Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

061 đề HSG toán 8 huyện 2017 2018

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.69 KB, 6 trang )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8. Năm học: 2017-2018
Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.
b) B =

1 1 1
1



...

 1.
22 32 42
1002

Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232.
Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn
nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.

1


c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK  DC
3
Câu 6: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e)
“HẾT”

1


C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.
b) B =
CÂU 1
a

b

1 1 1
1



...

 1.
22 32 42
1002
ĐÁP ÁN
2


3

A = 1 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33)
= 40 + 34. 40 + 38. 40
= 40. (1 + 34 + 38) 40
Vậy A 40
1 1 1
1
 2  2  ... 
2
2 3 4
1002
1
1
1
1



 ... 
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
1 1 1

1
1



 ... 
 1     ...  
1.2 2.3 3.4
99.100
2 2 3
99 100
1
1
1
100

0,5
0,5
0,5
0,5

B

Vậy B < 1

0,5
0,5
0,5
0,5


Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232
CÂU 2
ĐÁP ÁN
a
Ta có:

ĐIỂM

a + b + c = 0 suy ra a + b = - c

0,5

Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

0,5

Suy ra

(- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c)
a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm)

b

ĐIỂM

11

0,5

0,5

C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25

C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25
2


C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)

0,25

C = (28-1) (28+1)(216+1)

0,25

C = (216-1)(216+1)

0,25

C = 232-1

0,25

Vì 232 - 1 < 232 nên C < D.


0,5

Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
CÂU 3
a

b

ĐÁP ÁN
x + 2019x + 2018x + 2019
4

ĐIỂM

2

= x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3

0,5

= (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1)

0,5

= x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)

0,5


= (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1)

0,25

= (x2 + x + 1)(x2– x + 2019)

0,25

E = 2x2 – 8x + 1
= 2x2 – 8x + 8 - 7

0,5

= 2(x2 – 4x + 4) – 7

0,5

= 2(x – 2)2 – 7  - 7

0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2

0,5

Câu 4: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
ĐÁP ÁN


ĐIỂM

3


Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD.
Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Xét  AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).

0,25

Xét  COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).

0,25

Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
 AC + BD > AB + CD

 AC + BD > a + c

0,25
(1)

Chứng minh tương tự:

0,25

AC + BD > AD + BC
 AC + BD > d + b


(2)

0,25

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b


AC + BD >

0,25

a  c  d  b
(*)
2

0,25

Xét  ABC, ta có: AC < a + b
Xét  ADC, ta có: AC < d + c
Suy ra:

0,25

2AC < a +b + c + d
 AC <

a  c  d  b
2


Chứng minh tương tự: BD <

a  c  d  b
(**)
2

0,25

(3)
(4)

0,25

Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d.

a  c  d  b
< AC + BD  a + b + c + d
Từ (*) và (**) suy ra
2
(đpcm)

0,25
0,25

Câu 5: (4,0 điểm)
4


Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.

a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.

1
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK  DC.
3
ĐÁP ÁN

CÂU

a

b

ĐIỂM

Xét tứ giác AMIN có:
MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông ở A)

0,25

AMI = 900 (vì IM vuông góc với AB)

0,25

ANI = 900 (vì IN vuông góc với AC)

0,25

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông)


0,25

1
ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI  IC  BC
2

0,5

Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến

0.5

 NA  NC

0,5

Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1)
Mà AC  ID

(2) 0,5

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi.
c

Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H

0,25

 IH là đường trung bình BKC


 H là trung điểm của CK hay KH = HC

(3) 0,25
5


Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK)
Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH

1
Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC  DK  DC
3

(4) 0,25
0,25

Câu 6:(1,0 điểm)
Chứng minh rằng: a2  b2  c2  d 2  e2  a(b  c  d  e)
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Ta có :
2

1 2
1

2

 a  b   0  a  b  ab (1)
2
4


2

1 2 2
1

 a  c   0  a  c  ac (2)
4
2


0,25

2

1 2
1

2
 a  d   0  a  d  ad (3)
4
2

2

1 2 2

1

 a  e   0  a  e  ae (4)
4
2


0,25

Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :
1
4. a 2  b 2  c 2  d 2  e2  ab  ac  ad  ae
4
 a 2  b 2  c 2  d 2  e2  a(b  c  d  e)

0,25
0,25

 Lưu ý :
- Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa.
- Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì cho ½
tổng số điểm của câu đó.
(Đề thi gồm có 08 trang)

6



×