Tên đề tài :

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ
học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo
đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo
tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương
pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng.
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng.
Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duy rất tích
cực của học sinh.
Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề
cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng
các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu
nhất.
Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại
có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý
thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để
giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng
bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Tuy thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức
đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh.
Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra
đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài toán bằng cách lập
phương trình của bộ môn đại số lớp 9. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức
toán học trong phần giải phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình còn
nhiều hạn chế và thiếu sót.
Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để lập phương

trình của bài toán. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9, bởi
lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức
hoặc giải những phương trình cho sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn
chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các
đại lượng, yếu tố trong bài toán nên không lập được phương trình.
Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình các em mới được học nên
chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết
quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi
áp dụng giải không được.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán,
ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả


năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học
tập.
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9, bản thân tôi khi dạy phần
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc học
sinh giải bài toán phần này.
Mặt khác khi giảng dạy phần này giáo viên và học sinh cần hiểu rằng đó là sự kế
thừa của toán lớp 8. Chỉ khác chăng đó là quá trình giải phương trình bậc nhất, phương
trình bậc hai hay hệ phương trình mà thôi. Do đó, trong phạm vi nghiên cứu. Bản thân tôi
mong rằng: nếu có sự sáng tạo của quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh
lớp 8,9 phát triển tư duy, cũng có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn môn toán 9, chủ đề
bám sát.
Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của
mình.Vì vậy tôi mạnh dạn nêu ra một số kinh nghiệm nhỏ “Hướng dẫn học sinh giải bài
toán bằng cách lập phương trình”
Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của quý thầy cô, đồng nghiệp để đề tài của
tôi được hoàn thiện hơn.
II.THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1.Thuận lợi :
- Việc đưa ra một số kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách lập phương
trình nói riêng và đại số 9 nói chung vào đề tài nghiên cứu khoa học của tôi được sự quan
tâm giúp đỡ tận tình của Ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, của đồng nghiệp
trong nhà trường.
- Bản thân tôi cũng đã giảng dạy được nhiều năm nên cũng có kinh nghiệm trong việc
dạy học môn toán đặc biệt là toán 9 và học sinh lớp 9ª2, 9ª5 - đối tượng trực tiếp áp dụng
đề tài này - có nhiều em học sinh khá, giỏi tiếp thu bài nhanh và có vốn kiến thức sâu
rộng.
- Học sinh bậc học THCS là đối tượng thích tìm hiểu, khám phá, thích thể hiện mình,
chính vì vậy quá trình thực hiện của giáo viên có thêm một số thuận lợi.
2. Khó khăn :
Bên cạnh những thuận lợi trên còn có những khó khăn :
- Đối với giáo viên: Trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan
giáo viên chỉ dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà chưa biết phân loại
dạng toán, chưa khai thác được phương pháp giải cho mỗi dạng toán.
- Đối với học sinh:
+ Nắm các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình và mối liên hệ giữa chúng là
vấn đề khó khăn đối với học sinh, học sinh chưa nhận ra được điều bài toán cho và điều
bài toán cần giải quyết.


+ Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn , mối
liên hệ giữa các số liệu trong bài toán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này.
+ Khi giải quyết một bài toán cụ thể học sinh thiếu sự sáng tạo, không biết cách tìm ra
hướng giải quyết vì các em thiếu kỹ năng giải quyết vấn đề.
+ Kết quả thi khảo sát đầu năm cho thấy chất lượng môn toán còn rất thấp đặc biệt là
phần giải bài toán bằng cách lập phương trình hầu như đa số các em không làm được.
3. Số liệu thống kê :
Tôi đã tự tìm ra các phương pháp và thực hiện nghiên cứu đối với học sinh lớp

9A2 và 9A5 trong năm học 2012 - 2013. Đầu năm học, tôi nhận thấy lớp 9A2 và 9A5 có
rất nhiều học sinh yếu, đặc biệt là môn toán, điều này đã làm tôi rất băn khoăn, trăn trở.
Cụ thể qua bài kiểm tra khảo sát môn toán đầu năm của lớp 9A2 và 9A5 tôi đã ghi nhận
kết quả như sau :
Điểm
Sĩ số

Giỏi

Khá

T. Bình

Yếu

Kém

9A2

31

2 ≈ 6,5%

8 ≈ 25,8%

11 ≈ 35,5%

9 ≈ 29,0%

1 ≈ 3,2%


9A5

30

1 ≈ 3,3%

9 ≈ 30,0 %

10 ≈ 33,3%

8 ≈ 26,7%

2 ≈ 6,7%

TỔNG

61

3 ≈ 4,9 %

17 ≈ 27,9 %

21 ≈ 34,4% 17 ≈ 27,9%

3 ≈ 4,9%

Lớp

Muốn thực hiện được nội dung của đề tài, trước hết người giáo viên phải yêu

thương học sinh, phải nhẫn nại, tận tâm vì học trò. Đồng thời, Giáo viên phải đầu tư
nhiều vào việc soạn giảng, học hỏi, nghiên cứu, tham khảo tài liệu có liên quan và theo
dõi quá trình học tập của học sinh.
III. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình
1.Cơ sở lí luận
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa học.
Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng: “Ai không hiểu
biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể
phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20, nhà vật lí học nổi tiếng
(P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí “không được tin vào mọi quan
niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể
không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời tiên
đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được
phương pháp của toán học.”.


Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo và
xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ
phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực
hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện
đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn
luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp
tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu
cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những phương
pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có tính đặc thù
cao là môn Toán.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần

phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng,
tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm
thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở lớp 9, tôi thấy
cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình rồi giải phương trình một cách kỹ
càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài
là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp
các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập
cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn
kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” , đây là một trong những dạng toán lập
phương trình cơ bản mà lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản,
là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Nên đòi hỏi phải hướng dẫn cụ thể để học
sinh nắm một cách chắc chắn.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Phần1. Đường lối chung để giải bài toán bằng cách lập phương trình
Trước hết phải cho các em nắm được lược đồ để “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình”
Bước 1 : Lập phương trình gồm các công việc :
- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có)
- Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác, diễn giải
các bộ phận hình thành phương trình
- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài, mà lập phương trình


Bước 2 : Giải phương trình .Tùy theo từng dạng phương trình mà chọn cách giải
thích thích hợp và ngắn gọn.
Bước 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra
cho ẩn xem có thích hợp không,có thể thử lại kết quả đó với cả nội dung bài toán (Vì các

em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ) sau đó trả lời bằng danh số (có kèm theo
đơn vị ).
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta
đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực
tiễn.
Phần 2: Yêu cầu về giải một bài toán
1. Yêu cầu 1:
Lời giải không phạm phải sai lầm, không sai sót dù là nhỏ nhất. muốn vậy giáo viên
phải cho học sinh hiểu kĩ đề bài, trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức cơ
bản, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, các kí hiệu ẩn phải chính xác, phải phù
hợp với bài toán và phù hợp với thực tế.
Ví dụ 1: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi concộng thêm bốn. năm nay tuổi
mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
*Phân tích đề bài:
Năm nay tuổi mẹ gấp ba lần tuổi con. Nên nếu tuổi con là x thì tuổi mẹ là 3x. bảy năm
về trước tuổi mẹ là: 3x – 7, tuổi con là x – 7
Giải:
Gọi tuổi con năm nay là x ⇒ tuổi mẹ năm nay là 3x (x ∈ N * , y ∈ N * ; x > 7 tuổi)
Trước đây 7 năm tuổi con là x – 7
Trước đây 7 năm tuổi mẹ là 3x – 7
Vì trước đây 7 năm tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có phương trình:
3x – 7 =5(x – 7) +4
⇔ 3x – 7 = 5x – 35 + 4
⇔ 3x - 5x = -35 + 4 + 7
⇔ -2x = -24
⇔ x = 12 (TMĐK)

Vậy năm nay tuổi con là 12 tuổi mẹ là 36
2. Yêu cầu 2:
Lời giải bài toán phải có căn cứ chính xác. Trong quá trình thực hiện từng bước phải

có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lí luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý thỏa mãn
điều kiện nêu trong giả thiết. xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và các
điều kiện đã cho phải làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại


lượng trong bài toán thiết lập được phương trình, từ đó tìm được các giá trị của ẩn.
muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là dữ kiện, đâu là
điều kiện. điều kiện cóa đủ để xác định được ẩn hay không. Từ đó mà xác định được
hướng đi, xây dựng được lời giải.
Ví dụ 2:
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5 m. tính chu vi mảnh đất
đó. Biết diện tích của mảnh đất là 500 m2
* Phân tính đề bài:
Nếu chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là x (m) ⇒ chiều rộng là x – 5 (m)
Khi đó diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là x ( x – 5 ) (m2)
Giải:
Gọi chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là x (0 < x < 500; m)
Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x – 5 (m)
Diện tích hình chữ nhật là 500 m2 nên ta có PT:
x.(x – 5) = 500
⇔ x2 – 5x – 500 = 0
∆ = (−5) 2 − 4.1.(−500) = 2025

PT có hai nghiệm phân biệt x1 =
x2 =

5 + 2025
= 25 (thỏa ĐK)
2


5 − 2025
= −20 (loại)
2

Vậy chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là 25 (m)
Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là 25 – 5 = 20 (m)
Chu vi mảnh đất hình chữ nhật là (20+25).2 = 90 (m)
Chú ý: ở bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cho HS loại nghiệm x = -20 chỉ lấy
nghiệm x = 25
3. Yêu cầu 3:
Lời giải phải giải thích đầy đủ mang tính toàn diện, hướng dẫn học sinh không được bỏ
sót khả năng, chi tiết nào, không thừa không thiếu. rèn cho HS cách kiểm tra lại lời giải
xem đã đầy đủ chưa. Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cách chưa. Nếu
thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào trường hợp đó thì kết quả vẫn luôn đúng.
Ví dụ 3:


