Bài tập
Toán 8

Học kì
2

Bài tập Toán 8

MỤC LỤC

Học kì

Phần 1. Đại Số

Phần 1. Đại Số.................................................................................................... 1
Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN...............................1
Phương trình................................................................................................... 1
Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0.....................................................4
Phương trình tích............................................................................................ 8
Phương trình chứa ẩn ở mẫu........................................................................ 11
Phương trình có hệ số chứa tham số........................................................... 13
Giải bài toán bằng cách lập phương trình...................................................16
Ôn tập chương 3........................................................................................... 24
Các đề kiểm tra chương 3............................................................................ 27
Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN......................31
Bất đẳng thức - Tính chất của bất đẳng thức...............................................31
Bất phương trình một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn......................35
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.......................................................42
Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai...........................46
Ôn tập chương 4........................................................................................... 48
Các đề kiểm tra chương 4............................................................................ 51

Phần 2. Hình học............................................................................................. 55
Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG...................................................... 55
Đoạn thẳng tỉ lệ............................................................................................ 55
Định lý Ta-lét (Thalès) trong tam giác........................................................58
Tính chất đường phân giác của tam giác.....................................................64
Tam giác đồng dạng.....................................................................................67
Ôn tập chương 3...........................................................................................80
Các đề kiểm tra chương 3............................................................................86
Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU...................90
Hình hộp chữ nhật. Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian............90
Hình lăng trụ đứng.......................................................................................96
Hình chóp đều............................................................................................100
Ôn tập chương 4.........................................................................................103
Ôn tập học kì 2...............................................................................................105

Chương III:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN


Phương trình
1. Phương trình một ẩn
 Một phương trình với ẩn x luôn có dạng: A(x) = B(x), trong đó vế trái
A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
 Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0 ) = B(x0 ) là một đẳng thức đúng thì
x = x0 được gọi là một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).
 Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, …,
vô số nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình
vô nghiệm).
 Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập
nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu bởi chữ S.

 Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm)
của phương trình đó.
 Số nghiệm của phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giác trị
của ẩn trên tập hợp số nào.

2. Hai phương trình tương đương
a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng
có chung một tập hợp nghiệm.

Phần 3. Các đề kiểm tra học kỳ II................................................................110

 Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương
với phương trình (2), ta viết: (1)  (2).

MỤC LỤC......................................................................................................124

 Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
124

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
1



Bài tập
Toán 8

Học kì
2

của chúng bằng )

 Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng
các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập
này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không
b) Hai qui tắc biến đổi tương đương:
 Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được một
phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
A( x ) = B( x ) + C( x ) ⇔ A( x ) − C( x ) = B( x )
 Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 vế của
một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với
phương trình đã cho.
A( x ) = B( x ) ⇔ m.A( x ) = m.B( x ) ( m ≠ 0 )
3.1

Cho hai phương trình:

x2 – 5x + 6 = 0

Bài tập
Toán 8


Học kì
2

Bài 4: Hai xe khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, đường dài 180 km. Vận tốc
của xe thứ nhất kém xe kia 10 km/h nên đến B trễ hơn xe kia 36 phút. (2
xe chạy không nghỉ). Tìm vận tốc bình quân của mỗi xe.
Bài 5: Cho ∆ABC (AB > AC), có 3 góc nhọn và 2 đường cao BE, CF
(E ∈ AC, F ∈ AB)
a) Chứng minh: ∆AEB  ∆AFC.
b) Chứng minh: ∆AEF  ∆ABC.
c) Tia FE cắt BC tại H. Chứng minh: HE.HF = HB.HC.
d) Vẽ HK // AB, HG // AC (K ∈ tia AC, G ∈ tia BA).
AG
AK
Chứng minh:
+1=
.
AB
AC

(1)

x + (x – 2)(2x + 1) = 2.

(2)

a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2.
b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?
3.2


3.3

Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) 2(x + 1) = 3 + 2x

b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0

c) | x | = –1

d) x2 + 1 = 0

Xét tính tương đương của các phương trình:

Khi

(1 – x)(x + 2) = 0

(1)

(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0

(2)

(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0
(3)
a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N.
b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z.
c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q.
d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R.


Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
2

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
123


Bài tập
Toán 8

Học kì
2

Đề 1

Bài tập
Toán 8

3.4

Bài 1: Giải các phương trình sau:
b) (2x − 6)(x + 20) = 0


a) 3x −1 = x − 5
2x −1 3x − 5 x −1
c)
+
=
3
4
5
x −11 x −13 x −15

x − 3 x + 3 2x(x +
d)
+
=
2
1) x + 3x − 3
x −9
x −17

Học kì
2

Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương
đương, không tương đương. Vì sao ?
2
a) 3x + 2 = 1
và
x+1=
3
b) x + 2 = 0


và

(x + 2)(x – 1) = 0

c) x + 2 = 0

và

(x + 2)(x2 + 1) = 0

và

x2 – 4 = 0

1

2
d)
1 x –4+

=

+
+
+
= 4
89
87
85

83
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

e) 2x + 3 = x + 5

và

2x + 3 +

x + 5 x −2 x + 2
−
≤
6
9
3

f) 2x + 3 = x + 5

và

1 =x+5+
2x + 3 + x − 2
x −2

g) x + 7 = 9

và

x2 + x + 7 = 9 + x2


h) (x + 3)3 = 9(x + 3)

và

(x + 3)3 – 9(x + 3) = 0

i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0

và

x2 – 15x + 56 = 0

j) 2x – 1 = 3

và

x(2x – 1) = 3x

e)

a) 14x + 15 < −20 + 7x

b)

x −2

Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h, rồi trở về A với vận
tốc 15 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 60 phút. Tính
quãng đường AB?
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết AB= 9cm, AC = 12cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC
b) Chứng minh: ∆ABC  ∆HAC.

