Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
PHẦN I – GIỚI THIỆU
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một nội dung khá hay trong chương trình học kì I
Đại số 7, với nhiều biến đổi đa dạng, kiểu bài phong phú và có rất nhiều ứng dụng trong
thực tế. Các dạng bài vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp có thể kể đến
như: Toán tìm số, giá trị biểu thức, chứng minh tỉ lệ thức, toán có nội dung thực tiễn…
Với chuyên đề này, người viết chỉ đưa ra một số ứng dụng điển hình của tính chất
dãy tỉ số bằng nhau, ở mức độ không quá phức tạp, từ dễ đến khó, phù hợp với chương
trình lớp 7.
Mong quý thầy cô đón đọc và cho ý kiến đóng góp để chuyên đề hoàn thiện hơn!
PHẦN II – NỘI DUNG
1. Dạng 1: Toán tìm số
Bài 1: Tìm x, y hoặc a, b biết:
x y
 và x  y  32
3 5
x 9
b) y 10 và y  x 120
c) 4a 5b và b  2a  5

a)

x

3

d) y  4 và 5 y  3x 33
a2 b2


e)
và a 2  b 2 100
9 16
f) 5 x 3 y và x 2  y 2  4

Giải
a)

x y
 và x  y  32
3 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y x  y  32
 

 4
3 5 35
8

Do đó: x  4.3  12 và y  4.5  20 .
x

9

b) y 10 và y  x 120
x 9
x
y

Từ y 10 suy ra 
9 10

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y
y x
 
120
9 10 10  9

Do đó: x 120.9 1080 và y 120.10 1200 .
c) 4a 5b và b  2a  5
Từ 4a 5b suy ra

a b

5 4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
5
6

Do đó: a 5  

a b b  2a  5 5
 


5 4 4  2 .5  6 6


25
5 10
và b 4   .
6
6 3
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
x 3
d) y  4 và 5 y  3x 33
x 3
x y
Từ y  4 suy ra 
3 4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y 5 y  3 x 33
 
 3
3 4 5.4  3.3 11

Do đó: x 3.3 9 và y 3.4 12 .
e)

a2 b2

và a 2  b 2 100

9 16

Phân tích: HS thường nhầm lẫn:

a2 b2
a 2  b 2 100
  2

dẫn tới tính toán sai.
9 16 9  16 2 337

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a 2 b 2 a 2  b 2 100
 

4
9 16
9  16
25

Suy ra: a 2 4.9 36  a 6
b 2 4.16 64  b 8

Theo đề bài a và b có thể cùng hoặc khác dấu nên:  a; b     6;8;  6; 8;   6;8;   6; 8 .
f) 5 x 3 y và x 2  y 2  4
x y
x2 y2

Từ 5 x 3 y   

3

5

9

25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x2 y2 x2  y2
 4 1




9
25
9  25
 16 4

1 9
3
4 4
2
1 25
5
y 2 25    y 
4 4
2


Suy ra: x 2 9    x 

  3 5    3  5 
Theo đề bài x và y phải cùng dấu nên  x; y     ; ;  ;   .
 2 2   2

2 

Chú ý: Ở câu (e) và (f) cần phải đánh giá về dấu của các biến khi kết luận.
Bài 2: Tìm x, y, z hoặc a, b, c biết:
b c
2 3
b) 5 x 8 y 20 z và x  y  z 3

a) a   và 4a  3b  2c 36

x y y z
 ,  và x  y  z  49
2 3 5 4
x
7 y 5
f) y  20 ,  và 2 x  5 y  2 z 100
z 8
x y z
g)   và x 2  y 2  z 2 585
5 7 3
h) x. y  30 , y.z 42 và z  x  12

e)


6
9
18
x  y  z và  x  y  z  120
11
2
5
a 1 b 2 c 3


d)
và a  2b  3c 14
2
3
4

c)

Giải
b
2

c
3

a) a   và 4a  3b  2c 36
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374



Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
b c
4a  3b  2c
36
 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a   
2 3 4.1  3.2  2.3 4
Do đó: a 9 , b 18 , c 27 .

b) 5 x 8 y 20 z và x  y  z 3
x y z
  (chia cho BCNN)
8 5 2
x y z x y z
3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   
8 5 2 8 5 2
Do đó: x 24 , y 15 , z 6 .

