CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: Tìm GTNN của:

Dạng 1: Đa thức đơn giản
A = x ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 7 )
B = ( x − 1) ( x − 3) ( x 2 − 4 x + 5 )

a:
Bài 2: Tìm GTNN củ
A = x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + 8
Bài 3: Tìm min của:
B = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
Bài 4: Tìm GTNN của:
A = ( x2 + x − 6 ) ( x2 + x + 2 )
Bài 5: Tìm GTNN của:
C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
Bài 6: Tìm GTNN của :
D = ( 2 x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( 2 x + 1)
Bài 7: Tìm GTNN của:
C = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 4 ) + 2011
Bài 8: Tìm min của:
E = 5 + ( 1 − x ) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
Bài 9: Tìm max của:
M = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
Bài 10: Tìm GTNN của:
D = ( x + 1) ( x 2 − 4 ) ( x + 5 ) + 2014
Bài 11: Tìm min của:
B = ( x + a) ( x + b) ( x + c) ( x + d ) + m
Bài 12: Tìm min của:
với a+d = b+c

4
3
2
C = x − 6 x + 10 x − 6 x + 9
Bài 13: Tìm GTNN của:
HD:
C = ( x 4 − 2.3 x 2 .x + 9 x 2 ) + ( x 2 − 6 x + 9 ) = ( x 2 − 3 x ) + ( x − 3 ) ≥ 0
2

2

C = x 4 − 4 x 3 + 9 x 2 − 20 x + 22

Bài 14: Tìm GTNN của:
HD:
C = ( x 4 − 4 x3 + 4 x 2 ) + 5 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 2
B = x4 − x2 + 2x + 7

Bài 15: Tìm GTNN của:
HD:
B = ( x 4 − 2 x 2 + 1) + ( x 2 + 2 x + 1) + 5

D = ( x + 8) + ( x + 6)
4

4

Bài 16: Tìm GTNN của:
HD:
4

4
x + 7 = y => D = ( y + 1) + ( y − 1) = 2 y 4 + 12 y 2 + 2 ≥ 2
Đặt:
A = 9 x 2 − 6 x − 4 3x − 1 + 6
Bài 17: Tìm GTNN của :
1


HD:

3 x − 1 = t => t 2 = 9 x 2 − 6 x + 1 => E = t 2 − 4t + 5
Đặt:

A = ( 2 x + 1) − ( 3x − 2 ) + x − 11
2

2

Bài 18: Tìm GTLN của:
4
4
A = ( x + 2) + ( x − 2)
Bài 19: Tìm min của:
A = x 2 + 4 y 2 − 4 x + 32 y + 2018
Bài 20: Tìm min của:
A = 3x 2 + y 2 + 4 x − y
Bài 21: Tìm min của:
B = 5 x 2 + y 2 + 2 xy − 12 x − 18
Bài 22: Tìm min của:
A = −4 x 2 − 5 y 2 + 18 xy + 10 y + 12

Bài 23: Tìm max của:
B = −3x 2 − 16 y 2 − 8 xy + 5 x + 2
Bài 24: Tìm max của:
A = 3 x 2 + 4 y 2 + 4 xy + 2 x − 4 y + 26
Bài 25: Tìm min của:
5 x 2 + 9 y 2 − 12 xy + 24 x − 48 y + 82
Bài 26: Tìm min của:
A = − x 2 − y 2 + xy + 2 x + 2 y
Bài 27: Tìm max của:
2
2
A = ( x − 3) + ( x − 1)
Bài 28: Tìm min của:
2
2
2
B = 2 ( x + 1) + 3 ( x + 2 ) − 4 ( x + 3 )
Bài 29: Tìm min của:
4
4
F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5 )
Bài 30: Tìm max của:
4
4
G = ( x + 3) + ( x − 7 )
Bài 31: Tìm min của:
H = x 4 − 7 x 2 + 4 x + 25
Bài 32: Tìm min của:
I = x 4 − 6 x 3 + 11x 2 + 12 x + 20
Bài 33: Tìm min của:

K = x 4 − 6 x 3 + 15 x 2 − 20 x − 15
Bài 34: Tìm min của:
M = x 4 − 4 x 3 + 7 x 2 − 12 x − 18
Bài 35: Tìm min của:
N = − x2 − 4 y 2 + 6 x − 8 y + 3
Bài 36: Tìm max của :
P = −3x 2 − 5 y 2 + 2 x + 7 y − 23
Bài 37: Tìm max của:
Q = − x 2 − 5 y 2 + 4 xy + 12 y + 7
Bài 38: Tìm max cảu:
Q = − x 2 − 5 y 2 + 4 xy + 12 y + 7
Bài 39: Tìm max cảu:
R = −7 x 2 − 4 y 2 − 8 xy + 18 x + 9
Bài 40: Tìm max của:
A = 5 − 2 x 2 − 4 y 2 + 4 xy − 8 x − 12 y
Bài 41: Tìm max của:
2


Bài 42: Tìm max của:
Bài 43: Tìm min của:

B = 2 − 5 x 2 − y 2 − 4 xy + 2 x
C = a 2 + ab + b 2 − 3 x − 3b + 1989

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ≥ m
2

Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:
A = x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 4 y + 5

Bai 45: Tìm GTNN của biểu thức sau:
HD:
2
2
A = ( x − y ) + ( y − 2) + 1
Ta có:
B = 2 x 2 + y 2 + 2 xy − 8 x + 2028
Bài 46: Tìm min của:
A = a 4 − 2a 3 − 4 a + 5
Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức:
HD:
A = a 2 ( a 2 + 2 ) − 2a ( a 2 + 2 ) + ( a 2 + 2 ) + 3 ( a 2 + 2 ) ( a 2 − 2a + 1) + 3 ≥ 3
=
dấu bằng khi a=1
2
2
A = x − 2 xy + 2 y + 2 x − 10 y + 17
Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức :

3


Dạng 2: NHÓM ĐƠN GIẢN
A = x − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17
2

Bài 1: Tìm GTNN của:
B = x 2 − xy + y 2 − 2 x − 2 y
Bài 2: Tìm min của:
C = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 3 y

