Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 1 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm). Cho hàm số f (x, y) = 3 −x3 + y 3 .
1. Tính các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) của hàm f (x, y) tại M (0, 0).
2. Hàm số f (x, y) có khả vi tại điểm M (0, 0) hay không? Tại sao?
y2
+ z 2 = 1.
2
y 2 dx + (2xy + 3x + y 2 ey )dy, biết L là nửa đường tròn

Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị hàm f (x, y, z) = x − y + z với điều kiện x2 +
Câu 3 (1,5điểm). Tính tích phân đường
L

x2 + y 2 = 9, y ≥ 0 theo hướng nối từ điểm A(3, 0) đến B(−3, 0).
xy dydz + xz 2 dxdz + 3z dxdy, với S là mặt ngoài của

Câu 4 (1,5điểm). Tính tích phân mặt
S

elipxôit

x2 y 2 z 2
+
+

= 1.
25
4
9

Câu 5 (3,0điểm).
1
1
11
1. Giải phương trình vi phân y − y = x5 thỏa mãn y(1) =
và y (1) = .
x
35
5
+∞ n+1
x
2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
.
2n .n!
n=1

Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 2 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm). Cho hàm số f (x, y) = 3 x3 − y 3 .

1. Tính các đạo hàm riêng cấp một (nếu có) của hàm f (x, y) tại M (0, 0).
2. Hàm số f (x, y) có khả vi tại điểm M (0, 0) hay không? Tại sao?
x2
Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị hàm f (x, y, z) = −x + y + z với điều kiện
+ y 2 + z 2 = 1.
2
Câu 3 (1,5điểm). Tính tích phân đường (2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy, biết L là nửa đường tròn
L

x2 + y 2 = 9, x ≥ 0 theo hướng nối từ điểm A(0, −3) đến B(0, 3).
x2 dydz + x2 z dxdz − 2z dxdy, với S là mặt ngoài của

Câu 4 (1,5điểm). Tính tích phân mặt
S

elipxôit

x2 y 2 z 2
+
+
= 1.
16 25
9

Câu 5 (3,0điểm).
1
1
8
1. Giải phương trình vi phân y + y = x5 thỏa mãn y(1) =
và y (1) = .

x
49
7
+∞ n
3 n+1
2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
x .
n!
n=1


Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 3 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

x3
1 2
y3
2
Câu 1 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) =
− x − x y + 2xy − .
3
2
6
2
2

Câu 2 (2,0điểm). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt z = 6x + 3y và z = 8 − 2x2 − 5y 2 .
(x + y − 1)dydz + (2x − z)dzdx + z 2 dxdy trong

Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân mặt loại hai
S

đó S là mặt ngoài của cầu x2 + y 2 + z 2 = 1.
Câu 4 (2,5điểm). Giải các phương trình vi phân sau:
a. (x3 + y)dx − xdy = 0
b. y − 2y + 2y = 3 cos x.
∞

Câu 5 (1,5điểm). Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa :
n=0

Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

(n + 1)xn
.
2n

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 4 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

y3
1
x3

− y 2 − xy 2 + 2xy − .
3
2
6
2
2
Câu 2 (2,0điểm). Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt z = 3x + 4y và z = 10 − 7x2 − 6y 2 .
Câu 1 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) =

(y + z − 4)dydz + (3x − y)dzdx + z 2 dxdy trong

Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân mặt loại hai
S

đó S là mặt ngoài của cầu x2 + y 2 + z 2 = 4.
Câu 4 (2,5điểm). Giải các phương trình vi phân sau:
a. (x2 − y)dx − xdy = 0
b. y + 4y + 5y = 3 sin x.
∞

Câu 5 (1,5điểm). Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa :
n=0

nxn
.
3n


Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán


ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 5 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,5điểm).
+∞

2n+1
. Chứng minh chuỗi số hội tụ và tính tổng của chuỗi số đó.
n!
n=0
−−→
1
b. Tìm đạo hàm của hàm u =
tại điểm M (1, 1, 1) theo hướng M N , với N (3, 3, 2).
x2 + y 2 − z 2
a. Cho chuỗi số

Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm f (x, y) = 9 − 6x + 12y với điều kiện (x − 1)2 + y 2 = 5.
z(x2 + y 2 )dxdydz, trong đó V là miền hữu hạn

Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân bội ba
V

giới hạn bởi các mặt z =

x2


+

y2

và z = 2.