3.5
2

c) Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. C/minh: AH = AF.AC.
d) Tính diện tích ∆AEF.

Đề 20
Bài 1: Giải phương trình
a) 3(x – 2) = 2 – (x – 4)
x + 3 x −1
c) x +1+ x = 2

2

b) x – 7x = 0

3.6

d) (3x – 1)(4x+3)=12x(x – 4)

2

1

=x+5+
x+1


1
x+1
1

Tìm giá trị của k sao cho:
a) Phương trình: 2x + k = x – 1

có nghiệm x = – 2.

b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40

có nghiệm x = 2

c) Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k)

có nghiệm x = 1

d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80

có nghiệm x = 2

Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:
a) mx2 – (m + 1)x + 1 = 0

và

(x – 1)(2x – 1) = 0

b) (x – 3)(ax + 2) = 0


và

(2x + b)(x + 1) = 0

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 26x – 14 ≤ 12 + 20x

x
x x +1
6 − x > 3− 2

Bài 3: Tìm số nguyên x bé nhất thỏa: (x – 2)3 > (x – 2)(x2 – 4x)
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
122

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
3


Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b =
Bài 1: Giải các phương trình sau:

0 Phương trình đưa được về dạng ax +


a)

(x

2

2

−3

Đề
18

) + 2 ( x − 3) =

0

b=0

2x −1 3 − x −1
−
=
12
18
36
x
3
c)
+
=


b)

Định nghĩa
Phương trình dạng ax + b = 0; với a, b là những hằng số, a  0 được gọi
là phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải phương trình đưa được về phương trình bậc
nhất

x + 11 x −12

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số:

Quy đồng mẫu thức 2 vế.

x − 2 x − 5 10x −1
+
>
10
15
30

Khử mẫu thức 2 vế.
Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một
vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình vầ dạng Ax = B.
3.7

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
b) x + x2 = 0


c) 1 – 2t = 0

d) 3y = 0

e) 0x – 3 = 0

f) (x2 + 1)(x – 1) = 0

3.8

3.9

h) – 2x + 5x = 0

Một ôtô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi từ A đến B ôtô chạy với vận
tốc 50km/h, lúc về từ B đến A ôtô chạy với vận tốc 60km/h, vì vậy thời
1

1. a) 3x – 2 = 2x – 3

2

giờ. Tính độ dài quãng đường AB.
b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y

g) 0x + 0 = 0

Giải các phương trình sau:
a) 7x + 12 = 0


b) 5x – 2 = 0

c) 12 – 6x = 0

d) – 2x + 14 = 0

e) 3x + 1 = 7x – 11

f) 2x + x + 12 = 0

g) x – 5 = 3 – x

h) 7 – 3x = 9 – x

i) 5 – 3x = 6x + 7

j) 11 – 2x = x – 1

k) 15 – 8x = 9 – 5x

l) 0,25x + 1,5 = 0

Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập
phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
a) 3x – 11 = 0

3.10

2


Bài 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

gian về ít hơn thời gian đi
là

a) 1 + x = 0

g) 0,5x – 3,5x = 0

−12x + 33
( x + 11)( x −12)

b) 12 + 7x = 0

c) 10 – 4x = 2x – 3

Giải các phương trình sau:

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
4

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
121



Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có AB = 15cm, AD = 20 cm và
AM = 12cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ.
Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 15cm. AC = 20cm. Vẽ AH vuông góc
với BC tại H.
a) Chứng minh ∆HBA và ∆ABC đồng dạng
b) Tính độ dài các cạnh BC, AH
c) Vẽ tia phân giác của góc BAH cắt cạnh BH tại D. Tính độ dài các
cạnh BD, DH
d) Trên cạnh HC lấy điểm E sao cho HE = HA, qua E vẽ đường thẳng
vuông góc với cạnh BC cắt cạnh AC tại M, qua C vẽ đường thẳng
vuông góc với cạnh BC cắt tia phân giác của góc MEC tại F.
Chứng minh: Ba điểm H, M, F thẳng hàng.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
4

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
121


Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = 6x – 3x2
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), ba đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ∆AHF  ABD .

f) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)
g) (x – 2)3 + (3x– 1)(3x+ 1) = (x + 1)3

Bài 1: Giải các phương trình sau đây :

3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)

a) x(x − 3) + x(4 − x) = 2

b) 3(x − 4) + 2(4 − x) = 4

c) (3x −1) − 4 = 0

d) (x + 2) + (2x +1)(x + 2) = 0

b) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x

2

f)

x −1 x − 5 x x −10034
+
+ +
= 0
34
10

7
1111

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
x −4 x −2 x + 2
(2x −1)2 3
a)
+
≤
b)
+ > x(x + 1) +
5
2
6
34
4
Bài 3: Một xe ô tô khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc là 60 km/h. Cùng
lúc đó 1 xe gắn máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc chậm hơn
vận tốc xe ô tô là 20 km/h nên xe gắn máy đến B chậm hơn xe ô tô là 2
giờ. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 4: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn và AH là đường cao của tam giác (H ∈ BC)
Từ H vẽ HE ⊥ AB tại E và HD ⊥ AC tại D
a)

