) = 44,5; E(Y) = 57 ⇒ … b)D(X)=684,75; D(Y) = 2811 ⇒ …
2.8 X (ngàn sản phẩm) là nhu cầu hàng năm về một loại hàng A là một
ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất
k ( 30 − x ) , x ∈ ( 0, 30 )
f ( x) = 
, x ∉ ( 0, 30 )
0
a. Tìm k
b. Tìm nhu cầu trung bình hàng năm của loại hàng A.
c. Tìm xác suất để nhu cầu về mặt hàng A không vượt quá 12000 sản
phẩm trong năm?
ĐS.a)k= 1/450
b)E(X)=…
c)P(X ≤ 12) = …
2.10 ĐLNN X liên tục và có hàm mật độ xác suất như sau:
 sin x
, x ∈ ( 0,  )

f ( x) =  2

0 , x ∉ ( 0,  )


a. Tìm hàm phân phối xác suất F ( x )
b.Tìm P  0 < X < 
4

c.Tìm E ( X ) , var ( X ) .

0
, khi x ∈ (−∞, 0]

HD.a)Hàm phân phối của X là F(x) = (1 − cos x) / 2, khi x ∈ [0, π]
1
, khi x ∈ [π, +∞)

b)P(0 < X < π/4) = F(π/4) − F(0) = … c)E(X) = …= π/2; …
2.11 Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn là
như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn
trúng mục tiêu.Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy.
HD. Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu. …⇒ X ~ B(5; 0,2)
P(X ≥ 3) = … = 0,0579
2.12 Trong cuộc thi nâng cao tay nghề mỗi công nhân chọn ngẫu nhiên
1 trong 2 máy. Với máy đã chọn sản xuất ra 6 sản phẩm. Nếu số sản
phẩm hỏng nhiều nhất là 2 thì đạt yêu cầu. Giả sử với công nhân Đậu,
xác suất sản xuất sản phẩm hỏng khi dùng máy M 1 là 0,2 và khi dùng
máy M 2 là 0,4. Tìm xác suất để anh công nhân Đậu thi đạt yêu cầu.
HD.Coi việc kiểm tra 6 sản phẩm là 6 phép thử Bernoulli với xác suất bị
hỏng là + p=0,2 khi dùng máy 1
+p=0,4 khi dùng máy 2.

Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 6 sản phẩm.
+X~B(6; 0,2) khi dùng máy 1
+X~B(6; 0,4) khi dùng máy 2.
107

Nguyeãn Ñình AÙi

Gọi Ai : bc anh Đậu chọn máy Mi , i=1, 2. Hệ bc A1, A2 đầy đủ&x/ khắc
P(X ≤ 2) = …= (1/2).0,9011+(1/2).0.5443 = 0,7227
2.13 Chị A nuôi 160 con vịt đẻ cùng loại. Xác suất để 1 con vịt đẻ trứng
trong ngày là 0,8.
a. Tìm xác suất để chị A có được ít nhất 130 trứng trong ngày?
b. Nếu mỗi quả trứng bán được 900 đồng, tiền cho vịt ăn trong ngày là
300 đồng. Tính số tiền lãi trung bình chị A thu được trong ngày là bao
nhiêu?.
HD. Gọi X(trứng) là số trứng vịt đẻ trong ngày. … X ~ B(160; 0,8)
a)Trong tính toán coi X có phân phối chuẩn với µ=E(X)=np = 128 và
σ2=D(X)=npq= 25,6 , σ = 5,0596, ta có
 130 − 128 
P(X ≥ 130) = ϕ(+∞ ) − ϕ 
 = …= 0,4217
 0, 0596 
b)Tiền lãi mỗi ngày: U = 900X − 160×300 ⇒… E(U) =... 67200 (đồng)
2.14 Một lô hàng có 10000 sản phẩm ( trong đó có 4000 sản phẩm loại
A). Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng đó ra 10 sản phẩm để kiểm
tra. Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy
ra kiểm tra.
ĐS. 0,9536
2.17 Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 4 cuộc gọi trong 1
phút, biết rằng các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên và độc

lập với nhau. Tìm xác suất để:
a. Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây
b. Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 30 giây.
c)Có nhiều nhất 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 30 giây.
ĐS. a)0,1353
b)0,8647
c)0,8571
2.18 Lãi suất X (%) đầu tư vào một dự án được xem như một ĐLNN
phân phối theo qui luật chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi
suất cao hơn 20% có xác suất là 0,1587 và lãi suất cao hơn 25% có xác
suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu?.
HD.+Tìm µ , σ. + Tính P( X ≥ 0) = …
2.19 Một đại lý Điện thoại di động dự định sẽ áp dụng một trong 2
phương án kinh doanh:
X1, X2 (triệu đồng/ tháng) là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án
thứ nhất,phương án thứ hai.
Giả sử X1 ~N(140; 2500) và X2 ~N(200; 3600). Nếu biết rằng để đại lý
tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh điện thoại phải
đạt ít nhất 80 (triệu/ tháng). Theo bạn công ty nên áp dụng phương án
nào để kinh doanh điện thọai di động? vì sao?
HD. P(X1 ≥ 80) = …= 0,8849; P(X2 ≥ 80) = … = 0,9772 ⇒ …
Nguyeãn Ñình AÙi

108


BÀI TẬP BỔ SUNG
1.Biết thời gian X (giây) phải chờ trước trụ giao thông khi gặp đèn đỏ là
ĐLNN phân phối đều trên (0, 20). Thời gian trung bình chờ trước trụ
giao thông mỗi khi gặp đèn đỏ khoảng bao nhiêu giây?