Một cạnh của tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy nếu chiều cao tăng thêm 3 cm và
4

cạnh đáy giảm đi 5 cm thì diện tích tam giác đó bằng

9
diện tích tam giác ban đầu.
10

* Phân tích đề bài

Dù chiều cao và cạnh đáy của tam giác thay đổi nhưng diện tích của tam giác vẫn được
tính theo công thức.
s= ½ (cạnh đáy . chiều cao)
Giải:
Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là x (x > 5 ; cm)
⇒ chiều cao của tam giác ban đầu là

3
.x (cm)
4

3
3
.x ) : 2 = .x 2
4
8

Diện tích tam giác ban đầu là (x .

Khi tăng chiều cao thêm 3 cm thì chiều cao mới là

3
.x + 3 (cm)
4

Khi giảm cạnh đấy đi 5 cm thì đáy mới là x – 5 (cm)
 3






Diện tích của tam giác mới là  x + 3 ÷( x − 5 )  : 2 (cm2)

 4

 3





9 3

Theo đầu bài ta có phương trình:  x + 3 ÷( x − 5 )  : 2 = . .x
10 8

 4


2

⇔ x2 – 10x – 200 = 0
∆ ' = ( −5) 2 − 1.(−200) = 225

Phương trình coa hai ngiệm phân biệt
x1 =

5 + 15
= 20 (thỏa ĐK)

1

x1 =

5 − 15
= −10 (loại)
1

Vậy cạnh đáy của tam giác ban đầu là 20 cm
Chiều cao của tam giác ban đàu là

3
.20 = 15 (cm)
4

4. Yêu cầu 4:
Lời giải bài toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thực trình độ của học sinh, đại đa số
học sinh có thể hiểu và áp dụng được
Ví dụ 4:


Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50
tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than do đó đội đã hoàn
thành kế hoạch trước một ngày và còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội
phải khai thác bao nhiêu tấn than.
Giải:
Gọi x là só tấn than mà đội phải khai thác theo kế hoạch (x nguyên dương)
Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là

x

50

Thực tế đội khai thác được x + 13 ( tấn)
x + 13
57

Số ngày mà dội khai thác theo thực tế là
Theo đề bài ta có phương trình:
x + 13
x
=
-1
57
50
⇔ (x + 13) 50 = x.57 -2850
⇔ 50x + 650 = x.57 – 2850
⇔ 7x = 3500
⇔ x = 500 (thỏa ĐK)

Vậy theo kế hoạc đội phải khai thác được 500 tấn than.
5. Yêu Cầu 5
lời giải phải đuộc trình bày khoa học, mối liên hệ giữa các bước giải bài toán phải
logic, chặt chẽ với nhau, các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã đuộc kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng hoặc đã biết trước.
Ví Dụ 5
chiều cao của một tam giác vuông là 2,4 m. chia cạnh huyền làm hai đoạn hơn kém
nhau 1,4 m . tính độ dài cạnh huyền của tam giác.
*Phân tích đề bài:
Xét tam giác ABC vuông tại A. giả sử AC > AB
⇒ CH > BH


Vậy AH 2 = BH.CH (theo hệ thức lượng)
Giải:
Gọi độ dài BH là x (x > 0; m)
⇒ độ dài CH là x + 1,4 (m)

Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có:
AH 2 = BH.CH


⇔ 2,42 = x (x + 1,4)
⇔ x2 + 1,4 x – 5,76 = 0
∆ = (1, 4) 2 − 4.1.(−5, 76) = 25
x1 =

−1, 4 + 5
= 1,8 (thỏa ĐK)
2

x1 =

−1, 4 − 5
= −3, 2 (loại)
2

Vậy BH = 1,8 m
⇒ CH = 1,8 + 1,4 = 3,2 m
⇒ BC= 1,8 +3,2 = 5 m

6. Yêu cầu 6:

Lời giải phải rõ ràng đầy đủ. Các bước lập luận không được chồng chéo, phủ định lẫn
nhau. Muốn vậy cần rèn cho HS có thói quen sau khi giải xong cần phải thử lại kết quả
và tìm các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nghiệm đặc biệt phương trình bậc hai.
Ví dụ 6:
Độ dài cạnh huyền của một tam giác là 25 m, tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35 m.
tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó
Giải
Gọi dộ dài một cạnh góc vuông của tam giác đã cho là x (0 < x < 35,m)
Độ dài cạnh góc vuông còn lại là 35 - x (m)
Mặt khác theo định lí PITAGO áp dụng vào tam giác đã cho ta có: x 2 + (35-x)2 =252 =
625
⇔ x2 + 1225 – 70x + x2 = 625
⇔ 2 x2 – 70x + 600 = 0
x1 = 20 (thỏa ĐK)
x2 = 15 (thỏa ĐK)

Vậy độ dài các cạnh của tam giác vuông đã cho là 15 và 20
Chú ý: ở bài toán này khi tìm ra hai kết quả 15 và 20. học sinh sẽ lúng túng chọn 1 trong
hai đáp số (cạnh thứ nhất là 15, cạnh còn lại là 20) hoặc ( cạnh thứ nhất là 20, cạnh còn
lại là 15) thức tế hai tam giác vuông này đều là một. giáo viên cần xây dựng cho HS thói
quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu đăm bảo điều kiẹn thì các nghiệm tìm
được đều hợp lí.
Phần 3: Phân Tích Bài Toán


Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra từng
loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan
từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như :
Loại toán :
1- Bài toán về chuyển động.

