Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM

ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ

Bộ môn Toán Ứng dụng

Môn thi : GIẢI TÍCH 2

---------

Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút
CA 1
Không được sử dụng tài liệu

Câu 1:

Cho hàm f  x, y , z   arctan

x y
 z 2  2 xy  x . Tính df  0, 0,1
2
z

Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng x  y  z  2 bị giới hạn bởi mặt trụ y  x 2 và mặt phẳng z  0
Câu 3:

Tính tích phân I   xdxdy với miền D giới hạn bởi x  1  y , x  1  y, x  3
D

1



1

Câu 4: Tính tích phân I    y  xy  z 2  z  dx   xy  2 x  dy   y 2  xy  dz với C là giao tuyến
2

2

C
của mp x  z  0 và mặt cầu x 2  y 2  z 2  2 lấy hướng ngược chiều
kim đồng hồ nhìn từ phía nửa dương trục Oz


Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Câu 6: Cho chuỗi lũy thừa:



1.3.5...  2n  1 23n  2

2 n 1
.1.4.7...
n 1 3

 3n  2 

 3n 1 x  1 n . Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi x=0
 2.4.6...  2n   
n 1




y3 
2
2
Câu 7: Cho tích phân I   h  x   2 xy  x 2 y 
 dx  h  x  x  y dy
3 

C
1. Tìm hàm h(x) thỏa h(0)=1 sao cho tích phân trên là tích phân không phụ thuộc đường đi với mọi
đường cong C.





2. Tính tích phân với hàm h(x) tìm ở câu trên và C là phần parabol

y  2 x 2  1 đi từ A  0,1 đến

B 1, 3 .
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT


Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM

ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ


Bộ môn Toán Ứng dụng

Môn thi : GIẢI TÍCH 2

---------

Ngày thi: 27/06/2015 - Thời gian: 90 phút
CA 2
Không được sử dụng tài liệu

Câu 1. Cho f  x, y   x 2  xy  arctan

y
. Tìm d  grad f 1,1 (độ dài vector gradient).
x

Câu 2. Tính tích phân I    x  y  2 z  dxdydz , trong đó  là miền giới hạn bởi


x 2  y 2  z 2  1, z   x 2  y 2 .
 3x 2


x3 
Câu 3. Tính tích phân đường I   
 2 xy  dx   x 3 y  2  dy , với C là phần đường parabol
y
y 



C

y  2  x2 , đi từ điểm  1,1 đến 1,1 .
Câu 4. Tính tích phân I    x  y 2  dx   zx  y  dy   x 2  z  dz , trong đó C là giao tuyến của mặt trụ
C

x2  y 2  1 và mặt paraboloid z  2 x2  2 y 2 , lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ.

8n  n
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 
arctan n .
n 1  n  1 !




Câu 6. Cho chuỗi lũy thừa

  1
n 1

n

1
3n  1 n
x . Tìm BKHT và tính tổng chuỗi khi x 
n
n.2
2


Câu 7. Cho S là phần mặt paraboloid z  x 2  y 2 nằm dưới mặt phẳng z  2 x lấy hướng sao cho pháp
vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz. Tính tích phân













I   2  e x  y  z dydz  y  3e x  y  z  xz dxdz  2e x  y  z  2 dydx
S

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN DUYỆT


Đáp án: CA 1
Câu 1: df  2dx  dy  2dz (2 đhr đúng  0.5+0.5; dh thứ 3 đúng và vp đúng  0.5)
Câu 2: S   ds hoặc S 
S



1




1  z x 2  z y 2 dxdy (0.5đ) =  dx
2

Dxy

2 x



1   1   1 dy (0.5đ)
2

2

x2

9 3
 7.794 (0.5đ)
2
3

 x 12

1

1 x

Câu 3: I   dx




xdy (1.0đ) 

34
 11.33 (0.5đ)
3

Câu 4: Có 2 cách
2
 x  z  cos t
C1 C : 
(0.5đ) I    2 sin 2 t  2 2 cos 2 t  2 sin 3 t dt (0.5đ)  2  4.44 (0.5đ)
0
 y  2 sin t





C2 Gọi S là phần mp nằm trong hình cầu lấy pháp vecto cùng hướng với nửa dương trục Oz (0.5đ)
I    y  2  x  1 dxdy   z  1  y  dzdx   y  x  dydz (0.5đ)
S