Chứng minh: ∆HBA  ∆EHA.

b)

Chứng minh: AH2 = AD . AC


c)

Chứng minh: ∆ADE  ∆ABC. Suy ra CDE + B = 1800
Cho AH =12, BH = 9, HC =16. Tính diện tích ∆ADE.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

e) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1

Đề 17

d)

f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

d) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

0

x +1 x −1 3
2x + x + =
5 2

e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4)


d) Cho BAC = 60 , diện tích ∆ABC bằng 1. Tính SBCEF.

e)

d) 8x – 3 = 5x + 12

b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4)

b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB
c) Chứng minh: ABE = ADF .

2

c) 7 – 2x = 22 – 3x

Trang
120

c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x
d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
e) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)
f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
5x − 2 5 − 3x
=
3
2
3

 13


c) 2 x +
= 5−
+x




5
5





4. a)

e)

7x −1
16 − x
+ 2x =
6
5

3x + 2 3x + 1 5
2− 6 = 3 +
2x
4x + 3 6x − 2 5x + 4
i)
5 − 7 = 3 +

3
2x −1 x − 2 x + 7
m)
−
=
5
3
15
g)

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

10x + 3
6+
= 1+
8x 12
9
7
20x + 1,5
d) x − 5(x − 9) =
8
6

b)

f) x 2x +1 x
−
= −x
3 6 6

x+4
x x −2
5 − x + 4 = 3− 2
5x + 2 8x −1 4x + 2
k)
−
=
−5
6
3
5
h)

n)

3x −11 x 3x − 5 5x − 3
− =
−
11
3
7
9

Trang
5


o)
q)


2+x
1 − 2x
5 − 0,5x =
4 + 0, 25

p)

3x −11 x 3x − 5 5x − 3
− =
−
11
3
7
9

Đề 15

1

1
1
(x + 3) = 3 − (x +1) − (x + 2)
4
2
3

Bài1:

5. a)


1 2(x + 3) 3x 2(x − 7)
14 −
=
−
2
5
2
3
2(3x + 1) + 1
2(3x −1) 3x + 2
b)
−5
−
5
10
=
4
5(x −1) + 2 7x −1 2(2x +
1)
c)
−
=
−5
6
4
7
d)

3
h) x −

3.11

17

2

=

10

−

7
(2x −1) =

34

(1− 2x) +

c) 2x − 7 − x − 3 = 0

d)

b) x −1 + 2 − x ≤ 3x − 3
3

4

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 9 m và chu vi
là 58 m. Tính diện tích của khu vườn.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x2 – 6x + 12
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.
a) Chứng minh: ∆BAC  BHA.
b) Chứng minh: BC.CH = AC2
c) Kẻ HE ⊥ AB và HF ⊥ AC (E ∈ AB; F ∈ AC).
Chứng minh: ∆AFE  ∆ABC.
d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M.

5
10x − 3

Chứng tỏ rằng: MB.MC = ME.MF

2

Đề
16

Tìm x sao cho các biểu thức A và B cho sau có giá trị bằng nhau:
a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)

và

B = (x – 4)2

b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2

và

B = (2x + 1)2 + 2x


c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x

và

B = x(x – 1)(x + 1)

d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3

và

B = (3x –1)(3x +1).

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

x −1 x + 1
8
x +1− x −1 = x2 −1

2

3(2x −1) 3x +1
2(3x + 2)
−
+1=
4
10
5
3(x − 3) 4x −10,5 3(x +1)

f)
+
=
+6
4
10
5
3(x + 30)
1 7x 2(10x + 2)
− 24

b) 2x(x + 3) = x + 3

a) 3(x – 2) > 5x + 2

e)

1
5

a) 2x – 3 = x + 7

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

x + 1 3(2x + 1) 2x + 3(x +1) 7 +12x
+
+
6
12
=

3
4

g) x −

Giải các phương trình.

Bài1:

Giải các phương trình.
a) 2x – 1 = 3x + 5
c) x − 2 = 2x − 6

3.12

Trang
6

b) x(x + 2) = 3x + 6
x + 3 x − 3 6x +18
+
=
d) x − 3 x + 3 x2 − 9

Giải các phương trình sau:

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang

11


Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên
a)

(2x +1)
5

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

(x −1)
−
=
3
2

x −2

x −2

3x − 4

+
≥
3
2
6
Bài 3: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50 km/giờ rồi từ tỉnh B

quay trở về tỉnh A với vận tốc 40 km/giờ. Tính quãng đường AB. Biết
rằng thời gian đi ít hơn thời gian về là 36 phút.

7x −1
16 − x
6 + 2x =
5
2

b)

trục số.
a) 2(2x – 1) > 6x + 2

7x −14x − 5
2

15

Trang
6

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

b)

Trang
11



Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m và chu vi
là 140m. Tính diện tích của vườn

3.13

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 – x + 1

Giải các phương trình sau:
x −1
1 − 2x
2x + 5
3x − 3
a) x +

Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H.

