BÀI T¤P TOÁN LDP 8

Ngày 13 tháng 5 năm 2016


Mnc lnc
1 HÌNH HOC
2
1.1 Đa giác - Di¾n tích đa giác . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Tn giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Hình thang và hình bình hành . . . . . . . . . 2
1.1.3 Hình chñ nh¤t . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Hình thoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Di¾n tích đa giác....................................................11
1.1.7 Bài t¤p ôn chương..................................................14
1.2 Đ%nh lý Thalet và tam giác đong dang.............................18
1.2.1 Đ%nh lý Thalet và h¾ qua.........................................18
1.2.2 Tam giác đong dang..................................................25
2 ĐAI SO
31
2.1 Phép nhân đa thnc.........................................................31
2.1.1 Nhân đa thnc - Hang đang thnc đáng nhó...........31
2.1.2 Phân tích đa thnc thành nhân tn........................32
2.1.3 Sn dnng phân tích thành nhân tn trong các
bài toán chia het.....................................................37
2.1.4 Phân tích thành nhân tn trong các bài toán
chnng minh đang thnc...........................................38
2.1.5 Phép chia đa thnc..................................................38
2.2 Phân thnc đai so............................................................41
2.3 Phương trình - Bat phương trình......................................47

2.3.1 Phương trình...........................................................47

1


Chương 1
HÌNH HOC
1.1
1.1.1

Đa giác - Di¾n tích đa giác
TN giác

Bài 1.1. Cho tú giác ABCD có AB = AD, CB = CD. Chúng
minh AC⊥BD
1.1.2

Hình thang và hình bình hành

Bài 1.2. Cho hình thang cân ABCD vói AB|| CD. GQi I là
giao điem cua AC, BD.
a) Chúng minh rang các tam giác IAB, ICD cân tai I
b) GQI M, N là trung điem AB, CD. Chúng minh rang M, I, N
thang hàng.
Bài 1.3. Cho tam giác ABC vuông cân tai A. Trên các canh
AB, AC lay các điem M, N sao cho AM = AN.
a) Tú giác BMNC là hình gì? Tai sao?
b) GQI I là giao điem cua BN và CM. Chúng minh IA⊥MN.
Bài 1.4. Cho hình thang cân ABCD có AB
|| CD, CD =

3AB. GQI H, K là hình chieu cua A, B trên CD.
a) Chúng minh DH = CK.

2


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

b) Tú giác ABCK là hình gì? Tai sao?
c) GQI I là giao điem cua BD và AH, O là giao điem cua AC
và BK. Chúng minh rang đưòng thang IO đi qua trung điem
cua AD, BC.
Bài 1.5. Cho tú giác ABCD có ∠A = ∠D = 900. GQI M
là trung điem cua canh BC.
a) Tú giác ABCD là hình gì? Tai sao?
b) Chúng minh rang tam giác ADM cân tai M
Bài 1.6. Cho hình thang vuông ABCD có ∠A = ∠D = 90o ,
CD = 2AB. ⊥
Ve DH AC, GQI M là trung điem CH. GQI N
là trung điem DH.
a) Tú giác ABMN là hình gì? Tai sao?
b) Tính ∠BMD.
Bài 1.7. Cho hình bình hành ABCD, m®t đưòng thang d
qua A và không vuông góc AC và không cat các canh cua
hình bình hành. GQI H, I, K lan lưot là hình chieu cua B, C,
D trên d.
a) Các tú giác BHKD, BHIC là hình gì? Tai sao?
1

b) GQI O là giao điem cua AC, BD. Chúng minh IO = AC
2
c) Chúng minh BH + DK = CI
d) Chúng minh tam giác OKH cân.
Bài 1.8. Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. GQI M
là trung điem BC. Ve AN ⊥CD.
a) Tú giác AMCD là hình gì? Tai sao?
b) GQI O là giao điem cua AC, BD. Chúng minh OMN là tam
giác cân.
3