1
 1 
I    y  2  x  1
  z  1  y  .0   y  x   

  ds (0.5đ)  2  4.44 (0.5đ)
2
2


S 

Câu 5: un 1 

1.3.5...  2n  1  2n  1 23n 1

32 n 1.1.4.7...  3n  2   3n  1

 2n  1 23
un 1
16
(0.5đ) 
 1.
 lim 2
n  un
n  3  3n  1
27

(0.5đ) lim

Vậy chuỗi HT (0.5đ)
Câu 6: 1. R   (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm
n

 3n 1

Khi x=0: 
 1n
n 1 2.4.6...  2n 


Câu 7: 1. h  x   e x (0.5đ)

 3
  
3 
1
1
2
     (0.5đ)   1  e 2  (0.5đ)
3
3 n 1 n !

1,3 



y3  

1

2. I   d  e x  x 2 y     12e   32.29 (0.5đ)
3  
3
 0,1  



Đáp án: CA 2
Câu 1 : f x 1,1 

1
34
5
3
(0.5), f y 1,1  (0.5) grad f 1,1   5, 3  grad f 1,1 
(0.5đ)
2
2
2
2

Nếu đúng đạo hàm, nhưng viết sai grad f(1,1) : 0.5đ
2



Câu 2: I 



1

d  d    sin  cos    sin  sin   2  cos    2 sin  d  (1.0đ)  
3
4


0

0

1

2

Hoặc I 



 d 
0

r

2

rdr

  r cos   r sin   2 z  dz

 1 r

0

(1đ)  

2



4

4

(0.5đ)

(0.5đ)

Lưu ý : sv có thể sử dụng thêm tính đ/x  chỉ cần tính tp của 2z.

Câu 3:

 3x 2
x3
2 
3
2

 2 x  2  x   dx  x  2  x  
Cách 1: I   
2

2  x2

1 
 2  x2 

1



  2 xdx  (1.0)  0.97 (0.5)



Cách 2: C1 : y  1, x :1  1, D : 1  x  1,1  y  2  x 2 ,



C C1

Pdx  Qdy     3x 2 y  2 x  dxdy (0.5)  
D

36
 1.03 (0.5)
35

 3x 2

 3
36
x3 
36
34
I   
 2 xy  dx   x y  2  dy    (2) 
 0.97 (0.5đ)
35 C1  y

y 
35
35


Nếu sai kết quả cuối cùng nhưng kết quả từng phần đúng : (1.5đ)

Câu 4:
Cách 1: Chọn S là phần mặt phẳng z  2 nằm trong trụ x2  y 2  1, lấy phía trên theo hướng trục Oz.

I    xdydz  2 xdzdx   z  2 y  dxdy (0.5đ) 
S



 2  2 y  dxdy  2 (0.5đ +0.5đ)

x 2  y 2 1

Cách 2: Chọn S là mặt z  2 x2  2 y 2 nằm trong trụ x2  y 2  1, lấy phía trên theo hướng trục Oz,

I    xdydz  2 xdzdx   z  2 y  dxdy (0.5)
S



  4 x

x 2  y 2 1


2

 8 xy  2 x 2  2 y 2  2 y  dxdy  2 (0.5+0.5)


Lưu ý: Ở cách 1 và 2, nếu sv tính pháp vector và chuyển qua mặt 1 đúng, phần còn lại sai, chỉ trừ 0.5.
Cách 3: C : x  cos t , y  sin t , z  2 , t : 0  2 (0.5đ)
2

   sin

I

3

t  2 cos 2 t  2 sin t cos  dt  2 (0.5+0.5)

0



8n
b
8
 bn (0.5đ) n1 
Câu 5: an ~
 0  1   bn HT (0.5đ) . Chuỗi HT (0.5đ)
2  n  1!
bn
n2

Tính luôn giới hạn bằng 0 (1đ).
Câu 6: R  2 (0.5đ) Thiếu dấu ||, không cho điểm
n

1
n
 



3
5
n 3n  1 1
n 1  4 
 1
(0.5đ)    ln (0.5đ)

1

3



1








 
n
n
5
4
n2 2
4
n
n 1
n 1 
n 1

Câu 7: Chọn S1 là mp z  2 x lấy phía dưới, V là vật thể giới hạn bởi z  x2  y 2 , z  2 x
G O