Câu 4 (1,5điểm). Cho L là nửa đường x2 + 3y 2 = 1 nằm phía trên trục Ox, có hướng ngược
(3x2 sin y + yx2 )dx + (x3 cos y − 3xy 2 )dy.

chiều kim đồng hồ. Hãy tính I =
L

Câu 5 (2,0điểm). Giải các phương trình vi phân
a. (4x − 3y)dx − (3x + 2y)dy = 0.
b. y” − y = e−x .

Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 6 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,5điểm).
+∞

3n+1
. Chứng minh chuỗi số hội tụ và tính tổng của chuỗi số đó.
n!

n=0
−−→
1
b. Tìm đạo hàm của hàm u =
tại điểm M (1, 1, 1) theo hướng N M , với N (0, −1, −1).
y 2 + z 2 − x2
a. Cho chuỗi số

Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm f (x, y) = 7 + 12x − 6y với điều kiện x2 + (y − 1)2 = 5.
√ 2
z(x + y 2 )dxdydz, trong đó V là miền hữu hạn
Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân bội ba
V

giới hạn bởi các mặt z = x2 + y 2 và z = 4.
Câu 4 (1,5điểm). Cho L là nửa đường 3x2 + y 2 = 1 nằm phía trên trục Ox, có hướng ngược
(3x2 sin y + 3yx2 )dx + (x3 cos y − xy 2 )dy.

chiều kim đồng hồ. Hãy tính I =
L

Câu 5 (2,0điểm). Giải các phương trình vi phân
a. (x − 2y)dx − (2x − 2y)dy = 0.
b. y” − y = ex .


Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 7 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

x2
Câu 1 (1,5điểm). Cho mặt cong S có phương trình − + y 2 + z 2 = 1. Giả sử có hàm ẩn
4
z = z(x, y). Tính các đạo hàm hàm ẩn zx , zy , zxx tại M (2, 1, 1).
Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = (x2 + xy + y 2 )ex+y .
1

Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân bội I =

4 − 4x2 − y 2

D

x2

Câu 4 (2,0điểm). Tính tích phân mặt I =

dxdy với D = {(x, y) : 4x2 + y 2 ≤ 1}.

y 2 + z 2 dydz, với S là mặt kín giới hạn vật

S

thể:

y 2 + z 2 ≤ x ≤ 1, hướng ra ngoài.


Câu 5 (2,5điểm).
a. Giải phương trình vi phân y + 4y = cos x.
+∞

cosn x.

b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi sau
n=1

Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2
Đề số 8 K60
Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu

y2
Câu 1 (1,5điểm). Cho mặt cong S có phương trình x − +z 2 = 1. Giả sử có hàm ẩn z = z(x, y).
4
Tính các đạo hàm hàm ẩn zx , zy , zyy tại M (1, 2, 1).
2

Câu 2 (2,0điểm). Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = (x2 − xy + y 2 )ex+y .
1

dxdy với D = {(x, y) : x2 + 4y 2 ≤ 1}.
2 + 4y 2
4

+
x
D
√
Câu 4 (2,0điểm). Tính tích phân mặt I =
y 2 x2 + z 2 dzdx, với S là mặt kín giới hạn vật
S
√
thể: x2 + z 2 ≤ y ≤ 1, hướng ra ngoài.
Câu 3 (2,0điểm). Tính tích phân I =

Câu 5 (2,5điểm).
a. Giải phương trình vi phân y + 9y = sin x.
+∞

sinn x.

b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi sau
n=1


ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu 1. (2,0đ)

1)

