Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 2: Tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.29 MB, 26 trang )
TRƯỜNG THPT HỒNG ĐỨC
Chào mừng quý thầy, cô giáo đến dự giờ thăm lớ
Gv: NGUYỄN THANH SƠN
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên K, a và b là 2 phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số: F(b)-F(a) được
được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).
Kí hiệu là:
b
∫
b
f ( x ) dx
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
∫
b
a
= F (b) − F (a)
a
Công thức (1) còn được gọi là công thức Niutơn-Lepnít
(1)
Định nghĩa
b
cận trên
dấu tích phân
cận dưới
∫
f ( x ) dx
a
biểu thức dưới dấu
tích phân
hàm số dưới dấu tích phân
Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân.
b
b
b
a
a
a
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( t ) dt = ... = F ( b ) − F ( a )
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH
PHÂN
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a,b] thì tích phân
là diện tích của hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị của hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường
đường thẳng x=a và x=b.
b
∫ f ( x)dx
a
EM HÃY CHỌN ĐÁP ÁN ĐÚNG
TRONG CÁC ĐÁP ÁN SAU :
Kết quả của tích phân
A.
1
là:
0
C. Không tồn tại
B.
D.
1
dx
∫−-11 x
1
HÃY TÍNH TÍCH PHÂN SAU
4
I = ∫ (2 x + 3)dx
−2
4
2
J = ∫ | x | dx
−1
Lời giải
I = ∫ (2 x + 3)dx
= ( x + 3x)
2
−2
= (16 + 12) − (4 − 6) = 30
4
−2
2
∫
2) Tính tích phân J = | x | dx
−1
XÐt hµm sè f(x) = |x| x nÕu x ≥ 0
=
- x nÕu x < 0
⇒Hàm
số f(x) = |x| là liên
y=|x|
tục trên R và f(x) ≥ 0. Đồ thị
hàm số f(x) =2 |x| như hình vẽ
khi đó: J = | x | dxlà diện
∫
−1
tích của hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = |x|, trục
0x và 2 đường thẳng
x = -1; x=2
y
D
2
A
1
B
-1
C
O 1
2
x
⇒J là tổng diện tích của 2
tam giác OAB và ∆OCD
Mà S ∆ OAB=
1
2
và S ∆ OCD= 2
2
1
5
J = ∫ | x | dx = + 2 =
2
2
−1
y
y=|x|
D
2
A
1
B
-1
C
O 1
2
x
b
Tính chất 1:
Chứng minh
b
∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx
a
(k ∈ R )
a
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K
Ta có: kF(x) cũng là 1 nguyên hàm của hàm số kf(x) trên
b
K
b
Suy ra: kf ( x ) dx = kF ( x ) a
∫
= kF (b) − kF (a)
a
b
= k[ F (b) − F (a)] = k ∫ f ( x)dx
b
Vậy:
b
a
∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x)dx
a
a
(k ∈ R)
Tính chất 2:
b
b
b
a
a
a
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx
±
g
(
x
)
dx
∫
∫
∫
Chứng minh
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K
G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K
Ta có: F(x)+G(x) cũng là một nguyên hàm của
hàm số f(x)+g(x) trên K
vì:
[F(x)+G(x)]'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)
b
⇒ ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = [ F ( x) + G ( x) ]
b
a
a
= [ F (b) + G (b)] − [ F (a) + G (a)]
b
b
= [ F (b) − F (a)] + [G (b) − G (a)] = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
Vậy
b
b
a
a
a
a
b
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx
∫
∫
∫
Tương tự:
b
b
a
b
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx
−
g
(
x
)
dx
∫
∫
∫
a
a
a
∫
Cho
g
(
x
)
dx
=
3
∫
f ( x)dx = −2
và
1
a, Hãy tính:
1
VÍ DỤ 1
3
3
3
I = ∫ [3 f ( x) + g ( x)]dx
1
Bài giải
3
3
3
1
1
I = ∫ [3 f ( x) + g ( x)]dx = ∫ 3 f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
1
3
1
1
3
= 3∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx = 3(−2) − 3 = −9
VÍ DỤ 1
3
Cho
∫
f ( x)dx = −2
và
b, Hãy tính:
1
Bài giải
g
(
x
)
dx
=
3
∫
3
1
1
1
J = ∫ [4 f ( x) − 5]dx
3
3
3
3
1
1
1
J = ∫ [4 f ( x) − 5]dx = ∫ [5 − 4 f ( x)]dx = ∫ 5dx − ∫ 4 f ( x)dx
3
3
3
1
1
= 5∫ dx − 4∫ f ( x)dx = 5.x 1 − 4(−2) = 5(3 − 1) + 8 = 18
3
VÍ DỤ 2
Em hãy tìm đáp án đúng trong bài toán sau:
Cho biết
và
5
∫ f ( x)dx = 6
1
5
Kết qủa tích phân
A.
