PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
I. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI
1. Dạng cơ bản:

2
B 0
A B
A B
≥

= ⇔

=

(dạng 1)
( )
A 0 hoặc B 0
A B
A B

≥ ≥

= ⇔

=


(dạng 2)

2
A 0
A B B 0
A B
≥

< ⇔ >


<

(dạng 3)
2
A 0
A B B 0
A B
≥

≤ ⇔ ≥


≤

(dạng 4)

2
B 0
A 0
A B
B 0

A B

<



≥


> ⇔

≥




>


(dạng 5)
2
B 0
A 0
A B
B 0
A B

≤




≥


≥ ⇔

≥




≥


(dạng 6)
2. Các dạng khác:
a). Đặt điều kiện để phương trình có nghóa.
b). Khử căn bậc hai: bình phương hai vế hoặc dùng ẩn số phụ
c). Đưa về dạng cơ bản
3. Cần ghi nhớ:
a).
a
có nghóa
⇔

a 0≥
b).
( )
a 0 a 0≥ ∀ ≥
c).

( )
2
a a=
d).
2
a a=

e).
2
a nếu a 0
a
a nếu a 0

≥
=

− ≤

g). Với
a.b 0≥
. Ta có:
2 2
a b a b= ⇔ =
h). Với
a.b 0
≥
. Ta có:
2 2
a b a b> ⇔ >
4. Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a).
2
3x 9x 1 x 2 0− + + − =
b).
2
x 1 x 1− = +
c).
2 2
7 x x x 5 3 2x x− + + = − −

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a).
x 9 5 2x 4+ = − +
b).
5x 1 3x 2 x 1 0− − − − − =
c).
3x 2 x 7 1− − + =

* Phương pháp 3 : Dùng ẩn số phụ
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a).
2 2
x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + =
b).
2 2 2
x x 7 x x 2 3x 3x 19+ + + + + = + +
c).

2
(x 5)(2 x) 3 x 3x+ − = +
d).
x 1 4 x (x 1).(4 x) 5+ + − + + − =
e).
2 2
x x x x 9 3− + − + =
f).
2 2
x 8x 12 x 8x 6− + = − +
Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh -
1

*Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số

A 0
A.B 0
B 0
=

= ⇔

=

Ví dụ : Giải phương trình sau :
2
x
3x 2 1 x
3x 2
− − = −

−

* Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương
trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm hằng hoặc
là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất
một nghiệm trong khoảng (a;b) .
Do đó: Nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của
phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1.
x 9 5 2x 4+ = − +
2.
2
4x 1 4x 1 1− + − =
Bài tập tương tự:
1)
x 1 4 x 1+ − − =
(x=3) 2)

x 5 2x 8 7+ + + =
(x=4)
5. Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :
* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
a)
2
x x 4x 1+ + <
b)
(x 1).(4 x) x 2+ − > −
* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức
Ví dụ : Giải bất phương trình sau :
a).
x 3 2x 8 7 x+ ≥ − + −
b).
2
x
1 x 1 x 2
4
+ + − ≤ −
(K.B98)
c).
7x 1 3x 18 2x 7+ − − ≤ +
(K.A98) d).
2
2(x 16)
7 x
x 3
x 3 x 3
−

−
+ − >
− −
(KA2004)
* Phương pháp 3 : Dùng ẩn số phụ
Ví dụ : Giải phương trình sau :
a).
2 2
2x 4x 3. 3 2x x 1+ + − − >
b).
2 2
5x 10x 1 7 x 2x+ + ≥ − −

c).
2
(x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + +
d).
2 2
3x 6x 4 2 2x x+ + < − −
(GTVT98)
* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
a)
2 2
(x 3x). 2x 3x 2 0− − − ≥
(K.D2002) b)
x 5 3
1
x 4
+ −

<
−
c).
2
1 1 4x
3
x
− −
<
(NNHN98) d).
( )
2
2
9x
2x 1
1 3x 1
> +
+ −
(KA99)


Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh -
2

6. Bài tập làm thêm:
B1. Giải phương trình:
a).
2
4 x x 2− = +
b).

2
x x 1 1+ + =
c).
2
x 4x 3 2x 5− + − = −

d).
2x 2x 1 7− − =
e).
2
x 2x 3 2x 1− + = +
f).
3x 4 2x 1 x 3+ − + = +
B2. Giải phương trình:
a).
16 x 9 x 7− + + =
b).
x 1 1 x x 8+ = + − +
c).
x 8 x x 3+ − = +

d)
x x 1 x 2+ + = +
e)
x 1 3 x 4+ = − +
f).
x 2 5 x (x 2).(5 x) 4+ + − + + − =

B3. Giải phương trình:
a).

2 2
(4x 1). x 1 2x 2x 1− + = + +
b).
( )
2
2
x
x 4
1 x 1
− =
+ +

c).
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16+ + − = − + −
d).
2
2
1
x 3 x
2x 1
+ = +
−
B4. Giải phương trình:
a).
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − =

b).
3 x 6 x 3 (3 x)(6 x)+ + − = + + −
B5. Giải phương trình:
2
x x 5 5+ + =
( HD đặt
y x 5= +
)
B6. Giải bất phương trình:
a).
2
x x 6 x 2+ − ≥ +
b).
2
2(x 1) x 1− ≤ +
c).
2
x x 12 x− − <
d).
2
2x 5x 6 2 x+ − > −
B7. Giải bất phương trình:
a).
x 11 x 4 2x 1+ ≥ − + −
b).
3 x 5x 5 1− + >
c).
x 2 x 1 x+ − + ≤

d).

x 3 x 1 x 2+ − − < −
B8. Giải bất phương trình
a).
2 2 2
x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ − + + − ≤ + −
b).
2 2
5x 10x 1 7 2x x+ + ≥ − −
c).
2 2 2
x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4− + + − + ≥ − +

B9. Giải bất phương trình
a).
2
3x x 4 2
2
x
− + + +
<
b).
2
2
1 3x
1
1 x
1 x
> −
−
−

c).
x x 1
2 3
x 1 x
+
− >
+
d).
2
1 1 8x
1
2x
− −
<
e).
2
1 1 4x
3
x
− −
<
f).
2
x 7
0
4x 19x 12
−
<
− +


B10. Giải bất phương trình
a).
( )
2 2
x 3 x 4 x 9− − ≤ −
b).
( ) ( )
( )
2
2
4 x 1 2x 10 1 3 2x+ < + − +
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC 3
Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh -
3

1. Dạng cơ bản:

3 3
A B A B= ⇔ =
(dạng 1)
3
3
A B A B= ⇔ =
(dạng 2)
2. Dạng khác:
3 3
3
A B C+ =
(1)
a). Tam thừa 2 vế của (1)

b). Thay
3 3
A B+
bởi
3
C
, ta được:
3
A B 3 ABC C+ + =
(2)
c). Giải (2) và thử lại các nghiệm
3. Các ví dụ:
a).
3
3
x 2 2x 3 1− + − =
b).
3
3
x 4 x 3 1+ − − =
(SP96) c).
3 3
3
2x 2 x 2 9x+ + − =

4. Bài tập làm thêm:
B1. Giải phương trình:
a).
( ) ( )
2 2

3 2 2
3 3
x 3 x 3 2 x 3+ + − = −
b).
3 3 3
x 1 x 1 x 2− + + =

B2. Giải phương trình:
3
2 2
1 x 2 1 x 3− + − =
(GTVT99)
B3. Giải phương trình
3
3
x 1 2 2x 1+ = −
( HD đặt
3
y 2x 1= −
)
III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
1. Cần ghi nhớ:
1). Với bài toán "Giải và biện luận phương trình chứa căn thức". Cần giải quyết 3 vấn
đề:
a/. Điều kiện có nghiệm ?
b/. Có bao nhiêu nghiệm ?
c/. nghiệm số bằng bao nhiêu ?
2). Với bài toán "Biện luận số nghiệm của phương trình". Cần giải quyết 2 vấn đề:
a/. Điều kiện có nghiệm ?
b/. Có bao nhiêu nghiệm ?