Mỗi ngày, một người đi xe đến chổ làm phải qua 4 ngã tư với xác suất
gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,5 ; 0,3 ; 0,6 và 0,4. Tìm thời gian
trung bình dừng xe chờ các đèn đỏ mỗi khi người đó đi làm.
ĐS.18 (giây)
2.Theo thông kê, tỉ lệ để một người độ tuổi 40 sống thêm ít nhất 1 năm
nữa là 99,5%. Một công ty nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho mỗi người
độ tuổi đó với giá 10(ngàn đồng) và trường hợp người mua bảo hiểm
chết sẽ có số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Tìm lợi nhuận trung bình
của công ty bảo hiểm khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này. ĐS.5(ngàn)
3.Trong một tuyến bay người ta thống kê được 0,5% hành khách bị mất
hành lý và trung bình số tiền bồi thường cho mỗi khách mất hành lý là
600(ngàn đồng). Công ty hàng không muốn tăng giá vé để bù cho số tiền
bồi thường do khách mất hành lý. Giá vé phải tăng thêm là bao nhiêu?
ĐS.3(ngàn)
4.Xác suất để máy hỏng trong một ngày làm việc là 1%. Mỗi lần máy
hỏng, chi phí sữa chữa hết 1(triệu đồng). Vậy có nên ký hợp đồng bảo
dưỡng 100(ngàn đồng/ tháng ) để giảm xác suất hỏng của máy đi một
nữa không và nếu ký thì hiệu quả TB mang lại mỗi năm là bao nhiêu?
ĐS.825(ngàn)
5.Thời gian bảo hành mỗi sản phẩm được qui định là 3 năm. Nếu bán
được một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150(ngàn ). Còn nếu sản phẩm bị
hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi 500(ngàn) cho bảo
hành. Biết tuổi thọ X(năm) của mỗi sản phẩm là ĐLNN phân phối chuẩn
với tuổi thọ trung bình là 4,2 năm và độ lệch chuẩn là 1,8 năm.
a)Tìm tiền lãi trung bình cửa hàng thu được sau khi bán mỗi sản phẩm.
b)Nếu muốn số tiền lãi trung bình cho mỗi sản phẩm bán ra là 50(ngàn
đồng) thì phải qui định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
c)Nếu qui định thời gian bảo hành là 4 năm thì tỉ lệ sản phẩm phải bảo
hành là bao nhiêu?
d)Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định thời

gian bảo hành là bao nhiêu?
ĐS.a)24,3(ngàn)
b)2,688 năm

109

Nguyeãn Ñình AÙi

6.Độ dài chi tiết X (cm) do một máy sản suất là biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn với độ lệch là 9 (cm).Biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có
độ dài không vượt quá 84 (cm). Lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết. Tìm xác suất
có ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới 80(cm).
ĐS.0,6409
7.Một người cân nhắc giữa việc mua nhà bây giờ hay gửi tiết kiệm lãi
suất 12% một năm để chờ năm sau sẽ mua.
Biết mức tăng giá nhà sau một năm X(%) là ĐLNN phân phối chuẩn với
E(X) = 8(%) và σ(X) = 10(%). Giả sử người đó quyết định gửi tiền vào
tiết kiệm.Tìm khả năng để quyết định đó là sai lầm.
ĐS.0,3446
8.Thời gian hoạt động tốt ( không phải sữa chữa) X (giờ) của một loại
TV là một ĐLNN phân phối chuẩn N(µ , σ2) với µ = 4300 (giờ) và
σ=250 (giờ). Giả thiết mỗi ngày trung bình người ta dùng TV 10 (giờ) và
thời hạn bảo hành miễn phí là 360 ngày.
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành.
b)Phải nâng thời gian hoạt động tốt lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành vẩn
như cũ nhưng thời gian bảo hành lên đến 720 ngày.
ĐS.a)0,26%b)7900 (giờ)
9.Tuổi thọ X (giờ) của một trò chơi điện tử là một biến ngẫu nhiên có
hàm mật độ
 − x/100 , khi x ≥ 0

f(x) = k.e
, với k là hằng số.
, khi x<0
0
a)Tìm xác suất để tuổi thọ trò chơi trong khoảng từ 50 đến 100 giờ.
b)Tìm xác suất để tuổi thọ trò chơi ít hơn 80 giờ.
10.Một hãng quảng cáo tuyên bố trung bình cứ 5 bác sĩ thì có 2 bác sĩ chỉ
định cho bệnh nhân loại thuốc mà hãng đó quảng cáo.
a)Giả sử tuyên bố của hãng là đúng, tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 20
bác sĩ có đúng 1 bác sĩ chỉ định loại thuốc đó.
b)Đi kiểm tra ngẫu nhiên 20 bác sĩ ta thấy chỉ có 1 bác sĩ chỉ định loại
thuốc đó. Bạn sẽ kết luận thế nào về tuyên bố của hảng quảng cáo.
11.Một máy bay bay dọc theo cầu dài10m, rộng 4m và ném 2 quả bom.
Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox là trục đối xứng của cầu theo phương
ngang và Oy là trục đối xứng theo phương dọc. Biết rằng hoành độ và
tung độ của vị trí rơi của mỗi quả bom là các biến độc lập có phân phối
chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và các độ lệch chuẩn lần lượt là 4m
và 6m. Tìm xác suất để cầu bị trúng bom.
Nguyeãn Ñình AÙi

110


12.Một xí nghiệp cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ đến xí
nghiệp yêu cầu thanh toán cho 5 đợt giao hàng số lượng như nhau. Mỗi
giấy cho một đợt.Trong 5 giấy đó có 2 giấy ghi sai số tiền nợ.
Do đến hạn trả nợ cho ngân hàng, công ty yêu cầu xí nghiệp phải trả
ngay cho 3 giấy đòi nợ chọn ngẫu nhiên. Công ty đã thỏa thuận với xí
nghiệp như sau: trong 3 giấy đòi nợ đó nếu có giấy nào ghi sai số tiền thì
hoãn trả nợ cho đợt giao hàng đó. Mỗi giấy bị hoãn sẽ gây thiệt hại cho

công ty khoảng 5 triệu đồng vì phải trả nợ quá hạn cho ngân hàng.
Tìm số tiền thiệt hại trung bình công ty phải chịu do cách làm trên.
13. Tỉ lệ phế phẩm trong một lô sản phẩm do một công ty sản xuất là
0,4%. Lô sản phẩm sẽ được mua nếu kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm,
có không quá 2 phế phẩm. Tìm xác suất để lô hàng được mua.
14.Tổng đài điện thoại phục vụ 1000 máy điện thoại.Xác suất trong mỗi
phút , mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,002.
a)Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút.
b)Tìm xác suất để có 3, 4 máy gọi đến tổng đài trong một phút.
15.Gọi X(KWh) là lượng điện tiêu thụ mỗi tháng của mỗi hộ gia đình ở
miền Trung. Biết X có phân phối chuẩn với trung bình 100 (KWh) và độ
lệch chuẩn là 50 (KWh).
Giả sử trong 50 (KWh ) đầu tiên phải trả 1 (ngàn) cho mỗi (KWh)điện.
Những (KWh) điện tiêu thụ tiếp theo phải trả 2(ngàn) cho mỗi
(KWh)điện..
Gọi Y (ngàn) là số tiền điện phải trả mỗi tháng của mỗi hộ gia đình.
a)Tìm tỉ lệ hộ gia đình tiêu thụ dưới 80(KWh) trong 1 tháng.
b)Tìm tỉ lệ hộ gia đình trả tiền điện trong 1 tháng nhiều hơn 300(ngàn)
c)Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y.
16.Gọi X (mm) là chiều dài mỗi sản phẩm do một phân xưởng sản xuất.
X có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,5(mm). Sản phẩm gọi là đạt chất
lượng cao nếu chiều dài sản phẩm sai lệch chiều dài trung bình (chiều dài
qui định) không quá 0,1 (mm).
a)Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng cao của phân xưởng
b)Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm
đạt chất lượng cao.

