UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)
Cho ba số a,b,c khác nhau đôi một và khác 0, đồng thời thỏa mãn điều kiện
� a�
�
� b�
� c�
a +b b + c c +a
�
�
�
�
A =�
1+ �
1+ �
1+ �
�
�
�
=
=

�
�
�
�
�
�
�
�
�
b
c
a
�
�
�
�
�
�
c
a
b . Tính giá trị của biểu thức
.
Câu 2. (4,0 điểm)
1
3
2
+
=2
2
x + 1 (x + 1)2

x
1) Giải phương trình
.
5
3
2
thức P (x) = x - 5x + 4x + 1,Q(x) = 2x + x - 1. Gọi
P ( x)
Q ( x1) .Q ( x2 ) .Q ( x3 ) .Q ( x4 ) .Q ( x5 )
x1, x2, x3, x4, x5
là các nghiệm của
. Tính giá trị của
.
Câu 3. (4,0 điểm)
2
6
1) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước số của n + 206 .

2)

Cho

hai

đa

a2 + b2 a
=
2
2

a
,
b
,
c
c . Chứng minh
b
+
c
0
a
�
c
2) Cho
là các số nguyên khác ,
sao cho
2
2
2
rằng a + b + c không phải là số nguyên tố.
Câu 4. (7,0 điểm)
1) Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kì trên cạnh BC . Trong nửa mặt
phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vuông AMHN . Qua M dựng đường thẳng d song song
với AB , d cắt AH tại E . Đường thẳng AH cắt DC tại F .
a) Chứng minh rằng BM = ND .
b) Tứ giác EMFN là hình gì?
c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC .
�
o �
o

2) Cho tam giác ABC có BAC = 90 , ABC = 20 . Các điểm E và F lần lượt
�
�
�
o
o
nằm trên các cạnh AC , AB sao cho ABE = 10 và ACF = 30 . Tính CFE .

Câu 5. (3,0 điểm)
1) Cho các số thực a,b,c �1. Chứng minh rằng
1
1
1
4
4
4
+
+
+3�
+
+
2a - 1 2b - 1 2c - 1
a +b b + c c + a .
2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng
2
chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 3 . Chứng minh rằng có ít
nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.
--------HẾT--------



Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn: Toán - Lớp 8
Đáp án

Câu
1.1. (2,0 điểm)
Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c,b + c = - a,c + a = - b.

a +b b +c c +a
a +b b +c c +a
=
=
= - 1� A =
�
�
=- 1
a
b
c
a
b
Do đó, c
.

a +b b +c c + a a +b +b +c +c + a
=
=
=
=2
a
b
c +a +b
Nếu a + b + c � 0 thì c
.
a
+
b
=
2
c
,
b
+
c
=
2
a
,
c
+
a
=
2
b

�
a
=
b
=
c
Do đó,
, trái giả thiết.

Vậy A = - 1.
2.1. (2,0 điểm)
Điều kiện: x �0, x �- 1

Điểm

1,0

1,0

0,25

1
3
2
1
3
2
+
= 2 � 1- 2 + 1+
=0

2
2
x + 1 (x + 1)
x + 1 (x + 1)2
x
x

�

x2 - 1 (x + 1)2 - 3(x + 1) + 2
+
=0
x2
(x + 1)2

�

(x + 1)(x - 1) x2 + 2x + 1- 3x - 3 + 2
+
=0
x2
(x + 1)2

�
(x + 1)(x - 1) x(x - 1)
x +1
x �
�
�
+

=
0
�
(
x
1
)
+
=0
2
2
2
2�
�
x
(x + 1)
x
(
x
+
1
)
�
�
�
x =1
�
3
3�
�

�
� (x - 1) (x + 1) + x = 0 �
- 1
�
�
�
x
=
�
� 2 (thỏa mãn)
� - 1�
S =�
1; �
�
�
�
2�
�.
�
Vậy tập nghiệm của phương trình là
2.2. (2,0 điểm)
P (x) = x5 - 5x3 + 4x + 1 = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - x4 ) ( x - x5 )
Ta có
�
�
1
�
�
Q(x) = 2�
x

