BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

THIỆU NHƯ NGỌC

MỘT SỐ LOẠI BÀI TẬP
VỀ MODULE HỮU HẠN SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

THIỆU NHƯ NGỌC

MỘT SỐ LOẠI BÀI TẬP
VỀ MODULE HỮU HẠN SINH

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 8 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Dương Quốc Việt

HÀ NỘI - 2018


Mục lục

Lời nói đầu

3

1 Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán

5

1.1

Định lí Hamilton - Cayley mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Module hữu hạn sinh trên vành địa phương

. . . . . . . . . . . . . . .

6

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


2 Module Noether

11

2.1

Module Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Phân tích nguyên sơ trong Module Noether . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1. Module con nguyên sơ và phân tích nguyên sơ . . . . . . . . . .

12

2.2.2. Ideal nguyên tố liên kết

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2.3. Các thành phần nguyên sơ bất biến . . . . . . . . . . . . . . . .

15


Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 Module Artin và Module có độ dài hữu hạn

35

3.1

Module Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2

Module có độ dài hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


40

Kết luận

52

1


Tài liệu tham khảo

53

2


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS. Dương Quốc Việt,
luận văn chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số với đề tài: "Một số loại bài tập về
module hữu hạn sinh" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2018
Tác giả

Thiệu Như Ngọc

3



Lời nói đầu
Mục đích của luận văn "Một số loại bài tập về module hữu hạn sinh" là
trình bày một số loại bài tập cơ bản và quan trọng trong lớp các module hữu hạn sinh,
nhằm giúp tác giả có thêm những hiểu biết về những lớp module này.
Luận văn gồm có ba chương. Nội dung của mỗi chương được trình bày vắn tắt như
sau:
Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán, bao gồm sơ lược lí
thuyết và những bài tập thuộc các vấn đề: Định lí Hamilton - Cayley mở rộng, module
hữu hạn sinh trên vành địa phương.
Chương 2. Module Noether, bao gồm sơ lược lí thuyết và một số bài tập thuộc
các vấn đề về vành và module Noether, Định lí cơ sở Hilbert, phân tích nguyên sơ trong
module Noether.
Chương 3. Module Artin và module có độ dài hữu hạn, bao gồm sơ lược lí
thuyết và một số bài tập liên quan đến vấn đề về vành và module Artin, đặc trưng của
module có độ dài hữu hạn.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự chỉ dẫn của PGS. TS. Dương Quốc Việt.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, người đã hướng dẫn tôi suốt thời gian
tôi học tập và nghiên cứu tại trường Đại học sư phạm Hà Nội.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tới các quý Thầy, Cô giáo trường Đại học
sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học
tập và nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã luôn
động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

4


5

Hà Nội, tháng 10 năm 2018
Học viên

Thiệu Như Ngọc


Chương 1
Module hữu hạn sinh trên vành
giao hoán
Trong chương này, nếu không nói gì thêm, ta luôn coi vành A là vành giao hoán và
có đơn vị 1 = 0.

1.1

Định lí Hamilton - Cayley mở rộng

Sau đây, chúng ta sẽ xem xét một trong những tính chất quan trọng của module
hữu hạn sinh, đó là Định lí Hamilton - Cayley mở rộng.
Định lí 1.1.1 (Định lý Hamilton-Cayley mở rộng). Cho A là vành giao hoán và M là
một A-module. Giả sử M sinh bởi hệ gồm k phần tử, I là một ideal của A và một tự
đồng cấu ϕ của A-module M thỏa mãn: ϕ(M ) ⊆ IM . Khi đó, tồn tại các ai ∈ I i với
i = 1, ..., m thỏa mãn: ϕm + a1 ϕm−1 + · · · + am = 0.
Hệ quả 1.1.2. Cho M là module hữu hạn sinh trên vành giao hoán A và J là một
ideal của A thỏa mãn: JM = M . Khi đó, tồn tại a ≡ 1(mod J) để aM = 0.
Hệ quả 1.1.3 (Bổ đề Nakayama). Cho M là module hữu hạn sinh trên vành giao hoán
A và I là ideal của A chứa trong căn Jacobson J(A) của A. Khi đó, từ IM = M suy
ra M = 0.

6



Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán

1.2

7

Module hữu hạn sinh trên vành địa phương

Định nghĩa 1.2.1. Vành giao hoán có đơn vị A đuợc gọi là vành địa phương nếu tập
tất cả những phần tử không khả nghịch của A lập thành một ideal của A.
Định lí 1.2.2. Vành giao hoán có đơn vị A là một vành địa phương khi A có duy nhất
một ideal cực đại.
Ta cũng có thể định nghĩa lại như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Vành giao hoán có đơn vị A được gọi là một vành địa phương nếu
nó chỉ có duy nhất một ideal cực đại. Khi đó ta kí hiệu vành địa phương A với ideal
cực đại duy nhất m là (A, m).
Định lí 1.2.4. Giả sử (A, m) là một vành địa phương và M là một A-module hữu
hạn sinh. Khi đó S là một hệ sinh cực tiểu của M khi và chỉ khi ảnh S ∗ của S trong
M ∗ = M/mM là một cơ sở của A/m-không gian vectơ M ∗ .
Định lí 1.2.5. Số phần tử trong các hệ sinh cực tiểu của cùng một module hữu hạn
sinh trên vành địa phương là bằng nhau.