Vì BCNN(5;8;20) 40 nên từ 5 x 8 y 20 z suy ra

c)

d)

6
9
18
x  y  z và  x  y  z  120
11

2
5
x
y
z
 
6
9
18
Từ x  y  z suy ra 11 2 5 (chia cho phân thức nghịch đảo).
11
2
5
6
9 18
x
y
z
 xyz
 120
  

90
4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 11 2 5  11  2  5
.

6
9 18
6 9 18

3
Do đó: x 165 , y 20 , z 25 .
a 1 b 2 c 3


và a  2b  3c 14
2
3
4

Phân tích: Việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không phụ thuộc các chữ số ở
trên tử số.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a  1 b  2 c  3 a  1  2 b  2  3 c  3 a  2b  3c  1  4  9 14  6





1
2
3
4
2  2.3  3.4
8
8
c  3 4  c 7
Do đó: a  1 2  a 3 ; b  2 3  b 5 ;
x y y z
e)  ,  và x  y  z  49

2 3 5 4

Phân tích: Đề bài cho 2 dãy tỉ số bằng nhau, muốn sử dụng được giả thiết thứ ba, cần
thiết lập dãy tỉ số có đủ x, y, z. Để ý rằng 2 dãy tỉ số đầu cùng chứa y nên ta sẽ chọn quy
đồng mẫu cho y làm trung gian giữa 2 tỉ số.
x y
x
y
y z
y
z
x
y
z
 
 và  

nên:  
2 3
10 15
5 4
15 12
10 15 12
x
y
z
x yz
 49
  


 7
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
10 15 12 10  15  12
7
Suy ra: x  70 , y  105 , z  84 .

Vì

x

7

y

5

f) y  20 ,  và 2 x  5 y  2 z 100
z 8
Phân tích: Cách làm câu (f) tương tự câu (e).
x
7
x
y
y 5
y z
y
z
x
y
z

 . Do đó:  
Từ y  20   và    
7 20
z 8
5 8
20 32
7 20 32
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
x
y
z
2x  5 y  2z
100

2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   
7 20 32 2.7  5.20  2.32 50
Suy ra: x 14 , y 40 , z 64 .

g)

x y z
  và x 2  y 2  z 2 585 .
5 7 3
x y z x 2  y 2  z 2 585

9 dẫn tới tính toán sai.

Phân tích: HS thường nhầm lẫn:   
5 7 3
25  49  9
65
x y z
x2 y2 z 2





Từ
5 7 3
25 49
9
x 2 y 2 z 2 x 2  y 2  z 2 585

 

9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
25 49
9
25  49  9
65

Suy ra: x 2 225  x 15
y 2 441  y 21
z 2 81  z 9


Theo đề bài: x, y, z cùng dấu nên x 15, y 21, z 9 hoặc x  15, y  21, z  9
h) x. y  30 , y.z 42 và z  x  12
x

6

6

z

x

6

z

Từ x. y  30   5  y và y.z 42  y  7 . Do đó:  5  y  7
x

6

z

z x

 12

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  5  y  7  7    5  12  1
Suy ra: x 5 , y  6 , z  7 .
Phân tích: Điểm mấu chốt của bài toán là tách -30 và 42 thành tích của 2 số, trong đó

có số 6 là ƯCLN(30;42). Một điểm khác biệt của câu (h) là sau khi biến đổi thì dãy tỉ số
bằng nhau có x, y, z không cùng nằm ở tử số hoặc mẫu số.
Bài 3: Tìm x, y, z , biết:

12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z


và x  y  z 48
7
9
11

Phân tích: Để ý rằng hệ số của x, y, z ở các tử số trái dấu nhau nên nếu áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau cộng các tử số với nhau thì sẽ được kết quả bằng 0.
Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z 12 x  15 y  20 z  12 x  15 y  20 z



0
7
9
11
7  9  11
12 x  15 y 0
x y z

  20 z  12 x 0  12 x 15 y 20 z    (chia cho BCNN(12;15;20) 60)
5 4 3
15 y  20 z 0



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y z x  y  z 48
  
 4
5 4 3 5  4  3 12

Do đó: x 20 , y 16 , z 12 .

