MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh là một trong những mục tiêu cơ
bản của nhà trường phổ thông, trong đó việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ
chung như khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc
biệt hoá, trừu tượng hóa giữ một vai trò quan trọng đối với việc phát triển trí
tuệ cho học sinh. Các hoạt động trí tuệ chung giúp con người tư duy, hành động
tốt hơn trong học tập, nghiên cứu khoa học, hình thành các phẩm chất trí tuệ
như tính độc lập, tính linh hoạt, tính sáng tạo từ đó giúp con người có thể tham
gia vào các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống với hiệu quả cao.
Tuy nhiên, việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và các hoạt động trí tuệ
chung nói riêng ở các trường phổ thông không được thể hiện tường minh. Do
đó người giáo viên cần tìm những cơ hội, những nội dung kiến thức phù hợp để
rèn luyện các hoạt động trí tuệ này cho học sinh.
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và khó nhưng lại
có nhiều tiềm năng rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh. Chính vì
những lý do trên nên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện các hoạt
động trí tuệ chung cho học sinh thông qua dạy học các bài toán về bất đẳng
thức”
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
2.1. Mục đích nghiên cứu
Tạo ra hệ thống các bài toán về bất đẳng thức theo chủ đề nhằm rèn
luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản và phát triển tư duy cho học sinh, góp phần
nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu:
2.2.1. Nghiên cứu lý luận: Các hoạt động trí tuệ nói chung và các hoạt động trí
tuệ cơ bản nói riêng, vấn đề rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy
cho học sinh.
1

2.2.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh trong
dạy học chứng minh các bất đẳng thức, các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện
các hoạt động trí tuệ cho học sinh.
2.2.3. Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả qua dạy
học một số chủ đề được trình bày trong luận văn.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu học sinh được rèn luyện một cách có hệ thống về các hoạt động trí
tuệ chung thông qua dạy học các bài toán về bất đẳng thức có thể giúp học sinh
phát triển năng lực tư duy, tăng cường khả năng giải toán, sáng tạo toán học và
hình thành các phẩm chất tốt đẹp của người lao động.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách báo, tư liệu, các công trình có liên
quan đến đề tài.
4.2 Điều tra – Quan sát: Dự giờ, quan sát việc giảng dạy của giáo viên và việc
học tập của học sinh trong quá trình chứng minh, khai thác các bài toán bất
đẳng thức nhằm rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh.
4.3. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế
giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng
nghiệm có kinh nghiệm ở các trường phổ thông.
4.4. Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Dạy thử nghiệm cho học sinh khối
10, khối 11 để bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, mục lục , kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
ba chương.
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II: Rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung cho học sinh thông qua
việc dạy học các bài toán về bất đẳng thức
Chương III: Thử nghiệm sư phạm

2



CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.1.DẠY HỌC MÔN TOÁN VÀ YÊU CẦU PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ CHO
HỌC SINH
I.1.1 Các mục tiêu chung trong dạng học môn toán ở trường phổ thông
+) Trang bị cho học sinh những tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng
vận dụng toán học vào thực tiễn.
+) Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.
+) Giáo dục chính trị, tư tưởng, phẩm chất đạo đức thẩm mỹ và phong
cách lao động khoa học.
+) Bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát hiện và bồi
dưỡng năng khiếu về toán.
+) Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập đi vào cuộc sống lao động.
Trong các nhiệm vụ trên, nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh các kỹ năng
toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn, khả năng tư duy sáng tạo
có vị trí rất quan trọng. Nếu có kỹ năng, kỹ xảo cùng với tư duy sáng tạo thì
công việc sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Tuy nhiên để có tri thức và kỹ năng học sinh cần tiến hành các hoạt động
trí tuệ do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn toán vừa là một
mục đích, lại vừa là phương tiện để đạt được mục đích về tri thức và kỹ năng
toán học. Đồng thời mục đích phát triển trí tuệ gắn liền với mục đích giáo dục
phẩm chất nhân cách cho học sinh.
I.1.2. Vấn đề phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
Môn toán có một vị trí quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận cho học sinh. Mục tiêu này cần được thực hiện
một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải là sự tự phát.
Muốn vậy người giáo viên cần phải có ý thức đầy đủ về các mặt sau đây:


3


• Thứ nhất là rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác.
Do đặc điểm của khoa học toán học, môn toán có tiềm năng quan trọng
có thể khai thác để rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh. Nhưng tư duy không
tách dời ngôn ngữ, nó phải được trình bày bằng ngôn ngữ, được hoàn thiện
trong sự trao đổi và giao tiếp bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn
ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắn liền
với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua môn
toán cần được thực hiện theo 3 hướng liên quan chặt chẽ với nhau.
+) Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên
kết lôgic: và, hoặc, nếu, thì, phủ định, những lượng tồn tại, khái quát, các ký
hiệu chuẩn có tính quốc gia và quốc tế…
+) Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với các định nghĩa.
+) Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc
lập tiến hành chứng minh.
• Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Đây là một
trong những năng lực trí tuệ quan trọng, muốn khai thác khả năng này
người thầy giáo cần lưu ý:
+) Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng quy tắc suy đoán như xét
tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen… những suy đoán có thể rất táo bạo,
nhưng phải có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ
không phải là đoán mò, làm liều.
+) Tập luyện cho học sinh khả năng những đối tượng, quan hệ không
gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình
phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,
sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời
sống thực tại.


