Ôn tập toán Chủ đề đại số 10
Bài 1. Ph ơng trình bậc hai
A.Tóm tắt kiến thức
1.Phơng trình bậc hai
1.1.Dạng của phơng trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0 với a

0
1.2.Nghiệm của phơng trình bậc hai
Biểu thức :

= b
2
-4ac ( hay

=b
2
ac với b = b/2)
*

< 0 : pt vô nghiệm
*

= 0: pt có nghiệm kép
*

> 0: pt có 2 nghiệm phân biệt
,
b
x

a
1 2
2

=
ghi chú : nếu ac < 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt .
1.3.Định lý viet.
*Nếu phơng trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0 có hai nghiệm x
1
,x
2
thì
S = x
1
+x
2
=
b
a

; x
1
x
2
=
c
a
.

*Nếu x
1
+x
2
= S , x
1
x
2
= P và S
2
-4P

0 thì x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình :
x
2
Sx +P = 0
ghi chú:
Nếu a +b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = 1 và x = c/a.
Nếu a -b +c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = -c/a.
Nếu pt có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì ax
2
+bx +c =a( x x

1
)(x-x
2
).
2.Phơng trình bậc bốn đa về phơng trình bậc hai
2.1.Dạng 1.
ax
4
+bx
2
+c = 0 ( a

0) (phơng trình trùng phơng)
Đặt t = x
2
với t

0 ta có phơng trình : at
2
+bt +c = 0
2.2.Dạng 2.
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k trong đó a+b =c +d ; k

0.
đặt t = ( x+a)(x+b).
2.3.Dạng 3.
(x +a)
4
+(x+b)
4

=k ( k>0)
Đặt t = x +
a b
2
+
2.4.Dạng 4.
ax
4
+bx
3
+cx
2


bx +a = 0 với a

0
Chia 2 vế cho x
2
và đặt
t x
x
1
=
ta có phơng trình : at
2
+bt +c +2a = 0
Ghi chú: nếu t = x +
x
1

thì ta có đều kiện
t .2
Giải tơng tự cho phơng trình : ax
4
+bx
3
+cx
2


dx +e = 0 với
e d
a b
2

=
ữ

GV: Vũ Hoàng Sơn
1
Ôn tập toán Chủ đề đại số 10
B.Phơng pháp giải toán
ví dụ 1: Tìm m để phơng trình : x
2
-10x +9m = 0 (1)
a)có hai nghiệm.
b)x
1
- 9 x
2

=0
Hớng dẫn:
a)
m ;m
9
0
25

.
b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m = 1.
Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x
2
+(m-1)x +m + 6 = 0 (1)
Có hai nghiệm thoả mãn x
1
2
+x
2
2
= 10
Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có 2 nghiệm.
Ta đợc m = -3 ; m = 7 so với điều kiện ta có m = -3 .
Ví dụ 3 định m để phơng trình : x
2
-2(m+1)x m- 1 = 0 (1)
Có hai nghiệm x
1
,x
2
và A = x

1
2
+x
2
2
6x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:
*Điều kiện pt có 2 nghiệm là
m ;m2 1
*A = = 4[(m+2)
2
-1]
4 khi m = -2.

vạy A nhỏ nhất bằng -4 khi m = -2.
Ví dụ 4 Gải các phơng trình:
a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 ĐS: x = 4 ; x = -8.
b) x
4
+ ( x-1)
4
= 97. ĐS: x = 3 ; x = -2.
c) 6x
4
-35x
3

+62x
2
-35x +6 = 0 ĐS: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3.
Ví dụ 5 Cho phơng trình :
mx
2
-2(m-2) x +m -3 = 0
Tìm m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu. ĐS: 0 < m < 3.
b) Có hai nghiệm dơng phân biệt. ĐS: m< 0; 3< m <4.
c) Có đúng 1 nghiệm âm. ĐS: 0 < m < 3.
Ví dụ 6 Cho phơng trình
( m -1)x
4
+2(m -3)x
2
+m +3 = 0
Định m để phơng trình trên
a)có 4 nghiệm phân biệt.
b)có 3 nghiệm phân biệt.
c)có 2 nghiệm phân biệt.
d)có 1 nghiệm phân biệt.
e) vô nghiệm . ĐS: m < -3 ; m > 3/2.
Bài tập số 1
1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt
a) x
2
-2mx +m
2
-2m +1 = 0 ĐS: m > 1/2.