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
t 9
t  1 t  2 t3  3

  9
Bài 4: Tìm t1 , t 2 , …, t 9 , biết: 1  2
và t1  t 2  t 3  ...  t 9 90
9
8
7
1

Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
t  9 t1  1  t 2  2  t 3  3  ...  t 9  9 90  45
t1  1 t 2  2 t 3  3



  9


1
9
8
7
1
9  8  7  ...  1
45
 t1  1 9
 t  2 8
 2
 t1 t 2 t 3 ... t 9 10
Do đó: 

 t 9  9 1

2. Dạng 2: Toán thực tiễn
Sau khi đã biết các bước biến đổi ở dạng toán 1, học sinh sẽ căn cứ vào đó để có thể
giải được các bài toán thực tế sau khi đặt ẩn cho các đại lượng chưa biết.
Bài 1: Tìm diện tích hình tam giác vuông, biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 2: 5 và
chúng hơn kém nhau 12 cm.
Giải
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là a và b (cm) ( 0  a  b )
Thì diện tích tam giác là:

a.b

(cm 2 )
2

a 2
 và b  a 12
b 5
a 2
a b
Từ  suy ra 
b 5
2 5

Theo đề bài ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b b  a 12
 
 4
2 5 5 2 3

Do đó: a 4.2 8 và b 4.5 20 (thỏa mãn điều kiện)
8.20
80 (cm 2 )
2
2
3
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên biết số thứ nhất bằng số thứ hai và hiệu các bình phương
3
4


Vậy diện tích tam giác là:

của chúng bằng 68.
Giải
Gọi hai số tự nhiên cần tìm lần lượt là x và y ( x; y  N và x  y )
Theo đề bài ta có:

2
3
x  y và x 2  y 2 68
3
4

2
3
x y
x2 y2
x

y

8
x

9
y





Từ
3
4
9 8
81 64
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
x 2 y 2 x 2  y 2 68


 4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
81 64 81  64 17

Do đó: x 2 4.81 324  x 18
y 2 4.64 256  y 16 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 18 và 16.
Bài 3: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6. Biết rằng số học sinh khối
9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh mỗi khối.
Giải
Gọi số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d (em) (a, b, c, d  N*).
Theo đề bài ta có:

a b c d
   và b  d 70
9 8 7 6


a b c d b  d 70
   
 35
9 8 7 6 8 6
2
Do đó: a 35.9 315 , b 35.8 280 , c 35.7 245 , d 35.6 210 (thỏa mãn)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Vậy số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315, 280, 245 và 210 (em).
Bài 4: Có 64 tờ giấy bạc gồm ba loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng. Biết rằng
tổng giá trị của mỗi loại giấy bạc trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại giấy bạc có bao
nhiêu tờ?
Giải
Gọi số tờ của ba loại giấy bạc mệnh giá 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là
x, y, z (tờ) (x, y, z  N*).
Theo đề bài ta có: x  y  z 64 và 2000 x 5000 y 10000 z
Từ 2000 x 5000 y 10000 z suy ra

x y
 z
5 2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y
x  y  z 64
 z 
 8

5 2
5  2 1
8

Do đó: x 8.5 40 , y 8.2 16 và z 8 (thỏa mãn)
Vậy có 40 tờ loại 2000 đồng, 16 tờ loại 5000 đồng và 8 tờ loại 10000 đồng.
Bài 5: Tính số đo các góc của một tam giác, biết rằng số đo của góc thứ nhất bằng
đo góc thứ hai và bằng

1
số đo góc thứ ba.
2

Giải
0

Gọi số đo ba góc lần lượt là a, b, c (độ) ( 0  a, b, c  180 0 )
2
3

1
2

Theo đề bài ta có: a  b  c 180 0 và a  b  c

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374

2
số
3



Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
b c
2
1
a 
3 2
Từ a  b  c suy ra
3
2
2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a

b c a  b  c 180 0
 

40 0
3 2
3
9
1  2
2
2
2

3

2

Do đó: a 40 0 , b  40 0 60 0 , c 2.40 0 80 0
Vậy số đo các góc của tam giác là 40 0 , 60 0 , 80 0 .
Bài 5: Một lớp học sinh có 35 em. Sau khi khảo sát chất lượng, số học sinh được chia
thành ba loại giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số
học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Giải
Gọi số học sinh giỏi, khá và trung bình của lớp lần lượt là x, y, z (em)
(x, y, z  N* và x, y, z  35 )
x y
y z
 và
 .
2 3
4 5
x y
x
y
y z
y
z
x
y
z
 . Do đó:  
Ta có:   
và  
2 3
8 12