2- Bài tập năng suất lao động.(tỉ số, phần trăm)
3- Bài toán liên quan đến số học và hình học.
4- Bài toán có nội dung vật lý - hóa học.
5- Bài toán về công việc làm chung và làm riêng.(quy về đơn vị)
6- Bài toán về tỷ lệ, chia phần.
Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải
đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu
được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa
biết, mối quan hệ giữa các đại lượng.
Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm toán, lên dạng
tổng quát của phương trình, ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được
dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập phương trình được dễ dàng. Đến đây
coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi.
Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập phương trình, các em không biết chọn
đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là
ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì chọn
đại lượng đó là ẩn”.
Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải
biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ
dàng hơn.
Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa
là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu
như thế nào? lúc sau như thế nào?
* Chẳng hạn khi giải bài toán : Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô
hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật,
phân xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không chỉ hoàn thành
trước kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may
bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28).
Phân tích:
Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày ( đã biết), Tổng số áo may

và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ:
Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may.


Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số ngày may theo
kế hoạch. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giỡa các đại lượng
trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng)
Số áo may trong1 ngày

số ngày may

Tổng số áo may

Theo kế hoạch

90

X

90x

Đã thực hiện

120

x-9

120(x - 9)

Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được

biểu thị bởi phương trình:
120(x - 9) = 90x +60.
* Hoặc khi giải bài toán:“Số lượng trong thùng thứ nhất gấp đôi lượng dầu trong
thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số dầu
trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?”
Tóm tắt:
Lúc đầu : - Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II
- Bớt thùng I đi 75lít.
- Thêm vào thùng II là 35 lít.
Lúc sau : - Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II.
Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít)
- Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau :
+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2 thùng dầu).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào?
(Số dầu T1 = 2T2)
+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 35lít).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao (Số dầu T1 = số dầu T2).
+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng? (Số lít).
+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết.
Ở đây cần phải ghi rõ cho học sinh thấy được là bài toán yêu cầu tìm số dầu mỗi
thùng lúc đầu, có nghĩa là 2 đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn số lít
dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu là ẩn.
- Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lit).
- Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số dương).
- Biểu thị đại lượng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc đầu là 2x(lít).
Chú ý : Thêm (+), bớt (-).
- Số dầu thùng I khi bớt 75 lít ? (2x – 75)


- Số lit dầu thùng II khi thêm 35 lit ? (x + 35)

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lúc sau là (số lit dầu 2 thùng bằng nhau)
ta lập phương trình: x + 35 = 2x –75
(1)
- Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương trình không phải là khó,
song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biến đổi, giải theo các
bước đã được học.
Sau khi giải xong, tìm được giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đối chiếu với
điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán.
- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem còn có thể giải theo cách
nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu là ẩn.
Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các em sẽ lập được phương
trình bài toán : x - 75 =

1
x + 35 (2)
2

Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với cách giải thứ nhất thì
giải phương trình nào dễ hơn.
Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì khi giải
phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình rồi khử mẫu, điều
này cũng gây lúng túng cho các em.
Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu là ẩn, vì
nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu là ẩn thì lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó
khăn hơn.
Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này gấp mấy
lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là ẩn để bớt khó khăn
khi giải phương trình.
Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn : “nguyên
dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung thực

tế bài toán cho.
Ở chương trình lớp 8, 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn
giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển
động trên dòng nước.
Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan,
đơn vị các đại lượng.
Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận
tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức S = v.t . Từ đó suy ra:
v=

s
s
; t=
t
v

Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy.
Thì :

Vxuôi = VRiêng + V dòng nước


Vngược = VRiêng - V dòng nước
* Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’;
ô tô đi hết 2giờ 30’ phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy
là 20km/h.
Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ra vẽ sơ đồ minh
họa thì học sinh dễ hình dung bài toán hơn
Tóm tắt:
Đoạn đường AB


A

B

t1 = 3g 30 phút
t2 = 2g 30 phút
V2 lớn hơn V1 là 20km/h (V2 – V1 = 20)
Tính quãng đường AB=?
- Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy)
- Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian.
- Các số liệu đã biết:
+ Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’
+ Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’
+ Hiệu hai vận tốc : 20 km/h
- Số liệu chưa biết:
Vxe máy? Vôtô? SAB ?
* Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không đổi. Quan
hệ giữa các đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: s = v.t. Quan hệ giữa v và t là
hai đại lượng tỷ lệ nghịch.
Như vậy ở bài toán này có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB,
nên có thể chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0
Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết.
Vận tốc xe máy :

x

Vận tốc ôtô : 2,5

x

3,5 (km/h)
(km/h)

Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(V2 – V1 = 20)

x
x
= 20
2,5 3,5
- Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện
trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km.


Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở
trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng
đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn.
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0
Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h)
- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường
xe máy đi hoặc của ôtô đi).
- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20)
Giải phương trình trên ta được: x = 50.
Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán : Vận tốc xe
máy là 50 km/h.
Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu tìm quãng đường nên
khi có vận tốc rồi ra phải tìm quãng đường.
- Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu
với điều kiện của ẩn, yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn như bài toán trên, ẩn chọn là vận tốc
của xe máy, sau khi tìm được tích bằng 50, thì không thể trả lời bài toán là vận tốc xe
máy là 50 km/h, mà phải trả lời về chiều dài đoạn đường AB mà đề bài đòi hỏi.

Tóm lại : Khi giảng dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa
biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm
ẩn.
Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn. Nhằm
tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả.
Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm là
ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn.
- Cần chú ý 1 điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h) thì điều kiện x>0 chưa đủ mà
phải x > 20 vì dựa vào thực tế bài toán là vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 (km/h)
Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” giáo viên cần cung cấp
cho học sinh một kiến thức liên quan như :
- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1
đơn vị công việc biểu thị bởi số 1.

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian.
A : Khối lượng công việc
Ta có công thức A = nt ; Trong đó

n : Năng suất làm việc
t : Thời gian làm việc

- Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm.


- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng công
việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể.
Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán.
Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8)
4
giờ đầy bể

5
1
1 giờ vòi 1 chảy bằng 1
lượng nước vòi 2
2

2 vòi cùng chảy 4

Hỏi : mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?
- Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau :
+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể.
+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)
+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của mỗi
vòi.
+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi vòi).
- Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể.
Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể.
Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h)
Điều kiện của x ( x > 4

24
4
giờ =
giờ)
5
5

- Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vòi chảy.
Nên tìm :

+ Năng suất của vòi 1 chảy là?
+ Năng suất vòi 2 chảy là ?

1
(bể)
x

3
(bể)
2x

+ Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ :
Ta có phương trình :

1:

24 5
=
(bể)
5 24

5
1 3
+
=
x 2x 24

Đây là dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các bước để giải phương trình
trên, ta được x = 12. Vậy thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ.



- Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của một vòi thì ta tìm năng
suất của vòi 1 là :

3
1
=
(bể)
2.12 8

Từ đó ta tìm được thời gian là 8 giờ.
* Ở chương trình đại số lớp 8, 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên
có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng
túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan.
- Cách viết số trong hệ thập phân.
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện
của các chữ số.
Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ
hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho.
Học sinh phải nắm được :
- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số).
- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào?
(Tổng 2 chữ số là 16).
- Vị trí các chữ số thay đổi thế nào?
- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?
- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn
vị).
- Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm
chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc
chữ số hàng đơn vị).

Nếu gọi chữ số hàng chục là x
Điều kiện của x ? (x ∈ N, 0 < x < 10).
Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x
Số đã cho được biết 10x + 16 - x = 9x + 16
Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết.
10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x
Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình :
(160 – 9x) – (9x + 16) = 18
- Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện).


Vậy chữ số hàng chục là 7.
Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9.
Số cần tìm là 79.
Phần 4: Một số ví dụ điển hình về các dạng toán và cá bài tập đề nghị
Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi không có
tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo các em học sinh luyện tập thêm. Do
đó, bản thân tôi cũng đúc rút từ các sách do quý thầy giáo , quý cô giáo đi trước đã dày
công nghiên cứu để biên soạn và viết lại. Mong quý thầy cô và các em học sinh vui lòng
góp ý.
Loại 1 : Bài toán về chuyển động
- Phương pháp giải
Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.
S = v.t

quãng đường = vận tốc ´ thời gian

t=

S

v

thời gian = quãng đường : vận tốc

v=

S
t

vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h
nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Đk: x > 0

S(km)

v(km/h)

Bác Hiệp (nhanh)


30

x

Cô Liên (chậm)

30

x+3

Phương trình

30
30 1
−
=
x+3 x 2

t(h)
30
x
30
x+3


+ Dạng “Tìm vận tốc thực, tìm vận tốc xuôi (ngược) dòng”:
Vận tốc thực : Là vận tốc của vật đi được khi dòng chảy đứng yên.
vxuôi = vthực + vdòng

vngược = vthực - vdòng


vdòng = (vxuôi - vngược ) : 2

vthực = (vxuôi + vngược ) : 2.