Bài 3: Tìm min của:
D = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 2 y + 45
Bài 4: Tìm min của:
E = x 2 − xy + 3 y 2 − 2 x − 10 y + 20
Bài 5: Tìm min của:
F = − x 2 + 2 xy − 4 y 2 + 2 x + 10 y − 3
Bài 6: Tìm max của:
2
G = ( x − ay ) + 6 ( x − ay ) + x 2 + 16 y 2 − 8ay + 2 x − 8 y + 10
Bài 7: Tìm min của:
H = − x 2 + xy − y 2 − 2 x + 4 y + 11
Bài 8: Tìm max của:
I = x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 6 y + 11
Bài 9: Tìm min của:
K = x 2 + y 2 − xy + 3 x + 3 y + 20
Bài 10: Tìm min của:
M = x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 y + 1
Bài 11: Tìm min của:
N = x 2 − 2 xy + 2 y 2 − x
Bài 12: Tìm min của:
x 2 − 2 xy + 3 y 2 − 2 x + 1997
Bài 13: Tìm min của:
Q = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 2 x − 10 y
Bài 14: Tìm min của:
R = x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 2 y
Bài 15: Tìm min của:
A = 4 x 2 + 5 y 2 − 4 xy − 16 y + 32
Bài 16: Tìm min của:
B = x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 − 4 xy − 4 yz − 4 z + 12
Bài 17: Tìm min của:

C = 5 x 2 − 12 xy + 9 y 2 − 4 x + 4
Bài 18: Tìm min của:
D = − x 2 − y 2 + xy + 2 x + 2 y
Bài 19: Tìm max của:
E = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 y − 3
Bài 20: Tìm min của:
F = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 2011
Bài 21: Tìm min của:
G = x 2 + xy + y 2 − 3 ( x + y ) + 3
Bài 22: Tìm min của:
x 2 + 4 y 2 + z 2 − 2 x + 8 y − 6 z + 15 = 0
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3
Bài 24: Tìm min của:
B = x 2 − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17
Bài 24: Tìm min của:
4


Bài 25: Tìm min của:
Bài 26: Tìm min của:
Bài 27: Tìm min của:
Bài 28: Tìm min của:

C = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 3 y

D = 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 − 8 x − 22 y
E = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2004

F = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 12 y + 45

a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3

Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :
HD:
2
2
P = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3 => 4 P = ( a − b ) + 3 ( a + b − 2 ) ≥ 0
Bài 30: Tìm min của:
Bài 31: Tìm min của:

A = x 2 + 6 y 2 + 14 z 2 − 8 yz + 6 zx − 4 xy

B = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 − 2 xy + 2 xz − 2 x − 2 y − 8 z + 2000

5


Dạng 3: PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm min của:

2
A=
6x − 5 − 9 x2

B=

1
x − 4x + 9

C=


−3
x − 5x + 7

Bài 2: Tìm min của:
Bài 3: Tìm max của:

2

2

D=

6
−x + 2x − 3

K=

2
x +8

M=

4
x + x +1

2

Bài 4: Tìm min hoặc max của:


2

Bài 5: Tìm min hoặc max của:

2

Bài 6: Tìm min hoặc max của:
E=

3x 2 − 8x + 6
x2 − 2x + 1

G=

x2 − 4x + 1
x2

Bài 7: Tìm min hoặc max của:

Bài 8: Tìm min hoặc max của:
F=

4 x2 − 6 x + 1

( 2 x + 1)

Bài 9: Tìm min hoặc max của:

x


H=

( x + 10 )

Bài 10: Tìm min hoặc max của:
I=

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

( x + 2016 )

Bài 12: Tìm min hoặc max của:

2

x 2 − 2 x + 2000
x2

x 2 − 2 x + 2015
E=
2015 x 2
F=

Bài 14: Tìm min hoặc max của:
B=

Bài 15: Tìm min hoặc max của:
A=
Bài 16: Tìm min hoặc max của:


2

x

D=

Bài 13: Tìm min hoặc max của:

2

x

( x + 2000 )

(

2

x2 − x + 1
x2 + 2x + 1

)

2x2 + 4x + 4
x2

6


B=


x 2 − 2 x + 2012
x2

K=

3 − 4x
x2 + 1

M=

27 − 12 x
x2 + 9

N=

3x 2 + 4 x + 8
x2 + 3

P=

8x + 3
4x2 + 1

Bài 17: Tìm min hoặc max của:
Bài 18: Tìm cả min và max của:
Bài 19: Tìm min hoặc max của:

Bài 20: Tìm min hoặc max của:
Bài 21: Tìm min hoặc max của:

C=

Bài 22: Tìm min hoặc max của:

)

x +1
2

N=

x2 + x + 1
x2 + 1

D=

2x +1
x2 + 2

E=

2x +1
x2

F=

2x −1
x2 + 2

G=


6x − 8
x2 + 1

Q=

3x 2 − 6 x + 17
x2 − 2x + 5

R=

2 x 2 − 16 x + 41
x 2 − 8 x + 22

A=

x 6 + 27
x 4 − 3x3 + 6 x 2 − 9 x + 9

B=

x 6 + 512
x2 + 8

G=

4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
x2 + 2 x + 5

H=


x2 −1
x2 + 1

Bài 23: Tìm min hoặc max của:
Bài 24: Tìm min hoặc max của:
Bài 25: Tìm min hoặc max của:
Bài 26: Tìm min hoặc max của:
Bài 27: Tìm min hoặc max của:

Bài 28: Tìm min hoặc max của:

Bài 29: Tìm min hoặc max của:

Bài 30: Tìm min hoặc max của:

Bài 31: Tìm min hoặc max của:

Bài 32: Tìm min hoặc max của:

Bài 33: Tìm min hoặc max của:

(

2 x2 + x + 1

7


I=


−8
3x 2 + 2

P=

x2
x 2 − 2 x + 2010

Bài 34: Tìm min hoặc max của:

Bài 35: Tìm min hoặc max của:

Bài 36: Tìm min hoặc max của:

Bài 37: Tìm min hoặc max của:

2 x2 − 6 x + 5
Q= 2
x − 2x +1
2x2 + 4x + 4
A=
x2
B=

2x +1
x2 + 2

C=


x2 + 2
x2 + x + 2

Bài 38: Tìm min hoặc max của:

Bài 39: Tìm min hoặc max của:

Bài 40: Tìm min hoặc max của:

x2 + 2 x + 3
D= 2
x − 2x + 3

(

G=

2 x4 + x4 y2 + y 2 + 2

Bài 41: Tìm min hoặc max của:
H=
Bài 42: Tìm min hoặc max của:

)

+1

2

3x 2 − 2 x + 3

x2 + 1

H=

3 x 2 − 6 x + 17
x 2 − 3x + 5

Bài 45: Tìm min hoặc max của:

Bài 46: Tìm min hoặc max của:

2 x 2 − 16 x + 71
x 2 − 8 x + 22

K=
Bài 47: Tìm min hoặc max của:

x2 − 4 x + 1
x2

2x2 + 4x + 9
N= 2
x + 2x + 4
x2
P= 4
x +1
Q=

Bài 50: Tìm min hoặc max của:


2

C=
Bài 44: Tìm min hoặc max của:

Bài 49: Tìm min hoặc max của:

(x

3x 2 + 4
x2 + 4

Bài 43: Tìm min hoặc max của:

Bài 48: Tìm min hoặc max của:

x4 + 1

A=

I=

)

x2 y + x2 x2 − y + 1

x 2 − 2 x + 1999
x3
:
x 2 − 3x + 2

x 2 − 3x 2 + 2 x

8


A=

3x 2 − 2 x + 3
x2 + 1

B=

6x − 8
x2 + 1

C=

2x +1
x2 + 2

D=

2 x2 + 4 x + 9
x2 + 2 x + 4

E=

8x + 3
4 x2 + 1


F=

x2 − 2x + 2
x2 + 2x + 2

Bài 51: Tìm min hoặc max của:
Bài 52: Tìm min hoặc max của:
Bài 53: Tìm min hoặc max của:

Bài 54: Tìm min hoặc max của:
Bài 55: Tìm min hoặc max của:

Bài 56: Tìm min hoặc max của:

x4 + 1

G=

(x

Bài 57: Tìm min hoặc max của:

2

I=

4x + 3
x2 + 1

J=


x2 + 1
x2 − x + 1

K=

x2 + 2
x2 + x + 2

M=

4x +1
x2 + 3

N=

3x 2 − 6 x + 14
2 x2 + 5

P=

12 x + 13
x2 + 2 x + 3

Q=

5 y 2 − 3xy
x 2 − 3 xy + 4 y 2

R=


x2 − 4 y 2
3 x 2 − 4 xy + 5 y 2

Bài 59: Tìm min hoặc max của:

Bài 60: Tìm min hoặc max của:

Bài 61: Tìm min hoặc max của:
Bài 62: Tìm min hoặc max của:

Bài 63: Tìm min hoặc max của:
Bài 64: Tìm min hoặc max của:

Bài 65: Tìm min hoặc max của:

Bài 66: Tìm min hoặc max của:

)

+1

2 x 2 − 2 xy + 9 y 2
x 2 + 2 xy + 5 y 2

H=
Bài 58: Tìm min hoặc max của:

2


9


A=

x 2 − 6 x + 23
x 2 − 6 x + 10

B=

y2
9 x 2 − 12 xy + 5 y 2

C=

3 x 2 − 12 x + 10
x2 − 4x + 5

Bài 67: Tìm min hoặc max của:

Bài 68: Tìm min hoặc max của:

Bài 69: Tìm min hoặc max của:

Bài 70: Tìm min hoặc max của:

3y2
D=
−25 x 2 + 20 xy − 5 y 2
4x2 − 6x + 1


E=

( x − 2)

Bài 71: Tìm min hoặc max của:

Bài 72: Tìm min hoặc max của:

x 2 + 4 x − 14
F= 2
x − 2x +1
G=

4 x2 − 6 x + 3
2 x2 − 3x + 2

H=

3 x 2 − 2 xy + y 2
9 x 2 − 6 xy + 2 y 2

Bài 73: Tìm min hoặc max của:

Bài 74: Tìm min hoặc max của:
I=
Bài 75: Tìm min hoặc max của:

Bài 76: Tìm min hoặc max của:


Bài 77: Tìm min hoặc max của:

4 x 2 + 22 x + 19
x2 + 4 x + 4

9 x 2 + 30 x − 7
K=
9 x2 + 6 x + 1

x 2 − 5 xy + 2 y 2
M= 2
2 x − 10 xy + 7 y 2
N=

Bài 78: Tìm min hoặc max của:

Bài 79: Tìm min hoặc max của:

2

22 x 2 − 58 xy + 73 y 2
x 2 − 4 xy + 4 y 2

8 x 2 + 6 xy
P= 2
x + y2
Q=

x 2 − 3x + 3
x2 − 2x + 1


R=

x 2 + xy + y 2
x 2 − xy + y 2

Bài 80: Tìm min hoặc max của:

Bài 81: Tìm min hoặc max của:

Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức:
HD:

x2
x4 + x2 + 1

, GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x

10


P( x) =
Ta có :

x2
x4 + x2 + 1

=

1

1
= x2 + 2 + 1 ≥ 3
P( x)
x
M=

x2 + x + 1
( x ≠ −1)
x2 + 2x + 1

Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức:
HD:
x 2 + 2 x + 1 − ( x + 1) + 1
1
1
M =
= 1−
+
2
x + 2x +1
x + 1 ( x + 1) 2
Ta có :
3 ( x + 1)
B= 3
x + x2 + x + 1
Bài 84 : Tìm GTLN của biểu thức sau:
HD:
3 ( x + 1)
3 ( x + 1)
3

B= 3
= 2
= 2
2
x + x + x + 1 x ( x + 1) + x + 1 x + 1
HD: Ta có:
x 2 − 2 x + 2012
P=
x2
Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức :
, với x#0
4x + 3
P= 2
x +1
Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của
4x + 3
P= 2
x +1
Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của
x 2 − 3x + 3
B= 2
x − 2x +1
Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
x 2 − 2 x + 2011
M=
x2
Bài 89: Cho biểu thức
, với x>0, Tìm x để M có GTNN

11



Dạng 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN

A = 3x 2 + y 2

3x + y = 1

Bài 1: Tìm min của:
biết :
HD:
2
y = 1 − 3 x => A = 3 x 2 + ( 1 − 3 x ) 12 x 2 − 6 x 2 + 1
=
A = xy
3x + y = 1
Bài 2: Tìm min của:
biết
HD:
y = 1 − 3 x => A = x ( 1 − 3 x ) = −3 x 2 + x
A = a 3 − b3 − ab

Bài 3: Tìm min của:
biết: a – b =1
HD:
3
a = b + 1 => A = ( b + 1) − b 3 − ( b + 1) b 2b 2 + 2b + 1
=
B = a.b
3a + 5b = 12