b) mx
2
( 2m+1)x +m -5 = 0 ĐS:
m
m
1
24
0

>





2.Cho phơng trình : x
2
-2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)
a) Định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
,x
2
. ĐS:
m ;m
2 2
2 2

.
b)Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm x
1

,x
2
. ĐS: P S -1 = 0
GV: Vũ Hoàng Sơn
2
Ôn tập toán Chủ đề đại số 10
c) Tính theo m,biểu thức A = x
1
3
+x
2
3
. ĐS:A=2(1+2m)(16m
2
+4m-5).
d)Định m để pt(1) có x
1
= 3x
2
. ĐS:
m
1 2 7
6

=
.
e)viết pt bậc hai có nghiệm là x
1
2
và x

2
2
. ĐS:X
2
-2(8m
2
+4m-1)X+(3+4m)
2
=0
3.Cho phơng trình : x
2
-6x +m -2 = 0
Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt. ĐS: 2 < m < 11.
4.Cho phơng trình : mx
2
+2(m +3)x +m = 0
Định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm cùng dấu. ĐS:
m
m
3
2
0

>






b) Có hai nghiệm âm phân biệt ĐS: m > 0.
5.Giải các phơng trình :
a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36. ĐS: 0;-3;
3 73
2

.b) (x+3)
4
+( x+5)
4
= 16. ĐS: -5;-3.
c) x
4
+x
3
-4x
2
+x +1 = 0. ĐS: 1;
3 5
2

d) x
4
-5x
3
+10x
2
-10x +4 = 0.ĐS:1 ;2.
Bài 2.Hệ ph ơng trình
Vấn đề 1:Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.

Ph ơng pháp giải :
+Từ phơng trình bậc nhất ,rút một ẩn theo ẩn kia.
+Thế vào phơng trình bậc hai còn lại để đa về phơng trình bậc hai một ẩn.
Ví dụ 1.giải hệ
x y
x xy
2
2 3 1 (1)
24 (2)
=


=

ĐS: (-9;-19/3);( 8;5).
Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.
-ta qui ớc gọi một hệ chứa 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu mỗi phơng trình của hệ là đối xứng đối với
x,y.
Ph ơng pháp giải :
+Đặt S = x +y; P = xy. đa hệ về 1 hệ có 2 ẩn x,y là đối xứng loại 1 nếu mỗi phơng trình
của hệ là đối xứng đối với x,y.
+Tìm S,P . x,y là nghiệm của phơng trình tổng tích
X
2
SX+P = 0.
Chú ý : điều kiện để hệ trên có nghiệm là : S
2
- 4P
0
Ví dụ 2.Giải hệ

x y xy
x y
2 2
5
5
+ + =


+ =

ĐS: (1;2) ,(2;1).
Ví dụ 3 Giải hệ
x y
x y
x y ; ;
x y
2 2
2 2
1 1
5

1 1 3 5 3 5
9 DS: 1; 1
2 2

+ + + =







+ + + =
ữ ữ



GV: Vũ Hoàng Sơn
3
Ôn tập toán Chủ đề đại số 10
Nhận xét: nếu hệ có nghiệm (x
0
;y
0
) thì hệ có nghiệm (y
0
;x
0
).
Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.
-Ta quy ớc gọi một hệ hai phơng trình với 2 ẩn x,y là đối xứng loại hai nếu trao đổi vai trò của x,y thì
phơng trình này chuyển thành phơng trình kia.
Ph ơng pháp giải :
+Trừ vế với vế các phơng trình đã cho.
+Phơng trình trên sẽ đợc đa về phơng trình dạng tích ,đặc điểm là nó có nghiệm x = y.
+ứng với từng trờng hợp xẩy ra ,kết hợp với 1 trong 2 phơng trình của hệ để có một hệ con,giải
hệ con này .
+Tổng hợp nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 4 Giải hệ
x x y

y y x
2
2
3 2
3 2

= +


= +


ĐS: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2).
Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.
ĐN: Hệ 2 ẩn x,y đợc gọi là hệ đẳng cấp bậc hai nếu nó có dạng
ax bxy cy d
a 'x b'xy c'y d'
2 2
2 2