4


• Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh như:
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu
tượng hoá… Để học tốt các môn học đặc biệt là môn toán thì đòi hỏi học
sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ này.
• Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Việc luyện cho học sinh
những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác
trong cuộc sống. Có thể nêu lên một số phẩm chất trí tuệ quan trọng đó là:
+) Tính linh hoạt đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự
của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm
khác; định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo
ra sự vật mới trong những quan hệ cũ.
Tính linh hoạt của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ
đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Có thể thấy tính linh hoạt của
tư duy có những đặc trưng sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, giải pháp
này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Suy nghĩ không rập khuôn máy móc những kinh nghiệm, kiến thức đã có
vào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh
nghiệm, những phương pháp, cách nghĩ đã có từ trước.
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới
của đối tượng quen biết, nhìn sự vật một cách động chứ không phải bất biến.
+) Tính độc lập: tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát
hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình
kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính
phê phán của tư duy, điều này thể hiện ở khả năng đánh giá những nghiên cứu,
ý nghĩ và tư tưởng của người khác và của chính bản thân mình, có tinh thần

hoài nghi khoa học biết đặt ra những câu hỏi như "tại sao?", "như thế nào?"
đúng lúc, đúng chỗ.
5


+) Tính sáng tạo: tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những
điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét
ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết
quả mới, khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài
tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết
những giải pháp khác.
Như vậy việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh có ý nghĩa hết
sức quan trọng trong việc hình thành năng lực tư duy của học sinh và đây cũng
là một trong những mục tiêu quan trọng của dạy học toán. Do những đặc trưng
của môn toán nói chung và vấn đề bất đẳng thức và các bài toán cực trị nói
riêng mà muốn nhận thức được và có kỹ năng thì học sinh cần phải thường
xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng hợp… Do
đó có thể nói quá trình dạy học toán đặt ra yêu cầu và chứa đựng nhiều tiềm
năng lớn để phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Do vấn đề rộng lớn của tư
duy nên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài chúng tôi chỉ khai thác, tìm hiểu
và rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ cơ bản.
I.2. CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CƠ BẢN VÀ MỐI QUAN HỆ GIỮA
CHÚNG
I.2.1. Các hoạt động trí tuệ cơ bản
a) Phân tích và tổng hợp
* Phân tích là đi sâu tìm hiểu các chi tiết, bộ phận của một tổng thể, tìm
ra những đặc điểm của các chi tiết, bộ phận đó. [6 - tr. 177].
Phép phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết ,
từ điều cần tìm đến điều đã cho [ 17 , tr.493]. Có hai dạng phân tích đó là
+) phép phân tích đi lên( suy ngược lùi)

Muốn chứng minh A thì ta cần chứng minh A1 , nghĩa là A1 ⇒ A. muốn chứng
minh A1 thì cần chứng minh A2 , …, cuối cùng muốn chứng minh A n-1 thì cần

6


chứng minh An . Khi An là điều đã biết(Định lý , định nghĩa ,tiên đề, giả thiết ,
…) thì dừng lại. Như vậy ta có sơ đồ An ⇒ An-1 ⇒ … ⇒ A2 ⇒ A1 ⇒ A
Phép phân tích đi lên thường được dùng để tìm lời giải bài toán . Phép phân
tích đi lên đã được loài người biết đến từ 300 năm trước công nguyên bắt đầu
từ Hy Lạp, từ phát biểu của Pappus throng cuốn “nghệ thuật giải toán “ ,
Pappus nói “ Ta muốn đạt được kết quả mong muốn thì phải đi từ kết quả đó ,
rồi muốn đạt được kết quả này thì phải đi từ kết quả nào trước nữa,…, cho đến
cuối cùng ta tìm được một điều đã biết hay đã công nhận là đúng.” Ta gọi đó là
phép phân tích đi lên hay suy ngược lùi.
Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau. Gọi I,K lần lượt
là trung điểm các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng : IK là đường vuông góc
chung của AB và CD.
Gợi ý phân tích tìm lời giải

An
An-1

Tứ diện ABCD có các cạnh
đối diện bằng nhau

A
I

∆BCD = ∆ADC , ∆CAB = ∆DBA


D

B

:
:
.
A2

KB=KA , IC = ID

A1

IKAB , IKCD

A

IK là đường vuông góc
chung của AB và CD

K
C

cân, cân

+) phép phân tích đi xuống (hay suy ngược tiến)
Giả sử đã có A , từ A suy ra A1 , từ A1 ta suy ra A2 ,…, nghĩa là ta có sơ đồ

7



A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ … ⇒ An-1 ⇒ An . Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại, vì từ
đây ta suy ra A sai . Còn nếu A n đúng thì chưa thể kết luận gì về A vì A có thể
đúng ,có thể sai
* Tổng hợp là nhìn bao quát nhiều sự việc, hiện tượng, lý thuyết riêng lẻ, cố
tìm ra mặt giống nhau giữa những cái riêng lẻ đó, hi vọng tìm ra một nội dung
chung bao trùm lên tất cả cái riêng lẻ đó.
Ví dụ2: Ta dùng phân tích đi sâu vào số e, hàm ex, ứng dụng của hàm ekx
để giải phương trình vi phân trong đó có phương trình y'' + y = 0 (1) và ta tìm
được hai nghiệm của phương trình này đó là e ix và e-ix do đó nghiệm tổng quát
của phương trình vi phân (1) là y = c1eix + c2 e-ix.
Nhưng ta lại nhận thấy y = sinx và y = cosx cũng là 2 nghiệm độc lập
của phương trình (1). Từ đó ta rút ra e ix = cosx + isinx. Như vậy nhờ phân tích
đi sâu mà ta phát hiện ra chỗ giống nhau trong hai lĩnh vực trước đó được coi là
khác nhau xa :hàm số mũ và hàm lượng giác. Từ đó có cái nhìn tổng quát bao
trùm lên cả hai loại hàm số, sau đó ta lại có thêm công cụ để đi sâu vào từng
lĩnh vực.
Như vậy phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp vì nếu không đi sâu vào
các sự kiện riêng lẻ thì cũng khó thấy được những mặt giống nhau giữa các sự
kiện riêng lẻ đó. Tổng hợp lại tạo thêm điều kiện cho sự phân tích tiếp nhờ có
sự tổng hợp đó mà ta có thể dùng kết quả nghiên cứu được trong sự kiện riêng
lẻ này phục vụ cho việc nghiên cứu đi sâu vào các sự kiện riêng lẻ khác.
b) So sánh và tương tự
* So sánh đó là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm
khác nhau ở một số các đối tượng.
Từ việc nghiên cứu lời giải và kết quả của hai bài toán sau:
Ví dụ3: Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 ≥ ab4 + bc4 + ca4
Hướng dẫn lời giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
a5 + b5 + b5 + b5 + b5 ≥ 5ab4


