PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y  f  x và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm

f  x   0.

y

Ví dụ minh hoạ:
a

b

O

c

x

Hàm số y  f  x có đồ thị như hình bên.
Suy ra phương trình f x  0 có 3 nghiệm x  a; x  b; x  c
 


2.1.2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 1:

Hàm số y  f x đạt cực đại tại điểm x  x .
 

0
Bảng 2:

Hàm số

Sáng kiến kinh
nghiệm

Lâm Điền
An

Trang 1


y  f  x
đạt cực
tiểu tại
điểm

x  x0 .

Sáng kiến kinh
nghiệm

Lâm Điền
An

Trang 2



2.1.3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 3:

Ta có: min y  f x .
 0
a;b

Bảng 4:

Ta có: max y  f x .
 0
a;b

Bảng 5:

Ta có:

Bảng 6:

min y  f a ; max y  f b .
 a;b

 a;b

Ta có: min y  f b; max y  f a  .
a;b

a;b

2.1.4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b a  b  .



b

b





f  x dx  0.

f  x dx  0.

a

a

b



f  x dx  S1  S 2  S3 .

a

b




 f  x   g  x dx
 0

a

b

2.1.5.  f ' x dx  f b  f a .
a

b



a

 g  x   f  x dx  0


2.1.6. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số y  f  x có đồ thị (C). Khi đó, với số a 
0

ta có:

 Hàm số y  f x a
có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
 Hàm số y  f  x  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

 Hàm số y  f  x  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
 Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
 Hàm số

yfx

 f
khi x  0
có đồ thị (C’) bằng cách:
x
 
 f x khi x  0

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .
 Hàm số y 

 f
khi f  x  0
có đồ thị (C’) bằng cách:
x 
f  x  
 f  x khi f  x  0

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới
Ox.
2.2. GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số

y  f  x; y  f  x  a; y  f  x  ax.

Thí dụ 1:

Hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K , biết đồ thị

của hàm số y  f 'x trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị


của hàm số y  f  x  trên K .
A. 1.

B. 2.


C. 3.

D. 4.


Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y  f 'x cắt trục Ox tại mấy
điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị y  f 'x tiếp xúc với trục Ox .
Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: xét một thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị
của hàm số y  f  x  a  hoặc y  f  x  a  trên K , thì đáp án vẫn không thay
đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số y  f  x  , y  f  x  a  và y  f  x  a  là
bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0
khác nhau!
Thí dụ 2:


Cho hàm số f 

xác định trên  và có đồ thị

x

của hàm số f   x như hình vẽ bên.

Khẳng định nào



dưới đây đúng?
A. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng ; 2.
B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng ;1.
C. Hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị.
D. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng 0;1.
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f  x 



cắt trục hoành tại
3 điểm nên chọn
đáp án C.


Thí dụ 3: Hàm số


f x



có đạo hàm

f
'x



trên khoảng

K

. Hình vẽ bên là đồ thị của


hàm số
A.

0.

f
'x



trên khoảng K . Hỏi hàm số


f x



có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 1.
C.

2.

D.

4.

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f  x
 cắt trục hoành tại điểm x 1 nên chọn đáp án B.


Thí dụ 4: Hàm số

y  f x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

y  f 'x trên K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số

trên K ?
A. 0.

B. 1.


C. 2.

g  x


f  x 1

D. 3.

Hướng dẫn:
Ta có g ' x   f ' x 1 có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số

y  f ' x  theo

g ' x   f ' x 1 vẫn

cắt trục hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.
Thí dụ 5: Cho hàm số f

x

có đồ thị f   x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi

đó trên K , hàm số y  f  x 





có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 1.
C. 3.

B. 4.
D. 2.



Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số f   x cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A.


Thí dụ 6:
Cho hàm số y  f

xác định và liên tục trên  . Biết đồ thị

()x

của hàm số f

như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số

()x

trên đoạn [0;3] ?
A. x  0 và x  2. B. x  1 và x  3.
C. x  2.

