061 đề HSG toán 8 huyện 2017 2018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.69 KB, 6 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8. Năm học: 2017-2018
Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.
b) B =
1 1 1
1
...
1.
22 32 42
1002
Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232.
Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn
nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
1
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC
3
Câu 6: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)
“HẾT”
1
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng:
a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 311 chia hết cho 40.
b) B =
CÂU 1
a
b
1 1 1
1
...
1.
22 32 42
1002
ĐÁP ÁN
2
3
A = 1 + 3 + 3 + 3 + ...+ 3
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311)
= ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33)
= 40 + 34. 40 + 38. 40
= 40. (1 + 34 + 38) 40
Vậy A 40
1 1 1
1
2 2 ...
2
2 3 4
1002
1
1
1
1
...
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
1 1 1
1
1
...
1 ...
1.2 2.3 3.4
99.100
2 2 3
99 100
1
1
1
100
0,5
0,5
0,5
0,5
B
Vậy B < 1
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2: (4,0 điểm )
a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc
b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232
CÂU 2
ĐÁP ÁN
a
Ta có:
ĐIỂM
a + b + c = 0 suy ra a + b = - c
0,5
Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
0,5
Suy ra
(- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c)
a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm)
b
ĐIỂM
11
0,5
0,5
C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
0,25
C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
0,25
2
C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1)
0,25
C = (28-1) (28+1)(216+1)
0,25
C = (216-1)(216+1)
0,25
C = 232-1
0,25
Vì 232 - 1 < 232 nên C < D.
0,5
Câu 3: (4,0 điểm )
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1.
CÂU 3
a
b
ĐÁP ÁN
x + 2019x + 2018x + 2019
4
ĐIỂM
2
= x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3
0,5
= (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1)
0,5
= x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
0,5
= (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1)
0,25
= (x2 + x + 1)(x2– x + 2019)
0,25
E = 2x2 – 8x + 1
= 2x2 – 8x + 8 - 7
0,5
= 2(x2 – 4x + 4) – 7
0,5
= 2(x – 2)2 – 7 - 7
0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2
0,5
Câu 4: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi
nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
3
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD.
Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).
0,25
Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác).
0,25
Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
AC + BD > AB + CD
AC + BD > a + c
0,25
(1)
Chứng minh tương tự:
0,25
AC + BD > AD + BC
AC + BD > d + b
(2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b
AC + BD >
0,25
a c d b
(*)
2
0,25
Xét ABC, ta có: AC < a + b
Xét ADC, ta có: AC < d + c
Suy ra:
0,25
2AC < a +b + c + d
AC <
a c d b
2
Chứng minh tương tự: BD <
a c d b
(**)
2
0,25
(3)
(4)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d.
a c d b
< AC + BD a + b + c + d
Từ (*) và (**) suy ra
2
(đpcm)
0,25
0,25
Câu 5: (4,0 điểm)
4
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi.
1
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC.
3
ĐÁP ÁN
CÂU
a
b
ĐIỂM
Xét tứ giác AMIN có:
MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông ở A)
0,25
AMI = 900 (vì IM vuông góc với AB)
0,25
ANI = 900 (vì IN vuông góc với AC)
0,25
Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông)
0,25
1
ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI IC BC
2
0,5
Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến
0.5
NA NC
0,5
Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1)
Mà AC ID
(2) 0,5
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi.
c
Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H
0,25
IH là đường trung bình BKC
H là trung điểm của CK hay KH = HC
(3) 0,25
5
Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK)
Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH
1
Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC DK DC
3
(4) 0,25
0,25
Câu 6:(1,0 điểm)
Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta có :
2
1 2
1
2
a b 0 a b ab (1)
2
4
2
1 2 2
1
a c 0 a c ac (2)
4
2
0,25
2
1 2
1
2
a d 0 a d ad (3)
4
2
2
1 2 2
1
a e 0 a e ae (4)
4
2
0,25
Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được :
1
4. a 2 b 2 c 2 d 2 e2 ab ac ad ae
4
a 2 b 2 c 2 d 2 e2 a(b c d e)
0,25
0,25
Lưu ý :
- Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa.
- Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì cho ½
tổng số điểm của câu đó.
(Đề thi gồm có 08 trang)
6