8


b5 + c5 + c5 + c5 + c5 ≥ 5bc4
c5 + a5 + a5 + a5 + a5 ≥ 5ca4
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ4: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0. Chứng minh rằng:
a5 + b5 + c5 ≥ a2b3 + b2c3 + c2a3.
Hướng dẫn lời giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
a5 + a5 + b5 + b5 + b5 ≥ 5a2b3
b5 + b5 + c5 + c5 + c5 ≥ 5b2c3
c5 + c5 + a5 + a5 + a5 ≥ 5c2a3
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh.
So sánh lời giải hai bài toán trên ta thấy ở bài toán thứ nhất ta áp dụng bất
đẳng thức côsi cho một số a5 và 4 số b5 và làm tương tự ta sẽ có kết quả, còn ở
bài toán 2 ta lại áp dụng côsi cho 2 số a 5 và 3 số b5. Tương tự các cặp khác rồi
cộng lại ta có điều phải chứng minh. Như vậy quan sát bậc của vế phải và vế
trái của bài toán 1 và bài toán 2 đều bằng nhau và bằng 5 nhưng ở vế phải của
bài toán 1 thì bậc của mỗi số hạng được tạo ra từ tích của bậc nhất và bậc 4 còn
ở các số hạng của vế phải của bất đẳng thức 2 thì bậc mỗi số hạng là tích của
bậc 2 và bậc 3. Từ việc so sánh hai bài toán này ta rút ra được đặc điểm chung
của các bài toán là bậc ở hai vế là bằng nhau còn sự khác nhau đó là cấu tạo
bậc ở vế phải được tạo thành do sự đối xứng vòng quanh của 3 biến a, b, c với
bậc mỗi số hạng được kết hợp với tích bậc nhất và bậc 4 với tích của bậc hai và
bậc ba. Từ việc so sánh hai bài toán trên ta có thể đề xuất bài toán tổng quát là:
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng: an + bn + cn ≥ akbn-k + bkcn-k + ckan-k
∀ n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n.

*Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng toán học khác nhau [17; tr 625 ] .
Theo G. Pôlya: "Hai hệ được gọi là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau
trong mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng" [12; tr 23].

9


Ta có thể mô tả sự tương tự như sau:
A có tính chất a, b, c, d
B có tính chất a, b, c
Thế thì B có thể có tính chất d. Người ta thường xét sự tương tự trong
toán học trên các khía cạnh sau:
• Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối phương pháp chứng
minh là giống nhau
• Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hoặc vai
trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử
tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau.
• Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc
tính của hai hình tương tự.
Ví dụ 5: Hình cầu trong không gian tương tự với hình tròn trong mặt phẳng,
được thể hiện qua một số tính chất sau:
• Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu tương tự với tiếp tuyến của đường
tròn.
• Qua một đường thẳng không cắt mặt cầu dựng được 2 mặt phẳng tiếp
xúc với mặt cầu, còn với đường tròn thì qua một điểm nằm ngoài
đường tròn kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với đường tròn.
- Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian tương tự với
đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong mặt phẳng.
• Hai tính chất là tương tự nếu chúng được biểu diễn bởi các yếu tố hoặc
các thuộc tính của hai hình tương tự, đôi khi trong quá trình ta mở rộng

các kết quả các thuộc tính của tập hợp hình này. Từ đó ta có thể suy đoán
các tính chất này sang tập hợp khác có tính tương tự với tập hợp ban đầu.
Ví dụ 6: Tam giác trong hình học phẳng được xem là tương tự với tứ diện
trong hình học không gian, ta có bảng sau:

10


Tam giác
Đỉnh
Cạnh
Góc
Độ dài cạnh
Diện tích tam giác
Tam giác vuông
a2 + b2 = c2

Tứ diện
Đỉnh
Mặt
Góc nhị diện giữa hai mặt
Diện tách mặt
Thể tích tứ diện
Tứ diện vuông OABC
S2ABC = S2OAB + S2OBC + S2OAC

1
1
1
+ 2

2 =
h
a
b

1
1
1
1
+ 2 + 2
2 =
h
a
b
c

Cos2α + cos2ß = 1
Cos2α + cos2ß + cos γ 2 =1
α, ß là góc giữa cạnh góc vuông và α, ß, γ là góc giữa mặt bên và "mặt
cạnh huyền

huyền"

Ví dụ7: Tương tự có thể vận dụng trong quá trình hình thành khái niệm
mới. Chẳng hạn khi chúng ta dạy về khái niệm cấp số cộng thì ta nghiên cứu
định nghĩa , các tính chất.
a)

Định nghĩa : Dãy số (Un) được gọi là một cấp số cộng nếu mỗi số hạng
kể từ số hạng thứ hai đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với

hằng số d gọi là công sai. Nếu ta thay cụm từ cấp số cộng bởi cấp số
nhân, phép toán cộng bởi phép toán nhân, công sai d bởi công bội q thì
ta được dịnh nghĩa của cấp số nhân.