17
C.
16
5
∫ g ( x)dx = 8
1
là:
[
4
f
(
x
)
−
g
(
x
)]
dx
∫
1
B. 14
D. 18
VÍ DỤ 3
Tính tích phân
Lời giải
4
I =
(
2
x
+
3
)
dx
∫
−2
4
4
4
−2
−2
−2
I = ∫ (2 x + 3)dx = ∫ 2 xdx + ∫ 3dx
=x
2
4
+
3
x
−2
= 16 − 4 + 3[4 − (−2)] = 30
4
−2
Tính chất 3:
c
b
c
∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
Cm
a
a
b
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Ta có
c
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
∫
c
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
∫
b
a
b
=
F
(
c
)
−
F
(
a
)
;
a
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
a
a
c
∫
b
f ( x)dx = F ( x)
c
b
= F (c) − F (b)
c
∫
Khi đó
f ( x)dx = F ( x)
c
a
= F (c ) − F ( a )
a
= [ F (b) − F (a)] + [ F (c) − F (b)]
b
=
∫
c
Vậy
a
∫
a
c
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b
b
c
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a
b
VÍ DỤ 4
2
I =
Tính tích phân
|
x
|
dx
∫
−1
Lời giải
2
0
2
0
2
−1
−1
0
−1
0
I = ∫ | x | dx = ∫ | x | dx + ∫ | x | dx = ∫ (− x)dx + ∫ xdx
2
x
=−
2
2
x
+
−1
2
0
2
0
1
5
= − ( 0 − ) + ( 2 − 0) =
2
2
VÍ DỤ 5
∫
Cho biết:
1
Hãy tính:
5
2
f ( x)dx = −4và
5
I = ∫ f ( x) dx
∫
f ( x )dx = 6
1
2
Lời giải
5
1
5
I = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
2
2
2
5
1
= − ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx
1
1
⇒ I = −(−4) + 6 = 10
VÍ DỤ 6
4
3
Cho biết:
∫
0
4
0
Hãy tính:
∫ f ( x)dx = 7
f ( z )dz = 3 và
I = ∫ f (t )dt
3
4
0
Lời giải
4
3
3
0
3
4
0
0
I = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt = − ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt
3
Mà
3
4
4
f
(
t
)
dt
=
f
(
z
)
dz
=
3
;
f
(
t
)
dt
=
f
(
x
)
dx
=
7
∫
∫
∫
∫
0
0
0
⇒ I = −3 + 7 = 4
0
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Giả sử
sử các
cáchàm
hàmsốsốf(x),
f(x),g(x)
g(x)liên
liêntục
tụctrên
trên
khoảng
a, c
Giả
khoảng
K,K,
và và
a, b,
là
b, 3c điểm
là 3 đbất
iểmkỳ
bất
thuộc
kỳ thuộc
K. Ta K.
có:Ta có:
T/c 1:
T/c 2:
b
b
a
a
(với K € R)
R)
kf
(
x
)
dx
=
k
f
(
x
)
dx
∫
∫
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
c
T/c 3:
∫
a
b
c
a
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
BÀI TẬP
b
Bài 1:
1: Tìm b, biết rằng:
Bài 2: Tính:
I=
2π
∫
0
e2
Bài 3: Tính:
(
2
x
−
4
)
dx
=
0
∫
0
1 − cos 2 x dx
5
I = ∫ (2 x + − 7)dx
x
1
Cảm ơn quý thầy, cô giáo đã dự giờ thăm lớp