∂f
∂f
(0, 0) = −1,
(0, 0) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

∂x
∂y
3

2) • Xét giới hạn lim

x→0
y→0

−x3 + y 3 − (−x + y)
x2 + y 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3

• Chứng minh không tồn tại giới hạn lim

−x3 + y 3 − (−x + y)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

x→0
y→0

x2 + y 2

y2
+ z2 − 1
2


và giải hệ phương trình

Câu 2. (2,0đ)
• Lập hàm Φ(x, y, z) = x − y + z + λ x2 +

1
1
M1 = ( , −1, ); λ2 = 1, M2 = (− 12 , 1, − 21 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
2
• Vi phân cấp hai của hàm d2 Φ(x, y, z) = 2λ dx2 + λ dy 2 + 2λ dz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
• Tại điểm M1 , ứng bằng λ1 = −1, vi phân cấp hai của Φ tại đó xác định âm, hàm f (x, y, z) =
x − y + z đạt cực đại có điều kiện tại M1 = ( 21 , −1, 21 ), f (M1 ) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
• Tại điểm M2 , ứng bằng λ2 = 1, vi phân cấp hai của Φ tại đó xác định dương, hàm f (x, y, z) =
x + y + z đạt cực tiểu có điều kiện tại M2 = (− 12 , 1, − 12 ), f (M2 ) = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3. (1,5đ)
• Bổ sung đoạn thẳng nối A và B ta được đường cong kín Γ có hướng dương và D là nửa hình
y 2 dx + (2xy + 3x + y 2 ey )dy =

tròn. Sử dụng định lí Green ta có, J =
Γ

3 dxdy . . . . . . 0,5đ
D

27π
• J = 3. S(D) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
27π

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
•
y 2 dx + (2xy + 3x + y 2 ey )dy = 0 ⇒ I =
2
BA

Câu 4. (1,5đ)
• Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski I =

(y + 3)dxdydz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
V

4
• I = 3. λ(V ) = 3. π .5 .2 .3 = 120π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3
Câu 5. (3,0đ)
1
1) • Đặt y = z(x). Phương trình đã cho trở thành z − z = x5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x
C 1 x2 x7
• Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y =
+
+ C2 . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
35
x7
• Tìm được C1 = 2, C2 = −1. Vậy y = x2 +
− 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
35
x

. Miền hội tụ của chuỗi đã cho (−∞; +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
+∞ tn
• Ta có, S(t) = 2t
= 2t(et − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
n!
n=1
x
2
• Vậy S(x) = x(e − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

2) • Đặt t =


ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1. (2,0đ)
1) •

∂f
∂f
(0, 0) = 1;
(0, 0) = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
∂x
∂y
3

2) • Xét giới hạn lim

x→0
y→0


x3 − y 3 − (x − y)
x2 + y 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3

• Chứng minh không tồn tại giới hạn lim

x→0
y→0

x3 + y 3 − (x − y)
x2 + y 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 2. (2,0đ)
x2
• Lập hàm Φ(x, y, z) = −x + y + z + λ( + y 2 + z 2 − 1) và giải hệ phương trình
2
λ1 = −1, M1 = (−1, 12 , 21 ); λ2 = 1, M2 = (1, − 12 , − 12 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
• Vi phân cấp hai của hàm d2 Φ(x, y, z) = λ dx2 + 2λ dy 2 + 2λ dz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
• Tại điểm M1 , ứng bằng λ1 = −1, vi phân cấp hai của Φ tại đó xác định âm, hàm f (x, y, z) =
−x + y + z đạt cực đại có điều kiện tại M1 = (−1, 21 , 12 ), f (M1 ) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
• Tại điểm M2 , ứng bằng λ2 = 1, vi phân cấp hai của Φ tại đó xác định dương, hàm f (x, y, z) =
−x + y + z đạt cực tiểu có điều kiện tại M2 = (1, − 12 , − 12 ), f (M2 ) = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3. (1,5đ)
• Bổ sung đoạn thẳng nối A và B ta được đường cong kín Γ có hướng dương và D là nửa hình
(2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy = −


tròn. Sử dụng định lí Green ta có, J =
Γ

dxdy . . . . . . 0,5đ
D

9π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
• J = − S(D) = −
2
9π
• (2xy + y + x2 ex )dx + x2 dy = 0 ⇒ I = −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
BA