b)

Về tính chất:

Từ công thức cấp số cộng: Un = U1 +(n-1)d ↔ Un = U1 + d + d + d+…+ d
n - 1 thừa số
Chuyển sang cấp số nhân: Un = U1. q. q… q ↔ Un = U1 - qn - 1
n - 1 thừa số
Un = Un - 1 + d → Un = Un - 1 . q
Như vậy, phép tương tự có tính trực quan cao và dễ hiểu nên nó thường được
sử dụng trong việc giảng dạy toán học. Tuy nhiên giáo viên cũng cần lưu ý cho
học sinh là : cũng giống như phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tương tự

11


có thể dẫn đến kết quả sai. Ví dụ như: trong tam giác thì 3 đương cao luôn đồng
quy tại trực tâm. Tương tự, trong không gian các đường cao của tứ diện đồng
quy. Kết quả này là sai vì nó chỉ đúng khi tứ diện có các cặp cạnh đối diện là
vuông góc với nhau. Điều đó có nghĩa là tính chất 3 đường cao trong tam giác
đồng quy chuyển qua không gian chỉ đúng khi tứ diện là tứ diện trực tâm.
c)Khái quát hoá và đặc biệt hoá
* Khái quát hoá
Theo G. Polya," Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn bao gồm cả tập hợp ban
đầu" .

Trong "phương pháp dạy học môn toán " tác giả Nguyễn Bá Kim dã nêu
rõ" Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn
chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của
các phần tử của tập hợp xuát phát".
Chẳng hạn ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu bất đẳng thứ
Cauchy cho 2 số sang việc nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy cho n số .Chúng
ta khái quát hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của
góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của một góc tuỳ ý.
Trong 2 ví dụ trên khái quát hoá được thực hiện theo hai hướng có tính
chất khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất khái quát hoá được thực hiện bằng thay hằng
số 2 bởi một số tự nhiên tổng quát n. Ở ví dụ thứ hai khi chuyển từ góc nhọn
sang góc tuỳ ý α chúng ta dã vất bỏ điều kiện hạn chế 0o<α<900.
Như vậy những dạng khái quát hoá thường gặp trong toán học có thể
được biểu diẽn theo sơ đồ sau:

Khái quát hoá

12


Khái quát hoá tư cái riêng lẻ

Khái quát hoá từ cái tổng quát

đến cái tổng quát

đến cái tổng quát hơn

Khái quát hoá đến cái tổng


Khái quát hoá đến cái tổng

quát đã biết

quát chưa biết

Như vậy có hai con đường khái quát hoá :
- Thứ nhất : trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ
- Thứ hai: không dụa trên sự so sánh mà dụa trên sự phân tích chỉ
một hiện tượng trong hàng loạt các hiện tượng giống nhau.
Ví dụ 8: Cho a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng:
i)

a5 +b5 +c5 ≥ ab4 + bc4+ac4

ii)

a5 +b5 +c5 ≥a2b3 +b2c3 + c2a3

Sau khi học sinh giả hai bài tập trên i) và ii) giáo viên cho học sinh tổng quát
bài toán ta được bài toán:
iii)

an +bn +cn ≥ akbn-k +bkcn-k +ckan-k ( ∀ a, b, c ≥ 0, ∀ n, k € N, k ≤ n.

iv)

Cho a1, a2… am ≥ 0

m, n, k € N*.


Chứng minh rằng: a1n + a 2n + … + a mn ≥ a1k a 2n −k + a 2k a3n −k + … + a mk a1n −k ,k < n
Từ i), ii) đến iii) là khái quát hoá từ những trường hợp riêng lẻ đến tổng
quát. Từ iii) đến iv) là sự khái quát từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn. Cả
hai trường hợp iii) và iv) đều là sự khái quát hoá đến cái tổng quát chưa biết.
Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hoá đi đến kiến thức đã biết. Dạng
này được thể hiện khi giả các bài tập chứnh minh toán học, trong đó khái quát
hoá thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài toán với những tiên
đề, định nghĩa, địng lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong
cái cụ thể.
13


Ví dụ 9: Khái quát hoá trọng tâm của hệ n điểm
- Với 2 điểm A1, A2; GA1 + GB2 = 0 thì G là trung điểm A1A2.
- Với ba điểm: A1,A2,A3; GA1 + GA2 + GA3 = 0 thì G là trọng tâm tam giác A1A2A3.
n

- Khái quát hoá thành hệ n điểm A 1, A2, …An;

∑ GA
i =1

i

= 0 thì G được gọi là

trọng tâm của hệ n điểm A1, A2 … An. Từ khái niệm trọng tâm khái quát hoá
thành khái niệm tâm tỷ cự của hệ n điểm A 1, A2 … An với các hệ số α 1 … α n
n


sao cho ∑ α i GAi = 0 và
i =1

n

∑α
i =1

i

≠ 0.Khi α1 = α2 = … = αn thì khái niệm tâm tỷ

cự trở về khái niệm trọng tâm của hệ n điểm đã cho.
Như vậy khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật
phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các
trường hợp riêng lẻ. Hoạt động khái quát hoá trong toán học có liên quan đến
các hoạt động khác như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá và
khái quát hoá được sử dụng trong việc hình thành các khái niệm, chứng minh
định lý, phát hiện và đề xuất vấn đề mới.
* Đặc biệt hoá
Theo G. Pôlya, "Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp
đã cho". Chẳng hạn chúng ta đặc biệt hoá khi chuyển từ việc nghiên cứu đa
giác sang nghiên cứu đa giác đều và tiếp tục đặc biệt hoá khi ta chuyển từ việc
nghiên cứu đa giác đều sang nghiên cứu tam giác đều.
Trong hai ví dụ trên, ĐBH được thực hiện theo hai hướng có tính chất
khác nhau. Ở ví dụ thứ nhất, từ đa giác đến đa giác đều chúng ta đã nghiên cứu
một đối tượng chỉ có các cạnh và các góc bằng nhau. Ở ví dụ thứ hai, chúng ta
thay đổi đối tượng biến thiên bằng đối tượng cụ thể, thay số tự nhiên n bằng số 3.