111

Nguyeãn Ñình AÙi


PHẦN THỐNG KÊ

Bài tập chương III

*Một số suy diễn từ các thống kê X , F.
3. 1.Xét ĐLNN X trên một tổng thể. Cho E(X) = µ và D(X) = σ2.
Lập mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …,Xn) kích thước n của ĐLNN X.
. Cho X có phân phối chuẩn. CM: X có phân phối chuẩn N( µ, σ2/n) và
X −µ
ĐLNN K =
có phân phối chuẩn tắc.
σ/ n
3.2.Xét một tổng thể với tỉ lệ có tính chất A nào đó là p. Lấy mẫu ngẫu
nhiên n phần tử của tổng thể (với n đủ lớn, chẳng hạn np>5 và n(1−p)>5)
Biết tỉ lệ mẫu F là biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn
N(p, p(1−p)/n). Chứng minh
F−p
ĐLNN K =
có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc.
p (1 − p ) / n
3.3 Trọng lượng của một loại gia cầm trong đàn gia cầm là biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 2,5 kg mỗi con. Biết với xác
suất 0,9973 thì trọng lượng của loại gia cầm này nằm trong khoảng sai
lệch so với trọng lượng trung bình là 0,3 kg.
Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên từ đàn ra 25 con thì trọng lượng trung
bình của chúng nằm trong khoảng 2,4 kg đến 2,6 kg.
3.4 Trọng lượng gạo đóng bao xuất khẩu là ĐLNN phân phối chuẩn với
trung bình (trọng lượng qui định) là 50kg và độ lệch chuẩn cho phép
0,5kg. Nếu từ một lô gạo xuất khẩu đem cân ngẫu nhiên 16 bao thì với

xác suất 0,95 trọng lượng trung bình của chúng chỉ được phép sai lệch so
với trọng lượng qui định tối đa là bao nhiêu?
3.5 Kích thước chi tiết trong các lô chi tiết gia công là ĐLNN phân phối
chuẩn với độ lệch chuẩn cho phép là 0,1 cm. Đem kiểm tra ngẫu nhiên
10 chi tiết từ lô chi tiết mới gia công. Với xác suất 0,99, độ sai lệch tối đa
kích thước trung bình chúng so với kích thước qui định là bao nhiêu để
có thể chấp nhận được lô hàng đó.
3.6 Biết tỉ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ trong nướclà 25%. Lấy
một mẫu điều tra gồm 200 người của một thành phố lớn.
a)Tìm xác suất để có 28% người mua bảo hiểm nhân thọ trong.mẫu đó.
b)Với mẫu nói trên, với xác suất 0,1 thì tỉ lệ mẫu có thể lớn hơn tỉ lệ tổng
thể một lượng tối thiểu là bao nhiêu?
Nguyeãn Ñình AÙi

112


c)Với xác suất là 0,9, tìm tỉ lệ mẫu tối thiểu là bao nhiêu để có thể kết
luận thành phố đó có lượng người mua bảo hiểm nhân thọ ≥ 25%.
Lý thuyết mẫu và ước lượng
1.Đo chiều cao và đường kính của một
Chiều cao
Đường kính
loại cây có cùng độ tuổi. Ta được kết quả
(cm)
(cm)
cho ở bảng
104
11
99

13
105
15
103
14
102
12
Tính trung bình và phương sai mẫu của
106
12
chiều cao và đường kính.
HD. Gọi X (cm) và Y (cm) lần lượt là chiều cao và đường kính mỗi cây
cùng độ tuổi của loài cây đó.
ĐS. x = 103,1667 (cm); s X2 =6,1584; y =12,8333(cm); sY2 =2,1677
2.Quan sát về thời gian cần thiết để sản xuất một chi tiết máy, ta thu
được các số liệu cho ở bảng
Khoảng thời gian
Khoảng thời
Số quan sát
Số quan sát
(phút)
gian (phút)
20-25
2
40-45
14
25-30
14
45-50
8

30-35
26
50-55
4
35-40
32
Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy với độ tin
cậy 95%.
ĐS. x =36.6, s = 6.7187 , ( x −ε , x +ε) = (35.2831 ; 37.9167)
3. Điều tra năng suất của 100 hecta lúa ở một vùng, người ta thu được
kết quả cho ở bảng
Năng suất
Năng suất
Diện tích (ha)
Diện tích (ha)
(tạ/ha)
(tạ/ha)
30-35
7
50-55
20
35-40
12
55-60
8
40-45
18
60-65
5
45-50

27
65-70
3
Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu, độ lệch mẫu cụ thể?
Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%.
ĐS. x =47.5, s = 8.3182 , ( x −ε , x +ε) = (45.8696; 49.1304)
113

Nguyeãn Ñình AÙi

4. Để nghiên cứu nhu cầu của một loại hàng hóa ở một khu vực, người ta
tiến hành khảo sát 800 gia đình. Kết quả cho ở bảng dưới
Nhu cầu
Nhu cầu
Số gia đình
Số gia đình (ni)
(kg/tháng)
(kg/tháng)
(ni)
30-35
25
55-60
142
35-40
48
60-65
94
40-45
83
65-70