Câu 4. (1,5đ)
• Áp dụng định lí Gauss-Ostrogradski I =

(2x − 2)dxdydz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
V

4
• I = −2. λ(V ) = −2. π .4 .5 .3 = −160π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3
Câu 5. (3,0đ)
1
1) • Đặt y = z(x). Phương trình đã cho trở thành z + z = x5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x

x7
• Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = C1 ln |x| +
+ C2 . . . . . . . . . . . 0,5đ
49
7
x
• Tìm được C1 = 1, C2 = 0. Vậy y = ln |x| + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
49
2) • Đặt t = 3x. Miền hội tụ của chuỗi đã cho (−∞; +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
t +∞ tn
t
• Ta có, S(t) =
= (et − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3 n=1 n!
3
3x
• Vậy S(x) = x(e − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1. (2,0đ) 
x2 − 2x − xy + 2y = 0
Tìm điểm dừng:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
− 1 x2 + 2x − 1 y 2 = 0
2
2
Có 3 điểm dừng M1 (0, 0); M2 (2, −2), M3 (2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Vi phân cấp 2: A = 2x − 2 − y,


B = −x + 2,

C = −y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

2

Tại điểm M1 (0, 0) có AC − B = −4 < 0. Hàm không đạt cực trị tại M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Tại điểm M2 (2, −2) có A = 4 > 0, AC − B 2 = 8 > 0. Hàm đạt cực tiểu tại M2 . . . . . . . . . . . . 0,25đ
1
4
Tại điểm M3 (2, 2) có AC − B 2 = 0, f (x, 2) = (x − 2)3 + , hàm không đạt cực trị tại M3 . 0,25đ
3
3
Câu 2 (2,0đ) Giao của 2 mặt là đường x2 + y 2 = 1. D = {(x, y) x2 + y 2 ≤ 1}. . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(8 − 2x2 − 5y 2 − 6x2 − 3y 2 )dxdy = 8

Ta có V =
D

(1 − x2 − y 2 )dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
D

2π

Đổi biến sang tọa độ cực, V = 8

1

(1 − r2 )rdr = 4π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ


dϕ
0

0

Câu 3. (2,0đ)
Sử dụng công thức Gauss-ôtrôgradsky đưa tích phân về I =

(2z + 1)dxdydz . . . . . . . . . 0,5đ
V

zdxdydz = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Tính được
V

Tính được

dxdydz =

4π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3

V

4π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
I=
3

*Chú ý: Nếu sinh viên làm theo tham số hóa ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu 4. (2,5đ)a. y = 0 là một nghiệm của phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Đưa phương trình về dạng y − x1 y = x2 là phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Giải ra nghiệm: y = x(x3 /3 + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b. Tìm được nghiệm thuần nhất: y = ex (C1 cos x + C2 sin x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Tìm được nghiệm riêng: y ∗ = cos x − sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
3
6
∗
x
Nghiệm tổng quát: y = y + y = e (C1 cos x + C2 sin x) + cos x − sin x . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
Câu 5. (1,5đ) Tính bán kính hội tụ R = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Tìm được miền hội tụ X = (−2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tính được tổng S(x) =

4
(2−x)2


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 4
Câu 1. (2,0đ) 
− 1 y 2 + 2y − 1 x2 = 0
2
2
Tìm điểm dừng:
y 2 − 2y − xy + 2x = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ

Có 3 điểm dừng M1 (0, 0); M2 (−2, 2), M3 (2, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Vi phân cấp 2: A = −x,