I    1dxdydz   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy (0.5đ)
V



I

2







2

d

S1

2cos 


0

r  r 2  2r cos    2  dr  

5
 7.854 (0.5đ)
2


Trƣờng Đại học Bách khoa Tp.HCM

Đề thi cuối học kỳ 2 năm học 2015-2016

Bộ môn Toán Ứng dụng

Môn: Giải tích 2 – CA 1

Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2016
Thời gian thi: 90 phút
ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU


Câu 1: Cho hàm số f  x, y, z   2 x 2  y 2 z 2  z . Tìm đạo hàm của hàm f theo hƣớng vecto

u   0,1,1 tại điểm M 1,1, 2
Câu 2: Tính tích phân I 

2
2
  xy  y  dx   2xy  x  dy

với C là biên của miền

C

D : x2  y 2  4x,0  y, x  y  2  0 lấy theo cùng chiều kim đồng hồ
Câu 3: Tính tích phân I  
V

1
x2  y 2  z 2

dxdydz với

V : x 2  y 2  z 2  2 z, x 2  y 2  z ,0  x,0  y










Câu 4: Tính tích phân I   x3  3 yz dydz  y 2  2 xy dzdx   z  x  dxdy với S là mặt trụ
S

z  4  y 2 ; phần giới hạn bởi các mặt phẳng z  0, x  0,2 x  z  4 ; lấy phía dƣới.
Câu 5: Tính diện tích xung quanh vật thể giới hạn bởi z 
3n 



 n 1 
Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  

n  2  2n  1 
Câu 7: Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa





n1

chuỗi khi x  

x2  y 2 , z  2  x2  y 2

n2  1 
 2


n 2

n2 n3

 1n1 1.3.5... 2n  1 xn
2n n !

và tính tổng

1
2

Chủ nhiệm Bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy


Trƣờng Đại học Bách khoa Tp.HCM

Đề thi cuối học kỳ 2 năm học 2015-2016

Bộ môn Toán Ứng dụng

Môn: Giải tích 2 – CA 2

Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2016
Thời gian thi: 90 phút
ĐỀ THI KHÔNG SỬ DỤNG TÀI LIỆU

Câu 1: Cho S là phía trong mặt cầu x2  y 2  z 2  2 z . Tính pháp vecto đơn vị của mặt S tại


1 1 1
M ,
, 
2 2 2
Câu 2: Tính tích phân I   xydxdy với miền D giới hạn bởi y  2 x, y  2  x, y  2 x  x 2
D

Câu 3: Tính tích phân I 

 e

x y







 y sin x  xy 2  y 2 dx  cos x  e x y  x 2 y dy với C là nửa

C
2

đƣờng tròn x2  y  2x  0, y  0 lấy ngƣợc chiều kim đồng hồ.
Câu 4: Cho S là mặt trụ x2  y 2  2x phần nằm giữa 2 mặt phẳng z  0, z  1, lấy phía ngoài.






Tính tích phân I   e z cos y  2 x dydz   y  1 dzdx   z  1 dxdy
S

Câu 5: Dùng công thức Stokes để tính tích phân I 

2
  z  1 dx   2x  3 y  dy   4 y  z  dz

C

với C là giao tuyến của 2 mặt z  5  x 2  y 2 , 2 z 

x 2  y 2 lấy theo ngƣợc chiều kim

đồng hồ nhìn từ chiều dƣơng trục Oz xuống.

3.6.9... 3n  
1 
ln 1  n 
 2 
n1  n  1!


Câu 6: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Câu 7: Tính tổng chuỗi số




1

n1

n



n
  1  

1  1

 n  1!  2n

Chủ nhiệm Bộ môn

PGS.TS Nguyễn Đình Huy


Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162
Ngày thi: 03-07-2017
Thời gian : 09 phút. Giờ thi: CA 1

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Câu 1: Cho hàm f (x, y, z) = ln


x3 + 3yz
∂f
−
(1, 1, 0).
và →
u = (2, −2, 1). Tính df (1, 1, 0), →
2
2
2
x +y +z
∂−
u

Câu 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z = 0, z = 4 − x2 , y = 0, 2y + z = 4
(1 − z)ds với S là phần mặt cầu x =
S√
√
2 mặt phẳng y = −x 3, x = y 3.