3x −1 −

a) Chứng minh: ∆CFB  ∆ADB.

b)
3.14

d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: EDF =
EMF .

2


=

3x −1
2

−6

5

x − 23 x − 23 x − 23 x − 23
+
=
+
24
25
26
27

 x+
 x+
 x+5
3
4
b)  + 1 +  +1 =  + 1 +  +1
98
97
96
95

 

 
 
x +1 x + 2 x + 3 x +
c)
+
=
+
4 2012 2011 2010 2009
201 − x 203 − x 205 − x

b) x(x – 5) = 2(x – 5)
d)
1

x+3
x −3

−

3
x(x − 3)

=

d)

x

Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số.
a) 4x – 2 > 5x + 1


1−

x+2

Bài 1: Giải các phương trình.

3

5

Giải các phương trình sau:
a)

Đề
14
a) 3x − 2 = x + 2
2
c) x − 2 = 0

= 1−

2x +
2 − 3

3

b) Chứng minh: AF.AB = AH.AD.
c) Chứng minh: ∆BDF  ∆BAC.


3
x −1

e)

2x −1 x + 1 4x − 5
b) 2 − 6 ≤
3

99

+
=

97

95




+3= 0

x − 45 x − 47 x − 55 x − 53
+
=
+
55
53
45

47
2 −x
1 −x
x
c) Chứng minh: ∆AFE  ∆ABC.

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12 m. Nếu
giảm chiều rộng 4 m và tăng chiều dài thêm 3 m thì diện tích khu vườn
giảm đi 75 m2. Tính diện tích của khu vườn lúc đầu ?

d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC
tại M. Chứng tỏ rằng: MB.MC =
ME.MF

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = x – x2
Bài 5: Cho ∆ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB
và HF ⊥ AC (E ∈ AB ; F ∈ AC )
a) Chứng minh: ∆AEH  AHB .
b) Chứng minh: AE.AB = AH2 và AE.AB = AF. AC
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
118

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
7



f)

2010

−1 =

2011

x −10x − 29
2

−

2012

x −10x − 27 x −10x −1971 x −10x −1973 1971
+
=
+
1973
29
27
2

2

2


g
)

x − 29

x − 27 x − 25 x − 23 x − 21 x −19
+
+
+
+
+
1970
1972
1974
1976
1978 1980
h)
x −1970 x −1972 x −1974 x −1976 x −1978 x −1980
=
+
+
+
+
+
29
27
25
23
21
19

(Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc năm 1978)

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
118

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
7


Phương trình
tích

Bài1:

Giải các phương trình.

Đề
12

a) 2(x + 2) = 5x – 8 b) x(x – 1) = 3(x – 1) c)

Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:
A( x )× B( x )× × C( x ) = 0 (1)


x+3
x −3

−

3
x(x − 3)

=

1
x

trong đó A(x), B(x), …, C(x) là những biểu thức ẩn x.
 A( x ) = 0
B( x ) = 0
Cách giải: A( x )× B( x )× × C( x ) = 0

⇔

C( x ) =

Bài 2: a) Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm lên trục số.

Giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, …,
0 C(x) = 0. Tất cả các nghiệm
tìm được tạo thành tập nghiệm của phương trình (1)

Bài 3: Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/giờ rồi quay về A
với vận tốc 50 km/giờ. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là

48 phút. Tính quãng đường AB.

3.15

x + 6 x −2 x + 1
−
<
3
6
2
b) Cho a3 + 6 = – 3a – 2a2 . Tính giá trị của A = a −1
.
a+3

Giải các phương trình sau:
1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0

f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0

g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0

h) (5x + 2)(x – 7) = 0


i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0

j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0

2

2

Bài 4 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H
a) Chứng minh: ∆AFH  ∆ADB.
b) Chứng minh : BH.HE = CH.HF
c) Chứng minh: ∆AEF  ∆ABC.
d) Gọi I là trung điểm của BC, Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với
HI, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng
AC tại N. Chứng minh: MH = HN.

2

2. a) (3x + 2)(x –1) = (9x –4)(x+1) b) x(x + 3)(x–3)–(x+2)(x –2x+4)=0
c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

d) (3x–1)(x2+2) = (3x–1)(7x – 10)

e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4

f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

g) 3x – 15 = 2x(x – 5)


h) (2x + 1)(3x–2) = (5x–8)(2x + 1)

Bài1:

i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2+1)(4x–3)=(x – 12)(2x2 + 1)
k) x(2x – 9) = 3x(x – 5)

l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

m) 2x(x – 1) = x2 – 1

n) (2–3x)(x+11) = (3x – 2)(2 – 5x)

o)

3

x −1 = 1

7
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

7

x(3x − 7)

p)


1
x

+2=
1




x

 2
+ 2 (x +1)


Giải các phương trình.
a) 3(x – 2) = 7x + 8
c) 2x −1 = x + 2

Đề 13
b) x2(x – 3) = 4(x – 3)
d)

2
x −1

1

+


1

=

x +1

x2 −1

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
x+6 2 x 1



a) 4(x – 2) > 5(x + 1)
Trang
8

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

b)

−

<

+
Trang
117



12

3

4

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

6

Trang
8

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
117


Bài 2: Một người đi xe máy từ TP.HCM tới Vũng Tàu (cách nhau 120 km). Ba
mươi phút sau, một người đi ôtô cũng xuất phát từ TP.HCM tới Vũng
Tàu và tới nơi trước người đi xe máy 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe,
biết vận tốc ôtô gấp 1,3 vận tốc xe máy.