Ví dụ 6:
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một canô đi từ bến A đến bến B,
nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất
cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước
chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)

t(h)

x

Ca nô đi khi nước đứng yên
Khi xuôi dòng

30

x+3

30
x+3


Khi ngược dòng

30

x−3

30
x−3

30
30
2
+
+ =6
x+3 x −3 3

Phương trình

+ Dạng “có nghỉ ở dọc đường và thay đổi vận tốc”:
Ví dụ 7:
Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài
120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi
theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5
km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Bài tập đề nghị :

Đk: x >0

S(km)


v(km/h)

Lúc đi (nhanh)

120

x

Lúc về (chậm)

125

x−5

Phương trình

120
125
+1 =
x
x −5

t(h)
120
x
125
x −5



1- Hai bến tàu thủy A và B cách nhau 48 km. Một tàu thủy đi từ A đến B rồi trở lại
A ngay mất 5 giờ tất cả. Biết vận tốc của dòng nước là 4 (km/h). Tính vận tốc của tàu
thủy khi nước đứng im.
2- Một xe ôtô phải đi quãng đường dài 150km với vận tốc đã định. Người ta tính
rằng : Nếu ôtô tăng vận tốc thêm 10km mỗi giờ thì thời gian chạy hết quãng đường sẽ
giảm được 45 phút. Tính vận tốc đã định.
Loại 2 : Bài toán về năng suất lao động
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian ´ năng suất
⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian

Năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
Thường chọn thời gian làm ẩn.
“Công việc” = 1
Làm nhanh hơn ( năng suất cao hơn) thì ít thời gian hơn;
làm chậm hơn ( năng suất thấp hơn) thì nhiều thời gian hơn.
công việc = thời gian × năng suất
Năng suất = công việc : thời gian
Thường chọn thời gian làm ẩn x. Đk : x > thời gian cả hai.
Phương trình thường là : Năng suất I + Năng suất II = Năng suất cả hai
Chú ý : Năng suất lao động là kết quả làm được, như vậy năng suất lao động trội = mức
quy định + tăng năng suất.
Ví dụ : Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy. Trong tháng sau, tổ
I vượt mức 10%, tổ II vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính
xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Phân tích : Cần phải xác định năng suất của mỗi tổ trong tháng đầu, nên ta có thể
đặt hai ẩn, mỗi ẩn tương ứng là năng suất của mỗi tổ. Nhưng vì biết năng suất chung của
hai tổ là 400 chi tiết máy, do đó có thể chỉ cần một ẩn số. Giả sử gọi năng suất của tổ I
(trong tháng đầu) là x thì năng suất của tổ II là 400- x . Tiếp theo có thể dựa vào năng

suất của mỗi tổ trong tháng sau để lập phương trình, hoặc có thể dựa vào phần tăng năng
suất của mỗi tổ để đi đến một phương trình khác.
Giải :
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ I sản xuất trong tháng đầu, x nguyên dương, như vậy
tổ 2 sản xuất (400 – x) chi tiết máy.
Trong tháng sau, tổ I làm được so với tháng đầu là :


100% + 10% = 110%
Tổ II làm được so với tháng đầu là :
100% + 15% = 115%
Tháng sau số chi tiết máy mà cả hai tổ làm được là:
110x 115(400 - x)
+
= 448
100
100

Giải phương trình trên :
110x + 115 (400 – x) = 44.800⇔- 5x = - 1.200 ⇔ x = 240
Thử lại:

110.240
= 264
100

;

115.160
= 184 ; 264 +184 =448.

100

Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 400 –
240 = 160 chi tiết máy.
Cách 2 Phần đặt ẩn số như cách 1.
Trong tháng sau, cả hai tổ đã tăng năng suất là :
448 - 400 = 48 (chi tiết máy)
Như vậy ta có phương trình :
10x 15(400 - x)
+
= 48
100
100

Giải phương trình trên :
10x + 15 (400 – x) = 4.800⇔- 5x= - 1200⇔ x = 240
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 400 –
240 = 160 chi tiết máy.
Bài tập đề nghị :
1- Theo kế hoạch, trong quý I, phân xưởng A phải sản xuất nhiều hơn phân xưởng
B 200 bình bơm thuốc trừ sâu. Khi thực hiện, do phân xưởng A tăng năng suất 20%, còn
phân xưởng B tăng năng suất 15% nên phân xưởng A sản xuất được nhiều hơn phân
xưởng B là 350 bình bơm. Hỏi theo kế hoạch mỗi phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu
bình bơm?
2- Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy
tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành
công việc sẽ giảm đi 7 ngày công.
Loại 3 : Bài toán có liên quan đến số học và hình học
- Phương pháp giải



Phần số học:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab = 10a+ b ( ví i 0+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc = 100a+ 10b + c ( ví i 0+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:

1 1
+ .
x y

Phần hình học :
Nên vẽ hình (ngoài nháp cũng được).
Các kích thước của hình: là độ dài các cạnh của hình.
Phải thuộc các hệ thức, công thức, định lý, hệ quả … liên quan đến hình để vận
dụng vào bài toán.
Đối với hình chữ nhật:
chu vi = ( dài + rộng). 2 ;
Þ

