038 đề HSG toán 8
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.7 KB, 4 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Câu 1. Tìm một số có 8 chữ số: a1a2 ....a8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau:
a) a1a2a3 a7 a8
2
b) a4a5a6a7 a8 a7 a8
3
Câu 2. Chứng minh rằng: x m x n 1 chia hết cho x 2 x 1 khi và chỉ khi
mn 2 3
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 1
Câu 3. Giải phương trình:
1
1
1
.....
x 1.2 2.3 3.4 ...... 2006.2007
2005.2006.2007
1.2.3 2.3.4
Câu 4. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD;
các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD
và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh:
a) EF / / AB
b) AB2 EF .CD
c) Gọi S1 , S2 , S3 và S 4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB, OCD, OAD và
OBC . Chứng minh S1.S2 S3.S4
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x2 2 xy 6 y 2 12 x 2 y 45
ĐÁP ÁN
Câu 1.
Ta có: a1a2a3 a7 a8
2
(1)
a4a5a6a7a8 a7a8
3
(2)
Từ (1) và (2) 22 a7 a8 31
a a a 00 a a a a a a a a a 00
a a 1 a a a a 1 4.25.a a a
Do a a 1 ; a a ; a a 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng:
a7 a8
7 8
7 8
3
3
4 5 6
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
4 5 6
4 5 6
7 8
a)a7 a8 24 a1a2a3.......a8 là số 57613824
b) a7 a8 1 24 a7 a8 25 số đó là 62515625
c) a7 a8 26 không thỏa mãn
; n 3t s với 0 s 2
Câu 2. Đặt m 3k r với 0 r 2
m
n
3k r
3t s
3k r
x x 1 x
x 1 x x x r x3t x s x s x r x s 1
x r x3k 1 x s x3t 1 x r x s 1
Ta thấy: x3k 1 x 2 x 1 và x3t 1 x 2 x 1
Vậy x m x n 1 x 2 x 1
x r x s 1 x 2 x 1 với 0 r , s 2
r 2 và s 1 m 3k 2 và n 3t 1
r 1 và s 2 m 3k 1 và n 3t 2
mn 2 3k 2 3t 1 2 9kt 3k 6t 3 3kt k 2t
mn 2 3k 1 3t 2 2 9kt 6k 3t 3 3kt 2k t
mn 2 3, Điều phải chứng minh.
Áp dụng: m 7, n 2 mn 2 12 3
x7 x 2 1 x 2 x 1
x7 x 2 1 : x 2 x 1 x5 x 4 x 2 x 1
Câu 3.
1
1
1
.....
x 1.2 2.3 3.4 ...... 2006.2007
1.2.3
2.3.4
2005.2006.2007
Nhân cả 2 vế với 6 ta được:
2
2
2
3.
.....
x 2 1.2. 3 0 2.3. 4 1 ...2006.2007. 2008 2005
2005.2006.2007
1.2.3 2.3.4
1
1
1
1
1
3.
......
x
2006.2007
1.2 2.3 2.3 3.4
2.1.2.3 2.3.4 1.2.3 ..... 2006.2007.2008 2005.2006.2007
1
1003.1004.669
1
3.
x 2.2006.2007.2008 x
5.100.651
1.2 2006.2007
Câu 4.
A
E
D
B1
B
K
O
H F
A1
C
OE OA
OB OC
a) Do AE / / BC và BF / / AD
OF OB
OA OD
OA OB
OE OF
EF / / AB
Mặt khác AB / /CD ta lại có:
nên
OC OD
OB OA
b) ABCA1 và ABB1D là hình bình hành AC
DB1 AB
1
EF AB
AB 2 EF .CD
Vì EF / / AB / /CD nên
AB DC
1
1
1
1
c) Ta có: S1 AH .OB; S2 CK .OD; S3 AH .OD; S4 .OK .OD
2
2
2
2
1
1
.
AH
.
OB
S1 2
AH S3 2 . AH .OD AH
;
S4 1 .CK .OB CK S2 1 .CK .OD CK
2
2
S
S
1 3 S1.S2 S3 .S4
S4 S2
Câu 5.
A x 2 2 xy 6 y 2 12 x 2 y 45
x 2 y 2 36 2 xy 12 x 12 y 5 y 2 10 y 5 4
x y 6 5 y 1 4 4
2
2
y 1 0
x 7
Giá trị nhỏ nhất A 4 khi
x y 6 0 y 1
