CHUN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ 20/8/2018

BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT
PHẲNG
Tạp chí và tư liệu
tốn học Bài toán tènh gêc giữa hai mặt phẳng là những bài toán tương đối
khê và nằm ở mức vận dụng và vận dụng cao, bæn cạnh những phương pháp
truyền thống như dng hỗnh to gờc thỡ trong ch ca tun ny ta s cớng
tỗm hiu ti 3 phng phỏp gii quyết các bài toán trắc nghiệm cê thể nêi
gần như mọi bài toán tènh gêc giữa 2 mặt phẳng mà ta hay gặp. Bản pdf được
đăng træn blog Chinh phục Olympic tốn các bạn chỵ ï đên đọc nhå!

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ.
1. SỬ DỤNG CƠNG THỨC HÌNH CHIẾU.
Đây là một tènh chất khá là cơ bản trong chương trỗnh hỗnh hc 11 m ta cn
nm rỡ, cởng thc của nê rất đơn giản như sau.
Nội dung. Cho hình S thuộc mặt phẳng P , hình S ' là hỗnh chiu ca S lổn mt
phng

Q , khi đê ta cê cosin gêc giữa hai mặt phẳng
P
cos

S'
S

và Q được tènh theo cëng
thức

. Sau đây là vè dụ minh ha cho cởng thc ny.

Bi toỏn : Cho hỗnh hp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a; AD  2a AA'  4a .
Gọi M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA  MA' , ND  3ND' ,
PB'  3PB , mặt phẳng MNP  cắt cạnh CC; tại Q. Tènh cosin gêc giữa MNQP ;

ABCD

Hướng dẫn
Đầu tiỉn ta cần phải chỵ ï tới cách dựng

A'

được điểm Q. Kẻ đường nối tâm 2 đáy    ,
ta thấy PN thuộc mặt phẳng



 B'D'DB 

nên

B'

sẽ cắt PN,

đồng thời P, M, N cíng thuộc mặt phẳng
nỉn ni M vs giao im va tỗm c ta s
ra được điểm
P
C'Q
Q. Vấn đề ở đây là ta cần tènh được tỷ số

B
, ta
CQ

D'
C'

M

N

Q
D

A
C

sẽ sử dụng tới tènh chất sau.
A'M
B'P
C'Q
D'N
Đặt x 
,y
,z
,t
, khi đê
ta

AA'

B'B
C'C
cê 2 cëng thức cần nhớ sau:

Fanpage: Tạp chí và tư liệu tốn
học

D'D

Chinh phục olympic tốn |
1





BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA HAI MẶT
PHẲNG

VA'B'C'D'.MPQN
x  y  z  t
VA'B'C'D'.ABCD 
4
xz yt

Áp dụng vào bài toán ta suy ra

C'Q




1

. Để ï ta thấy rằng

PQ, MP QN

nên

MN

CC' 2
MNQP l hỗnh bỗnh hnh. D dng tốnh c cỏc on thẳng

2 | Chinh phục olympic
tốn

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán
học





MN  PQ 
MP  QN 

3
  1
2


42 
3
1 22
10
 2
3
  1

42 
3
1 12
1
 2
3



Mt khỏc do MQ l ng trung bỗnh ca A'C'CA  MQ 
1

2

1

AC

5
1


2
2

2


Từ đây díng cëng thức Herong dễ dàng tốnh MNQP 599

c S
48
2 MNQP
Mt khỏc hỗnh ch nht ABCD chốnh l hỗnh chiu ca hỗnh bỗnh hnh
2
lổn mt
phng ABCD næn áp dụng cëng thức cần
cosMNQP ; ABCD 
ta cê
SABCD

599
 96

SMNQP
2. SỬ DỤNG CƠNG THỨC GĨC NHỊ
DIỆN.
Đây là một cëng cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán tènh gêc giữa 2 mặt
phẳng, hầu hết các bài toán đơn giản hay đến phức tạp đều cê thể giải bằng
phương phỏp ny, sau õy ta s cớng tỗm hiu nờ. Trong phn ny mỗnh s ch
hng dn cỏc bc lm cho các bạn!
Các bước thực hiện.