14


Ví dụ 10 : Ta xét một trường hợp ĐBH đi từ bất đẳng thức Bunhiacopxki cho
hai bộ số: (a1,a2, a3) và (b1, b2, b3). Ta có:
( a12 + a 22 + a32 ) ( b12 + b22 + b32 ) ≥ ( a1 b1 + a 2 b2 + a3 b3 )
- Nếu chọn a12 = a, a 22 = b, a32 = c;

b12 =

(1)

1
1
1
, b22 = , b32 = . Ở đó a > 0, b >
a
b
c

0, c > 0 thì từ (1) ta có bất đẳng thức mới:(a + b + c) (

1
1
1
+ + ) ≥ 9 (2)
a
b
c


- Từ (2) ta lại đặc biệt hoá bằng cách:
Chọn a = x + y; b = y + z; c = z + x ta được bất đẳng thức:
1

(x + y + z) ( x + y +
⇔

1
1
9
+
)≥
z+x
2
y+z

x
z
y
3
≥
+
+
(3) (BĐT nesbit)
y+z
x+ y
z+x
2


- Từ (2) nếu ta chọn a = x 2 + 2yz; b = y2 +2xz; c = z2 + 2yx thì a + b + c = (x +
y + z)2. Chọn x, y, z sao cho x + y + z = 1. Ta sẽ có bất đẳng thức:
1
1
1
≥ 9 (4) với x, y, z > 0 và x+ y +z = 1.
+
+
2
2
x + 2 yz
y + 2 zx
z + 2 xy
2

- Làm tương tự cách trên cho a + b + c = (x + y + z) 3 = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + y)
+ 3xz(x + z) + 3yz(y + z) +6xyz.
Từ đó nếu ta chọn a = x3 + 3yz(y + z) + 2xyz; b = y3 + 3xz(x + z); c = z3
+ 3xy(x + y) + 2xyz và x + y + z = 1 thì ta có bài toán:
1
1
1
≥ 9
+
+
3
3
x + 3 yz ( y + z ) + 2 xyz
y + 3 xz ( x + z ) + 2 xyz
z + 3 xy ( x + y ) + 2 xyz

3

Ví dụ11 : Cho tam giác đều ABC, cạnh M là điểm nằm trong miền tam giác.
chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến các cạnh của ∆ABC là một
A

hằng số.

15


Gợi ý tìm lời giải:
Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các
M3 z

cạnh BC, CA, AB. Khi đó ta cần chứng minh tổng

M2

x M

x + y + z = k không đổi. Để làm được số k trước hết
giáo viên cho học sinh đặc biệt hoá như sau:

y

B

C


a 3
a 3
- Cho M ≡ G ⇒ x + y + x =
(đó là chiều cao tam giác đều). Vậy k =
2

2

- Tiếp theo ta chứng minh x + y + x =
SMBC + SMCA + SMAB = SABC ⇒

a 3
với mọi vị trí M. Thật vậy ta có
2

1
a2 3 ⇒
a 3
(x + y +z)a =
x+y+z=
. Vậy ta
2
2
2

có điều phải chứng minh.
Như vậy xuất phát từ một bài toán đơn giản giáo viên có thể hướng dẫn
học sinh đặc biệt hoá để tìm những hình thức khác nhau của bài toán, kĩ thuật
đặc biệt hoá càng phức tạp thì bài toán thu được có độ khó càng cao, bằng cách
này học sinh có the tự tạo ra các bài toán và giáo viên cũng nhờ đó mà tạo các

đề toán hay và khó cho học sinh.
Có thể nói đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược với khái quát hoá và
chúng ta thường tiến hành đặc biệt hoá khi chuyển từ một lớp đối tượng đến
một đối tượng của lớp đó. Đặc biệt hoá thường sử dụng trong việc trình bày các
khái niệm, chứng minh định lý, bác bỏ một mệnh đề,… Trong giải toán quỹ
tích, tìm điểm cố định, đặc biệt hoá thường sử dụng để mò mẫm, dự đoán trên
cơ sở đó hình thành phương pháp giải cho toàn bộ bài toán.
d) Trừu tượng hoá
Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tính
chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng lôgic của thế giới khách quan) để
nghiên cứu riêng tính chất đó [17, tr. 617] .

16


Trừu tượng hoá là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất ra khỏi
những đặc điểm không bản chất . Như vậy trừu tượng hoá là điều kiện ắt có
nhưng chưa đủ để khái quát hoá.
Ví dụ, để khái quát mệnh đề "Tích của hai số âm luôn là một số dương"
thành mệnh đề "tích của một số chẵn lần các số âm luôn là một số dương". Học
sinh phải tách đặc điểm số mũ chẵn khỏi đặc điểm số mũ bằng 2.
Sự trừu tượng hoá trong toán học không dừng lại ở mức độ nhất định mà
tiến dần từ mức này sang mức khác. Để hình thành các đối tượng toán học có 3
phương thức trừu tượng hoá cơ bản:
+) Trừu tượng hoá đồng nhất: Tính chất hay quan hệ chung của những
đối tượng nghiên cứu được tách ra xem như là thuộc tính của lớp đối tượng đó
(cũng còn gọi là trừu tượng hoá khái quát).
+) Trừu tượng hoá lý tưởng hoá: Từ đối tượng sự vật thành đối tượng
thuần khiết, tồn tại trong tư duy. Ví dụ như khái niệm điểm, mặt phẳng, đường
thẳng. Trong phương thức này có dạng trừu tượng tiềm năng khả hiện nhằm mở