D. x  0.

y  f ()x

Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số
dương khi qua

f   x cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy



f  x  đổi dấu từ âm sang

nên chọn đáp án C.

x2

Thí dụ 7: Cho hàm số f

x

có đồ thị f   x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi



đó trên K , hàm số y  f  x  2018 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 4.
C. 3.


Hướng dẫn:

y

D. 2.

O

x


Đồ thị hàm số f ' x  2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f   x theo phương




trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x  2018 vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta chọn đáp
án A.
Thí dụ 8:
Cho hàm số f 
hình vẽ bên.
x
Hàm số f x 


f   x như

xác định trên  và có đồ thị của hàm
số




có mấy điểm cực trị?

2018

y

A. 1.
C. 3 .

B. 2 .
D. 4 .

f x

O

Hướng dẫn:
đồ thị hàm số f ' x  2018 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f   x theo phương


trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x  2018 vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm.Ta chọn
đáp án C.
Thí dụ 9:

Cho hàm số f 

xác định trên  và có đồ thị của


x

hàm số f  x
 như hình vẽ . Hàm số y  g  x   f  x   4x



có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
Hướng dẫn:

B.2.

C. 3.

D.4.

x


y '  g ' x 


f 'x 4

có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị


hàm số f ' x  theo phương Oy lên trên 4 đơn vị.



Khi đó đồ thị hàm số g ' x  cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.
Thí dụ 10:

Cho hàm số f


xác định trên  và có đồ thị

x

của hàm số f  x
 như hình vẽ . Hàm số


y  g  x   f  x   3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B.2.

C. 3.

Hướng dẫn:
y '  g ' x 


f ' x   3 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ


thị của hàm số f  x
 theo phương Oy xuống dưới 3 đơn


vị. Khi đó đồ thị hàm số g ' x  cắt trục hoành tại 3 điểm, ta
chọn đáp án C.
Thí dụ 11:

Cho hàm số

y  f  x  liên tục trên  . Hàm số

y  f 'x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

D.4.


y  g  x 
f  x 

A. 1.

B. 2.

2017  2018x
2017

có bao nhiêu cực trị?

C. 3.


D. 4.


Hướng dẫn:
Ta có

y '  g ' x 


đồ thị hàm số

Ta có 1 
2

f ' x  

2018

. Suy ra đồ thị của hàm số g ' x  là phép tịnh tiến

2017

y  f 'x theo phương Oy xuống dưới

2018



2018

2017

đơn vị.

và dựa vào đồ thị của hàm số y  f ' x , ta suy ra đồ thị của

2017

hàm số g ' x  cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Thí dụ 12:

Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  ,
có đồ thị của hàm số y  f 'x như hình vẽ sau. Đặt
g  x


f  x   x . Tìm số cực trị của hàm số g  x  ?

A. 1.
B. 2.
Hướng dẫn:

C. 3.

D. 4.

Ta có g ' x   f ' x  1 . Đồ thị của hàm số g ' x  là phép
tịnh tiến đồ thị của hàm số y  f ' x  theo phương Oy lên
trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số g ' x  cắt trục hoành tại
hai điểm phân biệt, ta chọn đáp án B.

Thí dụ 13:
Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị hàm
số f ' x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
A. Hàm số
Sáng kiến kinh
nghiệm

B. Hàm số
Lâm Điền
An

Trang 10


C. Hàm số f x
  nghịch biến trên khoảng  1;1 .
f  x đồng biến trên khoảng 1; 2  .
f  x đồng biến trên khoảng  2;1 .

Sáng kiến kinh
nghiệm

Lâm Điền
An

Trang 11


D. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng  0; 2  .



Hướng dẫn:
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số y  f 'x ta có bảng biến thiên như sau:
x

y,

2



-

0

+



2

0
0

-

0


+

y

Chọn đáp án: D
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm
số

y  f ' x 

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số

f ' x nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì

f  x đồng biến trên K .

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số

f ' x nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì

f  x nghịch biến trên K .

Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số

f ' x vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có

phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.
Trên khoảng 0; 2 ta thấy đồ thị hàm số

y  f 'x nằm bên dưới trục hoành nên ta