3). Với bài toán "Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm". Có thể dùng phương pháp
đồ thò để giải quyết và ta có tính chất sau:
phương trình f(x) = m có nghiệm
⇔

x D
x D
minf(x) m max f(x)
∈
∈
≤ ≤
2. Các ví dụ:
VD1: Giải và biện luận phương trình:
a).
x 1 x 1 m+ + − =
b).
x m x m m− + + =
VD2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm
a).
x 1 3 x (x 1)(3 x) m− + − − − − =
b).
m x m x m+ + − =

VD3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
a).
2 x 1 x m+ = +
b).
2
x 3 m. x 1+ = +
3. Bài tập làm thêm:

B1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
a).
2
2 (2 x)(4 x) x 2x m 0+ − + − + =
b).
44 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =
B2. Tìm m để phương trình có nghiệm
a).
2
4x x x m− = +
b).
3 x 6 x (3 x)(6 x) m+ + − − + − =
c).
2 2
x x 1 x x 1 m+ + − − + =
d).
2
x 9 x x 9x m+ − = − + +
Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh -
4

d).
( )
x x x 12 m 5 x 4 x+ + = − + −
e).
1 x 8 x (1 x)(8 x) m+ + − + + − =
B3. Giải và biện luận phương trình:
2
m x 3x 2 x− − + =

(QGHN99)
IV. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
1. Cần ghi nhớ:
1.1) Với bài toán "Giải và biện luận bất phương trình chứa căn thức".T a cần thực hiện
theo các bước như sau:
b1). Đặt điều kiện để các biểu thức chứa căn có nghóa
b2). Biến đổi tương đương để tìm x
b3). Kiểm tra các điều kiện và kết luận
1.2) Với bài toán "Tìm m để bất phương trình có nghiệm
x D∈
" hoặc "Tìm m để bất
phương trình nghiệm đúng với mọi
x D∈
". Ta dùng phương pháp max, min
Tính chất 1:
bất phương trình
m f(x)≤
có nghiệm
x D∈

⇔

x D
m max f(x)
∈
≤
bất phương trình
m f(x)≥
có nghiệm
x D∈


⇔

x D
m minf(x)
∈
≥
Tính chất 2:
bất phương trình
m f(x)≤
nghiệm đúng với mọi
x D∈

⇔

x D
m minf(x)
∈
≤
bất phương trình
m f(x)≥
nghiệm đúng với mọi
x D∈

⇔

x D
m max f(x)
∈
≥

2. Các ví dụ:
VD1: Giải và biện luận bất phương trình
a).
2x m x− ≥
b).
x m 2m x m− + ≤ +
VD2: Cho bất phương trình:
( )
2
2 2
x 1 m x x 2 4+ + ≤ + +
(1)
1). Giải bất phương trình khi m = 3
2). Tìm để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi
[ ]
x 0;1∈
VD3: Tìm m để hàm số
2
y x 1 x m= + − −
không nhận giá trò dương với mọi
[ ]
x 1;1∈ −
VD4: Cho bất phương trình:
mx x 3 m 1− − ≤ +
(1)
1). Giải bất phương trình khi
1
m
2
=

2). Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm
3. Bài tập làm thêm:
B1. Giải và biện luận bất phương trình:
1.
2x a x− ≥
2.
x a x 2a x 3a− − − > −
(a>0)
B2. Tìm m để bất phương trình:
a).
2
(1 2x)(3 x) m (2x 5x 3)+ − > + − +
nghiệm đúng với mọi
1
x ;3
2
 
∈ −
 
 

b).
2
(2 x)(4 x) x 2x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng với mọi
[ ]
x 2;4∈ −

V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh -

5