B = −y + 2,

C = 2y − 2 − x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

2

Tại điểm M1 (0, 0) có AC − B = −4 < 0. Hàm không đạt cực trị tại M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Tại điểm M2 (−2, 2) có A = 2 > 0, AC − B 2 = 8 > 0. Hàm đạt cực tiểu tại M2 . . . . . . . . . . . . 0,25đ
1
4
Tại điểm M3 (2, 2) có AC − B 2 = 0, f (2, y) = (y − 2)3 + , hàm không đạt cực trị tại M3 . 0,25đ
3
3
Câu 2 (2,0đ) Giao của 2 mặt là đường tròn x2 + y 2 = 1, D = {(x, y) x2 + y 2 ≤ 1}. . . . . . . . . 0,5đ

(10 − 7x2 − 6y 2 − 3x2 − 4y 2 )dxdy = 10

Ta có V =
D

(1 − x2 − y 2 )dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
D

2π

Đổi biến sang tọa độ cực, V = 10

1

(1 − r2 )rdr = 5π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

dϕ
0

0

Câu 3. (2,0đ)
Sử dụng công thức Gauss-ôtrôgradsky đưa tích phân về I =

(2z − 1)dxdydz . . . . . . . . . 0,5đ
V

zdxdydz = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Tính được

V

Tính được

dxdydz =

−32π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3

V

−32π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
I=
3
*Chú ý: Nếu sinh viên làm theo tham số hóa ra kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu 4. (2,5đ)
a. y = 0 là một nghiệm của phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Đưa phương trình về dạng y + x1 y = x là phương trình tuyến tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . 0,25đ
Giải ra nghiệm: y = x1 (x3 /3 + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b. Tìm được nghiệm thuần nhất: y = e−2x (C1 cos x + C2 sin x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−3
3
Tìm được nghiệm riêng: y ∗ =
cos x + sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
3
3

∗
−2x
Nghiệm tổng quát: y = y + y = e (C1 cos x + C2 sin x) − cos x + sin x . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
Câu 5. (1,5đ) Tính bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Tìm được miền hội tụ X = (−3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tính được tổng S(x) =

3x
(3−x)2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu 1 a) (1,0đ) lim
+∞

un+1
= 0 ⇒ chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
un

2.2n

= 2e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
n!
n=0
−x
−y
z
b) (1,5đ) ux =
, uy =
, uz =
.. . . . . . . . . . . . 0,5đ
(x2 + y 2 − z 2 )3
(x2 + y 2 − z 2 )3
(x2 + y 2 − z 2 )3
Ta được

Ma trận các đạo hàm riêng của u tại M (1, 1, 1) là A = −1 −1 1 . Véctơ đơn vị chỉ phương
2 2 1
của M N là v = ( , , ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3 3 3
∂u
⇒
(M ) = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
∂v
Câu 2 (2,0đ) Lập hàm Lagrange F = 9−6x+12y +λ((x−1)2 +y 2 −5). Các điểm dừng M1 (2, −2)
ứng với λ = 3; M2 (−2, 2) ứng với λ = −3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Tại M1 , d2 F = 6dx2 + 6dy 2 , xác định dương, hàm đạt cực tiểu có điều kiện , f (M1 ) = −27. 0,5đ
Tương tự, tại M2 , hàm đạt cực đại có điều kiện và f (M2 ) = 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ







x = r cos ϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Câu 3. (2,0đ)Đổi biến trụ
2π

I=

2

dϕ
0

z=z

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

r≤z≤2

zr2 .rdz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
r
2

2

I = 2π






2

dr
0

0≤r≤2

y = r sin ϕ





dr

1 2 3
z r
2

(4r3 − r5 )dr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

=π
r
0

0


1
I = π r4 − r6
6

2

2
0

16
= π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3

Câu 4 (1,5đ)A(−1, 0), B(1, 0). Thêm AB (3x2 sin y + yx2 )dx + (x3 cos y − 3xy 2 )dy = 0, để thu được
tích phân đường lấy theo đường cong kín giới hạn miền D = {(x, y) | x2 + 3y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. 0,5đ
(−x2 − 3y 2 )dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Áp dụng định lý Green, I =
D