4 5
12 15
8 12 15
x y
z
xyz
35
 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   
8 12 15 8  12  15 35
Suy ra: x 8 , y 12 , z 15

Theo đề bài ta có: x  y  z 35 ,

Vậy lớp có 8 học sinh giỏi, 12 học sinh khá và 15 học sinh trung bình.
Bài 6: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi
ở kho II và

1
1
số thóc ở kho I, số thóc
5
6

1
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở cả ba kho bằng nhau. Hỏi lúc
11

đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?
Giải

Gọi số thóc ban đầu ở kho I, kho II, kho III lần lượt là a, b, c (tấn) ( 0  a, b, c  710 )
Theo đề bài ta có: a  b  c 710
1
4
a  a (tấn)
5
5
1
5
số thóc còn lại ở kho II sau khi chuyển đi là: b  b  b (tấn)
6
6
1
10
số thóc còn lại ở kho III sau khi chuyển đi là: c  c  c (tấn)
11
11
4
5
10
a
b
c
 
mà số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau nên: a  b  c 
(chia cho 20)
5
6
11
25 24 22


Mặt khác: số thóc còn lại ở kho I sau khi chuyển đi là: a 

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
a
b
c
a b c
710
  

10
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
25 24 22 25  24  22 71
Do đó: a 10.25 250 , b 10.24 240 , c 10.22 220 (thỏa mãn)

Vậy ban đầu kho I có 250 tấn, kho II có 240 tấn và kho III có 220 tấn thóc.
Bài 7: Trong đợt thi đua chào mừng ngày Quốc khánh 2 – 9, ba đội xe được giao vận
chuyển ít nhất là 3030 tấn hàng. Cuối đợt, đội I vượt mức 26%, đội II vượt mức
5% và đội III vượt mức 8% định mức của mỗi đội nên khối lượng mà ba đội đã
vận chuyển được bằng nhau. Tính định mức vận chuyển của mỗi đội xe.
Giải
Gọi định mức vận chuyển của đội I, đội II, đội III lần lượt là a, b, c (tấn) ( 0  a, b, c  3030 )
Theo đề bài ta có: a  b  c 3030
Mặt khác: cuối đợt, đội I chở được là: a  26%.a 126%.a (tấn)
cuối đợt, đội II chở được là: 105%.b (tấn)
cuối đợt, đội III chở được là: 108%.c (tấn)

mà ba đội chở được bằng nhau nên: 126%.a 105%.b 108%.c  126a 105b 108c
a
b
c
  (chia cho BCNN (126;105;108) 3780 )
30 36 35
a
b
c
a b c
3030
  

30
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
30 36 35 30  36  35 101
Do đó: a 30.30 900 , b 30.36 1080 , c 30.35 1050


Vậy định mức vận chuyển của đội I, đội II, đội III lần lượt là 900, 1080, 1050 (tấn)
Bài 8: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng có cùng diện tích. Đội một cày xong trong 3
ngày, đội hai cày xong trong 5 ngày, đội ba cày xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có
bao nhiêu máy cày, biết rằng đội hai nhiều hơn đội ba 1 máy (giả sử năng suất các
máy như nhau)
Giải
Gọi số máy cày của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là x, y, z (máy) (x, y, z N*)
Theo đề bài ta có: y  z 1
Vì số máy và thời gian cày xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:
x
y z

 
10 6 5
x
y z y z
  
1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
10 6 5 6  5
Do đó: x 10 , y 6 , z 5 .
3 x 5 y 6 z 

Vậy đội một có 10 máy, đội hai có 6 máy, đội ba có 5 máy.

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau

Bài 9: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2, 3, 4. Hỏi mỗi đơn vị được chia bao
nhiêu tiền lãi nếu tổng tiền lãi là 135 triệu và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số
vốn đóng góp.
Giải
Gọi số tiền lãi được chia của ba đơn vị lần lượt là a, b, c (triệu đồng)
(a, b, c  N*; a, b, c  135 )
Theo đề bài ta có: a  b  c 135
Vì số tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vồn đóng góp nên a, b, c tỉ lệ thuận với 2, 3, 4,
do đó ta có:

a b c
 

2 3 4
a b c a  b  c 135
  

15
2 3 4 234
9
c 15.4 60

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Suy ra: a 15.2 30 ; b 15.3 45 ;
Vậy số tiền lãi được chia của ba đơn vị lần lượt là 30, 45, 60 (triệu đồng).