50
45-50
159
70-75
10
50-55
189
Tính giá trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu?
Ước lượng nhu cầu trung bình mỗi gia đình với độ tin cậy 95%.
Ước lượng tỉ lệ gia đình có nhu cầu hơn 60 (kg/tháng) với độ tin cậy
90%.
ĐS. x =52.1938; s = 8.7516 ; ( x −ε , x +ε) = (51.5873; 52.8003);
f = 0,1925 ; ε = 0,0229; ( f−ε, f +ε) = ( 0,1696; 0,2154)
5. Thống kê số hàng hóa bán được mỗi ngày và số ngày bán được lượng
hàng tương ứng, ta có bảng số liệu sau:
Lượng hàng
bán trong
ngày (kg)
100-200
200-250
250-300
300-350
350-400

số ngày (ni)
5
12
56
107
75


Lượng hàng
bán trong ngày
(kg)
400-450
450-500
500-550
550-600

số ngày (ni)
70
35
30
10

Tính trung bình mẫu và cho biết ý nghĩa thực tế của nó?
Ước lượng lượng hàng bán trung bình mỗi ngày với độ tin cậy 95%.
Ước lượng tỉ lệ ngày bán được nhiều hơn 500 (kg) với độ tin cậy 90%.
ĐS. x =374,0625; s =85,9894; ( x −ε, x +ε) = (365,6355; 382,4895)
f = 0,1; ε = 0,0247; (f−ε, f+ε) = (0,0753; 0,1247)
6.Điều tra năng suất lúa trên 81 ha lúa được chọn ngẫu nhiên của một
vùng lớn, người ta tính được trung bình mẫu cụ thể x = 40 tạ/ha và độ
lệch mẫu cụ thể s = 2,1 tạ. Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình cả
vùng với độ tin cậy 95%.
ĐS. ε = 0,4573; ( x −ε, x +ε) = (39.5427; 40.4573)

Nguyeãn Ñình AÙi

114



7.Lấy ngẫu nhiên 25 sản phẩm do một công ty sản xuất ra. Ta tính được

trung bình mẫu cụ thể 995,8 g và phương sai mẫu cụ thể là 0,144. Giả
thiết trọng lượng các sản phẩm là ĐLNN X (g) có phân phối chuẩn.
Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các sản phẩm do công ty sản
xuất với độ tin cậy 95%.
ĐS. ε = 0,0594; ( x −ε, x +ε)=(995,7406; 995,8594)
8.Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy người ta theo dõi
ngẫu nhiên thời gian gia công 25 chi tiết và thu được bảng số liệu sau
đây:
Thời gian (phút)
14
16
18
20
24
Số chi tiết
2
6
11
4
2
Với mức tin cậy 0.95, hãy ước lượng thời gian gia công trung bình tối đa
với loại chi tiết trên. Cho biết thời gian X (phút) để gia công chi tiết đó
tuân theo quy luật chuẩn.
ĐS. x = 18; s = 2,4495; ε =1,0111 ; 19,0111 (ph)
9. Năng suất ngô của một vùng A được báo cáo lên qua 25 điểm thu
hoạch là:
Năng suất (tạ/ha)

7
9
11
13
17
Số điểm thu hoạch
2
7
12
3
1
Với mức tin cậy là 0.95, hãy tính năng suất trung bình ngô tối thiểu của
vùng này. Cho biết năng suất ngô tuân theo quy luật chuẩn.
ĐS. x =10,6 ; s = 2,0817; ε = 0,8593;
9,7407 (tạ/ha)
10. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy lương
tháng trung bình là 380.000 đồng.Giả sử lương công nhân X ( ngàn
đồng) tuân theo quy luật chuẩn, với độ lệch chuẩn σ =14(ngàn đồng).
Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân
trong toàn xí nghiệp trên.
ĐS. ε = 4,7355; (375,4267; 384,5733)
11. Giả sử điểm trung bình X (điểm) môn toán của 100 thí sinh thi vào
ĐHNT là 5, với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 2.5.
a)Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể sinh viên với độ tin
cậy 95%.
b)Với độ chính xác là 0.25 điểm, hãy xác định độ tin cậy.
ĐS. a) ε = 0,49 ; (4,51; 5,49) b)1−α = 68,27%.
12. Tuổi thọ X (giờ) của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn
với độ lệch chuẩn σ=100 (giờ).


115

Nguyeãn Ñình AÙi

a)Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy trung bình tuổi thọ mỗi
bóng là 1000 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí
nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%.
b)Với độ chính xác 15 giờ, hãy xác định độ tin cậy.
c)Với độ chính xác 25 giờ và độ tin cậy 95% thì cần thử nghiệm bao
nhiêu bóng.
ĐS. a)(980,4 ; 1019,6) b)1−α = 86,64% c)62 (bóng)
13. Trọng lượng một loại chi tiết là một biến số ngẫu nhiên quy theo quy
luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1.2 kg. Phải chọn ít nhất bao nhiêu
chi tiết để điều tra, nếu muốn độ chính xác của ước lượng không vượt
quá 0.3 và mức tin cậy của ước lượng là 0.95.
ĐS. 62 (chi tiết)
14. Chiều dài của một loại sản phẩm A do một máy tự động sản xuất là
một biến số ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn
là 3cm. Phải chọn ít nhất bao nhiêu chi tiết để đo, nếu muốn độ dài
khoảng tin cậy không vượt quá 0,6 và mức tin cậy của ước lượng là 0,99.
ĐS. n1 = 664 (chi tiết)
15.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng một mặt hàng ở một thành phố, người
ta điều tra trên 1000 người được chọn ngẫu nhiên của thành phố và thấy
có 400 người có nhu cầu.Hãy ước lượng tỉ lệ người có nhu cầu về mặt
hàng đó trong toàn thành phố với độ tin cậy 95%.
ĐS. ε = 0,0304 ; 36,96% → 43,04%
16. Để điều tra số cá trong một hồ, người ta đánh bắt 1000 con cá, đánh
dấu rồi thả xuống hồ. Lần sau bắt lại 200 con thì được 40 con đánh dấu.
Với độ tin cậy 95% hãy:
a)

Ước lượng tỷ lệ cá được đánh dấu trong hồ.
b)
Ước lượng số cá trong hồ.
ĐS. a)ε = 0,0554 ; 14,46% → 25,54% b)3916 con → 6916 con.
17. Gieo 400 hạt giống thì có 20 hạt giống không nảy mầm. Tỷ lệ hạt
giống không nảy mầm tối đa là bao nhiêu? Yêu cầu kết luận với mức tin
cậy 0.95.
ĐS. ε = 0,0214; 7,14%
18. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 500 chiếc
xe tải trên đường quốc lộ. Họ phát hiện ra 40 chiếc có phanh chưa đảm
bảo an toàn. Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ xe tải có phanh chưa an
toàn.
ĐS. ε = 0,0282;
5,18% → 10,82%
19. Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu
nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó bỏ phiếu cho ứng
Nguyeãn Ñình AÙi