Bước 1: Đưa gêc giữa hai mặt phẳng về gêc giữa hai mặt phẳng kề nhau
của một tứ diện. Chỵ ï điều này ln thực hiện được.
Bước 2: Sử dụng cëng
thức:

V

2S1S2 sin
. Trong

đê
3a

S1 , S2 lần lượt là diện tèch hai
tam

giác kề nhau của tứ diện, a là độ dài giao tuyến, cén  là gêc giữa hai mặt phẳng
o

o

Bài toán 1: Cho tứ diện S.ABC, SA  a; SB  2a; SC  3a; ASB  60 ; BSC  90 ;
o
CSA  120 . Tớnh cosin

SAB ; SBC .

cn tỗm.
Hng dẫn
Yæu cầu của đề bài là tènh gêc giữa hai mt

phng thỗ theo nh bc 1 ta phi a v mt t
din vi bi ny thỗ khi nh bi nờ đã thuộc 1 tứ
diện sẵn rồi . Giờ ta phải tốnh th tốch ca khi
t din ờ. u tiổn thỗ phải chỵ ï đến giả thiết,
với những bài mà cho di cỏc cnh bổn vi li
gờc ù thỗ ta phải dựng một chêp tam giác đều
khác bằng cách lấy træn SB,SB các điểm B’, C’
sao cho SB'  a, SC' a thỗ ta c S.ABC l
chờp tam giỏc đều và ta sẽ tènh được thể tèch
của nê, xong sau
đêtìm dùng cơng thức tỷ số thể tèch sẽ tènh được
VS.ABC .

S

C'
A

C
B'
B


Đê là cách làm truyền thống, cén đối với thi trc nghim thỗ cờ th nh cởng
thc tốnh th tốch như sau:
Tứ diện S.ABC cê SA  a, SB  b, SC  c, ASB  , BSC  , CSA thỗ th tốch ca
nờ l:

V


1

abc 1 2 cos  cos cos    cos     cos 
2

2

6
2
  cos  

Áp dụng vào bài ta tènh được thể
tèch là

a2
C
.
2
Đồng thời cê giả thit gờc thỗ suy ra tt c cỏc cnh ca nê ta sẽ tènh được diện
tèch của hai
tam giác là: SSAB a 3 ; S  3a2 ; SB  2 .
2

2

VS.AB



SB


Tương vào cëng thức ta cê sin

2
  cos   SAB  ;  SBC   

 SAB ;  SBC

3

3

.

Xong bài nhé!  đơn giản khëng nào.
Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC  3, CD  4, ABC  BCD  ADC  90o , AD, BC 
 60o . Tính cos  ABC  ; ACD  .

Hướng dẫn
Một bài toán tương đối khê phải khëng nào?
Ở bài toán này ta các bạn cê nhớ đến định lï ba
đường vng góc khơng??? Theo gi thit thỗ cờ
phi l tam giỏc BCD vuởng ti C đỵng khëng?
Tiếp theo hai gêc ABC, ADC cũng vng iu ny
chng t l hỗnh chiu AB lờn

BDC

A


s vuởng

E

gờc BC, hỗnh chiu AD lổn

BDC

cng vuởng vi CD, nh? n õy thỗ cn

tỗm im E sao cho E l hỗnh chiu của A lỉn

BDC

B

D

có phải là từ B kẻ vng gêc vi BC, D k

C
vuởng gờc vi CD thỗ ta s c im E cn tỗm
ko? Oh khởng nhng
th AE cộn vuëng gêc với cả mặt phẳng BCD nữa.
Đến đây quy v bi toỏn quỏ bỗnh thng, chuyn gờc gia hai mặt phẳng cần
tènh về một tứ diện nhå các bạn  Phần cén lại nhường nhå!
Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác đều. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
các cạnh A’B’, A’C’, BC. AB  2 3 ; AA'  2 . Tính cosin góc

  AB'C'  ; MNP .