Bài tập
1.1. Chứng minh Bổ đề Nakayama.
1.2. Cho là M một module hữu hạn sinh trên vành giao hoán A, R là module con của
M và ideal I ⊆ J(A). Chứng minh rằng nếu
M = IM + M R
thì M = R.
1.3. Chứng minh rằng M là A-module hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu M là một

A/Ann(M )-module hữu hạn sinh.
1.4. Cho dãy khớp ngắn các A-module:
0 −→ N1 −→ N2 −→ N3 −→ 0.


Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán

8

Chứng minh rằng
(i) Nếu N2 hữu hạn sinh thì N3 cũng hữu hạn sinh.
(ii) Nếu N1 và N3 hữu hạn sinh thì N2 cũng hữu hạn sinh.
1.5. Chứng minh rằng: J(A) =

a ∈ A | 1 − ab là khả nghịch với mọi b ∈ A , trong

đó J(A) là căn Jacobson của vành giao hoán A.
1.6. Phần tử của vành giao hoán A đuợc gọi là nguyên trên một ideal I nếu tồn tại
các ak ∈ I k với k = 1, .., m để
xm + a1 xm−1 + · · · + am = 0.
Chứng minh rằng nếu M là một A-module hữu hạn sinh có Ann(M ) = 0 và xM ⊆ IM
thì x nguyên trên I.
1.7. Cho I là module hữu hạn sinh trên vành địa phuơng (A, m). Chứng minh rằng
các hệ sinh cực tiểu của của I có cùng số phần tử. Gọi S là hệ sinh cực tiểu của I thì
S ∩ mI = ∅.
1.8. Chứng minh rằng mọi ma trận vuông trên một vành giao hoán đều là nghiệm của
phương trình đặc trưng của nó.
1.9. Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành giao hoán A. Chứng minh rằng
(i) Nếu φ : M −→ M là một toàn cấu A-module, thì nó cũng là một đẳng cấu.
(ii) Nếu M là một module tự do có hạng k, thì mọi hệ sinh gồm k phần tử của

M đều là một cơ sở của M .

Lời giải
1.1. Bởi IM = M nên theo Hệ quả (1.1.2), tồn tại a ≡ 1(mod I) sao cho aM = 0.
Do đó a − 1 ∈ I. Vì J(A) là giao của tất cả các ideal cực đại của A mà I ⊆ J(A) nên
a − 1 ∈ J(A). Ta có: J(A) = a ∈ A | 1 − ab khả nghịch với mọi b ∈ A (xem Bài tập
(1.5)) nên từ a − 1 ∈ J(A) suy ra a = 1 − (x − 1)(−1) là một phần tử khả nghịch trong


Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán

9

A. Lại do aM = 0 nên M = a−1 aM = 0.
1.2. Vì M là một A-module hữu hạn sinh nên M/R cũng là một A-module hữu hạn
sinh. Do ideal I ⊆ J(A) nên
M/R = (IM + R)/R,
tức là M/R = I(M/R). Theo Hệ quả (1.1.3), suy ra M/R = 0. Vậy M = R.
1.3. Với phép nhân ngoài xác định bởi: (a + Ann(M ))x = ax, ∀x ∈ M, ∀a ∈ A thì
(+) (a+Ann(M))(x+y) = a(x+y) = ax+ay = (a+Ann(M ))x+(a+Ann(M ))y;
(+) ((a+b)+Ann(M ))x = (a+b)x = ax+bx = (a+Ann(M ))x+(b+Ann(M ))x;
(+) (ab + Ann(M ))x = (ab)x = a(bx) = a(b + Ann(M ))x) = (a + Ann(M ))((b +
Ann(M ))x);
(+) (1 + Ann(M ))x = 1x = x,
trong đó a, b ∈ A và x, y ∈ M . Do đó, M là một A/Ann(M )-module.
Giả sử M là một A-module hữu hạn sinh và {xi | i = 1, ..., k} là một hệ sinh của
nó. Với mỗi x ∈ M , ta có:
k

x=


k

ai x i =
i=1

(ai + Ann(M ))xi .
i=1

Vậy {xi | i = 1, ..., k} cũng là một hệ sinh của A/Ann(M )-module. Do đó M là một
A/Ann(M )-module hữu hạn sinh.
Ngược lại, bằng việc chứng minh một cách tương tự, ta cũng suy ra được M là một
A-module hữu hạn sinh khi nó là một A/Ann-module hữu hạn sinh.
1.4. Xét dãy khớp ngắn các A-module:
f

g

0 −→ N1 −→ N2 −→ N3 −→ 0.
(i) Giả sử {xi | i = 1, .., k} là một hệ sinh của N2 . Theo tính chất của dãy khớp thì g
là toàn cấu và bởi vậy {g(xi ) | i = 1, ..., k} là một hệ sinh của N3 . Vậy khi N2 hữu hạn
sinh thì N3 cũng hữu hạn sinh.
(ii) Giả sử N1 và N3 lần lượt có các hệ sinh là {yj | j = 1, .., r} và {zk | k = 1, .., s}. Với
mọi x ∈ N2 thì tồn tại ak ∈ A, k = 1, ..., s để


Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán
s

s


g(x) =

s

ak zk =
k=1

ak g(xk ) = g(
k=1

s

10

ak xk ).
k=1

s

ak xk ) = 0 ⇔ g(x−

Suy ra g(x)−g(
k=1

ak xk ) = 0, với xk ∈ N2 thỏa mãn g(xk ) = zk .
k=1

s


Có nghĩa là x −

ak xk ∈ Ker (g). Cũng theo tính chất của dãy khớp thì Im(f ) =
k=1
s

Ker(g), cho nên x −

ak xk ∈ Im(f ). Lại vì {yj | j = 1, .., r} là một hệ sinh của N1
k=1

nên tồn tại bj ∈ A, j = 1, ..., r sao cho
s

x−

r

k=1

s

bj f (yj ) ⇔ x =

ak x k =
j=1

r

ak x k +

k=1

bj f (yj ).
j=1

Vậy N2 có hệ sinh là {f (y1 ), ..., f (yr ), x1 , ..., xs }. Do đó N2 hữu hạn sinh.
1.5. Với mọi a ∈ J(A), giả sử tồn tạị b ∈ A sao cho x = 1 − ab không khả nghịch.
Vì mỗi phần tử không khả nghịch trong vành giao hoán có đơn vị đều chứa trong một
ideal cực đại chứa nó nên tồn tại ideal cực đại m sao cho x ∈ m. Vì a ∈ J(A) và m là
ideal cực đại nên a ∈ m, tức là ab ∈ m. Vậy 1 = x + ab ∈ m, có nghĩa là A = m, vô lí
vì m là một ideal tối đại . Vậy 1 − ab khả nghịch với mọi b ∈ A.
Ngược lại, giả sử 1 − ab khả nghịch với mọi b ∈ A và m là một ideal cực đại của A.
Khi đó nếu a ∈
/ m thì m + aA = A. Vì 1 ∈ A nên 1 ∈ m + aA. Do đó tồn tại phần tử
không khả nghịch x ∈ m và b ∈ A sao cho 1 = x + ab. Suy ra 1 − ab không khả nghịch,
mâu thuẫn với giả thiết đã đặt ra. Vậy a ∈ m hay a ∈ J(A).
1.6. Xét đồng cấu nhân với phần tử x:
ϕ:M → M
q → xq
Vì ϕ(M ) = xM và xM ⊆ IM nên ϕ(M ) ⊆ IM . Theo định lí Hamilton-Cayley thì
tồn tại các ai ∈ I i với i = 1, ..., m thỏa mãn: ϕm + a1 ϕm−1 + · · · + am = 0. Cho nên
(xm + a1 xm−1 + · · · + am )y = 0 với mọi y ∈ M . Do đó xm + a1 xm−1 + · · · + am ∈ Ann(M ).
Bởi Ann(M ) = 0 nên xm + a1 xm−1 + · · · + am = 0. Vậy x nguyên trên I.
1.7. Vì một ideal của vành A là một A-module nên I là một ideal hữu hạn sinh của
vành địa phương (A, m), suy ra I là một A-module hữu hạn sinh. Lại có A là vành địa


Chương 1. Module hữu hạn sinh trên vành giao hoán

11


phương nên mọi hệ sinh cực tiểu của I đều có cùng số phần tử. Giả sử S là hệ sinh cực
tiểu của ideal hữu hạn sinh I thì ảnh của S ∗ trong I/mI là một cơ sở của A/m-không
gian vectơ I/mI. Vì thế mọi phần tử của S ∗ đều khác không dẫn đến mọi phần tử của
S đều không thuộc mI. Do đó S ∩ mI = Ø.
1.8. Gọi B = (bij ) là một ma trận vuông cấp k trên vành giao hoán A và M là một
A-module tự do có hạng k với cơ sở là {x1 , x2 , ..., xk }. Coi B là ma trận của tự đồng
cấu ϕ của M theo cơ sở {x1 , x2 , ..., xk } , tức là ϕ(xi ) = bi1 x1 + · · · + aik xk với mọi
i = 1, 2, ..., k. Theo định lí Hamilton - Cayley mở rộng thì ϕ là nghiệm của đa thức
đặc trưng của B. Vậy B là nghiệm của đa thức đặc trưng của B.
1.9. (i) M là một A[φ]-module với
A[φ] = ak φk + ak−1 φk−1 + · · · + a0 | a0 , a1 , ..., ak ∈ A, k ≥ 0
là một vành giao hoán có đơn vị những đồng cấu của M và phép nhân ngoài được xác
định bởi g.x = g(x), với mọi g ∈ A[φ] và mọi x ∈ M . Trong vành A[φ], gọi ideal sinh
bởi φ là I = (φ). Vì IM = M (φ là toàn cấu) nên tồn tại g ∈ I để (1 − g)M = 0. Vì
I = (φ) nên g = f φ với f ∈ A[φ]. Bởi (1 − f φ)M = 0 suy ra (1 − f φ)(x) = 0 với mọi
x ∈ M . Tức là 1 − f φ = 0. Do đó f là ánh xạ ngược của φ nên φ là đẳng cấu.
(ii) Giả sử M là module tự do có hạng k với cơ sở là {e1 , e2 , ..., ek } và hệ sinh
{x1 , x2 , ..., xk }. Khi đó đồng cấu
γ:M → M
e i → xi
là một toàn cấu. Theo chứng minh (i) thì γ là đẳng cấu, do đó {x1 , x2 , ..., xk } là một
cơ sở của M .


