SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 1 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019

Môn thi : TOÁN (Chuyên Tin)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 09/6/2018

Câu 1 (1,5 điểm).
Cho biểu thức A 

x
4

, với x  0 và x �4. Rút gọn biểu thức A và tìm x
x2 x x4

2
để A  .
5
Câu 2 (1,0 điểm).
Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p  q và p  4q đều là các số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình x 2  3x  2  ( x  1) 4  x .
2
2
�

�x  x  y  y  0
.
b) Giải hệ phương trình �
2 x2  y 2  x  y  3  0
�

Câu 4 (1,0 điểm).
Cho đường thẳng (d ) : y  2 x  m ( m là tham số) và parabol ( P) : y  x 2 . Tìm m để (d )
cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x12  x22  10.
Câu 5 (3,5 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai
điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
a) Chứng minh AL.CB = AB.KL .
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L). Chứng
minh AM = AN = AH.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn
ab
thức A  a  b 
.
ab

a  b � ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

--------------- HẾT ---------------

Trang 1/5



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018-2019

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Chuyên Tin)
(Bản hướng dẫn này gồm 05 trang)

Câu

Nội dung
Cho biểu thức A 

Điểm

x
4

, với x  0 và x �4 . Rút gọn biểu thức A và tìm x để
x2 x x4

2
A .
5
Câu 1

(1,5)

Câu

A

x
4


x2 x x4

x
4

(mỗi ý được 0,25đ)
x ( x  2) ( x  2)( x  2)

1
4
x 24



x  2 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
2
1
2
1
A �

 � x
5
2
x 2 5
1
�x .
4


1
(mỗi ý được 0,25đ)
x 2

Nội dung
p
q
,
p

q và p  4q đều là các số chính phương.
Tìm 2 số nguyên tố
và
biết rằng
�p  q  a 2
�
�
2
Theo đề ta có �p  4q  b , suy ra b 2  a 2  3q �  b  a   b  a   3q
�
a; b �N *

�
�
Từ q là số nguyên tố và a  b �2 nên ta có các trường hợp sau:
b  a 1
�
+ TH 1: �
suy ra b  a  1 và 2a  1  3q , suy ra q lẻ.
b  a  3q
�
Ta viết q  2k  1 ( k �N * )

Câu 2
Khi đó 2a  3q  1  6k  2 hay a  3k  1 và p  a 2 – q  9k 2  4k  k  9k  4 
(1,0)
Do p nguyên tố nên k  1 và p  13, q  3 .
ba 3
�
+ TH 2: �
, suy ra b  a  3 và q  2a  3
ba q
�
Lại có p  a 2   q  a 2  2a – 3   a  1  a – 3 . Do p nguyên tố nên a  4 và p  5, q  11
.
ba q
�
+ TH 3: �
và b  a �1 .
ba 3
�
Suy ra b  2 và a  1 khi đó q  1 không phải số nguyên tố.

Kết luận: (p;q) = (5;11), (13;3).
Trang 2/5

1,5

0,5
0,5
0,25
0,25

Điểm
1,0

0,25

0,25

0,25

0,25


Trình bày cách khác:
�p  q  a 2
�
�
2
Theo đề ta có �p  4q  b .
�
a; b �N *

�
�

(0,25)

Suy ra b 2  a 2  3q �  b  a   b  a   3q .
Vì p, q là các số nguyên tố nên a �2, b �4 . Do đó ta có các trường hợp sau:
b  a 1
�
+ TH 1: �
. Khi đó b  a  1 và 2a  1  3q . Suy ra q lẻ.
b

a

3
q
�
q
Ta viết  2k  1 ( k �N * )
Khi đó 2a  3q  1  6k  2 hay a  3k  1 và p  a 2 – q  9k 2  4k  k  9k  4 
Do p nguyên tố nên k  1 . Suy ra p  13, q  3 .
ba 3
�
+ TH 2: �
. Khi đó b  a  3 và q  2a  3
ba q
�
Lại có p  a 2   q  a 2  2a – 3   a  1  a – 3 .
Do p nguyên tố nên a  4 . Suy ra p  5, q  11 .

Vậy p  13, q  3 hoặc p  5, q  11 .

Câu

Nội dung
2

a) Giải phương trình x  3 x  2  ( x  1) 4  x .
Điều kiện: x �4 .





x 2  3 x  2  ( x  1) 4  x � ( x  1) x  2  4  x  0

(0,25)

(0,25)

(0,25)

Điểm
1,0
0,25

x 1
�
��
x2 4 x  0

�

0,25

�
�x �2
x2 4 x  0 � �
� x  3 (thỏa điều kiện 2 ≤ x ≤ 4).
4  x  ( x  2) 2
�

0,25

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x  1, x  3.
2
2
�
�x  x  y  y  0
Câu 3
.
b) Giải hệ phương trình � 2
2
(2,0)
2x  y  x  y  3  0
�
x 2  x  y 2  y  0 � ( x  y )( x  y  1)  0 � x  y hoặc x  y  1  0
+ Với x  y thay vào pt thứ hai ta được: x 2  2 x  3  0 � x  1 hoặc x  3 .
Suy ra được: ( x ; y )  (1;1) hoặc ( x ; y )  (3; 3)
+ Với x  y  1  0 � y  1  x thay vào pt thứ hai ta được:
x 2  2 x  3  0 � x  1 hoặc x  3 .