Hướng dẫn

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán
học

Chinh phục olympic toán |
3


Câu này đề cê vẻ rất ngắn gọn, và là câu 47 trong đề minh họa 2018 vào tháng
1 của bộ tức là câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng hề đơn giản tẹo nào cả.
Tuy nhiæn ta vẫn bám sát vào phương pháp để làm!

4 | Chinh phục olympic

tốn

Fanpage: Tạp chí và tư liệu tốn
học


Đầu tiæn phải đưa về một tứ diện nhỉ? Điều ờ
lm ta phi tỗm mt mt phng song song vi
mt phẳng ABC’ thëi, bằng cách lấy trung điểm
AA’ ta sẽ chuyn v tốnh
gờc gia
mỗnh s

MNQ


;

MNP

E
D
C'

. Cởng vic gi thỗ

hng dn cho các bạn nhå, mấu chốt là tènh
được thể tèch ca khi MNPQ ợng khởng, vy
thỗ nhỗn hỗnh v nhộ, mình sẽ đưa về tènh thể
tèch của khối Q.PDE, khối này đối với các bạn
tènh đơn giản thëi bởi khoảng cách từ Q tới mp
DECB bằng bởi khoảng cách từ A’ tới mp DECB,
từ A’ kẻ vuëng gêc với B’C’ là okie! Têm lại là thể
tèch đê tènh được, xong sau đê sài cëng thức tỷ
số thể tèch ta sẽ tènh được V của MNPQ cén lại
chỉ là việc tính cạnh thëi, phần các bạn nhå, chỉ
là kỹ năng tènh toỏn thụi nha . Nu nh cờ
nng khiu hỗnh hc thỗ cõu ny tng i d
lm, cờ th tham kho cách của

N
B'

A'


M

Q
C
P
B

A

làm træn mạng nha bài này giải rất nhiều rồi!
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.
Nêi chung đây cũng là một phương pháp rất mạnh, tuy nhiæn nhược điểm của
nê là phải nhớ cëng thức tènh hơi cồng kềnh và chỉ áp dụng cho những trường
hợp ta dựng được hoặc trong bài toán cê yếu tố 3 đường vuëng gêc!
Đầu tiæn ta cần nhớ tới cëng thức cần thit ca chng hỗnh hc Oxyz sau
Gi l gờc giữa 2 mặt phẳng  P  : ax by  cz  d  0,  Q  : a'x b'y c'z d'  0




 cos  cos n , n

P

Q



nP .nQ
n

P

. nQ

0    90 

AA' BB'
CC'


2

2

A B C

2

2

o

2

A'  B'  C'

2

Cách thực
hiện

 Bước 1: Xác định 3 đường vuëng gêc chung
 Bước 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, coi giao điểm của 3 đường vuëng
gêc chung là gốc tọa
Bc 3: T gi thit tỗm ta ca các điểm cê liæn quan tới giả thiết.
 Bước 4: Áp dụng cëng thức cần tènh để suy ra kết qu.
Kinh nghim
Theo kinh nghim ca mỗnh thỗ nhng bi toỏn cờ gi thit liổn quan ti hỗnh
hp ch nht, hỗnh lp phng thỗ thỗ ta nổn s dng phng phỏp tọa độ
hêa, ngoài ra các bài cê yếu tố một cạnh của chêp vuëng gêc với đáy hay liæn
quan tới lăng trụ đứng ta cũng cê thể sử dụng phương pháp này nhưng tíy vào
từng bài mà ta cê hướng đi khác nhau, cê thể là sử dụng phương pháp 2 hoặc
sử dụng phương pháp 1, tíy vào kỹ năng ca ngi lm bi. Sau õy ta cớng
tỗm hiu vố dụ minh họa.