rộng giới hạn kiến thiết trong không gian và thời gian. Ví dụ như đường thẳng
dài vô hạn, mặt phẳng mở rộng vô hạn…
+) Trừu tượng hoá giả định: Mở rộng giới hạn thực tế của việc xây dựng
các đối tượng toán học với điều kiện xác định theo giả định cho trước. Ví dụ,
mở rộng không gian 3 chiều sang không gian n chiều (hữu hạn và vô hạn).
Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát hoá, nhờ trừu tượng
hoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn. Trừu tượng hoá và khái quát hoá là
nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học.
I.2.2. Mối quan hệ giữa các hoạt động trí tuệ cơ bản
Trong mối quan hệ giữa các hoạt động trí tuệ cơ bản có nhiều mối liên hệ
đan chéo nhưng ở đây trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chỉ trình bày một số
mối liên hệ nổi bật và thường xuyên được sử dụng khi rèn luyện các hoạt động
trí tuệ cơ bản.

17


a) Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp với các hoạt động trí tuệ khác
Phân tích và tổng hợp là bản chất của hoạt động tư duy nói chung, của
các hoạt động trí tuệ cơ bản nói riêng. Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự…
chỉ là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp vì vậy, khi rèn luyện các
hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh chúng ta cần ý thức rèn luyện cho họ khả
năng phân tích và tổng hợp, coi đó là cơ sở để thực hiện các hoạt động trí tuệ.
Nếu học sinh gặp khó khăn khi tiến hành một hoạt động nào đó thì cần quay lại
cơ sở của hoạt động đó là phân tích và tổng hợp. Chẳng hạn khi hướng dẫn học
sinh khái quát hoá một ví dụ cụ thể để tìm ra quy luật, nếu học sinh gặp khó
khăn trong việc phát hiện đặc điểm chung thì yêu cầu họ trước hết hãy mô tả
đặc điểm của từng ví dụ, nghĩa là ta thực hiện thao tác phân tích rồi đối chiếu
với nhau để tìm ra đặc điểm chung (tổng hợp). Nếu học sinh vẫn gặp khó khăn
trong việc phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chất thì ta có

thể gợi cho học sinh những đặc điểm nào đó ảnh hưởng tới sự kiện sẽ là đặc
điểm, bản chất, đặc điểm nào không ảnh hưởng tới sự kiện là đặc điểm không
bản chất.
b) Mối quan hệ giữa so sánh và khái quát hoá
So sánh là sự phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm khác
nhau ở một số đối tượng, thành phần thứ nhất thường diễn ra trong quá trình
khái quát hoá. Từ đó ta thấy so sánh chỉ được thực hiện khi có hai đối tượng trở
lên mà ta không khái quát hoá được.
Ví dụ12: Khi ta tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

1
ta bắt đầu tính
2x + 1

đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 của y.
2

− 48

8

y' = - (2 x + 1) 2 ; y'' = (2 x + 1) 3 ; y''' = (2 x + 1) 4
Sau khi có các kết quả yêu cầu học sinh phát hiện những đặc biệt chung của
y', y'' và y'''.

18


Học sinh sẽ so sánh và phát hiện ra quy luật của mẫu số và quy luật của
dấu "-" nhưng còn sự thay đổi bất thường của tử số thì sao?

Sau khi cho học sinh phân tích cuối cùng rút ra được cách viết các kết
quả y' y'', y''' theo quy luật:
− 2.1!
y' = (2 x + 1) 2 ;

2 2.2!
y'' =
;
(2 x + 1) 3

− 2 3.3!
y''' =
(2 x + 1) 4

Trên cơ sở đó ta đưa ra công thức tổng quát cho đạo hàm cấp n là
(−1) n .2 n.n!
y =
(2 x + 1) n +1
n

,∀ n ≥ 1

Như vậy so sánh là một con đường để khái quát hoá nhưng không phải là
con đường duy nhất. Bên cạnh con đường này (con đường của số đông học
sinh) còn tồn tại một con đường khác (con đường của một số học sinh có nhiều
khả năng), không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện
tượng trong hàng loạt các hiện tượng giống nhau. Việc nhận dạng và phát hiện
cách giải một số dạng toán cụ thể như là đại diện của một lớp dạng toán cùng
kiểu thuộc về dạng khái quát này. Ví dụ như khi ta khái quát hoá tìm phương
pháp giải các dạng toán như hệ phương trình đối xứng (lớp 10), phương trình

đối xứng đối với sinx và cosx (lớp 11)… Vì vậy ta coi trọng đúng mức không
nên quá cường điệu vai trò của so sánh với khái quát hoá. Từ đó khi cho học
sinh tập luyện khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ cần
tập luyện cả những hình thức khái quát hoá khác nữa mà không liên hệ với so
sánh, chẳng hạn khái quát hoá dựa trên sự tương tự, dựa trên sự phân tích.
c) Mối quan hệ giữa tương tự với khái quát hoá
Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất, quan hệ
của những đối tượng toán học khác nhau, do đó các biểu hiện của tương tự rất
đa dạng. Vì thế ở đây ta chỉ xét những phép tương tự theo nghĩa là chuyển từ
một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái

19


tổng quát. Chẳng hạn ta xét các bài toán sau với tam giác ABC là tam giác
nhọn. Chứng minh rằng:
a)

tgA + tgB + tgC ≥ 3 3

b)

tg2A + tg2B + tg2C ≥ 9

c)

tg3A + tg3B + tg3C ≥ 9 3

d)


tgnA + tgnB + tgnC ≥ 3( 3 )n

Việc chuyển từ (a) sang (b), từ (b) sang (c) hoặc ngược lại là phép tương
tự còn từ (a), (b), (c), sang (d) là khái quát hoá phép tương tự ở đây rất gần với
khái quát hoá, phép tương tự có thể coi là tiền thân của khái quát hoá, bởi vì
việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của
cùng một cái tổng quát, là một bước để đi tới một trường hợp riêng bất kỳ của
cái tổng quát đó. Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất định về cái
chung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những cái riêng
lẻ coi như đại biểu của cái chung. Vì thế trong những trường hợp nhất định ta
có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quát hoá. Ở ví
dụ trên thì tương tự được thể hiện cả ở nội dung bất đẳng thức và phương pháp
chứng minh nó. Do đó khi khai thác mối liên hệ giữa phép tương tự với khái
quát hoá trong nhiều trường hợp ta nên khuyến khích học sinh thực hiện những
phép tương tự coi như tiền thân của khái quát hoá, đó là sự biểu hiện của khái
quát hoá cho tới khi họ nhận ra được cái tổng quát đầy đủ.
d) Mối liên hệ giữa trừu tượng hoá và khái quát hoá
Trừu tượng hoá có quan hệ mật thiết với khái quát hoá. Trừu tượng hoá
là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản
chất, trừu tượng hoá là điều kiện cần nhưng chưa đủ để khái quát hoá. Khai
thác mối quan hệ này giáo viên có thể tạo điều kiện cho học sinh tập luyện trừu
tượng hoá cùng với khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ
và bố trí các trường hợp riêng lẻ mang một số đặc điểm chung nổi bật. Chẳng

20


hạn ta lấy một ví dụ về phát triển khả năng trừu tượng hoá để đi tới khái quát
hoá ở các lớp tiểu học như sau:
a) Hãy tính các tích sau đây và so sánh mỗi tích với từng thừa số: 0,3. 0,5

= ?;

2 1
5 9
. = ?; .
= ?;
9 3
8 13

3,1. 3,2 = ?

11 3
. = ?;
2 5

1,1.1,2 = ?

b) Hãy đưa ra 3 ví dụ về tích của 2 số sao cho tích của chúng nhỏ hơn
mỗi thừa số. Hãy đưa ra ví dụ về tích 2 thừa số sao cho tích đó lớn hơn mỗi
thừa số.
c) Với điều kiện nào thì tích của hai thừa số sẽ nhỏ hơn mỗi số đó, với
điều kiện nào thì tích của 2 số sẽ lớn hơn mỗi số đó.
Trong bài tập này 3 ví dụ đầu ở câu a) có các đặc điểm sau: cả hai thừa
số đều là phân số thường, đều nhỏ hơn đơn vị, đều khác không, tích nhỏ hơn
mỗi thừa số. Câu b) được đưa ra với dụng ý để học sinh tiến hành phép tương
tự coi như biểu hiện của khái quát hoá.
Trong khi tìm điều kiện tổng quát cho câu c) học sinh phải tách các đặc
điểm bản chất (ba đặc điểm cuối) khỏi đặc điểm không bản chất (đặc điểm đàu)
tức là học sinh đã tiến hành hoạt động trừu tượng hoá. Quá trình tư duy cũng
diễn ra tương tự cho 3 ví dụ cuối. Như vậy việc trừu tượng hoá là điều kiện và

là cơ sở để ta đi tới mệnh đề tổng quát. Ở bài toán trên để tách được các đặc
điểm bản chất và không bản chất thì học sinh phải thực hiện tất cả các thao tác
tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự từ đó mới đưa ra được điều
kiện tổng quát.
e) Mối quan hệ giữa đặc biệt hoá với khái quát hoá
Khái quát hoá và đặc biệt hoá là hai hoạt động trái ngược nhau, khai thác
mối quan hệ giữa hai hoạt động trên trong tập luyện cho học sinh khái quát hoá,
yêu cầu học sinh đi từ những cái riêng lẻ đến cái chung (khái quát hoá). Khi đã
tìm được cái chung lại cho học sinh đi từ cái chung đến cái riêng (đặc biệt hoá)

21


để làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Ví dụ khi
học sinh giải bài toán sau:
Ví dụ 13: Tính các tổng sau:
S1(n)= 1+2+…+n
S2(n) = 12 + 22 + …+ n2
Ta có hằng đẳng thức: (k+ 1) 3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 áp dụng cho k nhận các giá
trị từ 1 cho đến n rồi cộng lại ta được:
(n + 1)3 - 1 = 3S2 (n) + 3S1 (n) + n ⇒ S2 (n) =

n(n + 1)(2n + 1)
6

Phân tích đặc điểm của các phần tử trong tổng S 1(n) và S2(n) ta thấy
rằng 1, 2, …, n lập thành một cấp số cộng. Do đó ta nghĩ tới một bài toán tổng
quát hơn đó là bài toán sau:
Ví dụ 14: Tính các tổng sau với u1… un lập thành một cấp số cộng.
T(n) = u12 + u 22 + ... + u n2

Bằng cách làm tương tự ta có công thức tổng quát:
T(n) =

n
(2d 2 n 2 + (6u1d − 3d 2 ) n + 6u12 − 6u1d + d 2 )
6

Đặc biệt hoá
Cho u1 = 1, d = 2. Ta có tổng:
P(n) = 12 + 32 + 52 + … + (2n - 1)2 =

n(2n − 1)(2n + 1)
3

Bằng khái quát hoá và tương tự ta có thể đề xuất một số bài toán tính
tổng thuộc lớp các bài toán này:
k
k
k
Tính các tổng sau: Tk (n) = u1 + u2 + ... + un