Dài =

chu vi
2

- rộng ;

diện tích = dài ´ rộng

Rộng =

chu vi
2

- dài

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng <
Nếu chọn chiều dài làm ẩn thì điều kiện là:

chu vi
.
4

chu vi
chu vi
< dài <
:
4
2

Đối với tam giác vuông:
Nếu chọn một cạnh góc vuông làm ẩn x thì Đk là: 0 < x < cạnh huyền.
Diện tích tam giác =

ñaù
y ´ cao
2

Ví dụ 1: Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng . Nếu thêm chữ số 0 vào

giữa hai chữ số thì được số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho.
Giải
Gọi chữ số hàng chục của chữ số đã cho là x , điều kiện 0 < x ≤ 7 và x ∈ N.
Thì chữ số hàng đơn vị của số đã cho là: 7 - x
Số đã cho có dạng: x.(7 − x ) = 10x + 7 - x = 9x + 7
Viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số mới
có dạng :
x0(7 − x) = 100x + 7 - x = 99x + 7
Theo bài ra ta có phương trình:
( 99x + 7 ) - ( 9x + 7 ) = 180
⇔
90x = 180
⇔
x = 2 (Thoả mãn điều kiện).
Vậy: chữ số hàng chục là 2


ch s hng n v l 7 - 2 = 5
s phi tỡm l 25
Vớ d 2: Mt tam giỏc cú cnh huyn bng 25cm v tng hai cnh gúc vuụng bng
35cm. Tớnh di mi cnh gúc vuụng.
Gii :
Gi x (cm) l di mt cnh gúc vuụng, x > 0. Cnh gúc vuụng kia di 35 - x
(cm). Theo nh lý Pitago ta cú phng trỡnh :
x2 + (35 - x)2 = 252
hay x2 + 1225 - 70x + x2 = 625x2 - 35x - 300 = 0
= 1225 - 1200 = 25 ;

D = 5.

Phng trỡnh cú hai nghim: x1 = 20 v x2 = 15. Hai giỏ tr ny tha món iu kin
ó nờu. Th li : 20 + 15 = 35 v 202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 252.
Vy di hai cnh gúc vuụng ln lt l 20cm v 15cm.
Bi tp ngh :
1- Nh trng d nh lm mt sõn tp th dc hỡnh ch nht din tớch 350m 2.
Tớnh kớch thc ca sõn bit rng nu gim chiu di 10m v tng chiu rng lờn 4m thỡ
din tớch vn khụng i.
2- Trong mt tam giỏc vuụng, ng cao thuc cnh huyn di 12cm v chia cnh
huyn thnh hai on hn kộm nhau 7cm. Tớnh di cnh huyn.
Loi 4 : Bi toỏn cú ni dung vt lý, húa hc
- Phng phỏp gii
lp c phng trỡnh, ta phi da vo cỏc cụng thc, nh lut ca vt lý, húa hc
liờn quan n nhng i lng cú trong toỏn.
D=

M
V

ỡù D: laứ khoỏ
i lửụùng rieõ
ng (kg/m3)
ùù
ùớ M : laứkhoỏ
ị
i lửụùng (kg)
ùù
ùù V : laứtheồtớch (m3) :
ợ

V=

M
v
D

M = V. D

Vớ d v dung dch:
Nng dung dch mui l 12 % thỡ ta nờn hiu:
Trong 100 gam dung dch cú 12 gam mui.
mdd = mct + mH 2O
C% =

mct
.100%
mdd

Nu cỏc n v o ca cựng mt i lng cha cựng n v thỡ phi i v cựng
mt n v.


Ví dụ 1 : Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168kJ để đun nóng hai khối nước
hơn kém nhau 1kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 2 0C. Tính xem khối nước
nhỏ được đun nóng thêm mấy độ?.
Phân tích : Công thức tính nhiệt lượng là : Q = cm (t2 - t1)

Q

trong đó nhiệt độ được tăng thêm là t2 - t1, suy ra khối lượng của nước là m = c(t - t )

2

1

, biết rằng nhiệt dung riêng của nước là: c =4,2 kJ/kg.độ.
Giải: Giả sử khối nước nhỏ được đun nóng x độ(x>0). Như vậy khối lượng nước nhỏ là:

Q
168
=
c(t - t ) 4,2.x (kg) , vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối
2 1
168
nước nhỏ 20C nên khối lượng của khối nước lớn là:
4,2(x - 2) (kg)
m=

Theo đầu bài ta có phương trình :

168
168
+1 =
4,2(x - 2)
4,2.x

Giải phương trình trên ta được :

40
40
+ 1=

x
x- 2

40 (x - 2) + x (x - 2) = 40x⇔ x2 - 2x - 80 = 0
∆‘ = 1 + 80 = 81 ⇒ ∆ ' = 9
Phương trình có hai nghiệm là x1 = 10; x2 = - 8
Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm.
Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
(Để giải bài toán này, có thể đặt ẩn là khối lượng khối nước nhỏ).
Ví dụ 2 : Lấy 40g chất lỏng thứ nhất trộn lẫn với 30g chất lỏng thứ hai có khối
lượng riêng nhỏ hơn 100kg/m3 ta được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 350kg/m 3.
Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Phân tích : Công thức khối lượng riêng: D =

M
(kg/m3)
V

Chú ý khi trộn hai chất lỏng có khối lượng riêng khác nhau thì khối lượng riêng
của hỗn hợp cũng sẽ khác nhưng thể tích của mỗi hỗn hợp thì bao giờ cũng bằng tổng thể
tích của hai chất lỏng đem trộn mà công thức tính thể tích: V =

M
.
D

Giải :
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (kg/m 3) thì khối lượng riêng của
chất lỏng thứ hai là (x - 100) kg/m3. Điều kiện x > 100.