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.9. Cho tam giác ABC, GQI N là trung điem AC,
trên canh BC lay M, Q thóa BM = M Q = QC. GQI I là
giao điem cua AM, BN .
a) Tú giác AMQN là hình gì? Tai sao?
b) Chúng minh I là trung điem BN và IA = 3IM.
Bài 1.10. Cho tú giác ABCD. GQI M, N, P, Q lan lưot là
trung điem các canh AB, BC, CD, DA.
1. Chúng minh MNPQ là hình bình hành.
2. GQI R, S là trung điem cua AC, BD. Chúng minh rang MP, NQ,
RS
cat nhau tai trung điem cua moi đưòng.
Bài 1.11. Cho hình bình hành ABCD. Lay G, K thu®c đoan
DB sao cho BG = GK = KD.
a) Chúng minh G, K lan lưot là trQNG tâm các tam giác ABC, ADC.

b) Tú giác AGCK là hình gì? Tai sao?
Bài 1.12. Cho tam giác ABC. GQI M, N, P lan lưot là
trung điem cua các canh BC, AC, AB.
a) Tú giác APMN là hình gì? Tai sao?
b) GQI K là giao điem cua MP và BN, H là giao điem cua CP
và MN. Chúng minh KH||BC và BC = 4KH.
Bài 1.13. Cho hình thang ABCD vói AB
||
2AB. GQI M là trung điem cua CD.

CD, CD =

a) Chúng minh AM ||BC, AD||BM.
b) GQI I là giao điem cua AM và BD, CI cat AD tai K.
Chúng minh KD = 2KA.
Bài 1.14. Cho hình bình hành ABCD, GQi H là hình chieu
cua A trên CD, K là hình chieu cua C trên AB. Chúng
minh rang KH, AC, BD đong quy.
4


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.15. Cho tam giác ABC NHQN. Ve phía ngoài tam
giác dnng các tam giác ABD, ACE vuông cân tai A. Dnng
hình bình hành ADF E.
a) Chúng minh rang AF = BC.
b) Chúng minh CD = BE và CD⊥BE.

c) Chúng minh AF ⊥BC.
d) GQI M là trung điem cua BC. Chúng minh AM ⊥DE.
1.1.3

Hình chÑ nh¾t

Bài 1.16. Cho tú giác ABCD có AC⊥ BD. GQI M, N, P, Q
lan lưot là trung điem cua AB, BC, CD, DA. Tú giác
M N P Q là hình gì? Tai sao?
Bài 1.17. Cho tam giác ABC vuông tai A và AB < AC. GQI
M, N, P lan lưot là trung điem các canh BC, AC, AB.
a) Các tú giác PNMB, PNCM là hình gì? Tai sao?
b) Tú giác APMN là hình gì? Tai sao?
c) Ve đưòng cao AH. Tú giác PHMN là hình gì? Tai sao?
Bài 1.18. Cho tam giác ABC vuông tai A. M là m®t điem
trên canh BC, đưòng thang qua M song song AC cat AB tai
D, qua M song song vói AB cat AC tai E.
a) Tú giác ADME là hình gì? Tai sao?
b) Chúng minh ∠ADE = ∠AME.
C)

GQI I là giao điem cua AM và DE, H là chân đưòng cao ha
AM
tù A. Chúng minh HI =
2

d) Đưòng thang qua A vuông góc vói DE cat BC tai K. Chúng
minh ∠BAK = ∠CAM.
5



Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.19. Cho tú giác ABCD có ∠A = ∠B = 90o và AB =
AC. Tú giác ABCD có phai hình chu nh¾t không? Tai sao?
Bài 1.20. Cho tam giác ABC có ∠A = 60o . M là m®t
điem thu®c canh BC, GQI D, E là hình chieu vuông góc
cua M trên các đưòng thang AB, AC. GQI K là trung điem
cua AM .
a) Chúng minh tam giác KDE cân tai K.
b) Tính ∠DKE.
Bài 1.21. Cho hình thang vuông ABCD, ∠A = ∠D = 90o ,
CD = 2AB. GQI M là trung điem cua canh CD.
a) Tú giác ABMD, ABCM là hình gì? Tai sao?
b) Chúng minh BD = BM
c) Ve DK⊥BC. Tú giác ABKM là hình gì? Tai sao?
Bài 1.22.
Cho hình chu nh¾t ABCD,
lay điem M thóa ∠AMC
o
o
= 90 . Chúng minh ∠BMD = 90 .
Bài 1.23. Cho tam giác ABC vuông tai A có đưòng cao
AH. GQI D, E lan lưot là hình chieu cua H trên AB, AC.
GQI I là giao điem cua AH và DE.
a) Chúng minh AH = DE.
b) GQI M là trung điem BC. Chúng minh AM ⊥DE.
c) GQI N, P là trung điem cua BH, CH. Tú giác NDEP là