B ( n) =

1
1
1
+
+ ... +
u1.u2 u2 .u3
un .un +1


22


I.3.DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN VÀ VAI TRÒ CỦA CÁC HOẠT ĐỘNG
TRÍ TUỆ CƠ BẢN
I.3.1. Dạy học giải bài toán
a) Vai trò của bài toán
*Theo G. Pôlya: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý
thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng
không thể đạt được ngay”
Rubinstein viết: “ Một vấn đề hoặc một tình huống có vấn đề được xác
định trước hết ở chỗ trong nó có cái chưa biết, cũng là lỗ hổng cần được lấp
đầy,có cái X nào đó cần được thay bởi giá trị tương ứng. Như vậy một tình
huống có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đó còn là ẩn trong quan hệ với cái đã cho
cần xác định dưới dạng hiện”. Ông cũng viết: “ Bài toán là sự phát biểu vấn đề
bằng lời”.
- Theo G. Pôlya bài toán được phân chia làm hai loại: bài toán tìm tòi và bài
toán chứng minh.
+ Bài toán tìm tòi với mục đích là tìm ra một đối tượng nhất định, tìm ra ẩn
của bài toán thoả mãn điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ liệu của bài toán đó.
Ẩn có thể thuộc những phạm vi hết súc khác nhau. Trong các bài toán dựnh
hình thì ẩn là hình cần dựng, khi giải phương trình thì ẩn là một số ( nghiệm
của phương trình đó).Bài toán tìm tòi thường được mô tả bởi các động từ như
“tìm”, “ xác định” hay “dựng”.
+Bài toán chứng minh thường ở dạng một mệnh đề toán học phát biểu dưới
hình thức: Phần thứ nhất bắt đầu bằng từ “nếu”( điều kiện, giả thiết), phần thứ
hai bắt đầu bằng từ “thì” ( kết luận) và đây cũng là phần chính của bài toán.
Từ nhữnh hình thức của bài toán ta thấy rằng bài toán có vai trò quan
trọng trong việc củng cố lý thuyết, giải quyết những vấn đề trong thực tế cuộc

sống và trong nội bộ khoa học, nó còn giúp học sinh rèn luyện, phát triển các
hoạt động trí tuệ.

23


b) Dạy học tìm lời giải bài toán:
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý của G. Pôlya
(1975) về cách thức giải bài tập và thực hiện dạy học có thể nêu nên những
phương pháp chung tìm lời giải của các bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bài toán nói gì? Cái gì là giữ liệu? cái gì phải tìm? Có thể phát biểu bằng
hình thức khác? Có bài toán nào tưong tự như vậy chưa? dạng bài toán nào?
( chứng minh hay tìm tòi), kiến thức cơ bản cần có là gì?
Bứoc 2: Xây dựng chương trình giải
Ở bước này GV cần lưu ý cho HS phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài
toán nhỏ đơn giản hơn, huy động kiến thức (định nghĩa , định lý , quy tắc ) , có
liên quan đến khái niệm , những quan hệ trong bài toán ,rồi lựa chọn trong số
đó những kiến thức phù hợp với dữ kiện của bài toán . Xét trong từng trường
hợp riêng , nghiên cứu bài toán tổng quát rồi quay trở lại áp dụng . Tìm các
cách giải khác ,so sánh chúng để chọn cách giải hợp lý nhất.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Từ cách giải đã được phát hiện , sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trật tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu các lời giải
- Xem xét có sai lầm gì không
- Có phải biện luận kết quả tìm được không?
- Nếu là bài toán thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn
không?
- Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng.

Lưu ý: Trong khi tìm hiểu nội dung bài toán phải phân tích được nguồn gốc
hình thành các giả thiết, các điều kiện đã cho trong bài toán và có khi cả kết
quả của bài toán; phải phát hiện cho được mối liên hệ có tính chất giữa giả thiết
và kết luận hay giữa những điều đã cho và những điều bài toán đòi hỏi. Qua đó

24


đoán nhận đựoc quá trình hình thành bài toán của tác giả và người giải toán sẽ
có một sự hiểu biết sâu sắc về bài toán đó. Làm tốt những điều đó sẽ giúp ích
rất nhiều cho việc sáng tạo các bài toán mới.
Ví dụ15: Cho dãy số (Un) xác định bởi: U1= 10 Un+1 =
a) CMR d ãy số (vn) x ác định bởi Vn = U n -

un
+ 3 với mọi n ≥ 1.
5

15
lập thành một cấp số nhân.
4

b) Tìm limUn
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
Phân tích để chứng minh( V n) là một cấp số nhân ta phải chỉ ra rằng có số q
sao cho Vn+1 = q.Vn, nhưng Vn chưa biết từ đó ta phải tính Vn và điều này dẫn
đến phải tìm Un.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
G.V: Để tính Un ta phải làm thế nào?
HS: Để tính Un ta phải dựa vào công thức truy hồi: Un =


Un
+3
5

HS đặc biệt hoá:
U2 =

U1
10
+3= +3
5
5

U3 =

U2
10 3
+3= 2 + +3
5
5 5

U4 =

U3
10 3 3
+3= 3 + 2 + +3
5
5 5 5


………………..
Dự đoán U n =

10
3
3
+ n −2 + ... + + 3 (*)
n −1
5
5
5

Sau khi đặc biệt hoá bằng phân tích học sinh phát hiện ra quy luật của U n và
từ đó ta sẽ chứng minh (*) bằng quy nạp.
G.V: Biểu thức U n có đặc biệt gì? Ta có thể xác định được công thức tổng

25