116


cử viên A. Với mức tin cậy 0.99, ứng cử viên A chiếm được tối thiểu bao
nhiêu phần trăm số phiếu.
ĐS. ε = 0,0315; 56,85%
20. Tỷ lệ nảy mầm của một loại hạt giống trong mẫu 400 hạt là 90%.
Cần ước lượng tỷ lệ nảy mầm của loại hạt giống đó với mức tin cậy 0.95.
Với độ dài khoảng tin cậy không vượt quá 0.02, thì phải gieo bao nhiêu
hạt?
ĐS. a)ε = 0,0294; 87,06% → 92,94% b) n1 = 3458 (hạt)
21. Để xác định tỷ lệ người mắc chứng bướu cổ do thiếu hụt iode ở một

khu vực dân cư nào đó, cần khám bao nhiêu người nếu muốn cho khoảng
ước lượng có độ chính xác không vượt quá 0.04 với mức tin cậy 0.95.
ĐS. n ≥ 600,25 ⇒ n ≥ 601(người)
22.Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm
tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.
a)Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%.
b)Với sai số cho phép (độ chính xác) 3%, hãy xác định độ tin cậy.
ĐS.a) ε = 0,0589; 5,11% → 16,89% b) Zα/2=0,9588; 1−α=66,23%
23.Nghiên cứu nhu cầu tiêu dùng một mặt hàng ở một thành phố, người
ta điều tra trên 2400 người của thành phố và biết tỉ lệ người trong thành
phố có nhu cầu về mặt hàng này là 48% đến 52% với độ tin cậy là 95%.
a)Với khoảng tin cậy như trên, muốn tăng độ tin cậy lên 96% thì số
người phải điều tra thêm là bao nhiêu?
b)Với khoảng tin cậy như trên và số người đã điều tra là 3000 người, độ
tin cậy là bao nhiêu? ĐS .a) Điều tra thêm 236 b) 1−α = 97,15%
24.Để ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm của nhà máy, người ta
điều tra 100 sản phẩm , được phương sai mẫu cụ thể s2 = 9 và trung bình
mẫu cụ thể là 98 kg. Ước lượng với độ chính xác là 1kg thì độ tin cậy là
bao nhiêu?
ĐS. Zα/2 = 3,3333; 1−α = 0,9991
Kiểm định
25.Trọng lượng X(kg) bao hàng do một máy đóng bao sản xuất là ĐLNN
phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình qui định là 50 kg.
a)Cân thử 25 bao hàng và tính được x = 49,8 kg và s = 0,25 kg.
b)Cân thử 100 bao hàng và tính được x = 49,8 kg và s = 0,4 kg.
c)Cân thử 200 bao hàng và tính được x = 50,1 kg và s = 0,25 kg.
Với mức ý nghĩa 5%, trọng lượng trung bình các bao hàng so với qui
định là ra sao theo ý bạn?
HD.a)k = −4 <−Kα = −1,7109 b) k = −5 <−Kα =1,6449 c) k = 5,6569
26. Để tìm hiểu hiệu quả của việc giảng dạy một vấn đề nào đó theo

phương pháp cũ và mới, người ta làm một bảng kiểm tra trên 15 sinh
117

Nguyeãn Ñình AÙi

viên và có kết quả tính bằng điểm số với điểm tối đa là 100 cho bởi bảng
sau đây:
Sinh viên
1
2
3
4
5
6
7
8
P/p
54
79
91 75 68
43
33 85
Điểm cũ
p/p
66
85
83 88 93
40
38 91
mới

Sinh viên
9
10
11
12
13
14
15
Điểm Cũ
22
56
73
63
29
75
87
Mới
44
82
59
81
64
83
81
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể xem việc học theo phương pháp mới có
hiệu quả hơn được không (theo ý nghĩa điểm trung bình của sinh viên
học theo phương pháp mới cao hơn điểm trung bình của sinh viên khi
học theo phương pháp cũ)? Cho biết điểm số của sinh viên tuân theo quy
luật chuẩn.
HD: Đặt U = Y – X, nhận xét ĐLNN U có phân phối chuẩn. Đưa bài

toán về bài toán kiểm định giá trị TB: H0: E(U) = 0, H1: E(U) > 0
n= 15; u =9,6667; su = 13,9164; k = 2,6903; Kα = 1,6449
27.Tỉ lệ phế phẩm của một dây chuyền sản xuất là 5%. Sau khi tiến hành
một thay đổi kỹ thuật người ta kiểm tra ngẫu nhiên
a)4000 sản phẩm thì thấy có 175 phế phẩm.
b)3000 sản phẩm thì thấy có 175 phế phẩm.
c)1000 sản phẩm thấy có 58 phế phẩm
Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận việc thay đổi kỹ thuật có thay đổi tỉ
lệ phế phẩm như thế nào?
HD.a) k = −1,8282 ; b) k = 2,0943 c) k = 1,1608
28. Một đảng chính trị dự đoán rằng trong cuộc bầu cử tổng thống sắp tới
ứng viên đảng mình sẽ giành được 45% số phiếu bầu. Chọn ngẫu nhiên
200 cử tri để thăm dò ý kiến cho thấy 80 người nói rằng họ sẽ bỏ phiếu
cho ứng viên của đảng đó. Với mức ý nghĩa 5%, nhận định như thế nào
về dự đoán của đảng đó?
HD.k=−1,4213; Kα = 1,6449
29. Tỉ lệ học sinh tốt nghiệp phổ thông năm ngoái của tỉnh A là 88%.
Trong kỳ thi năm nay trong 100 em được chọn ngẫu nhiên có 82 em thi
đỗ. Với mức ý nghĩa 5%, có thể kết luận rằng tỉ lệ hoc sinh thi đỗ năm
nay thấp hơn năm ngoái hay không?
HD.k=−1,8464; Kα = 1,6449
Nguyeãn Ñình AÙi

118


30.Trọng lượng một loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là ĐLNN
X, Y (kg) có phân phối chuẩn và có cùng độ lệch tiêu chuẩn là σ =
0,5(kg). Cân thử 29 sản phẩm của nhà máy thứ nhất ta có x = 50 kg và
cân thử 30 sản phẩm của nhà máy thứ hai ta có y = 49,7 kg.