Câu 3: Tính tích phân I =

4 − y 2 − z 2 nằm giữa

Câu 4: Dùng công thức Stokes để tính tích phân I = (z 3 +2xy 2 )dx+32xyzdy+(y 3 +z 2 x)dz
C
2

với C là đường cong


2

x + 2y = z
z = 4y

lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z

dương.
Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
∞

1.
n=3

n−2
n

n(n−2)

n+2
n+1

(n+2)(n+1)

∞

2.

2.5.8...(3n + 2)
22n−1 (n!)

n=1
∞

Câu 6: Tìm miền hội tụ D của chuỗi lũy thừa
(−1)n
n=1
π
khi x =
4

1
4n−1
+
(2n)! n

Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Phó chủ nhiệm bộ môn

TS.Nguyễn Bá Thi

x2n và tính tổng chuỗi


ĐÁP ÁN
Câu 1: fx (M ) = 2, fy (M ) = −1, fz (M ) = 3 (1đ), df (M ) = 2dx − dy + 3dz (0.5đ)
∂f
(1, 1, 0) = 3 (0.5đ)
−
∂→
u

Phần tính đhr nếu chỉ đúng 1 đh thì cho 0.5đ
2− z2

Câu 2: V =

(1 − z)ds +

S,z≥0

2

dϕ r √

=2
− π3

(1 − z)ds (0.5đ)

4 − x2 − y 2

Dxy
π
6

0

z
64
dz (0.5đ) =
(0.5đ)

2
5

S,z≤0

1−

=

−2

0

z=4−x2 ,z=0

2−

dx

dy (0.5đ) =

dxdz

Câu 3: I =

4−x2

2

0


2
4−

x2

−

y2

dxdy+
Dxy

1+

4 − x2 − y 2

2
4 − x2 − y 2

dxdy

1
dr (0.5đ) = 2π (0.5đ)
4 − r2

1
Câu 4: Chọn S là mp z = 4y phần nằm trong paraboloid, lấy phía trên, −
n→
(0, −4, 1)(0.5đ)

S = √
17
1
−4
I=
(32yz − 4xy) √ + (3z 2 − z 2 ) √ + (3y 2 − 3z 2 ).0 ds
17
17
S
=
[(32y.4y − 4xy) − 4(2.16y 2 )] dxdy (0.5đ) = 0 (0.5đ)
x2 +2y 2 ≤4y
∞

n(n−2)

(n+2)(n+1)

n+2
1
n−2
√
, lim n un = (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ)
Câu 5: 1.
n
n+1
e
n=3
∞ 2.5.8...(3n + 2)
un+1

3
2.
, lim
= (0.5đ) < 1 ⇒ HT (0.25đ)
22n−1 (n!)
un
4
n=1
Câu 6: R = 1 → D = [−1, 1] (0.5đ)
∞
∞ (−1)n−1
∞ (−1)n
4n−1
(−1)n
+
(−2x)2n −
(x2 )n (0.5đ)
x2n =
(2n)!
n
n
n=1
n=1
n=1 4.(2n)!
∞ (−1)n−1
1 ∞ (−1)n
1
=
(−2x)2n − 1 −
(x2 )n = [cos(−2x) − 1]−ln(1+x2 )(0.5đ)

4 n=0 (2n)!
n
4
n=1
2
1
π
π
π2
1
=
cos 2
− 1 − ln 1 +
= − − ln 1 +
(0.5đ)
4
4
16
4
16


Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học
. Ứng Dụng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2 HỌC KỲ 162
Ngày thi: 03-07-2017
Thời gian : 90 phút. Giờ thi: CA 2


.

Hình thức thi tự luận: Đề gồm 7 câu.
Câu 1: Cho f (x, y, z) = earctan

x+z
y

∂f
(2, 1, −1).
∂u

và u = (1, −1, 1). Tính

Câu 2: Cho (L) là đường gấp khúc ABC, trong đó AB là cung y = 1 − x2 , BC là cung
y = (x − 1)2 và tọa độ các điểm là A(−1, 0), B(0, 1), C(1, 0).
C
Tính I = A cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy theo đường cong (L).
(x + 2z)dxdydz, với Ω là miền giới hạn bởi x2 + y 2 + z 2 ≤

Câu 3: Tính tích phân I =
Ω

1, z ≥ −1 +

x2 + y 2 , y ≥ 0.
2dydz +(y 2 −2x−z)dxdy, với S là phần mặt trụ z = 2x−x2

Câu 4: Tính tích phân I =
S


nằm giữa hai mặt phẳng y = 3x, y = −2x và trên mặt phẳng z = 0, lấy phía dưới
theo hướng trục Oz.
Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

∞
n 1.4.7...(3n
1 (−1)

Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

+ 1) + ln n
.
(2n)!!2n

+∞
1

n2 + 1
4n2 − 3

n

(x − 2)n .