Bài 4: Tìm max của:
biết:
HD:
 12 − 5b  −5 2 12
12 − 5b
B = b
b + b
a=
÷=
3
 3  3
3
Từ gt ta có:
, thay vào
C = x 3 + y 3 + xy
x + y =1
Bài 5: Tìm min của:
biết:
HD:
3
C = x3 + ( 1 − x ) + xy = 2 x 2 − 2 x + 1
y = 1− x
Từ gt=>
thay vào C ta được:
D = x2 + 2 y 2
x + 2y =1
Bài 6: Tìm min của:
biết:
HD:
2

D = ( 1− 2 y ) + 2 y2
x = 1− 2 y
Từ gt=>
thay vào
E = 2x2 + 5 y 2
4x − 3y = 7
Bài 7: Tìm min của:
biết:
HD:
4x − 7
y=
3
Từ gt=>
thay vào E
A = x2 + y2
Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của:
B = 3 − xy
Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của:
2
2
 1  1
F =  1 + ÷ + 1 + ÷
 a  b
Bài 10: Tìm min của:
, biết: a+b=1 và a,b >0
HD:
2
2
2
2

2
2
b 
a  8 + 4 a + b  +  a + b 
 a+b  a+b 

÷  2
2 ÷
1 +
÷ + 1 +
÷ = 2+ ÷ +2+ ÷
b a b a 
a  
b  
a 
b

Ta có:
=
≥ 8 + 4.2 + 2 = 18
12


2 x2 +
Bài 11: Cho x,y thỏa mãn:
HD:

1 y2
+
=4

x2 4

, Tìm max của: A= x.y


1
y2

 
4 =  x 2 + 2 − 2 ÷+  x 2 + − xy ÷+ xy + 2
x
4

 


Từ gt ta có :
xy + 2 ≤ 4 => xy ≤ 2
=>

b2 1
2a + + 2 = 4
4 a

2

=>

2


1 
y

4 =  x − ÷ +  x − ÷ + xy + 2
x 
2


2

Bài 12: Cho hai số thực a,b
HD:

≠

0, thỏa mãn:

, Tìm min, max của:
2

S = ab + 2017
2


1
b2
1 
b

 


4 =  a 2 + 2 − 2 ÷+  a 2 + − ab ÷+ ab + 2 =  a − ÷ +  a − ÷ + ab + 2
a
4
a 
2

 



Từ gt ta có :
ab + 2 ≤ 4 => ab + 2017 ≤ 2019 => S ≤ 2019
=>
2
2
2

1 
b
 2 1
  2 b

4 =  a + 2 − 2 ÷+  a + + ab ÷− ab + 2 =  a − ÷ +  a − ÷ − ab + 2
a
4
a 
2

 



Mặt khác :
− ab + 2 ≤ 4 => ab ≥ −2 => ab + 2017 ≥ 2015
S ≥ 2015
=>
=>
8 y2
x2 + 2 +
=8
A = xy + 2024
x
8
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn:
, Tìm min, max của:
HD:

8 y2
16 y 2  2 16
y2
 
8 = x2 + 2 +
=> 16 = 2 x 2 + 2 +
=  x + 2 − 8 ÷+  x 2 + + xy ÷− xy + 8
x
8
x
4 
x
4

 

Từ gt ta có :
2
2
4 
y

8 =  x − ÷ +  x + ÷ − xy + 8 => − xy + 8 ≤ 16 => xy ≥ −8 => A = xy + 2024 ≥ 2016
x 
2

=>
2
2
2

4 
y
 2 16
  2 y

16 =  x + 2 − 8 ÷+  x + − xy ÷+ xy + 8 =  x − ÷ +  x − ÷ + xy − 8
x
4
x 
2

 



Mặt khác :
xy − 8 ≤ 16 => xy ≤ 8 => S = xy + 2024 ≤ 2032
=>
1 y2
2
2x + 2 +
=4
A = xy
x
4
Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn:
, Tìm max, min của
1
8x2 + y 2 + 2 = 4
B = x. y
4x
∈
Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết:
, Tìm x,y để
đạt min và đạt max
HD:
1
1


4 = 8 x 2 + y 2 + 2 =  4 x 2 + 2 − 2 ÷+ ( 4 x 2 + y 2 − 4 xy ) + 4 xy + 2
4x
4x



Ta có :

13


2

4=

1 
1
2

 2 x − ÷ + ( 2 x − y ) + 4 xy + 2 => 4 xy + 2 ≤ 4 => B = xy ≤
2x 
2

2

Mặt khác :

1 
−1
2

4 =  2 x − ÷ + ( 2 x + y ) − 4 xy + 2 => −4 xy + 2 ≤ 4 => B = xy ≥
2x 
2



2x2 +
Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:

1 y2
+
=4
x2 4

P = xy
, tìm min của:
A = ( 4 x 2 + 3 y ) ( 4 y 2 + 3 x ) + 25 xy

Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của:
HD:
A = 16( xy ) 2 + 12 x 3 + 12 y 3 + 9 xy + 25 xy = 6 x 2 y 2 + 12 ( x 3 + y 3 ) + 34 xy
Ta có :
2
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) = ( x + y ) − 3xy = 1 − 3xy
Vì x+y =1 nên
, thay vào A
2 2
A = 6 x y + 12 ( 1 − 3 xy ) + 34 xy
A = 6t 2 − 2t + 12
, Đặt xy=t khi đó :
A = x2 + 2 y2
Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của:
HD:
2
A = ( 3 − 2 y ) + 2 y 2 = 6 y 2 − 12 y + 9

x = 3− 2y
Từ gt ta có :
thay vào
x 2 + y 2 − xy = 4
A = x2 + y2
Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn:
, Tìm min và max của:
HD:
2
x 2 + y 2 − xy = 4 => 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy = 8 => ( x − y ) + x 2 + y 2 = 8
Ta có :
x2 + y 2 ≤ 8
A≤8
=>
hay
2
8 = 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy => 2 x 2 + 2 y 2 = 8 + 2 xy => 3x 2 + 3 y 2 = 8 + ( x + y ) ≥ 8
mặt khác :
8
8
x2 + y 2 ≥
A≥
3
3
=>
hay
A = x3 + y 3 + 2 xy
Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của:
HD:
3

A = x3 + ( 2 − x ) + 2 x ( 2 − x )
y = 2− x
Từ gt ta có :
thay vào A ta được :
A = 2 ( x 3 + y 3 ) + 3 ( x 2 + y 2 ) + 10 xy
x+ y+4=0
Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn:
, Tìm max của:
HD:
3
x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −64 + 12 xy
Ta có : x+y= - 4, nên
,
2
2
2
A = 2 ( −64 + 12 xy ) + 3 ( 16 − 2 xy ) + 10 xy
x + y = ( x + y ) − 2 xy = 16 − 2 xy
thay vào
2
x
+
2
y
+z=4
A = 2 xy + yz + zx
∈
Bài 22: Cho x, y, z R, thỏa mãn:
, Tìm max của:
14