3. a) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0

Bài 3: Cho a, b là các số thực thỏa mãn 0 ≤ a, b ≤ 1.

Chứng minh rằng: (a + ab − 3a − b + 2)(b + ab − a − b) ≤ 0
2

2

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm của BC. Trên nửa
mặt phẳng bờ là đường thẳng AC và không chứa điểm B, lấy điểm D
sao cho AM = DM.
a) Chứng minh ∆BDC vuông tại D và ABD = DCA .

Bài1:

b) (3x2+10x–8)2 = (5x2 – 2x + 10)2

c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0

d) 4x2 + 4x + 1 = x2

e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2

f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0

g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2

h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2

i) (2x – 1)2 = 49

j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0


k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2

l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2

m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0

n) (5x2–2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2

4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0

b) x2 – 5x + 6 = 0

c) x2 – 3x + 2 = 0

d) 2x2 – 6x + 1 = 0

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: IA.IC = ID.IB

e) 4x2 – 12x + 5 = 0

f) 2x2 + 5x + 3 = 0

c) Gọi N là giao điểm của AB và DC. Chứng minh: NA.NB = ND.NC.

g) x2 + x – 2 = 0

h) x2 – 4x + 3 = 0

d) Giả sử IB = 4 cm; IC = 6 cm. Tính tỉ số diện tích S∆NAD: S∆NBC.


i) 2x2 + 5x – 3 = 0

j) x2 + 6x – 16 = 0

Đề 11

5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0

Giải các phương trình.
a) 3(x + 2) = 5x + 8
2
x2 + 4
c) 2x
x + 2 + x −2 x 2 −4

b) (2x – 1)2 = 9

c) x2 + 3x – 10 = 0

d) 3x2 – 7x + 1 = 0

e) 3x2 – 7x + 8 = 0

f) 4x2 – 12x + 9 = 0

6. a) (x –

2
2 ) + 3(x – 2) = 0


7. a) 2x3 + 5x2 – 3x = 0
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm lên trục số.
a)

x −2 2
− ≥3 x −1 2

b)

3(x −1)
3
x + 2<

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60 m. chiều rộng kém chiều dài 8
m. Tính diện tích của vườn.

3.16

b) 9x2 – 30x + 225 = 0

b) x2 – 5 = (2x –

5 )(x +

5)

b) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x

c) x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4


d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0

e) x3 + 1 = x(x + 1)

f) x3 + x2 + x + 1 = 0

g) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0

h) x3 – 7x + 6 = 0

Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0

Bài 4 : Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh: ∆ABD  ∆CBF

b) Giải phương trình với k = – 3

b) Chứng minh: AH.HD = CH.HF

c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.

c) Chứng minh: ∆BDF  ∆ABC.

3.17

d) Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh:HF.CK = HK.CF
Gv: Trần Quốc
Nghĩa


Trang
116

Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Tran
g


3.18

b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

a) Chứng minh ∆AHB  ∆CHA

Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0

b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC, AC?
c) Vẽ AM là tia phân giác của BAC , M ∈ BC. Tính BM.

a) Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.
b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.
3.19

Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)
a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận

x = – 3 làm nghiệm.
b) Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2
làm nghiệm.

3.20

3.21

Đề
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 7x – 17 = 4x – 2
c) x  2  3

b) x2 – 9x = 0
x3
48
x3
d)

2
x3 9x
x3

Cho 2 biểu thức: A
=

Bài 2: Giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số :
x 1 x  2
x3


a) 2A + 3B = 0


x
2
3
4
Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Nếu
tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích tăng thêm
100 m2. Tính kích thước của miếng đất lúc đầu.

5
4
và B
. Hãy tìm các giá trị của m để
2m + =
2m −1
1
hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức:
b) AB = A + B

Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình
sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.
a) ( 3 − x 5)(2x

2 + 1) =
0

b) (2x −


+ 3) =
0

7)(x

10
c) (2 − 3x 5)(2,5x +

f) (x 2, −1,54)( 1,
02
7
Gv: Trần Quốc

a) 8x + 35 > 3

b)

Bài 4: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : ∆AEB  ∆AFC
b) Chứng minh : ∆AEF ∆ABC

c) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh : FC là tia phân giác của góc DFE

2) =
0
d) ( 13 + 5x)(3, 4 − 4x 1,7 ) =
0
7
e) (x
− x 3) = 0

13 + 5)(

Nghĩa

d) Lấy điểm E trên AC sao cho HE // AB. Gọi N là trung điểm của AB.
CN cắt HE tại I. Chứng minh I là trung điểm của HE?

d) Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với
AC tại C ở M. Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM.
So sánh diện tích của 2 tam giác ∆AHM và ∆IOM

+ x 3,1) = 0
Trang
10

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
115


Đề 10
Bài 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 3 +

x −2
x −4 x + 3
+

−5
3
2

c) x − 2 x +1 = 3

b) −( x − 2 ) + x − 5 ≤ 4x
2

d)

3
x2

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
10

Gv: Trần Quốc
Nghĩa



2

2
x2

5


2

x 4

Trang
115


Bài 2: Giải các bất phương trình:
2x +1 3x − 2
a)