Bài 10: Hai ô tô cùng khởi hành từ A để đến B. Vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 km/h, vận
tốc của ô tô thứ hai là 60km/h. Ô tô thứ nhất đến sau ô tô thứ hai 36 phút. Tính
quãng đường AB.
Giải
Đổi 36 phút 0,6 giờ.
Gọi thời gian đi hết quãng đường AB của ô tô thứ nhất và ô tô thứ hai lần lượt là x, y (h).
( x, y  0 )
Theo đề bài ta có: x  y 0,6
Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là quãng đường nên:
x
y
x y
  
60 50
6 5
x y x y

0,6
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  
6 5 6 5
Do đó: x 6.0,6 3,6 ; y 0,6.5 3 (thỏa mãn)
50 x 60 y 

Vậy quãng đường AB dài: 60.3 180 (km).
3. Dạng 3: Toán giá trị biểu thức
x  2 y  3z

Bài 1: Cho P  x  2 y  3z . Tính giá trị biểu thức P biết x, y, z tỉ lệ với 5; 4; 3.
Giải
Vì x, y, z tỉ lệ với 5; 4; 3 nên

x y z
  .
5 4 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
x y z x  2 y  3z x  2 y  3z
  

(1)
5 4 3 5  2.4  3.3
4
x y z x  2 y  3 z x  2 y  3z


Và   
(2)
5 4 3 5  2.4  3.3
6
x  2 y  3z 4 2
x  2 y  3z x  2 y  3z
 


Từ (1) và (2) suy ra:
x  2 y  3z 6 3
4
6
2
3

Vậy P  .
Bài 2: Cho các số A, B,C tỉ lệ với các số a, b, c.
Ax  By  C

Chứng minh rằng giá trị biểu thức: Q  ax  by  c không phụ thuộc x, y.
Giải
Theo đề bài ta có:

A B C
  không đổi.
a b c
A


B

C

Ax  By  C

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a  b  c  ax  by  c
Ax  By  C

Vậy Q  ax  by  c có giá trị không đổi
Ax  By  C

hay giá trị biểu thức Q  ax  by  c không phụ thuộc x, y.
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
a b b c c d d a



Tính giá trị của biểu thức M 
.
c d d a a b b c
( a , b, c , d  0 , a  b  c  d  0 , a  b  0 , b  c  0 , c  d  0 , d  a  0 )


Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Giải
Phân tích: Nhận thấy vai trò của a, b, c, d như nhau và tổng các hệ số của a, b, c, d ở
trên tử số bằng nhau nên ta dự đoán: a b c d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d 5a  5b  5c  5d




5
a
b
c
d
a b c d
(1)
 2a  b  c  d 5a
 b  c  d 3a
 a  2b  c  d 5b
 a  c  d 3b
(2)


 
Do đó: 
(3)
 a  b  2c  d 5c
 a  b  d 3c

 a  b  c  2d 5d
 a  b  c 3d
(4)

Từ (1) và (2) suy ra b  a 3 a  b   4 a  b  0  a b
Từ (2) và (3) suy ra c  b 3 b  c   4 b  c  0  b c
Từ (3) và (4) suy ra d  c 3 c  d   4 c  d  0  c d
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
a b b c c d d a



1
Nên: a b c d 
c d d a a b b c
a b b c c d d a



1  1  1  1 4 .
Vậy M 
c d d a a b bc
a b c d
   với a  b  c  d 0 .
b c d a
2a  b 2b  c 2c  d 2d  a




Tính giá trị biểu thức M 
cd
d a
a b
bc

Bài 4: Cho

Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b c d a b c d
   
1
b c d a bcd a

Nên a b c d .
2a  b 2b  c 2c  d 2d  a 2a  a
a 1




 
cd
d a
a b
bc

aa
2a 2
2a  b 2b  c 2c  d 2d  a 1 1 1 1



    2 .
Vậy M 
cd
d a
a b
bc
2 2 2 2

Suy ra:

Bài 5: Cho

x  16 y  25 z  10


và 2 x 3  1 15 . Tính x  y  z .
9
16
25

Giải
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x  16 y  25 z  10 x  16  y  25  10  x  y  z   1





(1)
9
16
25
9  16  25
50

Mặt khác theo đề bài: 2 x 3  1 15  2 x 3 16  x 3 8  x 2
x  16 2  16

2 (2)
9
9
 x  y  z   1 2   x  y  z   1 100  x  y  z 99
Từ (1) và (2) suy ra
50
Phân tích: Từ giả thiết 2 x 3  1 15 ta có thể suy ra x 2 rồi thay vào dãy tỉ số bằng

Do đó:

nhau

x  16 y  25 z  10


tính cụ thể y, z ; từ đó tính được tổng x  y  z mà không cần
9

16
25

sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
4. Dạng 4: Toán chứng minh tỉ lệ thức
Bài 1: Cho

a 5 b 6
a 5

(với a 5 , b 6 ). Chứng minh 
a 5 b 6
b 6

Giải
Từ giả thiết

a 5 b 6
a 5 a  5


ta có
.
a 5 b 6
b6 b 6

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374



a 5 a 

b6 b
a 5 a 
Và b  6  b 

Từ (1) và (2) suy ra

Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
5 a  5  a  5 2a a

  (1)
6 b  6  b  6 2b b
5  a  5   a  5 10 5

  (2)
6  b  6    b  6 12 6

a 5
 .
b 6

a c
a 2  b 2 ab
a
,
b
,
c

,
d

0

 .
Bài 2: Cho
(với
). Chứng minh 2
b d
c  d 2 cd

Giải
Từ giả thiết

a c
a b
a
b
 ta có:   2  2
b d
c d
c
d
2

2

a2 b2
a2  b2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2  2  2
(1)
c
d
c d2
a b
a a a b
a 2 ab


    2 
Mặt khác:
(2)
c d
c c c d
cd
c
a 2  b 2 ab
 .
Từ (1) và (2) suy ra 2
c  d 2 cd

Bài 3: Chứng minh: nếu  a  b  c  d . a  b  c  d   a  b  c  d . a  b  c  d  thì

a b
 .
c d

Giải
Từ  a  b  c  d . a  b  c  d   a  b  c  d . a  b  c  d  ta có:


a b c d a b  c  d

a  bc d a  b cd

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a  b  c  d a  b  c  d  a  b  c  d    a  b  c  d  2a  2b a  b




(1)
a  b  c  d a  b  c  d  a  b  c  d    a  b  c  d  2a  2b a  b
a bc d

a b  c  d

a  b  c  d   a  b 

c  d

2c  2d

cd

Và a  b  c  d  a  b  c  d   a  b  c  d    a  b  c  d   2c  2d  c  d (2)
Từ (1) và (2) ta có:

a b c d
a b a  b




a b c d
cd c d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Và

a  b a  b a  b  a  b 2a a


  (3)
c  d c  d c  d  c  d 2c c
a  b a  b  a  b    a  b  2b b



 (4)
c  d c  d  c  d    c  d  2d d

Từ (3) và (4) suy ra
Bài 4: Cho

a b
 .
c d

a c

3
5a  3b 5a  3b


(với c  d ). Chứng minh
b d
5
5c  3d 5c  3d
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau

Giải
Từ giả thiết

a c
a b
 suy ra  .
b d
c d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Do đó:

a b 5a  3b
 
và
c d 5c  3d


a b 5a  3b
 
c d 5c  3d

5a  3b 5a  3b

.
5c  3d 5c  3d

Bài 5: Cho

a b c a

. Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c phân biệt đều khác 0 thì từ số
a b c a

a, b, c (có một số được dùng 2 lần) có thể lập thành một tỉ lệ thức.
Giải
Từ giả thiết

a b c a
a b a  b



.
a b c a
ca c a

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:


Và

a  b a  b a  b  a  b 2a a


  (1)
c  a c  a c  a  c  a 2c c
a  b a  b  a  b    a  b  2b b


  (2)
c  a c  a  c  a    c  a  2a a

Từ (1) và (2) suy ra

a b
 .
c a

Bài 6: Cho b 2 ac , c 2 bd . Với b, c, d 0 , b  c d , b 3  c 3  d 3 .
a3  b3  c3  a  b  c 
Chứng minh rằng: 3 3 3 

b c  d
bc d 

3

Giải

a b
 b  c
 b ac
a b c
 
  
Từ giả thiết:  2
b c d
 c bd
b c
 c d
2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a3 b3 c3  a  b  c 
Suy ra 3  3  3 

b
c
d
b c  d 

a b c a b  c
  
b c d bc d

3

(1)


Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta cũng có:

a3 b3 c3
a3  b3  c3



(2)
b3 c3 d 3 b3  c3  d 3

3

a3  b3  c3  a  b  c 
Từ (1) và (2) suy ra 3 3 3 
 .
b c  d
bc d 

Bài 7: Chứng minh rằng: nếu 2 x  y  5 y  z  3 z  x  thì

x y y z

.
4
5

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau


Giải
Ta có BCNN  2;5;3 2.3.5 30 .
Từ giả thiết 2 x  y  5 y  z  3 z  x  suy ra

x y yz zx


.
15
6
10

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x  y y  z z  x  z  x   y  z  x  y




(1)
15
6
10
10  6
4
x  y y  z z  x  x  y   z  x y  z





Và
(2)
15
6
10
15  10
5
x y y z

Từ (1) và (2) suy ra
.
4
5

Bài 8: Cho

3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
x y z


. Chứng minh rằng   .
4
3
2
2 3 4

Giải
Phân tích: Đây chính là dạng bài tương tự bài 3 – dạng 1 . Để giải ta tìm cách khử x,
y, z ở trên tử số bằng cách biến đổi sao cho hệ số của cùng một ẩn đối nhau.
Từ giả thiết


3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z


suy ra :
4
3
2
4. 3 x  2 y  3. 2 z  4 x  2. 4 y  3 z 
12 x  8 y 6 z  12 x 8 y  6 z





16
9
4
16
9
4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12 x  8 y 6 z  12 x 8 y  6 z 12 x  8 y  6 z  12 x  8 y  6 z



0
16
9

4
16  9  4
12 x  8 y 0

Do đó:  6 z  12 x 0  12 x 8 y 6 z
 8 y  6 z 0

x y z
  ( chia cho BCNN 12;8;6 24 )
2 3 4
bz  cy cx  az ay  bx


Bài 9: Chứng minh nếu
( a, b, c 0 ) thì x, y, z tương ứng tỉ lệ với
a
b
c


a, b, c.
Giải
Phân tích: Đây chính là dạng tổng quát của bài 8 ở trên. Để giải ta tìm cách khử x, y,
z ở trên tử số.
Từ giả thiết

bz  cy cx  az ay  bx


ta có:

a
b
c

a. bz  cy  b. cx  az  c. ay  bx 
abz  acy bcx  abz acy  bcx





2
2
2
a
b
c
a2
b2
c2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374


Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau
abz  acy bcx  abz acy  bcx abz  acy  bcx  abz  acy  bcx




0
a2
b2
c2
a2  b2  c2
 abz  acy 0
bcx acy abz
x y z



  
Do đó:  bcx  abz 0  bcx acy abz 
abc abc abc
a b c
 acy  bcx 0


Vậy nếu

bz  cy cx  az ay  bx


thì x, y, z tương ứng tỉ lệ với a, b, c.
a
b
c

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374



Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau

2n
2n
2n
Bài 10: Cho  x1 p  y1q    x 2 p  y 2 q      x m p  y m q  0 với mọi m, n  N * .

x  x   x

q

1
2
m
Chứng minh rằng y  y    y  p .
1
2
m

Giải
2n
Nhận thấy:  xi p  yi q  0 ( vói 1 i m )
2n
2n
2n
Nên từ giả thiết  x1 p  y1q    x 2 p  y 2 q      x m p  y m q  0 , ta có:

 x1 p 


y1 q 

2n

 x 2 p  y 2 q 

2n

  x m p  y m q 
x

2n

x

x

0
q

m
1
2
Suy ra: x1 p  y1q ; x 2 p  y 2 q ; … ; x m p  y m q  y  y   y  p (1)
1
2
m

x


x

x

x  x   x

m
1
2
m
1
2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: y  y   y  y  y    y (2)
1
2
m
1
2
m

x  x   x

q

1
2
m
Từ (1) và (2) suy ra y  y    y  p (đpcm).
1
2

m

Trình bày: TRẦN NGỌC HIẾU - 0359033374