+ + =


+ + =



Ph ơng pháp giải :
+Xét xem x =0 có là nghiệm của hệ hay không?
+ khi x


0,ta đặt y = kx
*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc 1 phơng trình bậc hai theo k .
*Giải tìm k,ứng với mỗi trờng hợp của k ta tìm đợc (x,y).
Ví dụ 5 Giải hệ
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 2 11 (1)
2 3 17 (2)

+ + =


+ + =


ĐS:
( ) ( )
; , ; , ; , ;
4 5 4 5
1 2 1 2
3 3 13 3


ữ ữ

.
Bài tập số 2

1.Giải hệ :
a)
x y
xy x y
2 3 2
0
+ =


+ + =

ĐS: (4;-2) ,
;
5 7
2 3


ữ

. b)
y x x
x y
2
4
2 5 0

+ =

+ =


ĐS:(1;3),(5;-5).
2.Giải hệ :
a)
x y
x y
2 2
10
4

+ =

+ =

ĐS: (3;1),(1;3). b)
x y xy
x y xy
2 2
5
7
+ + =


+ + =

ĐS: (1;2),(2;1).
c)
x y
y x
x y
13

6
5

+ =



+ =

ĐS: (3;5),(5;3). d)
( )
x y
x x y
3 3
2
2

+ =


+ =


ĐS: (1;1).
e)
( )
x y xy
x y
2 2
4 4

78
97

+ =


+ =


ĐS: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3).
GV: Vũ Hoàng Sơn
4
Ôn tập toán Chủ đề đại số 10
3.Giải hệ:
a)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2

= +


= +


ĐS: (0;0),(-3;-3).
b)

x x y
y y x
3
3
2
2

= +


= +


ĐS: (0;0),(1;-1),(-1;1),(
;3 3
),
( )
;3 3
c)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13

+ =


+ =



ĐS: (1;2),(2;1), (-1;-2), (-2;-1)
d)
y xy
x xy y
2
2 2
3 4
4 1

=


+ =


ĐS: (1;4), (-1;-4)
4.Giải hệ:
a)
x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9


+ + + =




+ + + =


ĐS:
; , ;
3 5 3 5
1 1
2 2


ữ ữ

Bài 3: Giải bất phơng trình
Vấn đề 1: Xét dấu một biểu thức và áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ.
A-Xét dấu biểu thức E
+ Viết E dới dạng tích của các nhân tử là tam thức bậc hai hay nhị thức bậc nhất.
+ Lập bảng xét dấu.
B- Giải bất phơng trình hữu tỉ
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang 1 vế
+ Rút gọn biểu thức có đợc
+ Xét dấu biểu thức đó
+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm.
Ví dụ 1: Xét dấu E = (x
2

4) (x
2
4x + 3)
x
2
4 có 2 nghiệm là -2; 2
x
2
4x + 3 có 2 nghiệm là 1; 3
Lập bảng xét dấu .
Ví dụ 2: giải bất phơng trình :
x x
x x
5 2 1
2
2 1 5
+
+ >
+
(1)
HD: (1)
( ) ( )
x x
x x
2
12 36
0
2 1 5
+
>

+
Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < 6 ; x > 6.
Bài tập
1.Giải các bất phơng trình:
a) x
2
-7x +10 < 0 ĐS: 2 < x < 5. b) (-x
2
+3x -2)(x
2
-5x +6)

0. ĐS:
x1 3
.
c)
x x
x
2
3
0
1 2
+ +
<

ĐS: x > 1/2. d)
x x
x x
2
2

3 2
0
4 3
+
>
+
ĐS: x <1; 1< x <2 ; x
.3
2.Giải các bất phơng trình sau :
GV: Vũ Hoàng Sơn
5