33

−

2

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

≤

b) 5x2 – ( 4x2 – 1) ≤ 2x

Bài 3: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 3h và ngược dòng sông từ B về A
mất 4h. Tìm chiều dài đoạn sông từ A đến B biết vận tốc của dòng nước
là 5km/h

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 15cm , AC = 12cm và trung
tuyến AM
a) Tính độ dài BC và AM
b) Vẽ Ax vuông góc AM và By vuông góc BA. Tia Ax và By cắt nhau
tại E. Vẽ BF vuông góc với AE tại F Chứng minh: ABF =
BAM và
∆ABC  ∆FBE.
c) Gọi D là giao điểm của AM và BE. Gọi I là giao điểm của MF và
BE. Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của BF
d) Gọi K là giao điểm của ME và AB. Chứng minh D, K, F thẳng hàng

Đề 8
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x ( x − 3) − 4x + 12 =
0

b) 6 − 3x −1 = 5
7x −10

1
c) 2x(x + 3) = 3(x + 3)

d)

x −1

+

x −1
3

3.22

Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) 3x2 – 2x = 0
c) 2
x
=
x −1 2x − 4
3.23
Giải các phương trình sau:
2x −1
1
1. a)
+1 =
x −1
x −1
1
1
2
c) x + = x +

3
−
0

=
x +x+1
2

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
( 3x −1)( 3x − 2 ) −( 3x + 1) 2 ≤
16

e)
3

2. a)

Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu
tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 385 m 2. Tính
chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lúc đầu?
x+y
4
≥
xy
x+y
Bài 4: Chứng minh:
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc
biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:
Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.
Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.
Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý chỉ rõ
nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.
Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa ĐKXĐ.

Trang
114

1

2

x

x
x−

+3=

x −2
2

2 −x
+
1

x −5

=

x − 3 x −1
c) x − 6
x
=

x −4 x −2
x −3 x −2
1x
e)
3
−
=
−2
x −4
5
với mọi x, y > 0.
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

1
3 x −1=
d) 2x
1
2
x −9 = x + 3
b)

5x
6
b) 2x ++21 = − x +1
1
x −8
d)
=
−8

7 −x

x −7

f) 5x − 2 + 2x −1 = 1 − x + x − 3
2

2 − 2x

2

1 −x

x −2
+
= 2
x+1
x
2x − 5 3x − 5
d) 1 +
0
x − 2 − x −1 =
x −3 x −2
x
f)
1
+
=
−
−2

x −4
b)

x+3

Trang
11


x −12
3x − 2 6x +1 x
x+1
=
2(x
+7
2x − 3
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao H BC.
g)

i)

Biết AB = 15 cm, AH = 12 cm.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
114

+ 2)

h)

2x + 1 5(x
−1) x −1= x + 1

j)

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

x −2

−

x+2

x −4
2

x −1
x
5x −
−
=
2
2 x + 2 x −2 4 −x

Trang
11

x −2
3
2(x −11)
−
= 2
2 + x x −2
x −4
1
5
15
3. a)
−
=
x + 1 x − 2 (x +1)(2 − x)
6
4
8
c)
−
=
x −1 x − 3 (x −1)(3 − x)
1
3
5e)
−
=
k)

2x − 3

3.24

x(2x − 3)

=

e)
=
g)

2

3

2x
−

x −1

x −1 x + 3
−x + 6x − 8 − x − 2 = x − 4
x

−

2x

2x + 2 x − 2x − 3

3.25

(4x + 3)(x − 5) 4x + 3 x − 5
3x
x
3x
h) x − 2 − x − 5 = (x − 2)(5 − x)

2

i)

x
5x
2
b) 1 + 3 − x = (x + 2)(3 − x) + x +
2
3x −1 2x + 5
4
d)
−
= 1−
x −1
x+3
(x −1)(x + 3)
3
3
x − (x −1)
7x −1
x

=
−

2

=

x
6 − 2x

−7

1

2

x+
3

x + 2x − 3
2

2

−

x + 1 x −1
a) x −
1
3 = 1+

c) 8 12
+x
x+2
4
2x − 5
1

x −1 x + x − 2 x +1 x 2
−
=
− −
x+1
x+1
x −1

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD), O là giao điểm hai đường
chéo. Từ trung điểm M của AB kẻ đường thẳng MO cắt CD tại N.
a) Chứng minh: N là trung điểm của CD.
b) Kéo dài AD và BC cắt nhau tại I. C/minh: I, M, O, N thẳng hàng.
c) Qua O kẻ đường thẳng d song song với AB và CD, cắt AD và BC lần
lượt tại E và F. Chứng minh O là trung điểm EF.

Đề 6

f)

x

x+2 1
2

g) x − 2 − x = x(x − 2)
Giải các phương trình sau:
x + 1 x −1
16
−

l
)

Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 4(2x – 3) = 5x + 3
c)

=

b) x2 + x − 2 x − 1 x + 2
2
2
x 2+−25
5
2x
50 xx +− 5x
2x5 +− x10x
d)
−
=
2
1
3x
2x

f)
−3 =
2
x − 1− x 1 x + x + 1
2
3
1
h) x3 − x2 − x + 1 = 1 − x − x +1

x+3
3
1
=
+
x − 3 x(x − 3) x

3.26

x 1

2

x 1

Bài 2: Giải các phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số :
a) −3x ≥ −4x −1

b)

2 − x 5x + 4

2>
11

Bài 3: Một ôtô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi ôtô chạy với vận tốc
42 km/h, lúc về ôtô chạy với vận tốc 36 km/h, vì vậy thời gian về nhiều

5

j)

0
2
−x + 5x − 6

+

x+3

hơn thời gian đi là 60 phút. Tính quãng đường AB.