hình gì? Tai sao?
Bài 1.24. Cho tam giác ABC vuông cân tai A. M là m®t
điem thay đoi trên canh BC. GQI D, E là hình chieu vuông
góc cua M trên AB, AC.
a) Chúng minh MD + ME có đ® dài không đoi.
b) GQI P là trung điem BC. Chúng minh tam giác DPE vuông
cân.
6


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.25. Cho hình chu nh¾t ABCD, GQI H là hình chieu
cua cua A trên DB. GQI M, N, I lan lưot là trung điem HB,
CD, AH.
a) Chúng minh ∠HAD = ∠BAC.
b) Chúng minh I là trnc tâm tam giác ADM
c) Tính ∠AMN.
1.1.4

Hình thoi

Bài 1.26. Cho tú giác ABCD có AB = CD. GQI M, N,
P, Q là trung điem các canh AB, AC, CD, DB. Chúng
minh tú giác M N P Q là hình thoi.
Bài 1.27. Cho hình thoi ABCD có AB = 6, ∠A = 120o.
a) Tính AC, BD.
b) GQI E là điem đoi xúng cua A qua BC. Chúng minh D, E, C

thang hàng. Tú giác AEBD là hình gì? Tai sao?
Bài 1.28. Cho tam giác đeu ABC, đưòng cao AD và trnc tâm
H. M®t điem M bat kì trên canh BC, ké⊥ME AB và MF
AC, I là trung điem AM.
a) Chúng minh rang tú giác DEIF là hình thoi.
b) Chúng minh rang các đưòng thang MH, ID, EF đong qui.
Bài 1.29. Cho tú giác ABCD có AC = BD. GQI M, N, P, Q
lan lưot là trung điem các canh AB, BC, CD, DA. Chúng minh
rang M P ⊥N Q.
Bài 1.30. Cho tú giác ABCD có AD = BC. GQI M, N, P, Q lan
lưot là trung điem cua AB, AC, CD và BD.
a) Chúng minh MP ⊥NQ.
b) Gia su đưòng thang MN cat các đưòng thang AD và BC tai
E và F. Chúng minh ∠DEP = ∠CFP.
7


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.31. Cho hình bình hành ABCD. Đưòng phân giác góc
∠ADC cat các đưòng thang AB, BC tai M và N. Đưòng thang
qua M song song vói AD cat CD tai P, đưòng thang qua N song
song vói AB cat AD tai Q. Chúng minh AP ||CQ.
Bài 1.32. Cho hình thoi ABCD có BD = AB.
a) Tính các góc cua hình thoi.
b) Điem M thu®c canh AB và điem N thu®c canh BC sao cho
∠MDN = 60o. Chúng minh MN = AB.
Bài 1.33. Cho hình thoi ABCD vói góc B tù. GQI M, N

lan lưot là hình chieu cua B trên AD, CD. GQI P, Q lan lưot
là hình chieu cua D trên AB, BC. GQI H là giao điem cua
M B, P D; K là giao điem cua BN và DQ; O là giao điem
AC, BD.
a) Chúng minh H là trnc tâm tam giác ABD.
b) Chúng minh A, H, K, C thang hàng.
c) Chúng minh ∠PDQ = ∠MBN và ∠PHM = ∠QKN.
d) Chúng minh BHDK là hình thoi.
Bài 1.34. Cho hình thoi ABCD canh a và ∠A = 1200. M®t
đưòng thang cat các canh AB, AC tai M, N sao cho AM +AN
= a.
a) Tính các góc cua tam giác MDN.
b) Chúng minh rang trung điem cua đoan MN luôn thu®c m®t
đưòng thang co đ%nh.
Bài 1.35. Cho hình thoi ABCD vói góc A tù. GQI H, K là hình
AC

8


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

chieu cua A trên các canh CB, CD.
Gia su HK =
là giao điem cua hai đưòng chéo AC,
BD.
a) Chúng minh tam giác HOK đeu.
b) Chúng minh ∠BAD = 150o.