HD:

z = 4 − 2x − 2 y

Từ giả thiết=>
thay vào A ta được :
A = 2 xy + y ( 4 − 2 x − 2 y ) + x ( 4 − 2 x − 2 y ) = −2 x 2 − 2 y 2 − 2 xy + 4 x + 4 y
Bài 23: Cho x,y,z
HD:

∈

R thỏa mãn:

x+ y+ z =6

. Tìm max của:

A = xy + 2 yz + 3 zx

A = xy + 2 y ( 6 − x − y ) + 3 x ( 6 − x − y )
thay vào
x 2 + 2 xy + 7 ( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0
S = x+ y+3
∈
Bài 24: Cho x,y R thỏa mãn:
, Tìm min và max của:
HD:

x 2 + 2 xy + 7 x + 7 y + 2 y 2 + 10 = 0
Từ gt ta có :
Từ gt =>

z = 6− x− y

(2 y + 7)
 2 y + 7  ( 2 y + 7)
x + 2x 
+ 2 y 2 + 7 y + 10 −
=0
÷+
4
4
 2 
2

=>
=>

2

2

2

3
7 3
− ≤ x + y + ≤ => −5 ≤ x + y ≤ −2
2

2 2

=>

=>

7
9

2
x+ y+ ÷ + y − =0
2
4


−2 ≤ x + y + 3 ≤ 1

n 2 + np + p 2 = 1 −
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn:

3m 2
2

, Tìm min, max của:

A= m+n+ p

HD:
2n 2 + 2np + 2 p 2 = 2 − 3m 2 => 3m 2 + 2n 2 + 2 p 2 + 2np = 2


Từ gt ta có :
(m 2 + n 2 + p 2 + 2mn + 2np + 2mp ) + ( 2m 2 + n 2 + p 2 − 2mn − 2mp ) = 2
=>
2
2
2
( m + n + p ) + ( m − p) + ( m − n) ≤ 2 − 2 ≤ m + n + p ≤ 2
=>
=>
2
x + y2 + z2 = 3
P = x + y + 2z
Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:
, Tìm min, max của:
HD:
2
P 2 = ( x + y + 2 z ) = x 2 + y 2 + 4 z 2 + 2 xy + 4 yz + 4 xz
Ta có :
, nên ta nhân 6 vào gt :
2
2
2
2
2
2
18 = 6 x + 6 y + 6 z = ( x + y + 4 z + 2 xy + 4 yz + 4 zx ) + ( 5 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 4 yz − 4 zx )
18 = ( x + y + 2 z ) + ( x − y ) + ( 2 x − z ) + ( 2 y − z )
2

2


2

2

=>

( x + y + 2z )

2

≤ 18

− 18 ≤ x + y + 2 z ≤ 18

2m 2 + 2n 2 + 4 p 2 + 3mn + mp + 2np =

Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn:
B = m+n+ p

3
2

, Tìm min max của:

HD:
Từ gt ta có :

4m 2 + 4n 2 + 8 p 2 + 6mn + 2mp + 4np = 3


15


=>

3 ( m 2 + n 2 + p 2 + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m 2 + n 2 + 5 p 2 − 4mp − 2np ) = 3

3( m + n + p ) + ( 2 p − m) + ( n − p ) = 3
2

=>

2

2

x+ y+z =3

3 ( m + n + p ) ≤ 3 => −1 ≤ m + n + p ≤ 1
2

=>

A = xy + yz + zx
Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn:
, Tìm min max của:
HD:
A = xy + y ( 3 − x − y ) + x ( 3 − x − y ) x 2 − y 2 − xy + 3x + 3 y
z = 3− x − y
Từ gt=>

thay vào
=
B = − xy + 3 yz + 4 zx
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của:
HD:
B = − xy + 3 y ( 3 − x − y ) + 4 x ( 3 − x − y )
z = 3− x − y
Từ gt ta có :
=>
2
2
−4 x − 3 y − 16 xy + 9 y + 12 x
=>B=
2x + 3y − z = 4
A = − xy + yz + zx
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
, Tìm min max của
HD:
A = − xy + y ( 2 x + 3 y − 4 ) + x ( 2 x + 3 y − 4 )
z = 2x + 3y − 4
Từ gt=>
thay vào
2x + 3y − z = 4
B = 12 xy − 3 yz − 4 zx
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
, Tìm min max của:
HD:
B = 12 xy − 3 y ( 2 x + 3 y − 4 ) − 4 x ( 2 x + 3 y − 4 )
z = 2x + 3y − 4
Từ gt ta có :

thay vào
A = 2 ( x3 + y 3 ) − 15 xy + 7
x + y = −2
Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
, tìm min của:
HD:
3
x3 + y 3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + 6 xy
Từ x + y= -2, ta có :
thay vào
A = 2 ( −8 + 6 xy ) − 15 xy + 7 = −3 xy − 9
A = −3 x ( −2 − x ) − 9
và y= - 2 - x thay vào
x + y = −2
Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
, Tìm min của:
HD:
B = x 4 + y 4 − x3 − y 3 + 2 x 2 y 2 + 2 xy ( x 2 + y 2 ) + 13 xy
2

2
2
x 4 + y 4 = ( x + y ) − 2 xy  − 2 x 2 y 2 = ( 4 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2



Từ x+y= - 2, ta có:
x3 + y 3 = 6 xy − 8 x 2 + y 2 = 4 − 2 xy
,
, Thay vào b ta được :

2
2 2
B = ( 4 − 2 xy ) − 2 x y − ( 6 xy − 8 ) + 2 x 2 y 2 + 2 xy ( 4 − 2 xy ) + 13 xy
B = − xy + 24

, thay

y = −2 − x => B = x 2 + 2 x

Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn:
HD:

x+ y =5

, Tìm max của:

A = x3 + y 3 − 8 ( x 2 + y 2 ) + xy + 2

16


x3 + y 3 = 125 − 15 xy

x+ y =5

Vì
nên
và
A = 125 − 15 xy − 8 ( 25 − 2 xy ) + xy + 2


x 2 + y 2 = 25 − 2 xy

thay vào

Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của:
HD:
B = x 4 + y 4 − 4 ( x3 + y 3 ) − 20 ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2 + xy
x 4 + y 4 = ( 25 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2 x3 + y 3 = 125 − 15 xy x 2 + y 2 = 25 − 2 xy
Vì x+y=5 nên
,
,
2
2 2
2 2
B = ( 25 − 2 xy ) − 2 x y − 4 ( 125 − 15 xy ) − 20 ( 25 − 2 xy ) − 2 x y + xy
2

x 4 + y 4 − 7 = xy ( 3 − 2 xy )

Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn:
HD:
x 4 + y 4 − 3 xy + 2 x 2 y 2 = 7
Từ gt=>
=>

, Tìm min max của:

2

2

( x 4 − 2 x2 y 2 + y 4 ) + 4 x2 y 2 − 3xy = 7 => ( x2 − y 2 ) +  2 xy − 34 ÷ = 121
16

7 x + 9 y + 12 xy − 4 x − 6 y − 15 = 0
2

Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn:
A = 2x + 3y + 5

P = xy

2

=>

3  121

 2 xy − ÷ ≤
4
16


2

, Tìm min max của:

HD:
Từ gt=>

( 2x)


2

+ ( 3 y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + 1 + 3 x 2 = 16
2

=>
3 x + 2 y + 5 z + 4 xy − 2 xz + 2 yz = 5
2

Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn:
P = x+ y
HD:

(x

2

( 2 x + 3 y + 1)

2

2

+ 3x 2 = 16

2

, Tìm min max của:


+ y 2 + 2 xy ) + ( 2 x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 xy − 2 xz + 2 yz ) = 5

Từ gt ta có:
2
( x + y ) + ( x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ) + ( 4 z 2 − 4 xz + x 2 ) = 5
=>
2
( x + y ) ≤ 5 => − 5 ≤ x + y ≤ 5
=>
p = x2 + y 2 + z 2
3x + y + 2 z = 1
Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn:
. Tìm min max của:
HD:
y = 1 − 3x − 2 z
y 2 = 1 + 9 x 2 + 4 z 2 − 6 x + 12 xz − 4 z
Từ gt ta có:
=>
khi đó :
2
2
P = 10 x + 5 z + 12 xz − 6 x − 4 z + 1
A = 2 xy + 3 yz + 4 zx
Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của:
HD:
A = 2 xy + 3 y ( 1 − x − y ) + 4 x ( 1 − x − y )
z = 1− x − y
Từ gt =>
thay vào
∈

Bài 41: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y

17


HD:
Từ gt=>

x = 1− 2 y

∈ R+

thay vào

P = y (1− 2y)
A=

Bài 42: Cho x,y
thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của:
HD:
1 1
4
4 2
+ ≤
= =
x y x + y 10 5
Ta có :
A = x2 + y2
≥
Bài 43: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của:

HD:
2
A = x2 + ( 1 − x )
y = 1− x
Từ gt=>
thay vào

1 1
+
x y

y 2 + z 2 + yz = 1 −

3 2
x
2

P = x+ y+z
Bài 44: Tìm min max của:
, biết:
HD:
2 y 2 + 2 z 2 + 2 yz = 2 − 3 x 2 => 3x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 yz = 2
Từ gt =>
( x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ) + ( 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 zx ) = 2
=>
2
2
2
2
( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) = 2 => ( x + y + z ) ≤ 2

=>
x 2 + 3 y 2 + 2 xy − 10 x − 14 y + 18 = 0
S = x+ y
Bài 45: Cho
, Tìm min, max của:
HD:
2
x 2 + 2 x ( y − 5 ) + ( y − 5 ) + 3 y 2 − 14 y + 18 − y 2 + 10 y − 25 = 0
Từ gt=>
2
2
( x + y − 5) + 2 ( y 2 − 2 y + 1) = 9 => ( x + y − 5) ≤ 9 −3 ≤ x + y − 5 ≤ 3
=>
=>
Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c
HD:
3a + 3c + 5b = 72 => 3 ( a + b + c ) = 72 − 2b ≤ 72
Cộng theo vế giả thiết ta được :
72
b ≥ 0 => a + b + c ≤
= 24
3
Do

E = 2a + 3b − 4c
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min
HD:
4

c≤


a
=
4
−
3
c


3
a + b = 2 => 
=> 
a ≥ 0
b = 3c − 2
c ≥ 2


3
b ≥ 0
Cộng theo vế ta được :
do
E = 2 ( 4 − 3c ) + 3 ( 3c − 2 ) − 4c = 2 − c
Khi đó:
x, y, z ≥ 0, 2 x + 7 y = 2014, 3 x + 5 z = 3031
A= x+ y+z
Bài 48: Cho
, Tìm GTLN của biểu thức :
18



HD:

5 x + 5 y + 5 z = 5045 − 2 y ≤ 5045

Cộng theo vế của gt ta có:
5 ( x + y + z ) ≤ 5045 => x + y + z ≤ 1009

a 2 + b2 + c2 +

Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR:

do

y≥0

nên

ab + bc + ca
≥4
a b + b 2c + c 2 a
2

Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn:
A = x2 + y 2 + z 2

x + y + z + xy + yz + zx = 6

, tìm min của:

HD:


12 = 2 x + 2 y + 2 z + 2 xy + 2 yz + 2 zx
Ta có:
2
2
2
2
2
2 x ≤ x 2 + 1 2 y ≤ y + 1 2 z ≤ z 2 + 1 2xy ≤ x + y 2 yz ≤ y + z 2zx ≤ z 2 + x 2
MÀ
,
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
12 ≤ 3 ( x + y + z ) + 3 => x + y + z ≥ 3
nên
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27,
A = x + y + z + xy + yz + zx
Bài 51: Cho
Tìm max
HD:
2
( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx ) ≤ 27 + x 2 + y 2 + z 2 + z 2 + y 2 + x 2 ≤ 81

Ta có :
x2 + y 2 y2 + z 2 z 2 + x2
xy
+
yz
+
zx
≤
+
+
= 27
( x + y + z) ≤ 9
2
2
2
=>
, mặt khác
A ≤ 9 + 29 = 36
Khi
, dấu ‘=’ khi x = y = z = 3
A = x4 + y4 + z 4
xy + yz + zx = 8
Bài 52: Cho
, Tìm min của:
HD:

(

)


64 = ( xy + yz + zx ) ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( x 2 + y 2 + z 2 )
2

Ta có:

64 ≤ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≤ ( x 4 + y 4 + z 4 ) ( 12 + 12 + 12 )
2

Bài 53: Cho

x≥2 x+ y ≥3
,
, tìm min của:

A≥

64
3

A=

=>
, min
1
1
P = x2 + y 2 + +
x x+ y
A=

2


64
3

19a + 3 19b + 3 19c + 3
+ 2
+ 2
b2 + 1
c +1
a +1

ab + bc + ca = 3
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn:
, Tìm min của:
HD:
19a + 3 19b + 3 19c + 3 19  a b c  3  1 1 1 
19 3
1
57 9
A≥
+
+
=  + + ÷+  + + ÷ ≥ 3. + .3
≥
+
2b
2c
2a
2 b c a 2 a b c
2 2

abc 2 2
3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 ( abc ) => abc ≤ 1
2

Vì

Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn:

a+b+c = 3

, CMR:

a +1 b +1 c +1
+
+
≥3
b2 + 1 c2 + 1 a2 + 1

19


Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của:
HD:

A = a 2 + b2 + c2 + d 2

9
a=b=c=d =
4


Dự đoán dấu “=”
, nên xét
9
81
9
81
9
81
b 2 − b + ≥ 0, c 2 − c + ≥ 0, d 2 − d + ≥ 0
2
16
2
16
2
16

=>

81
A≥
4

2

9
9
81

2
 a − ÷ ≥ 0 => a − a + ≥ 0

4
2
16

a2 + b2 + c2 + d 2 −

=>

a=b=c=d =

9
81
( a +b+c +d) + ≥ 0
2
4

9
4

dấu bằng xảy ra khi
A = ab ( a 2 + b 2 )
a +b = 2
Bài 57: Cho
,Tìm max của:
HD:
a + b = 2 => a 2 + b 2 = 4 − 2ab => A = ab ( 4 − 2ab ) = −2a 2b 2 + 4ab
Ta có:
A = − ( a 2b 2 − 2ab + 1) + 2 ≤ 2
A=2
, Max

x + y + z =1
A= x+ y+ z
Bài 58: Cho
, Tìm min của:
HD:
x = a ( t ≥ 0 ) => x = t 2
y = b, z = c
A = a2 + b2 + c2
a + b + c =1
Đặt
,
=>
và
1 1
P = a+b+ +
a +b ≤1
a b
Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn:
, Tìm min của:
HD:
1 
1

1
1
P =  4a + ÷+  4b + ÷− 3 ( a + b ) ≥ 4 + 4 − 3 ( a + b )
a = b = => = 2 = 4a
a 
b


2
a
Điểm rơi:
,=>
a + b ≤ 1 => 3 ( a + b ) ≤ 3 => −3 ( a + b ) ≥ −3
P ≥ 8−3 = 5
mà
=>
1
1
1
A= 3 3 + 2 + 2
a +b ≤1
a + b a b ab
Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn:
, Tìm min của:
HD:
1
1
1
1
1
a = b = => 3 3 = 4, 2 = 8 => 3
= 2
3
2
a +b
ab
a +b
2a b

Điểm rơi
1
1
1
1
1
1
A= 3 3 + 2 + 2 +
+
≥ 55 3 3 4 6 6
2
2
a + b 2a b 2a b 2ab 2ab
( a +b ) 2 a b
Khi đó:
33
P = x2 + y 2 +
x+ y = 4
xy
Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn:
, tìm min của:
33
k
P ≥ 2 xy +
2 xy = 8 = => k = 32
x= y=2
xy
4
Điểm rơi:
khi đó:

, nên
khi đó:

20


P = 2 xy +

1
4
1
1
≥
= => P ≥ 2.8 +
2
xy ( x + y )
4
4

32 1
1
+
≥ 2 64 +
xy xy
xy

, Mà:
a+b+c+d = 4

Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn:

1
1
1
1
M= 2
+ 2
+ 2
+ 2
a +1
b +1 c +1 d +1

(

) (

, Tìm min của:

)

( 11x + 6 y + 2015 ) ( x − y + 3) = 0

P = xy − 5 x + 2016
Bài 63: Cho x,y thỏa mãn:
, Tìm min của:
HD:
11x + 6 y + 2015 = 0
x − y +3 = 0
Từ gt ta có :
hoặc
11x + 2015

11x + 6 y + 2015 = 0 => y =
6
TH1: Ta có :
thay vào P
x − y + 3 = 0 => y = x + 3
TH2: ta có:
thay vào P
1
1
1
A= 2
+ 2
+ 2
a +b+c b +c+a c +a+b
Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của:
4c + 2b ≥ a ( b 2 + c 2 )
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
, Tìm min của:
3
4
5
S=
+
+
b+c−a a +c−b a+b−c

1 1 1
P = 2( a + b + c) +  + + ÷
a b c


a +b +c =3
Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn:
, Tìm min
2
2
2
x + y + z =1
F = xy + 2 yz + zx
Bài 67: Cho
, tìm min của:
a + b + c =1
Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn:
, tìm min của:
ab
bc
ca
11 1 1
S= 2
+
+
+  + + ÷
a + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2 4  a b c 
2

2

2

HD:
Ta có:


S=

ab
bc
ca
11 1 1
1
1
1
1a b b c a c

+ 2 2+ 2
+  + + ÷=
+
+
+  + + + + + + 3÷
2
2
a
b
b
c
c
a
a +b b +c c +a 4 a b c
4b a c b c a

+
+

+
b a c b a c
2

3 15
1 x 1 y 1 z  3
S =  + ÷+  + ÷+  + ÷+ ≥ 1 + 1 + 1 + =
4 4
 x 4  y 4  z 4 4

, dấu “=” khi

x 2 = 4, y 2 = 4, z 2 = 4

Vì đặt

a b
+ =x
b a

Bài 69: Cho

P = xy ( x − 2 ) ( y + 6 ) + 12 x 2 − 24 x + 3 y 2 + 18 y + 36

Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn:

x + y ≤ ...