=

Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm.

2 −x

a) Vẽ đường cao AH. Chứng minh: ∆ABC  ∆HBA.
b) Qua C vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AH tại D. Chứng
minh: ∆AHB  ∆DHC.
c) Chứng minh : AC2 = AB. DC

d) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao? Tính diện tích tứ giác ABDC.

=

x + 9x + 20 x + 11x + 30 x +13x + 42 18
2

x 1

2

Giải các phương trình sau:
a) 4
3
2
2
=
−
−25x + 20x − 3 5x −1 5x − 3
1
1
2
b)
+
−
2
2
2
x − 3x + 2 x − 5x + 6 x − 4x + 3
1

1
1
c)
+
+
1
2

b) (3x – 5)(2x + 7) = 0
2
1
2
d)



2

Đề 7

Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
12

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
113


2a − 3a − 2
2

a −4
2

a)
c)

10

− 3a −1 7a + 2
3 4a + 12 − 6a +
18

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

3a −1 a − 3
3a + +1 a +
3
2a − 9
3a
d) 2a − 5 + 3a − 2

Bài 1: Giải phương trình
a) 2(x – 3) = 4 – 2x

b)

c) (2x – 1)2 = 25

Trang
12

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

b) 3x(x – 2) = 3(x – 2)
d)

x+1

x −1

2

−
+
2 =
0 2x − 2 2x + 2 1 − x

Trang
113

Bài tập
Toán 8

Học kì
2

Bài tập
Toán 8

Đề 4

Học kì
2

Phương trình có hệ số chứa tham số

Bài 1: Giải các phương trình:
a)
3x
c)

5x − 2

+ x = 1+

5−

3
x

1. Phương trình có hệ số có chưa tham số:

b) 4x2 + 4x + 1 = x2.



Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số.

2

x
2x
2(x − 3) + 2x + 2 = (x +1)(x − 3)

d) x − 4 + 3x = 5 .

 Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó
nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau.

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
(2x – 1)2 – 8(x – 1) ≤
0

 Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số
nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số.

Bài 3: Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút,
trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ B về A với vận tốc
45 km/h. Biết quãng đường AB dài 90 km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe

máy khởi hành, hai xe gặp nhau ?
Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ đường cao AH của ∆ABC. Gọi
D là điểm đối xứng của B qua H. Hạ DE vuông góc với AC tại E.

 Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia
cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để
biểu thức ấy khác 0.

2. Giải và biện luận phương trình có hệ số chứa tham số


a) Chứng minh: ∆CED  ∆CHA. Từ đó suy ra CE.CA = CD.CH



b) Chứng minh AH2 = HD.HC
c) Đường trung tuyến CK của ∆ABC cắt AH, AD và DE lần lượt tại M,



Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các hạng tử
khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1).
Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được).
Biện luận:


F và I. Chứng minh AD.AK – AF.DI = AF.AK.
d) Gọi L là giao điểm của BM và AC. Chứng minh S∆ALB = S∆AHB.



B
Nếu A  0: phương trình (1) có nghiệm duy
nhất

.

Nếu B = 0, (1)  0x = 0: phương trình (1) có nghiệm tùy ý Nếu
B  0: phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 1: Giải các phương trình:

3. Phương trình có nghiệm theo điều kiện:

x −1
+
= 2
x+1 x
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

A

Nếu A = 0, phương trình (1) có dạng: 0x = B

Đề 5
a) (4x – 5)(x +3) – (2x – 3)(7 + 2x) = 0

x=

b)

x+3

Trong thực hành, đôi lúc đề không yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu
cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận.
Trang
112

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
13


Bài tập
Toán 8

a) (x – 3)2 – 12 < (x – 1)(x + 3)

b)

4x − 5
−3

>

7 −x

Học kì
2

−5

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều
và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc xe đi từ A nhỏ hơn vận tốc xe đi từ B
là 10 km/h. Tìm vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 220 km.

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
112

Bài tập
Toán 8

Cho phương trình: Ax = B (1)

Học kì
2



(1) có nghiệm duy nhất ⇔ A ≠ 0


A = 0
(1) vô nghiệm ⇔ 
B≠
0

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
13


(1) có vô số nghiệm ⇔

A = 0

B =
0

(1) có nghiệm khi ⇔ A ≠ 0 hoặc

Bài 2: Một tàu hàng rời ga A lúc 5giờ sáng để đi về phiá ga B. Sau 1 giờ 30
phút một tàu khách rời ga A chạy hướng về B với vận tốc lớn hơn vận
tốc tàu hàng 5 km/h. Vào lúc 9 giờ 30 phút tối cùng ngày khoảng cách
giữa hai tàu là 21 km. Tính vận tốc tàu hàng (biết vận tốc của nó không
bé hơn 50 km/h)?

A = 0

B =

0

Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

4. Minh họa giải và biện luận phương trình
bằng sơ đồ sau:

Ax = B

A≠ 0

ab
c

+

bc
a

+

ca
b

≥ a+b+c.