9

2

. GQI O


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.36. Cho tam giác ABC, trên tia đoi cua tia BA, CA
lay các điem M, N thay đoi sao cho BM = CN . GQI P, Q là
trung điem BN, CM . Chúng minh rang P Q luôn vuông góc
vói m®t đưòng thang co đ%nh.
1.1.5

Hình vuông

Bài 1.37. Cho tú giác ABCD có AC⊥ BD, AC = BD.
GQI M, N, P, Q là trung điem cua các đoan AB, BC, CD, DA.
Chúng minh rang tú giác MNPQ là hình vuông. Tù đó suy ra
MP vuông góc và bang NQ.
Bài 1.38. Cho tam giác ABC vuông tai A, phân giác trong AD
(D thu®c BC). GQI E, F là hình chieu cua D trên các canh
AB và AC.
a) Tú giác AEDF là hình gì? Tai sao?
b) GQI H, K là hình chieu cua E và F trên canh BC. Chúng minh
EH = DK.

Bài 1.39. Cho đoan thang AB và điem C nam giua A, B. Ve
m®t nua m¾t phang bò là đưòng thang AB dnng các hình vuông
ACDE và BCFG.
a) Tính ∠ECG.
b) Chúng minh AD⊥BF.
c) Chúng minh BD = AF và BD⊥AF.
d) GQI M là giao điem cua BD và AF. Chúng minh E, M, G
thang hàng.
Bài 1.40. Cho tú giác ABCD có AC⊥ BD, AC = BD.
GQI M, N, P, Q là trung điem cua các đoan AB, BC, CD, DA.
Chúng minh rang tú giác MNPQ là hình vuông. Tù đó suy ra
MP vuông góc và bang NQ.

10


Bài t¾p toán lóp 8

Nguyen Tăng Vũ

Bài 1.41. Cho tam giác ABC vuông cân tai A. GQI M, N, P lan
lưot là trung điem cua các canh BC, AC, AB.
a) Tú giác ANMP là hình gì? Tai sao?
b) D là m®t điem thu®c đoan BM. GQI E là hình chieu cua B
trên đưòng thang AD. Trên tia AD lay điem F sao cho AF =
BE. Chúng minh CF = AE.
c) Chúng minh tam giác MEF vuông cân.
d) AM cat BE tai K. Chúng minh DK||AC.
Bài 1.42. Cho hình vuông ABCD, GQI E, F lan lưot là
trung điem cua các canh BC, CD. GQI G là giao điem cua AE

và BF.
a) Chúng minh AE = BF và AE⊥BF.
b) GQI H là trung điem AB. Tú giác AFBH là hình gì? Tai sao?
c) Chúng minh tam giác ADG cân tai D.
d) BF cat AC tai L. Chúng minh D, E, L thang hàng.
Bài 1.43. Cho tam giác ABC vuông tai A, phân giác trong
góc A cat BC tai D. GQI E, F là hình chieu cua D trên
các đưòng thang AB và AC.
a) Tú giác AEDF là hình gì? Tai sao?
b) Ve đưòng cao AH cua tam giác ABC. Tính ∠EHF.
c) Đưòng trung trnc canh BC cat AD tai M. Tính ∠CBM.
Bài 1.44. Cho tam giác vuông ABC vuông góc tai A. Dnng ve
phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACFG. GQI K
là
giao điem các tia DE và FG; M là trung điem cua EG.
a) Chúng minh ba điem K, M, A thang hàng.
b) Chúng minh MA⊥BC
c) Chúng minh các đưòng thang DC, FB AM đong qui.
11


Bài t¾p toán lóp 8

1.1.6

Nguyen Tăng Vũ

Di¾n tích đa giác

Bài 1.45. Cho tam giác ABC. M là điem thu®c canh BC sao

cho BM = 2MC, N là trung điem cua AC.
a) Chúng minh di¾n tích hai tam giác ABN và ACN bang nhau.