Chương 2
Module Noether
Lưu ý: Nếu không nói gì thêm, các vành đuợc xét tới trong chuơng này đều là vành
giao hoán và có đơn vị 1 = 0.


2.1

Module Noether

Định lí 2.1.1. Cho M là một A-module. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần tử cực
đại.
(ii) Mọi dãy tăng những module con của M :
M1 ⊂ M2 ⊂ · · · ⊂ Mk ⊂ · · ·
đều dừng, nghĩa là tồn tại r để Mr = Ms với mọi r

s.

(iii) Mọi module con của M đều hữu hạn sinh.
Định nghĩa 2.1.2. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Khi đó một A-module
M được gọi là module Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện được nhắc
đến trong Định lí (2.1.1) .
Định nghĩa 2.1.3. Vành A đuợc gọi là vành Noether nếu nó là một A-module Noether.

12


Chương 2. Module Noether

13

Định lí 2.1.4 (Định lý cơ sở Hilbert). . Nếu A là một vành Noether thì vành đa thức
A[x] cũng là vành Noether.
Hệ quả 2.1.5. Nếu A là vành Noether thì vành đa thức A[X1 , X2 , ..., Xn ] cũng là một
vành Noether. Hơn nữa, vành đa thức K[X1 , X2 , ..., Xn ] trên trường K là một vành

Noether.
Nhận xét 2.1.6. Với K là một trường thì mỗi đa tạp đại số affine

trong K n là

không điểm của một ideal I trong K[X1 , X2 , ..., Xn ]. Từ Hệ quả (2.1.5) suy ra I hữu
hạn sinh nên tồn tại các đa thức fi sao cho I = (f1 , f2 , ..., fk ). Do đó, ta nhận thấy
là giao của các siêu mặt
f1 = 0, ..., fk = 0.
Như vậy, mỗi đa tạp đại số affine đều là giao của một số hữu hạn siêu mặt và đó là ý
nghĩa hình học của Định lí cơ sở Hilbert.

2.2
2.2.1.

Phân tích nguyên sơ trong Module Noether
Module con nguyên sơ và phân tích nguyên sơ

Định nghĩa 2.2.1. Module con R của một A-module M đuợc gọi là một module con
nguyên sơ của M nếu R = M , đồng thời với mỗi a ∈ A thì đồng cấu nhân bởi a cho
module thương M/R:
λa : M/R → M/R
hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh.
Nhận xét 2.2.2. Một module con thực sự R của M là một module con nguyên sơ
của M nếu và chỉ nếu với mỗi a ∈ A và x ∈ M mà ax ∈ R thì hoặc x ∈ R hoặc tồn
tại k để ak M ⊆ R.
Mệnh đề 2.2.3. Nếu R là một module con nguyên sơ của M thì tập
P := rM (R) =

√


R:M =

Ann(M/R)


Chương 2. Module Noether

14

là một ideal nguyên tố. Khi đó, nguời ta gọi R là một module con P -nguyên sơ của M .
Định nghĩa 2.2.4. Ideal I của A đuợc gọi là ideal nguyên sơ nếu I là một A-module
con nguyên sơ của A.
Chú ý 2.2.5. Nhận thấy rằng I là ideal nguyên sơ khi và chỉ khi I = A và nếu ab ∈ I
√
thì hoặc a ∈ I hoặc tồn tại n ∈ N∗ để bn ∈ I. Theo Mệnh đề (2.2.3) thì I = P là
một ideal nguyên tố. Khi đó, nguời ta gọi I là một ideal P -nguyên sơ.
Định nghĩa 2.2.6. Một module con thực sự R của A-module M đuợc gọi là bất khả
quy nếu R không thể biểu diễn đuợc duới dạng R = R1 ∩R2 với R1 và R2 là các module
con của M chứa thực sự R.
Định nghĩa 2.2.7. Cho R là một module con của A-module M . Một phân tích nguyên
sơ của R là một biểu diễn duới dạng
R = R1 ∩ R2 ∩ · · · ∩ Rk ,

(2.1)

trong đó Ri là một module con Pi -nguyên sơ với i = 1, ..., k.
Phân tích nguyên sơ (2.1) đuợc gọi là một phân tích nguyên sơ thu gọn nếu các Pi
đôi một phân biệt và R không thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ thực sự của
{R1 , ..., Rk }.