Bi toỏn: Cho hỗnh lp phng ABCD.A'B'C'D' cờ cnh bng 1. Gọi I, I’ lần
lượt là trọng tâm của tam giỏc ACD v tam giỏc ACD, H l tõm hỗnh
vuởng ABCD. Træn cạnh II’ lấy điểm G sao cho I 'G  2IG . Tính cosin gêc
giữa hai mặt phẳng GAC  , GA 'B' 
Hướng dẫn

z
A'

D'
I'

B'

C'


G
y

A
B

H

D

I
C

x

Đây là một bài tốn khê, và tất nhiỉn phương pháp 1 hay phương pháp 2 rất là
khê để cê thể sử dụng được, khi đê ta nghĩ tới phương pháp 3 – gắn trục tọa độ.
Với bài tốn này tìm 3 đường vng gêc chung khëng khê, ta sẽ coi 3 trục tọa
độ nh hỗnh v v gc ta trớng im A. Khi đê ta cê tọa độ các điểm như
sau:
1 1 1
A'  0; 0; 1 , B'1; 0; 1 ; G
; ;
, C  1; 1; 0 

3 3 3 
Vậy khi đê ta tènh được vecto pháp tuyến
 1 của
1 2 mặt phẳng

 GA; GC 
n
;  ; 0  1; 1; 0 
GAC 
 3 3 

2 1
 GA'; GB'  0; ;   0; 2; 1
n
GA'B' 
  33


Đến đây áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc giữa 2 mặt phẳng GAC  , GA 'B'  là
1.
10
0  5
1.2
Đến đây bài toán đã được giải quyết

hoàn toàn
0.1
Chú ý. Phương pháp gắn tọa độ đã được rất nhiều tác giả và cũng rất nhiều bài
2
2
1  1pháp
viết træn mạng nêi đầy đủ và chi tiết v phng
ny, cui bi vit mỗnh
2


0
s cờ link các bạn tham khảo.
cos 

12  22
 02


Túm li. Qua 3 phng phỏp mỗnh cp ti ở trỉn chắc hẳn đã phần nào
giỵp các bạn khơng cịn sợ dạng tốn này, khëng cê phương pháp nào là ưu
việt tuyệt đối cả cần phải vận dụng linh hoạt các phương pháp với nhau,
đồng thời phải nắm vững c nhiu mng kin thc thỗ mi cờ th lm tốt
được. Sau đây là các bài tập cho các bạn rọn luyn.

II. BI TP T LUYN
Bi 1: Cho hỗnh lng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là tam giác vuëng tại B,
BC  a ,
2
3
mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy gêc  và tam giác A’BC cê diện tèch bằng
a
Biết rằng

.


3
AA'. ABC 3a 3 . Giá trị của P  sin 2 bng bao nhiổu?
2
S

Bi 2: Cho hỗnh chờp S.ABC cê đáy là tam giác
AB  AC  2a BC  2a 3 . Tam
cân tại A,
,

giác SBC đều và thuộc mặt phẳng vuëng gêc với đáy. Tènh cosin gờc gia SAB ;

SAC
Bi 3: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh vuởng, 2
AC'
a
.
Gi P là mặt phẳng qua AC’ cắt BB', D D' lần lượt tại M,N sao cho tam giác





AMN cân tại A có MN  a . Tính cos P ; ABCD .
Bi 4: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ ỏy ABC là tam giác vuëng tại
A, cê

AB  a , SA  SB

o

, SA  SA; ACB  30 . Biết khoảng các giữa hai đường thẳng SA và BC là




3a
4

. Tính



cos  SAC  ;  SBC  .
Bài 5: Cho hỗnh chờp S.ABC, SA vuởng gờc vi ỏy, ABC là tam giác vuëng cân tại
đỉnh C.
Giả
SC  a , tỗm gờc gia hai mt phng SBC ; th tốch khi chờp S.ABC
s
t
ABC
giỏ tr ln nht. Tỗm giỏ tr ln nht y.
o

Bi 6: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh thoi cờ BAD 120 , hỗnh
chiu vuởng gờc ca im H trổn mt phng ỏy tríng với trọng tâm tam giác
ABC, biết đường caoa của
khối chêp là

SAD ,
SCD .