12


Bài t¾p toán lóp 8

b) Chúng minh SAMC =

Nguyen Tăng Vũ

1

1

SABM = SABC
3
2
c) GQI H, K là hình chieu cua B và C trên đưòng thang AM.
BH
Tính
.
CK
Bài 1.46. Cho tam giác ABC có trQNG tâm G. Chúng minh rang
di¾n tích các tam giác GAB, GBC và GCA bang nhau.
Bài 1.47. Cho tam giác ABCD có M và N lan lưot là trung điem
các canh AB và AC.
a) Chúng minh SANM = SBNM = SCMN .
1

b) Chúng minh SAMN = S
BMNC
3
c) GQI G là giao điem cua BN và CM. Chúng minh SCBG =
4SMNG .
Bài 1.48. Cho hình thang ABCD có đáy nhó là AB. GQi O
là giao điem cua AC và BD.
a) Chúng minh rang di¾n tích các tam giác ABD và ACD bang
nhau.
b) Chúng minh SOAD = SOBC .
c) GQI M, N lan lưot là trung điem cua AD và BC. Tìm đieu
ki¾n cua AB và CD đe di¾n tích tú giác ABMN bang nua
di¾n tích tú giác CDMN.
Bài 1.49. Cho hình thang ABCD có AB ||CD. GQI M là trung
điem BC. Chúng minh SAM D = SAM B + SCM D .

13


Bài 1.50. Cho tú giác ABCD có M, N lan lưot là trung điem cua
các canh AB và CD. Chúng minh rang SDMBN = SADM + SBCN .
Bài 1.51. Cho tam giác ABC. Các điem M thu®c BC sao cho
BC = 3MC, N thu®c canh AC sao cho NA = NC, P thu®c canh
AB sao cho AB = 6PB. AM cat CP tai R và BN tai S, BN và
CP cat nhau tai Q. Chúng minh rang di¾n tích tam giác QRS
bang tong di¾n tích các tam giác ANS, BPQ và CMR.
Bài 1.52. Cho tam giác ABC. M là điem thu®c canh BC sao
cho MB = 3MC, N là trung điem cua AC.
SAMC
a) Tính ts so

.
SABC


b) Chúng minh SABN = 4
SBNM

c) GQI

3
.
DA
DN
D là giao điem cua AM và BN. Tính
và
DM
DB

Bài 1.53. Cho tam giác ABC, phân giác trong góc A cat BC tai
D.
a) Chúng minh rang DB
DC

=

AB
AC

.


b) Đưòng thang qua A vuông góc vói AD cat đưòng thang BC
EB AB
tai E. Chúng
=
minh
EC
AC
Bài 1.54. Cho tam giác NHQN ABC và điem P nam trong
tam giác. AP cat canh BC tai M.
S PBM
BM
a) Chúng minh
=
SAPB
=
SP CM
CM
SACP
S PBC
PM
b) Chúng minh
=
SABC
AM


Bài 1.55. Cho tú giác ABCD, O là giao điem hai đưòng
chéo. GQI M, N lan lưot là trung điem cua AB và BC.
Chúng minh rang:



a) SDMBN = 1
SABCD.
21
b) SDMN
SABCD
>
4
Bài 1.56. Cho hình bình hành ABCD. M, N, P là các điem
1
thu®c canh cua hình bình hành. Chúng minh S MNP ≤
SABCD
2
khi:
a) M, N thu®c m®t canh cua hình bình hành.
b) 3 điem M, N, P thu®c ba canh khác nhau.
Bài 1.57. Cho tam giác NHQN trnc tâm H. Chúng minh rang
AH.BC + BH.AC + CH.AB = 2SABC
Bài 1.58. Chúng mình rang trong hai tam giác đong dang thì ty
so di¾n tích bang bình phương ty so đong dang.
Bài 1.59. Cho tam giác ABC có di¾n tích là S. Tính di¾n tích
cua tam giác có đ® dài bang đ® dài cua các đưòng trung tuyen.
Bài 1.60. Cho tam giác ABC. Trên canh BC lay D, E sao cho
AD = BE (D nam giua A và E); trên canh AC lay F, G sao
cho AF = CG ( F nam giua A và G); trên canh BC lay điem
H, I sao cho BH = CI( H nam giua B và I). Chúng minh
rang
SEFI = SDHG.
Bài 1.61. Cho tam giác ABC. D và E là hai điem trên canh
AB, AC. M là trung điem cua BC. Chúng minh rang di¾n tích

tam giác MDE không vưot quá nua di¾n tích tam giác ABC.
Bài 1.62. *Cho tam giác ABC vuông tai A. AH là đưòng
cao. GQI I, J lan lưot là giao đem các đưòng phân giác cua
các tam giác ABH và ACH. Đưòng thang IJ cat các canh AB,
AC tai M
1
và N. Chúng minh rang SAMN ≤
SABC.
2


Bài 1.63. Cho hình vuông ABCD. M là m®t điem trên
đưòng chéo AC. GQI E, F lan lưot là hình chieu cua M
trên các canh BC và CD. Tìm v% trí cua M đe di¾n tích tam
giác AEF là nhó nhat.
Bài 1.64. *Cho tam giác NHQn ABC. M là m®t điem thay
đoi trong tam giác. Tìm v% trí cua M sao cho MA. BC +
MB.AC + MC.AB đat giá tr% nhó nhat.
Bài 1.65. *Cho tam giác đeu ABC. M là m®t điem nam trong
tam giác. Chúng minh rang tam giác có các canh bang các đoan
thang MA, MB, MC có di¾n tích không vưot quá 1/3 di¾n tích
tam giác ABC.
Bài 1.66. *Cho tam giác ABC. D và E là hai điem trên AB và
AC sao cho BE = CD, BE và CD cat nhau tai P. Chúng minh
rang phân giác góc BPC luôn đi qua m®t điem co đ%nh.
Bài 1.67. **Cho tam giác ABC và m®t điem M nam trong tam
giác. GQI x, y, z lan lưot là khoang cách tù M đen BC, AC,
AB. GQI a, b, c lan lưot là đ® dài các canh cua tam giác ABC.
1. Chúng minh MA.a ≥ by + cz
2. Chúng minh MA.a ≥ bz + cy

3. Chúng minh MA + MB + MC ≥ 2(x + y + z).
1.1.7

Bài t¾p ôn chương

Bài 1.68. Cho tú giác ABCD; các tia AB và CD cat nhau tai
điem P; các tia DA và CB cat nhau tai Q. Hai góc B và D bù
nhau. Chúng minh rang các đưòng phân giác cua hai góc
APD và CQD vuông góc nhau.
Bài 1.69. Cho tú giác loi ABCD; M và N theo thú tn là trung
điem cua các canh AB, CD. Tia MN cat các tia AD ò E và tia
BC ó F. Chúng minh rang đieu ki¾n can và đu đe góc∠AEM
=
∠BFM là tú giác ABCD có hai canh đoi AD và BC bang nhau.


Bài 1.70. Cho tú giác loi ABCD có AB = CD; GQI I là
trung điem cua đưòng chéo AC và K là trung điem cua
đưòng chéo DB. Chúng minh rang đưòng thang IK tao vói AB
và CD nhung góc bang nhau.
Bài 1.71. Trong tú giác loi ABCD, GQI AJ, B J, C J, DJtheo thú
tn là trQNG tâm cua các tam giác BCD, ACD, ABD, ACB.
Chúng minh rang bon đưòng thangAAJ, BB J, CC J, DD Jđong
qui.
Bài 1.72. Cho tam giác đeu ABC. Tù m®t điem M thu®c mien
trong cua tam giác ta ké các đưòng thang song song vói BC cat
AB ó D, đưòng thang song song vói AC cat BC tai E, song song
vói AB cat AC tai F.
a) Chúng minh rang chu vi tam giác DEF bang tong khoang
cách tù M đen các đsnh cua tam giác ABC.