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AD, BE và CF cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: ∆AEF  ∆ABC và ∆AEF  ∆DBF
FA DB EC

b) Chứg minh rằng:
⋅
⋅
= 1
FB DC EA

A=0

0x = B

c) Giả sử S∆AEF = S∆BDF = S∆CED. Chứg minh: ∆ABC  ∆DEF rồi suy ra

PT có nghiệm
duy nhất

B≠ 0

B=0

PT
vô nghiệm

PT có vô số
nghiệm

∆DEF đều.

Đề 3
Câu 1. Giải phương trình :

S=

B
S =  
A
 
3.27

3.28

S=R

a)

Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
a) x − 2a
a
b) a − x a
= 8−
3
3
5 10= 2 +
c) x
2
d) x a
+1 =
e) (a + 2)(x −1) = x − 2
a − 3= 2
a
a

Giải và biện luận các phương trình sau:
2
2
i) m(x − 4m) + x + 3 = 2 − mx
a) (m − 1)x = (m + m)(m + 2)
2
k) m(mx −1) = (2m + 3)x +1
c) m x + 6 = 4x +
2

+ 1) g) m(m x − 1) =

1
x

=

−2
x(x − 2)

b) 2x = 3x − 4

Câu 2. Trong một cuộc thi, mỗi thí sinh phảI trả lời 10 câu hỏi. Mỗi câu trả lời
đúng được 10 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 5 điểm. Một học sinh được
tất cả 70 điểm. Hỏi bạn trả lời đúng mấy câu?
Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD, E là một điểm trên cạnh AB. DE cắt AC tại F
và cắt CB tại G.
a) Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận.
2
2

2
2
2
b) m (x −1) + 3mx = (m + 3)x − 1 d) m(m − 6)x + m = −8x + m − 2 f) (m − 4)x = m
+8

2

l) m (1 − x) = m(x + 2) + 3

1 −x
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

x −2

+

h) m(mx − 3) = 2 − x
j) m(3x − m) = x − 2

3m e) (m + 1)x = (m
2

3

Trang
14

Gv: Trần Quốc

Nghĩa

Trang
111


b) Chứng minh ΔAFE
 ΔCFD.
c) Chứng minh FD2 =
FE. FG
Câu 4. Cho hình hộp chữ
nhật
ABCD.A′ B′ C′ D′
có AB = 10 cm, BC
= 20 cm, AA′ = 15
cm. Hãy tính thể
tích hình hộp chữ
nhật
Câu 5. Chứng minh bất đẳng
thức sau: a2 + b2 + 1 ≥ ab + a +
b

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
14

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
111


Bài tập Toán 8

Học kì

Bài tập
Toán 8

m) m(mx −1) = 4(m −1)x − 2

Phần 3. Các đề kiểm tra học
kỳ II

3.29

n) m (x − 1) = m(2x + 1)

Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
a) (a + 3)x −1 = a (x −1) + 3ax
2

2

b) (x −1)m = 2(m −1)x − 2m − 3
d) x + a
x−

= 2+
bb
a
x −a x + a x −2
f)
+
= 2
a −2 a + 2 a −4

c) a(x + 2) − a x − 2 = 0
2

Đề 1
e)
x+3

a) (2x + 7)2 – 9(x + 2)2 = 0

x −3

48
+

b)

g)

x+3

=

2
x − 3 9 −x
Bài 2: Giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số:
x −1
a) x(x – 8) + x(3x – 2) – 4x2 < –5

x + a −b x + b −a b −a
−
=
a
b
ab
2

Bài 1: Giải các phương trình sau:

b)

2

x −2
−

3

x −4
a −1

+

x − 4a

=
a+1

x − 4a − 3
a −1
2

2

h)

x −a
bc

+

x −b
ac

+

x −c

1 1 1
= 2 + +


ab

a b c


3.30

x −3
≤ x−

Học kì
2

2

4

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều
rộng. Nếu tăng
thêm mỗi cạnh 12m thì diện tích tăng thêm 576 m2. Tính các cạnh của
khu vườn lúc đầu.



Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
1
2
3
b)
+
−
= 0

a) x − a x − b
2
x − 2 x − 2a x − a
x −b + x −a =
x +1
x −1
1
1 1 1
c)
=
d)
= − +
x + 2 + a x +1 − a
x −a + b x a b
x −a + 1 x −b + 1
a
e)

x −a

Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 20cm; AC = 15cm. AH là đường cao
của ∆ABC

−

x −b

=

(x − a)(x − b)

a) Chứng minh: ∆ACH  ∆BCA.
b) Tính BC và AH.
c) Gọi BF là phân giác của ABC, BF cắt AH tại D.
Chứng minh: ∆ABD  ∆CBF
d) Chứng minh: AD = AF

Đề 2
Bài 1 : Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) x + 5+ x + 2+ x – 1= 6
Gv: Trần Quốc
Nghĩa

b) 2(x – 5) ≤ x – 7
Trang
110

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
15


3

c)

4x − 20

+

15
50 − 2x

7
6x + 30

= 0

5x − 2 2x + 1 x − 3 1 − x
−
=
+
12
8
6
4
2

d
)

2

+

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Bài tập
Toán 8

Học kì
2

Gv: Trần Quốc
Nghĩa

Trang
15

2

Trang
110