Phân tích nguyên sơ (2.1) đuợc gọi là một phân tích nguyên sơ tối tiểu nếu (2.1) là
một phân tích nguyên sơ thu gọn, đồng thời các thành phần Ri là cực tiểu trong tập
các module con Pi -nguyên sơ chứa R.
Định lí 2.2.8. Nếu R là một module con thực sự của một module Noether M thì R
có phân tích nguyên sơ, và do đó nó có một phân tích nguyên sơ thu gọn.

2.2.2.

Ideal nguyên tố liên kết

Để tìm hiểu những yếu tố bất biến trong phân tích nguyên sơ thu gọn của của một
module, ta sẽ xem xét lớp ideal dưới đây.
Định nghĩa 2.2.9. Cho M là một A-module. Một ideal nguyên tố P của A đuợc gọi
là một ideal nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M để


Chương 2. Module Noether

15

P = 0 :A x = Ann(x).
Tập tất cả các ideal nguyên tố liên kết của M đuợc kí hiệu là AssA (M ) hoặc Ass(M )
nếu như không cần thiết nhắc tới A.
Như vậy
AssA (M ) = P ∈ SpecA | P = Ann(x) với x ∈ M nào đó .
Nhận xét 2.2.10. Phần tử x ∈ M làm cho 0 :A x là một ideal nguyên tố, thì x = 0.
Định lí 2.2.11. Cho M là một A-module. Đặt
Z (M ) = a ∈ A | ax = 0 với x ∈ M, x = 0 nào đó
là tập tất cả những ước của 0 trong M . Khi đó
Z (M ) ⊇


P.
P ∈Ass(M )

Hơn nữa, nếu A là một vành Noether thì bao hàm thức này trở thành đẳng thức.
Định lí 2.2.12 (Định lý về tính duy nhất thứ nhất). Cho M là một module hữu hạn
sinh trên một vành Noether A. Khi đó, nếu module con R của M có phân tích nguyên
s

sơ thu gọn R =

Ri , trong đó Ri là một module con Pi -nguyên sơ với i = 1, 2, ..., s
i=1

thì Pi là duy nhất xác định bởi R. Và ta có
Ass(M/R) = {P1 , P2 , ..., Ps }.
Định nghĩa 2.2.13. Cho R là một module con của một module M hữu hạn sinh trên
s

vành Noether A. Giả sử R =

Ri là một phân tích nguyên sơ thu gọn của R với Ri
i=1

là Pi -nguyên sơ, i = 1, 2, ..., k. Khi đó Ass(M/R) = {P1 , P2 , ..., Ps } được gọi là tập các
ideal nguyên tố liên kết với R. Nếu ideal nguyên tố Pi là cực tiểu trong Ass(M/R) thì
nó được gọi là ideal nguyên tố cô lập của R, còn thành phần Ri tương ứng với Pi cực
tiểu được gọi là thành phần cô lập của R. Ngược lại, nếu Pi không cực tiểu thì nó được
gọi là ideal nguyên tố nhúng của R, còn Ri tương ứng với Pi được gọi là thành phần
nhúng của R.

Định lí 2.2.14. Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành Noether A. Khi đó tập
các phần tử cực tiểu trong hai tập Ass(M ) và Supp(M ) là như nhau.


Chương 2. Module Noether

2.2.3.

16

Các thành phần nguyên sơ bất biến

Định lí 2.2.15 (Định lí về tính duy nhất thứ hai). Cho A là một vành Noether và M
là một module hữu hạn sinh trên A. Giả sử module con R của M có phân tích nguyên
s

sơ thu gọn R =

Ri , trong đó Ri là một module con Pi -nguyên sơ với i = 1, ..., s. Khi
i=1

đó, nếu Pi là một ideal nguyên tố cô lập thì Ri là duy nhất xác định bởi R.

Bài tập
2.1. Chứng minh rằng, A là một vành Noether khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong
ba điều kiện sau:
(i) Mỗi tập khác rỗng các ideal của A đều có phần tử cực đại.
(ii) Mỗi dãy tăng các ideal của A:
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Ik ⊂ · · ·
đều dừng, nghĩa là Is = Is+1 với s đủ lớn.

(iii) Mỗi ideal của A đều hữu hạn sinh.
2.2. Cho dãy khớp ngắn các A-module:
0 −→ R −→ S−→ Q−→ 0.
Chứng minh rằng S là module Noether khi và chỉ khi R và Q là các module Noether.
2.3. Chứng minh rằng tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các A-module Noether là
một A-module Noether.
2.4. Chứng minh rằng mỗi A-module hữu hạn sinh trên vành Noether A là một
A-module Noether.
2.5. Chứng minh rằng nếu M là một A-module Noether và S là một tập đóng nhân
của A thì S −1 M là S −1 A-module Noether.