Với mức ý nghĩa α = 0,05, hãy kết luận xem trọng lượng trung bình của
sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra có như nhau không?
HD.k = 2,304; Kα/2 = 1,96
31.Trọng lượng một loại sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là ĐLNN
X, Y có phân phối chuẩn và có cùng độ lệch tiêu chuẩn.
Cân thử 25 sản phẩm của nhà máy thứ nhất ta có x = 20 kg là s X2 =1 ;
cân thử 36 sản phẩm của nhà máy thứ hai ta có y = 20,6 kg và sY2 =1,01
Với mức ý nghĩa α=0,02, hãy kết luận trọng lượng trung bình sản phẩm
nhà máy thứ nhất sản xuất có nhỏ hơn của nhà máy thứ hai không?
HD.k = −2,2979 < −Kα = 2,1002
32. Đường kính một loại chi tiết do hai nhà máy sản xuất ra là hai ĐLNN
X , Y (mm). Kiểm tra ngẫu nhiên 200 chi tiết do nhà máy thứ nhất sản
xuất, ta được x = 10,1 (mm) và s 2X = 0,1 và kiểm tra ngẫu nhiên 300 chi
tiết của nhà máy thứ hai sản xuất, ta được y = 10,05 (mm) và s 2Y = 0,12.
Người ta nói đường kính trung bình của chi tiết nhà máy thứ nhất lớn
hơn của chi tiết nhà máy thứ hai.
Với mức ý nghĩa 2%, bạn hãy cho ý kiến của mình.
HD.k=1,6667 ; Kα = 2,0537
33. Nghiên cứu trọng lượng X (kg), Y(kg) các trẻ sơ sinh của 2 nhóm mẹ
nghiện thuốc lá và mẹ không hút thuốc lá, ta có kết quả (kg)
i). Nhóm với mẹ không hút thuốc lá: n1=15; x =3,66; s x =0,2791.
ii). Nhóm với mẹ nghiện thuốc lá: .n2=14; y =3,2029; sy = 0,4923
Với mức ý nghĩa 0.05 có thể nói trẻ sơ sinh của nhóm mẹ nghiện thuốc lá
nhẹ cân hơn trẻ sơ sinh của nhóm mẹ không hút thuốc lá được không?
Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh của 2 nhóm trên tuân theo quy luật
chuẩn và có cùng phương sai.
HD. s*2 =0,1571; k=3,1034; Kα = 1,7033 (tra bảng phân vị χ2 bậc 27)
34. Kiểm tra chất lượng của 2 lô sản phẩm, người ta thấy trong lô thứ
nhất có 50 phế phẩm trên tổng số 500 sản phẩm kiểm tra và lô thứ hai có
60 phế phẩm trên tổng số 400 sản phẩm kiểm tra. Với mức ý nghĩa

0.05,có thể xem lô hàng thứ nhất chất lượng tốt hơn lô thứ hai không?
HD.k=−2,2756; −Kα= 1,6449
119
Nguyeãn Ñình AÙi

35.Kiểm tra các sản phẩm chọn ngẫu nhiên do hai nhà máy sản xuất. Ta
có bảng bên
Nhà máy số sp được kiểm tra số phế phẩm
A
1000
25
B
1000
20
Với mức ý nghĩa
α= 0,05, có thể kết luận: tỉ lệ phế phẩm nhà máy A là lớn hơn không?
HD.k=−0,7539; Kα = 1,6449
Kiểm định và ước lượng
36. Một trại chăn nuôi A xuất chuồng 200 con lợn, trọng lượng hơi tính
bằng (Kg), ta có bảng số liệu sau:
Trọng lượng (xi) 45-55 55-65 65-75 75-85
85-95 95-105
Số lợn (ni)
10
30
45
80
30
5
a)Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu ứng với bộ số liệu trên.

b)Ước lượng trọng lượng lợn (hơi) trung bình của trại chăn nuôi A với
độ tin cậy 95%.
c)Nếu chủ trại chăn nuôi A thông báo trọng lượng (hơi) trung bình của
trại chăn nuôi là trên 77 kg thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa
10%.
d)Lợn có trọng lượng từ 85 kg trở lên được gọi là lợn chóng lớn, hãy ước
lượng tỷ lệ lợn chóng lớn của trại chăn nuôi với độ tin cậy 99%.
HD.a)75,25; 130,5905 b)ε=1,5838; (73,6662; 76,8338)
c)Ho: E(X) ≥ 77 ; H1: E(X) < 77 với α = 0,1 ; k = −2,1657
d)ε=0,0692; 10,58% → 24,42%
37. Điều tra năng suất lúa ở 1 một vùng trong vụ hè thu năm 2007, người
ta thu được bảng số liệu sau:
N/ suất
3-4 4-4.5 4.5-5 5-5.5 5.5-6 6-6.5 6.5-7 7-8
(tấn/ha)
Diện
5
10
25
30
28
12
6
4
tích(ha)
a)Những thửa ruộng có năng suất trên 6 tấn/ha là những thửa ruộng có
năng suất cao. Ước lượng diện tích lúa có năng suất cao vùng này với độ
tin cậy 95%. Biết diện tích lúa gieo trồng ở vùng này là 8000 ha.
(HD: Tính khoảng (p1;p2) sau đó nhân với 8000 ha).
b)Điều tra sơ bộ vụ hè thu năm 2006 thì thấy năng suất lúa ở vùng này là

5 tấn/ha và phương sai mẫu hiệu chỉnh là 0,49. Vụ hè thu năm 2007
người ta áp dụng 1 biện pháp kỹ thuật mới. Hãy xét về tác dụng của biện
pháp kỹ thuật mới này với mức ý nghĩa 5%.
Nguyeãn Ñình AÙi

120


HD.a)n=200; f =22; 6,66% → 15,34%; 532,8 → 1227,2(ha)
b) x* =5,3563; s* = 0,8346;
Ho : E(X*) = 5; H1: E(X*) > 5 với α = 0,05; k = 6,0374
38.Điều tra năng suất lúa trên 100 hécta trồng lúa chọn ngẫu nhiên của
một vùng, ta thu được bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) (xi)
41
44
45
46
48
52 54
Số ha có năng suất tương
10
20
30
15
10
10
5
ứng (ni)
1)Tính trung bình mẫu x và phương sai mẫu s 2 ứng với số liệu trên