b) Tìm v% trí cua M đe chu vi tam giác DEF nhó nhat.
Bài 1.73. Cho tam giác ABC vuông góc tai đsnh A. Ké
đưòng cao AH. Tù H, ta ⊥
ké HD AC, HE
AB; GQI M, N
theo thú tn là các trung điem cua các đoan thang HB, HC.
a) Chúng minh rang tú giác DEMN là hình thang.
b) GQI P là giao điem cua DE vói AH và Q là trung điem cua
MN. Chúng minh rang PQ⊥DE, và 2PQ = DM + EN.
Bài 1.74. Cho tam giác ABC có ba góc NHQN, các đưòng
cao BH, CK. GQI D và E lan lưot là hình chieu cua B và
C trên HK. Chúng minh rang DK = EH.
Bài 1.75. Cho hình thang ABCD ( AB //CD). GQI E và F lan
lưot là trung điem hai đưòng chéo DB và AC;G là giao
điem cua đưòng thang qua E vuông góc vói AD và đưòng thang
qua F vuông góc vói BC. Chúng minh rang tam giác GCD cân.
Bài 1.76. Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhó. Đ® dài
đưòng cao bang đ® dài đưòng trung bình cua hình thang.
Chúng minh rang BD⊥AC.


Bài 1.77. Trên đoan thang AB lay các điem M và N (M
nam giua A và N). Ve ve m®t phía đoan thang AB các tam
giác đeu AMD và MNE, BNF. GQI G là trQNG tâm cua tam
giác DEF. Chúng minh rang khoang cách tù trQNG tâm G
đen AB không phn thu®c vào v% trí cua các điem M, N trên
đoan AB.
Bài 1.78. Cho tam giác NHQN ABC. Ké đưòng cao AD,
GQI E và F là điem đoi xúng cua D qua AB và AC. EF
cat AB, AC lan lưot tai K và H. Chúng minh rang AD, BH,

AK đong qui.
Bài 1.79. Cho hình bình hành ABCD có góc A bang 120o.
Đưòng phân giác cua góc D đi qua trung điem I cua canh AB.
a) Chúng minh rang AB = 2AD.
b) Ké AH⊥DC. Chúng minh rang DI = 2AH.
c) Chúng minh rang AC⊥AD.
Bài 1.80. Cho hình chu nh¾t ABCD. GQI H là hình chieu
cua C trên đưòng thang BD. GQI M, N, P lan lưot là trung điem
cua AB, CD và DH.
a) Tú giác BCNM là hình gì? Tai sao?
1
b) Chúng minh NP = CH và ∠DNP = ∠DBC
2
c) MN cat DB tai O. Chúng minh A, O, C thang hàng.
d) Tính ∠CPM.
Bài 1.81. Cho tam giác ABC cân tai A. D là m®t điem thu®c
canh BC (DB < CD). Đưòng thang qua D vuông góc vói BC cat
AB tai E và AC tai F. Dnng các hình chu nh¾t BDEG và CDFH
có tâm lan lưot là I và K.
a) Chúng minh AIDK là hình bình hành.
b) Chúng minh AKIG là hình bình hành.


c) Chúng minh A là trung điem cua GH.
d) GQI M là trung điem BC, O là trung điem IK. Chúng minh
AD = 2MO.
Bài 1.82. Cho tam giác ABC vuông tai A, đưòng cao AH.
Đưòng thang qua H song song AC cat AB tai D, song song
AB cat AC tai E.
a) Chúng minh DE = AH.

