088 đề HSG toán 8 yên mỗ 2015 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (412.96 KB, 4 trang )
PHềNG GIO DC V O
TO
HUYN YấN Mễ
( CHNH THC)
THI HC SINH GII LP 8
NM HC 2015 2016
MễN TON
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
( ny gm 05 cõu, 01 trang)
Cõu 1 (4,0 im): Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
b, x4 2016x2 2015x 2016
a, x( x 2)( x2 2 x 2) 1
Cõu 2 (3,5 im):
a, Cho a +b +c 0 v a3 + b3 + c3 = 3abc . Tớnh N =
a 2016 b 2016 c 2016
a b c
2016
b, Tỡm s t nhiờn n n2 4n 2013 l mt s chớnh phng
Cõu 3 (4,5 im): Gii cỏc phng trỡnh sau:
a, x2 2 (2 x 3)( x 5) 23
b,
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x 9 x 20
x 11x 30
x 13x 42
18
2
Cõu 4 (6,0 im): Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai ng chộo ct nhau ti O.
ng thng qua O v song song vi ỏy AB ct cỏc cnh bờn AD, BC theo th t
M v N.
a, Chng minh rng OM = ON.
b, Chng minh rng
1
1
2
.
AB CD MN
c, Bit SAOB= 20152 (n v din tớch); SCOD= 20162 (n v din tớch). Tớnh SABCD.
Cõu 5 (2,0 im). Cho a, b, c là các số d-ơng . Chứng minh bất đẳng thức:
c2
a2
b2
abc
+
+
ab
2
bc
ca
-------------Ht-----------Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:......................................
S bỏo danh:............................................
Ch ký ca giỏm th 1:...............................
Ch ký ca giỏm th 2:............................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2015-2016
Môn : Toán lớp 8
(Hướng dẫn chấm gồm 3 trang)
Tóm tắt đáp án
Câu
Điểm
0,5
a) x( x 2)( x 2 x 2) 1 ( x 2 x)( x 2 x 2) 1
2
2
2
( x2 2 x)2 2( x 2 2 x) 1
= ( x 2 x 1)
2
Câu 1
(4,0đ)
0,5
0,5
2
( x 1)4
b) x 2016x 2015x 2016 = x x 2016( x x 1)
= x( x3 1) 2016( x2 x 1) = x( x 1)( x2 x 1) 2016( x2 x 1)
= ( x2 x 1) x( x 1) 2016
= ( x2 x 1)( x2 x 2016
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
4
2
4
2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
a 3 b3 c3 3abc 0
a 3 b3 3ab(a b) c 3 3ab(a b) 3abc 0
a b c3 3ab(a b c) 0
3
(a b c)(a 2 2ab b 2 ac bc c 2 ) 3ab(a b c) 0
0,5
(a b c)(a 2 b 2 c 2 ab ac bc) 0
2
Câu 2
(3,5đ)
2
2
a + b + c – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)
2
2
2
2a + 2b + 2c – 2ab – 2ac –2bc = 0
2
2
2
(a – b) + (b – c) + (c – a) = 0
Vì (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c.
Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
a = b = c
Mà a +b +c 0 a = b = c 0 (*)
Thay (*) vào N ta có: N
0,5
0,5
a 2016 a 2016 a 2016
3a 2016
a a a
3a
b) Giả sử n2 4n 2013 m2 , m
2
2
Suy ra n 2 2009 m2 m2 n 2 2009
m n 2 m n 2 2009
2016
2016
3a 2016
1
2015
2016
(3a)
3
Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 và m n 2 m n 2 nên có các trường
hợp sau xảy ra:
0,5
0,5
0,5
m n 2 2009
m 1005
m n 2 1
n 1002
TH1:
m n 2 287
m 147
m n 2 7
n 138
0,5
TH2:
m n 2 49
m 45
m n 2 41
n 2
TH3:
Vy cỏc s cn tỡm l: 1002; 138; 2
Cõu 3
(4,5)
a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23
x2-25=(2x+3)(x+5)
(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5)
(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0
(x+5) [x-5 (2x+3)] = 0
(x+5)(-x-8)=0
x-5=0 hoc x+8 =0
x=-5 hoc x=-8
b)Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4; 5; 6; 7 )
1
1
1
1
=
18
( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7)
1
1
1
1
1
1
1
(
)+(
)+(
)=
x4 x5
x5 x6
x6 x7
18
1
1
1
=
(x + 4)(x +7) = 54
x4 x7
18
(x + 13)(x 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của ph-ơng trình là: S = 13; 2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
B
A
O
N
M
C
D
Cõu 4 a)( 2,0 im)
OM OD
ON OC
(6)
Lp lun cú
,
AB
BD
OD OC
Lp lun cú
DB AC
OM ON
OM = ON
AB
AB
0,5
AB
0,75
AC
0,75
0,5
b)( 2,0 im)
OM DM
OM AM
(1), xột ADC cú
(2)
AB
AD
DC
AD
1
1
AM DM AD
T (1) v (2) OM.(
)
1
AB CD
AD
AD
Xột ABD cú
0,75
1
1
) 1
AB CD
1
1
1
1
2
t ú cú (OM + ON). (
)2
AB CD
AB CD MN
Chng minh tng t ON. (
0,75
0,5
c)( 2,0 im)
T CBH EAH ( cmt)
2
2
S
SCBH
BC
2
2
BC
CBH =
= 4 (gt)
, m
= 4 nờn BC = (2AE)
SEAH AE
SEAH
AE
BC = 2AE E l trung im ca AB, F l trung im ca AD
Chng minh c S AOD S BOC
S AOB .S DOC (S AOD ) 2
Thay s cú 20152.20162 = (SAOD)2 SAOD = 2015.2016
Do ú SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312
(n v DT)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số
0,5
0,5
0,5
a2
bc
,
không âm ta có :
bc
4
a2 b c
bc
a
a2
.
+
=2. =a
2
bc 4
2
bc
4
a2
bc
abc
4
Suy ra
0,5
0,5
0,5
b
ac
bca
4
2
Cõu 5 T-ơng tự
(2)
c2
ab
cab
4
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đ-ợc :
c2
a2
b2
abc
abc
+
+
=
(a+b+c)ab
2
2
bc
ca
Vậy
c2
a2
b2
abc
+
+
(đpcm)
ab
2
bc
ca
Lu ý:
- Hc sinh lm bi cỏc cỏch khỏc nhau m ỳng thỡ vn cho im ti a.
- Bi hỡnh khụng cú hỡnh v thỡ khụng chm.
- Tng im ca bi cho im l n 0,25 (vớ d : 13,25 ; 14,5;
16,75).
0,5
0,5