2)Ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%?
3)Ước lượng năng suất lúa trung bình tối đa và tối thiểu của vùng đó với
độ tin cậy 90%?
4)Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ/ha trở lên là những thửa có
năng suất cao.
a)Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa có năng
suất cao trong vùng đó với độ tin cậy 99%.
b)Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng đó với
độ tin cậy 95%.
Với khoảng tin cậy đó, nếu muốn độ tin cậy lên đến 99% thì phải
điều tra thêm bao nhiêu ha lúa nữa?
HD.1)n=100; x =46; s=3,3029 2)ε=0,6474 (45,3526; 46,6474)
3)45,4567 tạ → 46,5433
(24)
4.a)n = 25; x* =50,8; s*2 =6; Kα/2 = t0,005
= 2,7969; (49,4289 ; 52,1702)
4.b)f = 0,25; n =100; ε = 0,0849; (16,51% → 33,49% )
Kiểm định Khi bình phương
38. Nghiên cứu tình trạng hôn nhân trước ngày cưới của 542 cặp vợ
chồng được chọn ngẫu nhiên, ta có số liệu:
TTHN của vợ
TTHN của chồng

Chưa kết hôn
lần nào

Ly hôn

Goá


Chưa kết hôn lần nào
180
34
36
Ly hôn
58
76
54
Goá
43
34
27
Với mức ý nghĩa α = 0.05 , ta có thể coi tình trạng hôn nhân trước ngày
cưới của vợ chồng là có ảnh hưởng nhau?
HD. χ2 = 80,0019; χα2 = 9,4877
121

Nguyeãn Ñình AÙi

39. Nghiên cứu về màu tóc và giới tính của 422 người được chọn
ngẫu nhiên, ta có số liệu sau
Giới tính
Màu tóc
Đen
Hung
Nâu
Vàng

Nam


Nữ

56
37
84
19

32
66
90
38

Với mức ý nghĩa α = 0.01 , có thể coi giữa màu tóc và giới tính có mối
quan hệ với nhau?
(Với mức ý nghĩa α = 0.01, có thể nói tỉ lệ tóc đen, hung, nâu, vàng của
nam và nữ khác nhau không?)
HD.χ2 = 19,2151; χα2 = 11,3449
40. Phỏng vấn ngẫu nhiên 200 người thuộc các vùng địa lý khác nhau về
tiêu dùng một loại sản phẩm nào đó ta thu được kết quả sau:
Vùng địa lý
Tiêu dùng

Thành thị

Nông thôn

Miền núi

Có tiêu dùng
26

48
24
Không tiêu dùng
51
43
8
Với mức ý nghĩa α = 0.05 , có thể coi yếu tố địa lý và việc tiêu dùng loại
sản phẩm nói trên có ảnh hưởng nhau?
(Với mức ý nghĩa α = 0.05, có thể nói tỉ lệ tiêu dùng sản phẩm đó ở
thành thị, nông thôn và miền núi là khác nhau không?)
HD.χ2 = 16,3181; χα2 = 5,9915
41.Một công ty xuất khẩu gạo nói gạo của họ ở các kho 1, 2, 3 là cùng
chất lượng hạt. Lấy mẫu cụ thể các hạt gạo ở các kho, ta có số liệu
Kho
Chất lượng hạt

Kho 1

Kho 2

Còn nguyên hạt
800
760
Còn hơn 2/3 hạt
170
200
Còn dưới 2/3 hạt
30
40
Với mức ý nghĩa α = 0.05, bạn hãy cho ý kiến?

HD. χ2 = 11.3027 ; χα2 = 9.4877 ( bậc 4), …
Nguyeãn Ñình AÙi

Kho 3
850
100
50

122


41. Để kiểm tra con súc sắc có công bằng hay không, người ta tung nó
125 lần và có bảng
Số chấm
Số lần xuất hiện

1
18

2
23

3
16

4
21

5
18


6
29

Với mức ý nghĩa α=0,01 có thể xem con súc sắc công bằng được không?
HD.χ2 = 5,32 ; χα2 = 15,0863
42.Kiểm tra ngẫu nhiên 200 thùng đồ hộp, người ta thu được số liệu
Số hộp bị hỏng/thùng
Số thùng

0
116

1
56

2
22

3
4

4
2

Với mức ý nghĩa α = 0,02, kiểm tra số hộp bị hỏng của mỗi thùng có
là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối Poisson không?
HD. Coi λ ≈ x = 0,6, số tham số phải xấp xỉ r = 1…
Biến cố Ai


(X=0)
(X=1)
(X=2)
(X=3)
(X4)

Xác suất Pi

0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0033

T/số lthuyết nPi T/số thực tế Ni

109.7600
65.8600
19.7600
3.9600
0.6600

116
56
22
4
2

χ2 = 4,8058; χα2 = 9,8374 (bậc tự do k−r−1 = 3)
43.Xét ĐLNN X trên một tổng thể. Cho bảng số liệu sau đây:

Khoảng 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55
55-65
65-75
Tần số
45
195
308
212
198
22
20
2
Biết nếu X có phân phối chuẩn N(34.69, (12.9501) ) thì ta có:
X ∈ (-∞;15) [15;25) [25;35) [35;45) [45;55) [55;65) [65; +∞ )
P
0.0642 0.163 0.2824 0.2775 0.1546 0.0488
0.0096
Với mức ý nghĩa α=0.02, có thể coi X có phân phối chuẩn không?
HD.Coi µ ≈ x = 34.69; coi σ ≈ phương sai mẫu hiệu chỉnh = 12.9501. số
tham số phải xấp xỉ r = 2
Lập bảng tần số …
χ2 = 67,8734; χα2 (4) =9,4877

123

Nguyeãn Ñình AÙi

PHẦN THỐNG KÊ

Bài tập chương IV


4.1. Trên một sàn giao dịch chứng khoán có hai loại cổ phiếu KHP và
ACB được bán và lãi suất tương ứng của chúng là hai ĐLNN X và Y.Giả
sử ( X , Y ) có bảng phân phối xác suất như sau
Y -2
0
5
10
X
0
0,05
0,05
0,1
0
0,05
0,1
0,25
0,15
4
0,1
0,05
0,1
0
6
a. Để đạt lãi suất kỳ vọng cao nhất thì nên đầu tư vào cả hai loại cổ phiếu
theo tỷ lệ nào?.
b. Để hạn chế rủi ro lãi suất đến mức thấp nhất thì đầu tư hai loại cổ
phiếu theo tỷ lệ nào?.
HD.E(X)=3,7; D(X)=4,11; E(Y)=4,2; D(Y)=17,96
4.2. Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị triệu đồng) của các cặp vợ

chồng đang làm việc tại một nhà máy thu được kết quả sau: (X- thu
nhập của chồng; Y- thu nhập của vợ).
Y 10
20
30
40
X
0,2
0,04
0,01
0
10
0,1
0,36
0,09
0
20
0
0,05
0,10
0
30
0
0
0
0,05
40
a. Tìm phân phối xác suất thu nhập của chồng và thu nhập của vợ.
b. Tìm phân phối thu nhập của những người vợ có chồng thu nhập 20
triệu/ năm.