Câu 7: Tính tổng S hoặc chứng minh phân kỳ chuỗi số sau :
.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Phó chủ nhiệm bộ môn


TS.Nguyễn Bá Thi

∞
1

(−1)n
.
n(2n + 3)


ĐÁP ÁN
π

e4
∂f
3 π
Câu 1: ∇f (2, 1, −1) =
(1, −1, 1) (0.5đ), ∇(M ), u = e 4 (0.5đ) ,
(2, 1, −1) =
2
2
∂u
√
3 π
e 4 (0.5đ)
2
Câu 2: Gọi C là đường y = 0, x : 1 → −1, khi đó C ∪ L là biên âm của miền phẳng D.
cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy = − −2ydxdy (0.5đ)
L∪C


D

I=−

−2ydxdy −
D
0
−1

=−

2

cos ydx − (2xy + x sin 2y)dy
C

dx

1−x2
0

2ydy +

1
0

dx

(1−x)2
0


2ydy −

−1
1

x.1dx =

11
11
−0= .
15
15

Mỗi tp tính đúng là 0.5đ.
Nếu đúng tp kép nhưng sai chiều của C, có thể cho cả bài 0.5 .
Câu 3: I =

π
0

dϕ

1
0

√

dr


1−r2
−1+r

r(r cos ϕ + 2z)dz =

π
.
6

cận z : (0.5đ), cận : r, ϕ (0.5đ), đáp số : (0.5đ)
Câu 4: Dxy : 0 ≤ x ≤ 2, −2x ≤ y ≤ 3x.
(2, 0, y 2 − 2x − 2x + x2 )(2x − 2, 0, 1)dxdy (0.5đ)

I=−
Dxy

=−
=

(x2 + y 2 − 4)dxdy

Dxy
2
3x
dx −2x (x2
0

=−

+ y 2 − 4)dy (0.5đ)


80
. (0.5đ)
3

3n + 4
3
an+1
(0.5đ)= lim
= (0.5đ). Kết luận hội tụ : (0.5đ). Nếu
n→∞ 4(n + 1)
n→∞
an
4
thiếu trị tuyệt đối và kết luận đúng, cả bài cho 0.5đ .

Câu 5: D = lim

Câu 6: Bán kính hội tụ R = 4, (0.5đ)
Hai cận phân kỳ theo Điều kiện cần hoặc Cauchy Cn . (0.5đ)
(−1)n 2 ∞ (−1)n
−
(0.5đ)
3n
3 1 2n + 3
1
2 ∞ (−1)n
= − ln 2 +
3
3 2 2n + 1

1
2
1
2π 4
= − ln 2 + arctan 1 = − ln 2 +
− (1đ)
3
3
3
34 9

Câu 7: S =

∞
1


Điều chỉnh đáp án CA 1
dxdy

Câu 3 : I = 4

4 − x2 − y 2

Dxy

Câu 6 :
=

4n−1

1
+ x2n
(2n)! n

=

+∞
1

(−1)n
(2x)2n −
4(2n)!

∞
1

(−1)n−1 2 n
(x )
n

1
(cos 2x − 1) − ln(1 + x2 )
4

hoặc
=

+∞
n
1 (−1)


= 4π.

+∞
n
1 (−1)

4n−1
1
+ x2n
(2n)! n

=

+∞
1

(−1)n
(2x)2n +
4(2n)!

∞
1

(−x2 )n
n

1
(cos 2x − 1) − ln(1 + x2 )
4


Điều chỉnh đáp án CA 2
Câu 2 : I = −
=−

0
−1

dx

D
1−x2
0

cos2 ydx − (2xy + x sin 2y)dy

−2ydxdy −
C

2ydy +

1
2
Câu 7 : S = − ln 2 +
3
3

1
0


dx

∞
2

(1−x)2
0

2ydy −

−1
1

(−1)n
1
2
= − ln 2 +
2n + 1
3
3

1

1dx =

41
11
+2= .
15
15


arctan 1 − 1 +

1
3

1
2π 4
= − ln 2 +
−
3
34 9