(- 1- x)
�
�
�
�
2
�
�
�

Q ( x1) .Q ( x2 ) .Q ( x3 ) .Q ( x4 ) .Q ( x5 )
Do đó
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
= 25 �
x
x
x
x
x
�
�
�
�
�
�
1�
2�
3�

4�
5�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

�

��
( - 1- x1) ( - 1- x2) ( - 1- x3) ( - 1- x4) ( - 1- x5) �
�
�

0,75

0,5

0,5

0,75
0,75


��
�1 5
�
1�
�
�
�
�
= 32.P �
�
P
(
1

)
=
32
+
2
+
1
(- 1+ 5 - 4 + 1) = 77
�
�
�
�
�
�
�
2�
32 8
��
�
�

.

0,5

3.1. (2,0 điểm)
n6 + 206
n6 + 8 + 198
� 2
���

��
n +2
n2 + 2
n2 + 2 là ước số của n6 + 206
198
� n4 + 2n2 + 4 + 2
��
n +2
.

0,75

2

2
Điều này xảy ra khi n + 2 là ước nguyên dương của 198 = 2.3 .11 gồm:
2;3;6;9;11;18;22;33;66;99;198 .

Từ đó ta tìm được
Chú ý :

n �{1;2;3;4;8;14}

0,75

.
0,5

2
+ Nếu bước 2 thiếu giá trị của n + 2 trừ 0,5 điểm.


+ Nếu bước 3 thiếu giá trị của n trừ 0,25 điểm.
3.2. (2,0 điểm)

a2 + b2 a
= � (a - c) b2 - ac = 0 � b2 = ac
2
2
c
Ta có b + c

(

)

2
2
2
2
2
2
2
2
Mà a + b + c = a + ac + c = a + 2ac + c - b

0,75

= (a + c)2 - b2 = (a + c + b)(a + c - b)
2


2

2

2

2

2

Ta thấy a + b + c > 3 do đó nếu a + b + c là các số nguyên tố thì xảy ra các trường
hợp sau
1) a + c - b = 1,a + c + b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - 1
� (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = 1 � a = c = 1,b = �1(Loại)

0,5

2)a + c + b = 1,a + c - b = a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = 2a + 2c - 1
� (a - 1)2 + (c - 1)2 + b2 = 1 � a = c = 1,b = �1

(Loại)
3)a + c + b = - 1,a + c - b = - a + b + c � a + b2 + c2 = - 2a - 2c - 1

(

2

2

2


)

2

� (a + 1)2 + (c + 1)2 + b2 = 1 � a = c = - 1,b = �1(Loại)

(

)

4)a + c - b = - 1,a + c + b = - a2 + b2 + c2 � a2 + b2 + c2 = - 2a - 2c - 1
� (a + 1)2 + (c + 1)2 + b2 = 1 � a = c = - 1,b = �1(Loại)
2
2
2
Vậy a + b + c không phải là số nguyên tố.
4.1.a) (2,0 điểm)

0,75


1,0

� + MAD
�
�A
= 90�( 1)
1
a) Do ABCD là hình vuông nên

�
�
� A2 + MAD = 90�( 2)
Mà AMHN là hình vuông
( 1) ,( 2) suy ra A�1 = A�2
Từ
..)
Do đó, D AND = D AMB (cgc
�=D
� = 90�
�B
1
và BM = ND

1,0

4.1.b) (1,5 điểm)

� = 90�
�D
2
Do ABCD là hình vuông
� =D
� +D
� = 90�
� NDC
+90�
= 180� � N , D,C
1
2


thẳng hàng.
AH
,
MN
Gọi O là giao điểm hai đường chéo
của hình vuông AMHN .
� O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN .

1,0

� AH là đường trung trực đoạn MN , mà E , F �AH � EN = EM và FM = FN ( 3) .

(

)

� =M
� �O
� =O
�
D EOM = D FON OM = ON ;N
1
3
1
2 � EM = NF (4)

( 3) ,( 4) � EM = NE = NF = FM � MENF là hình thoi ( 5) .
Từ
4.1.c) (2,0 điểm)

( 5) suy ra FM = FN = FD + DN
Từ
Mà DN = MB � MF = DF + BM
Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông là a .