, Tìm min của:


, CMR P luôn dương với mọi x,y
1
2
P = 2 + y2 +1+
x
5 xy

∈

R

21


Bài 71: Tìm min

2
1  x10 y10  1 16
A =  2 + 2 ÷+ ( x + y16 ) − ( 1 + x 2 y 2 )
2 y
x  4

x+ y+z =3
B = xy + yz + zx
Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn :
, Tìm GTLN của :
HD:
B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y )  ( x + y )
Ta có :
2

y − 3  −3
2

2
−
x
+
+ ( y − 1) + 3 ≤ 3
2
2

÷
xy + 3 ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + 3x + 3 y
2 
4

=
=
x2
y2
z2
A= 2
+
+
x, y , z
x + 2 yz y 2 + 2 zx z 2 + 2 xy
Bài 73: Cho
>0 Tìm GTNN của:
x2
y2

z2
A≥ 2
+
+
=1
x + y 2 + z 2 y2 + z 2 + x2 x2 + y2 + z 2
Ta có:
dấu bừng khi
2
2
2
2
2
2
2 yz = y + z , 2 zx = x + z , 2 xy = x + y
hay x=y=z
x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 x + 6 y + 5 = 0
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn:
,
2
3x y − 1
P=
4 xy
Tính giá trị của biểu thức:
x+ y+ z =3
Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn :
, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
( x + y) ( y + z ) + ( y + z) ( z + x) + ( z + x) ( x + y)
P=
( z + x)

( x + y)
( y + z)

22


Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ là:
2
( a − b) ≥ 0
+
dấu “=” khi a=b
a + b ≥ 2 ab
+
a b
+ ≥2
b a
+
2
1
A=
+ ( 0 < x < 1)
1− x x
Bài 1: Tìm min của biểu thức:
HD:
2 − 2x + 2x 1 − x + x
2x 1− x
2x 1 − x
A=
+

= 3+
+
≥ 3+2
.
= 3+2 2
1− x
x
1− x
x
1− x x
Tách
2x 1 − x
=
=> x = 2 − 1
1− x
x
Dấu ‘’ = ’’ khi
x2 + 1
B=
x≥0
x+2
Bài 2: Tìm min của biểu thức:
với
HD:
x2 − 4 + 5
5
5
A=
= x−2+
= x+2+

−4≥ 2 5−4
x+2
x+2
x+2
Tách
5
x+2=
=> x + 2 = ± 5
x+2
Dấu ‘’=’’ khi
x2 − x + 1
A= 2
x + x +1
Bài 3: Tìm min của:
với x > 0
HD:
x2 + x + 1 − 2 x
2x
2
1
2
2
A=
= 1− 2
= 1−
x + ≥ 2 =>
≤
2
1
1

x + x +1
x + x +1
x
x +1+
x + +1 3
x
x
Tách
, mà
x2 + x + 1
A= 2
x + 2x +1
Bài 4: Tìm min của:
x2 + 4 x + 4
B=
x>0
x
Bài 5: Tìm min của:
với
HD:
4
4
B = x+4+ ≥ 4+4 =8
x = => x = 2
x
x
Ta có:
, dấu bằng xảy ra khi
x2
C=

x −1
Bài 6: Tìm min của:
với x >1
HD:

23


C=
Ta có:

x2 −1 + 1
1
1
= x +1+
= x −1+
+2 ≥ 2+2
x −1
x −1
x −1

Bài 7: Tìm min của:
HD:

 1
B = ( x + 1) 1 + ÷
 x

B = x +1+1+


Tách

x −1 =

, Dấu bằng khi

1
=> x = 2
x −1

với x > 0

1
≥ 2+2
x

x=

, dấu bằng xảy ra khi
2
 x2

2
A = ( x + 1) + 
+ 2÷
 x +1

x ≠ −1
Bài 8: Tìm min của:
với

HD:

1
=> x = 1
x

2


1 
1
2
A = ( x + 1) + ( x + 1) +
≥2 2+2
 = 2 ( x + 1) + 2 +
2
( x + 1) 
( x + 1)

2

Tách

2 ( x + 1) =

1

2

Dấu bằng khi

A=
Bài 9: Tìm min của:

( x + 1)

=> ( x + 1) =
4

2

1
1
=> x + 1 = ± 4
2
2

x2 − x + 1
x2 − 2 x + 1

B=

x
5
+
1− x x

Bài 10: Tìm min của:
với 0 < x < 1
HD:
5( 1− x)

5( 1− x)
x
5 − 5x + 5x
x
x
B=
+
=
+
+5≥ 2 5 +5
=
1− x
x
1− x
x
1− x
x
Ta có:
, dấu bằng khi
x
2
C= +
2 x −1
Bài 11: Tìm min của:
(x > 1)
HD:
x −1 +1
2
x −1
2

1
1
x −1
2
C=
+
=
+
+ ≥ 2+
=
2
x −1
2
x −1 2
2
2
x −1
, Dấu bằng khi
2

 x y  x y
P =  + ÷ −  + ÷− 2
 y x  y x

Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của:
HD:
2
2
x y
1 9

 1 9

+ = t => P = t 2 − t − 2 =  t − ÷ −
t ≥ 2 => P ≥  2 − ÷ − = 0
y x
2 4
 2 4

Đặt
, mà
( x + a) ( x + b)
A=
x
Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của:
với x > 0
HD:

24


B=
Ta có:

x 2 + ax + bx + ab
ab 

= a + b +  x + ÷ ≥ a + b + 2 ab =
x
x 



(

a+ b

)

2

a b
+ =1
x y

S = x+ y
Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho
, Tìm x,y để
đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
a b
bx ay
2
S = ( x + y )  + ÷= a + b + +
≥ a + b + 2 ab
S
=
a
+
b
x
y

y
x


Ta có
, min
ay bx
a b
=
+ = 1 => x = a + ab , y = b + ab
x
y
x y
Dấu bằng khi
mà
2
1
A=
+
0 < x <1
1− x x
Bài 15: Tìm min của:
với
HD:
2 − 2x + 2x 1− x + x
2x 1 − x
2x 1− x
A=
+
= 3+

+
≥ 3+ 2 2
=
1− x
x
1− x
x
1− x
x
Ta có:
, dấu bằng khi
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR:
HD:
y+z−x
x+z− y
x+ y−z
a=
,b =
,c =
x = b + c, y = c + a , z = a + c
2
2

2
Đặt
=>
, thay vào VT





x z
x y  z x
z y
y z 
x y 
 + − 1÷+  + − 1÷+  + − 1÷ ≥ 3 =>  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ 6
x x  y y  z z 
y x x z y z
Ta được:
x
4
B=
+
1− x x
Bài 17: Cho 0HD:
4( 1− x)
4( 1− x)
x
4 − 4x + 4x
x

x
B=
+
= 4+
+
≥ 4+4
=
1− x
x
1− x
x
1− x
x
Ta có:
, dấu bằng khi
A = xy
Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min
HD:
A = x ( 11 − x ) = − x 2 + 11x
y = 11 − x
Từ gt ta có:
, thay vào
x, y ∈ Z +*
B = xy
Bài 19: Cho
, Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của:
HD:
2
2
x + y) − ( x − y)

(
2
2
( x + y ) − ( x − y ) = 4 xy => xy =
4
Ta có :
,

(

)

25