Chương 2. Module Noether

17

2.6. Chứng minh Định lí cơ sở Hilbert.
2.7. Cho M là A-module hữu hạn sinh. Chứng minh rằng A/Ann(M ) là một vành
Noether nếu và chỉ nếu M là module Noether.
2.8. Chứng minh rằng nếu I là một ideal của vành Noether A thì tồn tại số nguyên
√
dương k sao cho ( I)k ⊆ I .
2.9. Cho P1 , P2 là các module con của A-module P . Chứng minh rằng nếu P1 ∩ P2 và
P1 + P2 là những module Noether thì P1 ⊕ P2 cũng là một module Noether.
2.10. Cho A-module P và a là một phần tử của A. Chứng minh rằng nếu các module
thương P/(0P : a) và P/aP là Noether thì P cũng là module Noether.
2.11. Cho I là một ideal hữu hạn sinh của vành A sao cho A/I là một vành Noether.
(i) Lấy ví dụ về một vành A không Noether.
(ii) Chứng minh rằng nếu I là một ideal lũy linh thì A là vành Noether.
2.12. Chứng minh A là một vành Noether nếu và chỉ nếu mọi ideal nguyên tố của nó

đều hữu hạn sinh (ĐL Cohen).
2.13. Giả sử I, J là hai ideal của vành A. Khi đó J đuợc gọi là một rút gọn của I nếu
J ⊆ I và tồn tại k ∈ N∗ sao cho I k = JI k−1 . Chứng minh rằng nếu A là một miền
nguyên Noether và J là một ideal rút gọn của I thì các phần tử của I là nguyên trên
J.
2.14. Chứng minh rằng tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1] không phải là
một vành Noether.
2.15. Chứng minh rằng nếu

√

I = m là một ideal cực đại của vành A thì I là một

ideal m-nguyên sơ.
2.16. Chứng minh rằng lũy thừa của một ideal cực đại là một ideal nguyên sơ.
2.17. Chứng minh rằng nếu R1 , R2 , ..., Rs là các module con P -nguyên sơ của một
s

A-module M thì

Ri cũng là một module con P -nguyên sơ của M .
i=1


Chương 2. Module Noether

18

2.18. Chứng minh rằng nếu R là một module con bất khả quy của một A-module
Noether M thì R là một module con nguyên sơ.

2.19. Cho P là một ideal nguyên tố của vành A. Chứng minh rằng P là một ideal
nguyên tố liên kết của một A-module M nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn cấu A-module
từ A/P tới M .
2.20. Cho M là một A-module. Chứng minh những điều sau đây là đúng:
(i) Nếu M = 0 thì Ann(M ) = Ø.
(ii) Nếu M = 0 và A và một vành Noether thì Ann(M ) = Ø.
(iii) Nếu P là một ideal nguyên tố của vành A thì AssA (A/P ) = {P }.
2.21. Cho R là một module con của A-module M . Chứng minh rằng
Ass(M ) ⊆ Ass(R) ∪ Ass(M/R).
2.22. Giả sử có một dãy lồng nhau các module con của M :
M = Mk ⊃ Mk−1 ⊃ · · · ⊃ M0 = 0,
Chứng minh rằng
k

Ass(M ) ⊆

Ass(Mi /Mi−1 ).
i=1

2.23. Cho M là một module khác 0 và hữu hạn sinh trên một vành Noether A. Chứng
minh rằng tồn tại một dãy các module con:
M = Mk ⊃ Mk−1 ⊃ · · · ⊃ M0 = 0,
và một họ các ideal nguyên tố P1 , P2 , ..., pk của A thỏa mãn
Mi /Mi−1 ∼
= A/Pi ,
với mọi i = 1, ..., k, và
Ass(M ) ⊆ {P1 , ..., Pk } ⊆ Supp(M ).


Chương 2. Module Noether


19

2.24. Cho M là một module khác 0 và hữu hạn sinh trên vành Noether A. Chứng
minh rằng nếu
s

Ri

0=
i=1

là một phân tích nguyên sơ thu gọn của module khác 0, với Ri là một module con
Pi -nguyên sơ (1

i

s) thì
Ass(M ) = {P1 , P2 . · ··, Ps }.

2.25. Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành Noether A và R là một Amodule con của M . Chứng minh rằng R là một module P -nguyên sơ nếu và chỉ nếu
Ass(M/R) = {P }.
2.26. Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành Noether A. Chứng minh rằng
√
P =

AnnM .

P ∈Ass(M )


2.27. Cho M là một A-module, S là một tập đóng nhân của A và P là một ideal
nguyên tố của A thỏa mãn P ∩ S = Ø. Chứng minh rằng nếu P ∈ AssA (M ) thì
S −1 P ∈ AssS −1 A (S −1 M ).
2.28. Cho M là một module trên vành Noether A. Kí hiệu
∆ = {P ∈ AssA (M ) | P ∩ S = Ø} và Φ = AssS −1 A (S −1 M ).
Chứng minh rằng tồn tại một song ánh giữa ∆ và Φ.
2.29. Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành Noether A và R là một module
con P -nguyên sơ của M . Giả sử P là một ideal nguyên tố bất kì của A, M = MP ,
R = RP . Chứng minh những điều sau đây là đúng:
(i) Nếu P

P thì R = M .

(ii) Nếu P ⊆ P thì R = γ −1 (R ) với γ : M → M là ánh xạ tự nhiên.
2.30. Giả sử R1 ⊆ R2 là các module con của một A-module M và R2 là một module
con P -nguyên sơ của M . Chứng minh rằng R2 /R1 là một module con P -nguyên sơ của
M/R1 .