6
SH  3

và tam giác SBD vuëng tại S. Tènh gêc giữa 2 mặt phẳng


Bài 7: Cho tứ diện ABCD cê AB  CD  a; BC  AD  2a; BD  AC  3 a . Trên
AB,AC,AD
lấy các điểm M,N,P sao MA  MB; NA  2NC; PA  3PD . Tènh cosin gêc giữa hai
mặt
cho phẳng MNP  ;

AMP .
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy là tam giác đều cạnh a, AA'  2a .
Træn AA’,
BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M,N,P sao
MA  MA' ; NB  2NB '; PC  3PC ' .
Tính
cho cosin gêc giữa hai mặt phẳng ANP ;

MNP .


Bài
A,D
ch
o

9: Cho chêp S.ABCD cê SA vuëng gêc với đáy, ABCD l hỗnh thang vuởng ti
sao
AD 2AB 2BC 
2a ,

SA  2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tènh


cosin gêc giữa hai mặt phẳng MND  ; CSD
.
AB  a; AD  AA' 4a . Gi M,N,P
2a
Bi 10: Cho hỗnh hp ch nhật
ABCD.A’B’C’D’ cê
lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao
MA  MA' ND  3ND' , PB'  3PB , mặt
cho
,
phẳng  MNP  cắt cạnh CC; tại Q. Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng MNQP ;

AQP
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là một tam giác cân với
0

điều kiện AB  AC  a, BAC  120 , cạnh bên BB'  a . Gọi I là trung điểm CC’.
Chứng minh rằng tam giác AB’I vng ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt
phẳng ABC , AB'I
Bi 12: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường trén
đường kènh
3
AB  2a , SA vuëng gêc với đáy và
. Tènh tan gêc giữa SAD  ,  SBC 
SA a
Bi 13: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ ỏy ABC là tam giác vuëng cân
tại B,

SA  ABC ,


SA  a . Gọi E,F lần lượt là trung điểm AB, AC . Tènh cosin gêc giữa  SEF  , SBC 

Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cê đáy tam giác vuëng tại A. Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của A 'B' , I là trung điểm của GM.
Tènh cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  IB'C'  , ICA 
Bài 15: Cho hỗnh lp phng ABCD.A'B'C'D cú tõm O Gi I l tõm ca hỗnh
vuởng A'B'C'D v M l im thuc on thẳng OI sao cho MO  2MI . Tènh
cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  MC'D'  , MAB 

III. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải về nhå!
[1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng
[2] Ứng dụng phương phỏp ta gii hỗnh hc khởng gian Cao Tun
[3] Ti liu chuyổn toỏn chuyổn hỗnh hc khëng gian – Trần Đức Huyæn
[4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết trong các đề thi thử Toỏn 2018
[5] ễn luyn bi dng hc sinh gii hỗnh học khëng gian – Phan Huy Khải
[6]Chuyæn đề trọng điểm bi dng hc sinh gii hỗnh hc khởng gian
Nguyn Quang Sơn

IV. LỜI KẾT


Chun mục tuần này xin được phåp kết thỵc tại đây, mọi thắc mắc về vấn đề
ën thi THPT Quốc Gia hay những vấn đề nào các bạn thấy khê hiểu các bạn cê
thể gửi về địa chỉ fanpage Tạp chè và tư liệu toán học , xin chào và hẹn gặp lại
các bạn trong chuyæn mục tuần sau 