Ta có P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF (vì MF = DF + MB )
= (MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a
Do đó, chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC .

4.2. (1,5 điểm)

0,5

1,0

1,0


0,5
�
�
o �
o
o
Xét D ABC có BAC = 90 , ABC = 20 � ACB = 70
� = 90o ACF
�
D ACF có CAF
= 30o � FC = 2.AF
,

Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GD ^ BC .
BD
BA
�
=
BG
BC
Khi đó, D ABC ∽ D DBG
� = GBC
� = 20o � GCF
� = 20o
GCB

�
�
Do đó CG và BE lần lượt là tia phân giác của BCF và ABC nên
FC
BC BA
AE
=
;
=
FG
BG BC
EC
1
1
FC
BC
AF

BD
BA
AE
AF
AE
=2
=2
=
=
=
�
=
FG
BG
BG
BC
EC
FG
EC
Do đó, FG
�
�
o
Từ đó suy ra CG / / EF (ĐL Talet đảo) � CFE = GCF = 20 .
5.1. (2,0 điểm)
1
1
� 2
2
2

(
a
�-޳�1
)
0
a
2
a
1
2a - 1 a .
Ta có

1
1
1
VT � 2 + 2 + 2 + 3
a
b
c
Nên
1
1
2
8
8
8
1
1
8
+ 2� �

;
+ 2�
� 2 + 2 +2�
2
2
2
ab (a + b) (a + b)
a +b
a +b
b
a
b
Ta lại có a

1
1
8 1
1
8
+ 2 + 2�
; 2 + 2 +2�
2
b+c c
c +a
c
a
Tương tự b
1
1
1

4
4
4
+
+
+
3
�
+
+
2
a +b b + c c +a
b2 c2
Suy ra a

1
1
1
4
4
4
+
+
+ 3�
+
+
a +b b + c c + a
Do vậy, 2a - 1 2b - 1 2c - 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

5.2. (1,0 điểm)

0,5

0,5

0,75

0,75

0,5


Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế
chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải là chia hình vuông
thành hai tứ giác).
Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và
không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả.
Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BC và AD tại các điểm M và N .

0,5

1
.AB .(BM + AN )
SABMN
2
2
EJ
2
2

= �
= �
=
SMCDN
3
1
3
JF
3
.CD.(MC + ND )
2
Ta có
.
(ở đây E và F là các trung điểm của AB và CD tương ứng).
J ,J , J , J
Gọi E , F , P ,Q tương ứng là các trung điểm của AB ,CD, BC , AD . Gọi 1 2 3
J ,J
J ,J
điểm sao cho 1 2 nằm trên EF , 3 4 nằm trên PQ và thỏa mãn:
EJ 1 FJ 2 PJ 3 QJ 4
2
=
=
=
=
J 1F
J 2F
J 3Q
J 4P
3

.

4

là các

0,5


Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của đề
J ,J , J , J
bài phải đi qua một trong 4 điểm 1 2 3 4 nói trên. Vì có 9 đường thẳng, nên theo
J ,J , J , J
nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm 1 2 3 4 sao cho nó có ít nhất
ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua.
Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm.
Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm.
Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám
khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------

§Ò thi th«ng tin chän häc sinh giái líp 8
n¨m häc 2008 – 2009
Họ tªn : ...........................................
Líp :……...
M«n: To¸n


Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi
gian giao ®Ò)


Câu 1 ( 2,0 điểm)
Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức :
A = x8 31x7 + 31x6 31x5 +31x4 31x3 + 31x2 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a 3 12ab - b3
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
2a 3 7 a 2 12a 45
3
2
Rút gọn phân thức : 3a 19a 33a 9

Câu 4 : ( 3,5 điểm)
Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và
đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của ngời
đó trên toàn bộ quãng đờng AB .
Câu 5 : ( 2,0 điểm)
Chứng minh rằng :
a 2 b2

4
a) S
với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a ,

b.
Câu 6 :( 6,5 điểm)

Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D,
K .
DME
E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho
a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi .
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE .
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .
------------- ------------( Giám thị không giải thích gì thêm )

hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009
Câu 1 (4,0 điểm)


Tóm tắt lời giải

Điể
m

a) Ta có A = x6 19x5 + 19x4 19x3 +19x2 19x + 25
= x5 ( x 18 ) x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) x2( x-18) + x(x- 18) ( x 18 ) + 7
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .
b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x + y )+ 3xy = ( x +y ) ( x - xy +y )
+ 3xy
= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1
3

3


2

1,00
1,00
1,00

2

1,00

Câu 2 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải
(2 x 3 5 x 2 ) (12 x 2 30 x) (18 x 45)
2 x3 7 x 2 12 x 45
3
2
2
3
2
a) ta có 3x 19 x 33x 9 = (3 x x ) (18 x 6 x) (27 x 9) =
x 2 (2 x 5) 6 x(2 x 5) 9(2 x 5)
(2 x 5)( x 2 6 x 9)
2
2
= x (3 x 1) 6 x(3 x 1) 9(3 x 1) = (3 x 1)( x 6 x 9) =
(2 x 5)( x 3) 2
(3x 1)( x 3)2
2x 5
= 3x 1


b) Giải phơng trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12
(1)
2
Đặt t = x -x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt :
t ( t+1 ) = 12
t2 + t 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t 12) = 0 t( t - 3) + 4(t 3) =
0
(t - 3) (t+ 4) = 0
t = 3 hoc t = - 4
2
- Với t = 3 => x -x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0
x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoc x = - 1
1
19
2
- Với t = - 4 => x -x+1 = - 4 x -x + 5 = 0 ( x- 2 ) + 4 = 0
1
19
phơng trình này vô nghiệm vì ( x- 2 ) 2 + 4 > 0 với mọi x .
2

Điể
m
1,00
0,50

0.50

0.5

0
0.7
5
0.2
5

2

Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1

0.2
5
0.2
5


Câu 3 : ( 4,5 điểm )
Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện :
x(km/h ) , x > 6 ).
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10
( km/h )
Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x 6
(km/h )
30
Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x 10 (h)
30
Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x 6 (h)
60
Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là : x
(h)

30
30
60
Ta có phơng trình : x 10 + x 6 = x
x( x 6)
x( x 10)
2( x 10)( x 6)
x( x 10)( x 6) + x( x 10)( x 6) = x( x 10)( x 6)
=> x2 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x 120 x2 6x + x2 + 10x -

2x2 - 8x = -120
4x = 120 x = 30

0.50
1.00
0.75
0.75
0.50

0.50
0.50

( km/h )

60
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là : 30 = 2

( giờ )

Câu 4 (3,5 điểm)

Tóm tắt lời giải

Điể
m
0.5

HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
A
D

H

I

B

E
K

M

C







B

Ta có DMC DME CME , mặt khác DMC B BDM , mà DME
BDM

nên CME
.

Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) .

a)

BD BM

=> CM CE => BD . CE = CM . BM = a . a = a2

0.50
0.50

Vậy tích BD . CE luôn không đổi .
DM BD

b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : ME CM
DM BD

ME BM

0.50
=>

0.50



( vì CM
= BM )
BDM
hay DM là tia
Do đó DME và DBM đồng dạng => MDE
phân giác của góc BDE .
c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia
phân giác của góc CED . Kẻ MH DE , MI AB , MK AC . Ta có
DH = DI , EH = EK , do đó chu vi AED bằng AI + AK = 2AK .

0.50

0.50

MC a

2 , AC = 2a
Ta lại có CK = 2

nên AK = 1,5a .
Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a .

Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
B
A

a

0.50


h

d

b
D
c
C

1
a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S = 2 ah .
=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2 .

Vậy

a2 b2

4
S
.

Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân

b) Theo câu a ta có : SABC

a 2 b2

4


; SADC

c2 d 2

4

a2 b2 c2 d 2
a 2 b2 c2 d 2



4
4
4
Mà S = SABC + SADC => S
=> S
.
Dấu bằng xảy ra ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D

ABCD là hình vuông .

0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50

Lu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính

xác cũng đợc điểm tối đa