Suy ra được: ( x ; y )  (1;0) hoặc ( x ; y )  (3; 4)
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: (1;1),( 3; 3), (1;0), (3;4).
* Lưu ý: Học sinh giải đúng một trong 2 trường hợp: với x  y , với x  y  1  0 cho
0,5đ

Trang 3/5

0,25
1,0
0,25
0,5

0,25


Câu

Nội dung
Cho đường thẳng ( d ) : y  2 x  m ( m là tham số) và parabol ( P) : y

Điểm

 x 2 . Tìm

m để (d )

cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x12  x22  10.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và ( P ) : x 2  2 x  m  0 (1)
+  ' 1  m
Câu 4 + (d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt khi  '  0 hay m   1.

(1,0) + x1, x2 là hai hoành độ của hai giao điểm (d ) và ( P ) nên x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1).
�x1  x2  2
Theo định lý Viet: �
(thí sinh không viết định lý này mà thể hiện ở dòng dưới
�x1.x2  m
đúng cũng được).
x12  x22  10 � ( x1  x2 ) 2  2 x1x2  10 � 4  2m  10 � m  3 (thỏa m  1 ).
Vậy m  3 là giá trị cần tìm.
Lưu ý : Nếu thí sinh không lập ∆’ riêng mà ghi chung ở phần lập luận 2 nghiệm phân
biệt thì vẫn được 0,5đ.

Trang 4/5

1,0
0,25
0,25
0,25

0,25


Câu

Nội dung
Điểm
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai
điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
A


O

L

N

E

0,5

K
M
B
/

H

__

C

D

Hình vẽ phục câu a: 0,25 đ
Hình vẽ phục cả hai câu b, c: 0,25 đ
a) Chứng minh AL.CB = AB.KL
- Xét hai tam giác AKL và ACB, có:
� chung ;
+A
AK AL

2
=
+ AK.AB = AH = AL.AC �
.
AC AB
Câu 5 Suy ra hai tam giác AKL và ACB đồng dạng.
(3,5)
AL KL
=
� AL.CB = AB.KL .
Suy ra
AB CB
Lưu ý: HS chứng minh được ∆AKL ~ ∆ACB theo cách khác vẫn được 0,75đ.
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
� của tam giác ABC (*).
+ AE là đường phân giác trong của góc A
� = EBD
� (1).
+ Tam giác DBE cân tại D nên: BED
� = BAD
� + ABE
� = BCD
� + ABE
� = DBC
� + ABE
� (2); EBD
� = DBC
�
BED

+
� = EBC
�
Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE
hay BE là phân giác trong của góc

�
(3)
EBC
� của tam giác
B

ABC (**).
Từ (*) và (**) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L).
Chứng minh AM = AN = AH.
+ Hai tam giác AKL và ACB đồng dạng.
� = ABC
� � 1 sdAM
� + sd NC
� = 1 sdAC
�
Suy ALK
2
2
1
1
� + sd �
� + sd NC
� � sdAM

� = sdAN
� � AM = AN
� sdAM
NC = sdAN
(4).
2
2
+ Chứng minh được hai tam giác ALN và ANC đồng dạng.





 





AL AN
=
� AN 2 = AL.AC . Mà AL.AC = AH 2 � AN = AH
AN AC
Từ (5) và (6) suy ra AM = AN = AH.
Suy ra

Trang 5/5

(5).


1,0
0,25
0,25
0,25
0,25

1,0
0,25
0,5
0,25
1,0
0,25
0,25
0,25
0,25




Câu

Câu 6
(1,0)


Nội dung
Điểm
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a  b � ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1,0
ab

thức A  a  b 
.
ab
a, b  0
�
a, b  0
�
�
� �1
1
Ta có: �
� a  b � ab
� a  b �1
0,25
�
1
1
1
1
1
�x, y  0
 x,
 y ; khi đó ta có �
Đặt
và A  2  2  2
.
x
y
x  y2
a

b
�x  y �1
A

x2  y 2



1

x2 y2
x2  y 2
3
1
5
 A
.
2 xy xy 2 xy



3( x 2  y 2 )
4x2 y 2



x2  y2
4x2 y 2

2




3.2 xy
x2  y 2
1
�

2
. 2
2
2
2 2
2 2
x y
4x y
4x y x  y2
1

2

�x  y �
�
� xy
�2 �

0,25

2


�x  y � �1 � 1
x ��
y 2 xy
2 xy 2 �
� 2� �
� 2 � �2 � 2
�x  y
1
� x  y  hay a  b  4 .
Suy ra A �10 . Dấu bằng xảy ra khi �
2
�x  y  1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a  b  4 .

0,5

Cách khác:
Câu
Nội dung
Điểm
a
Cho hai số thực dương
và b thỏa mãn a  b � ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1,0
ab
thức A  a  b 
.
ab
Ta có: 2


a b  �a� b

ab

ab

4.

�a  b
�
� a  b  4.
Dấu đẳng thức xảy ra � �
ab

4
�
Câu 6
(1,0)
3 a  b a  b
ab
ab
3 ab
5 ab
A  ab



�
 ab 
�10 .

ab
4
4
a b
2
2
Suy ra: A �10 .
ab4
�
�
Đẳng thức xảy ra khi �a  b
ab � a  b  4 .

�
ab
�4
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a  b  4 .

(0,25)

(0,5)

(0,25)

--------------- HẾT --------------* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Trang 6/5