d. Tính thu nhập trung bình của các bà vợ có chồng thu nhập ở mức
20triệu/ năm.
e. Thu nhập của chồng và vợ có phụ thuộc nhau không?
HD.d)E(Y / (X=20) ) = 19,8182
e)Cov(X, Y) = 49 ≠ 0 ⇒ Thu nhập của chồng và vợ là phụ thuộc nhau
4.3. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm loại A. Một
máy sản xuất sản xuất sản phẩm với xác suất sản suất ra sản phẩm loại A
là 0,2. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ kiện ra 2 sản phẩm và cho
máy sản xuất ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A trong 4 sản
phẩm đó.Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E[X] và D[X].

Nguyeãn Ñình AÙi

124


4.4. Điều tra thu nhập của 10 cặp vợ chồng (đơn vị triệu/năm) thu được
kết quả sau:
Thu nhập chồng (X) 20 30 30 20 20 30 40 30 40 40
Thu nhập vợ
(Y) 15 35 25 25 25 15 25 25 35 25
a. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X,Y).
b. Lập bảng phân phối xác suất biên của X, tính E[X] và D[X].
c. Lập bảng phân phối xác suất biên của Y, tính E[Y] và D[Y].
d. Tính cov(X,Y), X và Y có độc lập với nhau không?
e. Giả sử thu nhập sau thuế W của các cặp vợ chồng được xác định bởi
biểu thức: W = 0,6 X + 0,8 Y.
Tính E[W] và D[W].
HD.E(X) = 30; D(X)=60; E(Y)=25; D(Y)=40; cov(X, Y) = 20
4.5. Tiến hành quan sát về hai chỉ tiêu X và Y trên một tổng thể, ta thu

được mẫu số liệu
X 0.25 0.37
0.44
0.55
0.60 0.62 0.68 0.70
Y 2.57 2.31
2.12
1.92
1.75 1.71 1.60 1.51
X
0.73
0.75 0.92 0.84 0.87 0.88 0.90 0.95 1
Y
1.50
1.41 1.33 1.31 1.25 1.20 1.19 1.15 1
a)Tính: x ; y ; xy ; s X2 ; sY2 và r
b)Viết phương trình đường hòi qui tuyến tính của Y theo X.
HD. x =0.6025; y =1.3415; xy =0.8762; s X2 =0.1065; sY2 =0.4958; r=0.3113
Y=0.6717(X−0.6025)+1.3415 = 0.6717X+0.9368
4.6. Nghiên cứu về thu nhập và tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục của các hộ
gia đình ở một vùng. Điều tra 400 hộ, ta thu được số liệu
X
10
20
30
40
50
Y
150-250
40

20
10
250-350
60
40
10
350-450
20
70
60
450-550
10
20
40
Trong đó: X ( %) là tỉ lệ thu nhập chi cho giáo dục ,
Y (USD /tháng) là thu nhập bình quân của một người trong gia đình.

Tìm hệ số tương quan mẫu giữa X và Y.
Lập phương trình đường hồi quy tuyến tính của Y theo X.
HD. xy =11425; r = 0.786; Y= 6.7778(X−29.75)+355
4.7. Nghiên cứu X (ngàn đồng) là thu nhập bình quân tháng mỗi người
của hộ gia đình và Y (%)là tỷ lệ thu nhập chi cho ăn uống của hộ gia
đình trong một vùng. Điều tra 400 hộ gia đình ở vùng đó, ta có bảng số
liệu thực nghiệm sau đây:
125

Nguyeãn Ñình AÙi

Y
10

20
30
40
50
X
50-150
10
10
150-250
110
70
250-350
90
80
10
350-450
10
10
a)Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ thu nhập trung bình chi cho ăn uống của
một gia đình với mức tin cậy 0.95.
b)Những hộ có thu nhập bình quân 1 người/tháng trên 350.000đ gọi là có
thu nhập cao. Nếu nói rằng tỷ lệ hộ gia đình có thu nhập cao trong toàn
vùng là 10 % với mức ý nghĩa 0.05 thì bạn có chấp nhận được không?
c)Tìm hệ số tương quan mẫu giữa X và Y. Lập phương trình đường hồi
quy tuyến tính của Y theo X.
HD.a) y = 29.75; sy = 8.2223; ε = 0.8058; (28.9442; 30.5558 )
b)n = 400; f = 20/400 = 0.05; k = −3.3333 …⇒ bác bỏ Ho
c) xy =7025; r = −0,7488; Y=−0,0917(X−250)+29,75
4.8. Một loại sản phẩm được đánh giá chất lượng qua 2 chỉ tiêu X, Y nào
đó. Kiểm tra một số sản phẩm về 2 chỉ tiêu ở trên ta có kết quả sau đây:

Y
X
115-125
125-135
135-145
145-155
155-165

0−4

4−8

8−12

12−16

15
21

7

16−22

10
8
12

7

a)Yêu cầu đạt tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 145. Có người cho rằng chỉ

tiêu X trung bình là nhỏ hơn yêu cầu, với mức ý nghĩa 5%; bạn hãy cho
biết ý kiến của mình.
b)Sản phẩm có chỉ tiêu Y lớn hơn 12 là sản phẩm loại I. Hãy ước lượng
trung bình chỉ tiêu Y của sản phẩm loại I với mức tin cậy 90%. Cho biết
chỉ tiêu Y của sản phẩm loại I tuân theo quy luật chuẩn.
c)Tìm hệ số tương quan mẫu giữa X và Y. Lập phương trình đường hồi
quy tuyến tính của Y theo X.
HD. 141.75; sx = 11.3377; k = −2.5639 … ⇒ bác bỏ Ho
b)n1 = 14; y* = 16.5; s* =2.5944; Kα/2 = t (13)
0.05 = 1.7709;
ε =1.2279; (15.2721; 17.7279)
c) xy =1340 ; r = 0.8941;Y=0.3526(X−141,75)+9,1375
Nguyeãn Ñình AÙi

126