b) GQI M, N là trung điem HB, HC. Tú giác DENM là hình gì?
Tai sao?
Bài 1.83. Cho đoan thang AB, Ax và By là hai tia cùng thu®c
nua m¾t phang và cùng vuông góc vói AB. M là trung điem AB.
C thu®c Ax, và D thu®c Oy sao cho ∠CMD = 900.
a) Chúng minh CM là phân giác cua ∠DCA.
b) Chúng minh CD = CA + DB.
c) Đưòng thang qua A và B vuông góc vói CD cat MC, MD lan
lưot tai E và F. Chúng minh ABFE là hình bình hành.
Bài 1.84. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác dnng các
hình vuông ABDE, ACGH, BCMN. GQI O1 , O2 , O3 theo thú tn
là tâm cua các hình vuông ay. GQI I là trung điem canh BC.
a) Chúng minh tam giác O1IO2 vuông cân.
b) Chúng minh ba đưòng thang O3A, O2B, O1C đong qui.
Bài 1.85. Cho hai hình vuông ABCD, DEFG sao cho D nam
giua A và E, đong thòi ca hai hình vuông nam cùng phía cua
đưòng thang AE. Trên tia AD lay điem H, trên tia đoi cua tia
CD lay điem K sao cho AH = CK = GF.
a) Chúng minh rang BHFK là hình vuông.
b) GQI I là giao điem cua BF và CD. Chúng minh rang ∠ABH =
∠IHF.


1.2
1.2.1

Đ%nh lý Thalet và tam giác đong dang
Đ%nh lý Thalet và h¾ qua

Bài 1.86. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và BC = 6.

M là m®t điem thu®c canh BC sao cho BM = 2. Đưòng thang
qua M song song vói AB cat AC tai E, đưòng thang qua M song
song vói AC cat AB tai D.
a) Tính đ® dài các đoan thang AD, AE.
b) Tính đ® dài MD, ME.
c) Đưòng thang qua A song song vói BC cat MD và ME tai P
và Q. Tính AP, AQ.
Bài 1.87. Cho hình thang ABCD vuông có ∠A = 900, ||AB CD,
AB = 3, CD = 6, BC = 5. GQI O là giao điem cua AC và
BD, K là
giao điem cua AD và BC.
a) Tính đ® dài AD, AC.
b) Tính KD
c) Tính OA, OB.
d) Đưòng thang qua O song song vói AB cat AD và BC tai M
và N. Tính OM, ON.
Bài 1.88. Cho tam giác ABC, điem M thu®c canh AC sao cho
MC = 2AM. Đưòng thang qua M song song vói AB và cat BC
tai N, đưòng thang qua N song song vói BM và cat AC tai P.
CN
a) Tính
CB
CP
CP
b) Tính
và
CM
CA
Bài 1.89. Cho tam giác ABC, điem M là điem thu®c canh AC
sao cho MC = 2AM, N là trung điem BC. Đưòng thang qua N

song song vói BM cat AC tai P.


a) Chúng minh CP = PM = AM.
b) GQI D là giao điem cua AN và BM. Chúng minh D là trung
điem cua AN.
DM
c) Tính
.
BM
Bài 1.90. Cho hình thang ABCD có AB
CD, GQI I là giao
||
điem cua AC và BD, đưòng thang qua I song song vói AB cat
AD và BC tai M và N.


a) Chúng
minh
b) Chúng
minh

AM
MD
IM

=

=
CD


AI
IC
IN

=

BN
NC

, suy ra I là trung điem MN.

CD
c) GQI P là trung điem cua AB, PI cat CD tai Q. Chúng minh
Q cũng là trung điem cua CD.
Bài 1.91. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điem cua
CD. AM cat các đưòng thang BD và BC tai N và P.
a) Chúng minh NB = 2ND, PB = 2PC.
b) Chúng minh AN

2

= MN.MP.

Bài 1.92. Cho tam giác ABC, trên các canh AC và AB lay các
điem M, N sao cho MA = MC, NB = 2NA, MN cat BC tai P.
Đưòng thang qua B và song song vói AC cat PM tai Q.
a) Chúng minh AM = 2QB.
b) Chúng minh B là trung điem cua PC.
Bài 1.93. Cho tam giác ABC, M thu®c canh BC. Đưòng thang

qua B song song AM cat AC tai P, đưòng thang qua C song song
AM cat AB tai Q.
AC
AB
a) Cho BM = 2MC. Tính
và
AP
AQ