π

1
Đổi biến sang tọa độ cực ta được I = − √
3

1

π
r3 dr = − √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

4 3

dϕ
0

0

Câu 5 (2,0đ) Giải các phương trình vi phân
a. (1,0đ) Đây là phương trình toàn phần, chọn x0 = y0 = 0, nghiệm là 4x2 − 3xy − 2y 2 = c 1,0đ
Chú ý: dùng phương trình đẳng cấp cũng giải được.
b.(1,0đ) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = C1 ex + C2 e−x . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1
Nghiệm riêng Y = Cxe−x . Lấy đạo hàm cấp 2 và thay vào thu được C = . Nghiệm tổng quát
2
1 −x
x
−x
của pt y = C1 e + C2 e + xe , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2


ĐÁP ÁN ĐỀ 6
Câu 1 a) (1,5đ) lim
+∞

un+1
= 0 ⇒ chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ .
un

3.3n

= 3e3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
n!
n=0
x
−y
−z
b) (1đ) uz =
, uy =
, ux =
. . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(y 2 + z 2 − x2 )3
(z 2 + y 2 − x2 )3
(z 2 + y 2 − x2 )3
ta có

Ma trận các đạo hàm riêng của u tại M (1, 1, 1) là A = 1 −1 −1 . Véctơ đơn vị chỉ phương
1 2 2
∂u
của N M là v = ( , , ) ⇒
(M ) = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3 3 3
∂v
Câu 2 (2,0đ) Lập hàm Lagrange F = 7+12x−6y +λ(x2 +(y −1)2 −5). Các điểm dừng M1 (2, −2)
ứng với λ = −3; M2 (−2, 2) ứng với λ = −3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Tại M1 , d2 F = −6dx2 − 6dy 2 =, xác định âm, hàm đạt cực đại có điều kiện , f (M1 ) = 43. . 0,5đ
Tương tự, tại M2 , hàm đạt cực tiểu có điều kiện và f (M2 ) = −29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ





x
=
r
cos
ϕ



0 ≤ ϕ ≤ 2π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3. (2,0đ)Đổi biến trụ y = r sin ϕ
0≤r≤2





 2
z=z
r ≤z≤4
2π

I=

2

dϕ
0

4


dr
0

√

zr2 .rdz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

r2
2

2

I = 2π

dr

2 3 3
z2r
3

4
r2

4
= π
3
0

0


4
1
I = π 2r4 − r7
3
7

(8r3 − r6 )dr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

2
0

128
=
π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
7

1
1
Câu 4 (1,5đ)A(− √ , 0), B( √ , 0). Thêm AB (3x2 sin y + 3yx2 )dx + (x3 cos y − xy 2 )dy = 0, để thu
3
3
được tích phân trên đường cong kín giới hạn miền D = {(x, y) | 3x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}. . . . . 0,5đ
(−3x2 − y 2 )dxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Áp dụng định lý Green, I =
D

π


1
Đổi biến sang tọa độ cực ta được I = − √
3

1

π
r3 dr = − √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
4 3

dϕ
0

0

Câu 5 (2,0đ) Giải các phương trình vi phân
a. (1,0đ) Đây là phương trình toàn phần, chọn x0 = y0 = 0, nghiệm là x2 − 4xy + 2y 2 = c 1,0đ
Chú ý: dùng phương trình đẳng cấp cũng giải được.
b. (1,0đ)Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = C1 ex + C2 e−x . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1
Nghiệm riêng Y = Cxex . Lấy đạo hàm cấp 2 và thay vào thu được C = . Nghiệm tổng quát
2
1 x
x
−x
của pt y = C1 e + C2 e + xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2