Chương 2. Module Noether

20

2.31. Chứng minh rằng mọi phần tử khác 0, không khả nghịch trong một vành chính
đều phân tích đuợc thành tích của các nhân tử bất khả quy (sai khác một nhân tử khả
nghịch).
2.32. Một ideal I của vành A đuợc gọi là ideal căn nếu I =

√


I. Nêu dạng phân tích

nguyên sơ thu gọn cho một ideal căn trong một vành Noether. Chứng minh rằng phân
tích đó là duy nhất, nếu không kể đến thứ tự các thành phần.
2.33. Chứng minh rằng trong một module Noether khác không luôn tồn tại module
con bất khả quy.
2.34. Chứng minh rằng mọi ideal nguyên tố đều bất khả quy.
2.35. Tìm hiểu phân tích bất khả quy và phân tích nguyên sơ đối với các module hữu
hạn sinh trên một vành chính.
2.36. Tìm ví dụ để chỉ ra rằng Mệnh đề (2.17) không còn đúng đối với trường hợp
giao của một họ vô hạn các module con cùng là P -nguyên sơ.
2.37. Cho Z là vành số nguyên và k là một số nguyên duơng. Hãy xác định AssZ (Zk ).
2.38. Cho (Mi )i∈I là một họ tùy ý các A-module với I là một tập khác rỗng. Chứng
minh rằng:
Mi

Ass
i∈I

=

Ass(Mi ).
i∈I

2.39. Chứng minh rằng nếu M là một module hữu hạn sinh trên một vành Noether
thì Ass(M ) là một tập hữu hạn.
2.40. Chứng minh rằng nếu A là một vành Noether thì các phần tử cực tiểu trong hai
tập Ass(A) và Spec(A) là như nhau.
2.41. Giả sử A là một vành Noether và M là một A-module hữu hạn sinh. Chứng
minh rằng nếu một module con R của M có phân tích nguyên sơ tối tiểu thì các phân

tích tối tiểu của R là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thành phần.
2.42. Chứng minh rằng nếu một module con của một module Noether trên một vành
Noether chỉ có hữu hạn phân tích nguyên sơ thu gọn thì nó sẽ có phân tích nguyên sơ
tối tiểu.


Chương 2. Module Noether

21

2.43. Chứng minh rằng nếu một phân tích nguyên sơ thu gọn của một module con
của module hữu hạn sinh trên vành Noether mà không có thành phần nhúng thì đó là
phân tích nguyên sơ tối tiểu.
2.44. Chứng minh rằng nếu một module Noether trên một vành Noether có tính chất:
Giao của một họ bất kì các module con P -nguyên sơ cũng là một module con P -nguyên
sơ, thì mọi module con của nó đều có phân tích nguyên sơ tối tiểu.
2.45. Hãy chỉ ra các lớp module, hay các lớp ideal có phân tích nguyên sơ tối tiểu.
2.46. Chứng minh Định lí về tính duy nhất thứ hai.

Lời giải
2.1. Vì mọi tập con khác rỗng của vành A là một A-module khi và chỉ khi nó là một
ideal của A. Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2. Từ dãy khớp
0 −→ R −→ S−→ Q−→ 0,
có thể coi R là một module con của S và Q = S/R, theo nghĩa sai khác một đẳng
cấu. Do đó, mọi dãy tăng trong R cũng là dãy tăng trong S. Vì S là module Noether
nên dãy tăng đó phải dừng, hay là R cũng là module Noether. Vì mọi dãy tăng trong
Q là ảnh toàn cấu của một dãy tăng trong S, mà mọi dãy tăng trong S đều dừng cho
nên dãy tăng trong Q cũng sẽ dừng. Vậy Q là một module Noether.
Nguợc lại, nếu R và Q là các module Noether thì giả sử S1 là một module con của

S. Khi đó
S1 /(S1 ∩ R) ∼
= (S1 + R)/R
là một module con của Q = S/R. Vì Q là module Noether nên S1 /(S1 ∩ R) hữu hạn
sinh. Theo Bài tập (1.4), vì R là module Noether nên S1 ∩ R hữu hạn sinh. Suy ra S
là module Noether.
2.3. Nếu R và S là các A-module Noether thì dãy
i

p

0 −→ R −→ R ⊕ S −→ S −→ 0


Chương 2. Module Noether

22

là một dãy khớp ngắn, trong đó i(x) = (x, 0), p(x, y) = y, với mọi x ∈ R, y ∈ S. Theo
Bài tập (2.2) thì ta đuợc R ⊕ S là một A-module Noether. Như vậy, chứng minh quy
nạp một cách hình thức thì ta nhận được kết luận: Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn
các A-module Noerther là một A-module Noether.
2.4. Giả sử M là một A-module hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại k ∈ N ∗ để M đẳng cấu
với một module thương của module tự do Ak . Vì tổng trực tiếp của một họ hữu hạn
các A-module Noether là một module Noether nên Ak là một A-module Noether. Theo
Bài tập (2.2) thì M là một A-module Noether.
2.5. Giả sử R là một module con của S −1 M , khi đó tồn tại module con R của M sao
cho S −1 R = R . Bởi M là module Noether nên R hữu hạn sinh. Do đó R hữu hạn
sinh. Vậy S −1 M là module Noether.
2.6. Giả sử I là một ideal không hữu hạn sinh khác không của A[X]. Chọn ra dãy các