So sánh thể tích của hai chất lỏng

0.04
0.03
và
với thể tích củahỗn hợp:
x
x - 100

0,04 + 0,03 0,07
=
350
350
Ta đi đến phương trình :

0.04
0.03
0,07
+
=
x
x - 100 350

Nhân hai vế với 100 và thay

7
1
=
350 50

ta được phương trình:

4
3
1
+
=
x x - 100 50

⇔50 (4x - 400 + 3x) = x (x -100) ⇔ x2 - 450x + 20000 = 0
∆ = 202500 - 80000 = 122500 = 3502 ;

D = 350.

Phương trình có hai nghiệm : x1 = 400; x2 = 50.
Theo điều kiện đã đặt ra, ta chỉ lấy nghiệm x = 400.
Vậy khối lượng riêng của hai chất lỏng là 400kg/m3 và 300kg/m3.
Bài tập đề nghị :
1- Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit. Loại I chứa 30% axit, loại II
chứa 50% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 15% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít
dung dịch mỗi loại?
2- Một hợp kim đồng và nhôm nặng 11,250kg, có thể tích là 3,500dm3.
Tính khối lượng của đồng và nhôm có trong hợp kim, biết rằng khối lượng riêng
của đồng là 8,9g/cm3; của nhôm là 2,6g/cm3.
Loại 5 : Bài toán về công việc làm chung, làm riêng
Chú ý : Nếu mất n đơn vị thời gian (giờ, ngày...) để làm xong một công việc thì
trong 1 đơn vị thời gian ấy sẽ làm được

1

công việc.
n

Ví dụ 1: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4
chảy ở vòi I bằng 1

1
giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước
4

1
lượng nước chảy ở vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao
2

lâu bể đầy?
Giải:
4
5

Gọi thời gian một mình vòi II chảy đầy bể là x (giờ); (điều kiện x> 4 )
1
(phần bể)
x
1 1 3
Khi đó vòi I chảy được: 1 . = (phần bể)
2 x 2x

Một giờ vòi II chảy được:

Một giờ cả hai vòi chảy được:

1 3
+
(phần bể)
x 2x

Theo bài ra ta có phương trình:
4 24
1 3
5
4 =
+
=
(vì đổi 5 25 )
x 2 x 24
⇔ 5 x = 24 + 36 ⇔ 5 x = 60 ⇒ x = 12

Với x = 12 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Một mình vòi II chảy đầy bể là 12 giờ
1 1 1
= (bể). Nên một mình vòi I chảy đầy bể là 8
2 12 8

Còn vòi I một giờ chảy được 1 .
giờ.

Ví dụ 2 : Hai công nhân cùng làm chung để hoàn thành một công việc trong 7 ngày.
Trong đó, người thứ 2 làm sau người thứ nhất là 1

1
ngày. Hỏi nếu mỗi người làm một
2

mình thì sau bao lâu xong công việc. Biết rằng người thứ 2 có thể hoàn thành công việc
đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là 3 ngày.
Giải:
Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x>7)
Thế thì người thứ nhất làm hết: x+3 (ngày)
Người thứ hai làm trong 5,5 ngày được 5,5

1
(công việc)
x

Theo bài ra ta có phương trình:
7
5,5
+
= 1 ⇔ 7 x + 5,5( x + 3) = x ( x + 3) ⇔ 2 x 2 − 19 x − 33 = 0
x+3 x
6
⇒ x = 1; x = −
4

Với x=11 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy: Người thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày)
Người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày)
Bài tập đề nghị :
1- Hai cần cẩu làm chung thì hoàn thành công việc sau 7giờ 30 phút. Nếu cần cẩu

thứ nhất làm riêng trong 5 giờ và cần cẩu thứ hai làm riêng tiếp tục trong 1 giờ 40 phút
thì mới được một nửa công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi cần cẩu phải làm trong bao
lâu để xong công việc?.
2- Hai đội sản xuất cùng đào một con mương. Nếu để mỗi đội làm riêng cả con
mương thì tính ra cả hai đội sẽ mất tất cả 25 ngày mới xong. Nếu góp sức làm chung thì
cả hai đội chỉ mất 6 ngày. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu để đào
xong mương ?
11
giờ thì đầy bể. Nếu
12

3- Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau 2

chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy
bể trong bao lâu?.