ĐÁP ÁN ĐỀ 7

Câu 1 (1,5đ) a. zx (M ) = −

1
Fx
x
= , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
=
Fz
4z
2

Fy
y
= − = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Fz
z
4z 2 − x2
zxx =
=⇒ zxx (M ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
16z 3

u = (x2 + xy + y 2 + 2x + y)ex+y = 0
x
Câu 2 (2,0đ) Giải hệ
u = (x2 + xy + y 2 + x + 2y)ex+y = 0
zy (M ) = −

y

được 2 điểm dừng M1 (0, 0), M2 (−1, −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

A = uxx = (x2 + xy + y 2 + 4x + 2y + 2)ex+y
B = uxy = (x2 + xy + y 2 + 3x + 3y + 1)ex+y
C = uyy = (x2 + xy + y 2 + 2x + 4y + 2)ex+y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , A = 2, B = 1, C = 2 suy ra M1 là cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 ,A = −e−2 , B = −2e−2 , C = −e−2 , AC − B 2 < 0, M2 ko là cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3 (2,0đ) Đổi biến x =
2π

r
cos ϕ, y = r sin ϕ được 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2

1
r/2dr
√
dϕ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
4
−
r
0
0
√
= ... = π(2 − 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

viết I =

Câu 4 (2,0đ) Áp dụng công thức G-O: I =


V

2x y 2 + z 2 dxdydz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Đổi biến y = r cos ϕ, z = r sin ϕ, x = x với 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ x ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Viết I =

2π
0

dϕ

1
0

dr

1
r

2xr2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

= ... = 4π/15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 5 (2,5đ)
a. Ngiệm của phương trình thuần nhất ytn = c1 cos 2x + c2 sin 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = a cos x + b sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tính đc yr = 1/3 cos x, suy ra nghiệm tổng quát y = c1 cos 2x + c2 sin 2x + 1/3 cos x . . . . . . . 0,5đ
b. Đặt t = cos x, miền hội tụ là cos x = ±1 ⇔ x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
cos x
Tổng của chuỗi là

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1 − cos x


ĐÁP ÁN ĐỀ 8
Câu 1 (1,5đ) a. zx (M ) = −

Fx
x
= − = −1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Fz
z

Fy
1
y
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
=
Fz
4z
2
4z 2 − y 2
zyy =
=⇒ zyy (M ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
16z 3

u = (x2 − xy + y 2 + 2x − y)ex+y = 0
x
Câu 2 (2,0đ) Giải hệ
u = (x2 − xy + y 2 − x + 2y)ex+y = 0

zy (M ) = −

y

được 2 điểm dừng M1 (0, 0), M2 (−1, −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
A = uxx = (x2 − xy + y 2 + 4x − 2y + 2)ex+y
B = uxy = (x2 − xy + y 2 + x + y − 1)ex+y
C = uyy = (x2 − xy + y 2 − 2x + 4y + 2)ex+y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , A = 2, B = −1, C = 2 suy ra M1 là cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 ,A = e−2 , B = −2e−2 , C = e−2 , AC − B 2 < 0, M2 ko là cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3 (2,0đ) Đổi biến x = r cos ϕ, y =
2π

1

r
sin ϕ được 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2

r/2dr
√
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
4
+
r
0
0
√
= ... = π( 5 − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

viết I =

dϕ

Câu 4 (2,0đ) Áp dụng công thức G-O: I =

V

√
2y x2 + z 2 dxdydz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Đổi biến x = r cos ϕ, z = r sin ϕ, y = y với 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, r ≤ y ≤ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Viết I =

2π
0

dϕ

1
0

dr

1
r

2yr2 dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

= ... = 4π/15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 5 (2,5đ)
a. Ngiệm của phương trình thuần nhất ytn = c1 cos 3x + c2 sin 3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm riêng có dạng yr = a cos x + b sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tính đc yr = 1/8 sin x, suy ra nghiệm tổng quát y = c1 cos 3x + c2 sin 3x + 1/8 sin x . . . . . . . . 0,5đ
π
b. Đặt t = sin x, miền hội tụ là sin x = ±1 ⇔ x ∈ R \ { + kπ, k ∈ Z} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
sin x
Tổng của chuỗi là
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1 − sin x