đa thức khác không: f1 , f2 , ..., fr , ... có bậc tăng dần trong I thỏa mãn: f1 là đa thức
có bậc thấp nhất trong I; f2 là đa thức có bậc thấp nhất trong I \ (f1 );..; fr là đa thức
có bậc thấp nhất trong I \ (f1 , f2 , ..., fr−1 ); ... . Gọi ai xmi là hạng tử có bậc cao nhất
trong đa thức fi và J là ideal sinh bởi các ai . Do A là vành Noether nên các ideal của
A đều hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại k ∈ N∗ để J = (a1 , a2 , ..., ak ). Vì ai ∈ J nên tồn
k

tại λj ∈ A để ai =

λj aj . Ta có:
j=1
k

λj fj xmk+1 −mj ∈ I \ (f1 , f2 , ..., fk )

g = fk+1 −
j=1

Vì deg g < deg fk+1 nên trái với giả thiết fk+1 là đa thức có bậc thấp nhất trong tập
I \ (f1 , f2 , ..., fk ). Do đó I là ideal hữu hạn sinh. Vậy A[X] là vành Noether.
2.7. (⇒) Giả sử M có hệ sinh là {x1 , x2 , ..., xk }. Với mọi a ∈ A, xét
ϕ : A → Mk
a → (ax1 , ax2 , ..., axk )
Dễ thấy ϕ là một đồng cấu A-module. Do M có hệ sinh là {x1 , x2 , ..., xk } nên
Ker(ϕ) = {a ∈ A | ax1 = 0, ax2 = 0, ..., axk = 0} = {a ∈ A | aM = 0} = Ann(M ).


Chương 2. Module Noether

23


Vì thế tồn tại một đơn cấu f : A/Ann(M ) → M k . Vì M k cũng là một
A-module Noether nên A/Ann(M ) cũng là một A-module Noether. Vậy A/Ann(M ) là
A/Ann(M )-module Noether, hay A/Ann(M ) là vành Noether.
(⇐) Ta có M là một A/Ann(M )-module. Gọi R là tập con của M . Nhận thấy R là
A-module con của M khi và chỉ khi R là A/Ann(M )-module con của M . Vì thế, M là
một A-module Noether khi và chỉ khi M là một A/Ann(M )-module Noether. Theo Bài
tập (2.4), bởi A/Ann(M ) là vành Noether và M hữu hạn sinh nên M là A/Ann(M )module. Vậy M là module Noether.
√
√
2.8. Vì I là ideal của vành Noether A nên I hữu hạn sinh. Vậy nên tồn tại a1 , ..., as ∈
√
S thỏa mãn I = (a1 , ..., as ). Khi đó tồn tại ki sao cho aki i ∈ I với i = 1, ..., s. Đặt
√
k = k1 +···+ks . Ta có ( I)k sinh bởi các phần tử có dạng ah1 1 ···ahs s với h1 +···+hs = k.
Do đó, tồn tại i để hi

ki . Vậy nên

ah1 · · · ahi · · · ahs = aki i .ah1 1 · · · aihi −ki · · · ahs s ∈ I.
√
Vậy ( I)k ⊆ I.
2.9. Xét dãy sau:
ϕ

φ

0 −→ P1 ∩ P2 −→ P1 ⊕ P2 −→ P1 + P2 −→ 0,
trong đó ϕ(a) = (a, a) với mọi a ∈ P1 ∩ P2 và φ(x, y) = x − y với mọi (x, y) ∈ P1 ⊕ P2 .
Dễ chứng minh được ϕ là đơn cấu và φ là toàn cấu. Lại có

Im(ϕ) = {(a, a) | ∀a ∈ P1 ∩ P2 } = Ker(φ).
Vậy dãy trên là một dãy khớp cho nên theo Bài tập (2.2) thì P1 ∩ P2 và P1 + P2 là các
A-module Noether, dẫn đến P1 ⊕ P2 là A-module Noether.
2.10. Xét dãy sau:
ϕ

φ

0 −→ P/0 :P a −→ P −→ P/aP −→ 0,
trong đó ϕ(x + 0 :P a) = ϕ(¯
x) = ax với mọi x ∈ P và φ(y) = y + aP với mọi y ∈ P . Dễ
thấy Im(ϕ) = aP = Ker(φ) và φ là toàn cấu. Với mỗi x¯ ∈ Ker(ϕ) thì ϕ(¯
x) = ax = 0.
Suy ra x ∈ 0 :P a . Do đó, x¯ = x + 0 :M a = ¯0 nên ϕ là đơn cấu. Vậy dãy trên là dãy
khớp và theo Bài tập (2.2), ta được P là một A-module Noether.