Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 1 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 với điều kiện x2 + y 2 = 4.
Câu 2 (2,0đ) Tính thể tích của phần không gian hữu hạn được giới hạn bởi các mặt 4x2 + 4y 2 +
z 2 = 4 và 4x2 + 4y 2 + (z − 2)2 = 4.
x2 dydz + y 2 dxdz − z 2 dxdy với S là mặt ngoài của

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai
S

tứ diện xác định bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng x + y + z = a, a > 0.
Câu 4 (2,0đ) Giải phương trình vi phân x2 y − 3xy + 4y = x2 bằng cách đặt x = et .
Câu 5 (2,5đ)
∞

a) Xét sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số
n=2

√
3

(−1)n
.
n + (−1)n
(−1)n x2n+1
.
2n+1 (2n + 1)!
n=0 2
∞

b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 2 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 với điều kiện x2 + y 2 = 9.
Câu 2 (2,0đ) Tính thể tích của phần không gian hữu hạn được giới hạn bởi các mặt 9x2 + 9y 2 +
z 2 = 9 và 9x2 + 9y 2 + (z − 3)2 = 9.
x2 dydz − y 2 dxdz + z 2 dxdy với S là mặt ngoài của

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai
S


tứ diện xác định bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng x + y + z = a, a > 0.

Câu 4 (2,0đ) Giải phương trình vi phân x2 y + 5xy + 4y =

1
bằng cách đặt x = et .
x2

Câu 5 (2,5đ)
∞

a) Xét sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số
n=2

√
4

(−1)n
.
n + (−1)n
(−1)n x2n+1
.
2n+1 (2n + 1)!
n=0 3
∞

b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa



Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 3 K58

Thời gian làm bài: 90 phút
Không sử dụng tài liệu


(x2 + y 2 ) sin2 2 1 2
nếu (x, y) = (0, 0)
x +y
Câu 1 (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) =
.

0
nếu (x, y) = (0, 0)
Bộ môn Toán

a) Chứng minh hàm số khả vi tại (0, 0).
b) Hỏi hàm fx (x, y) có liên tục tại (0, 0) không?
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số u(x, y) = 3x4 − 6x2 y − 4x3 + 12xy − 3y 2 .
(x + yz)dydz + (2y + x2 + z 2 )dzdx + dxdy với S là

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân mặt loại hai
mặt ngoài của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4.

S


Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (y − xy 2 )dx + xdy = 0.
b) y + 4y + 3y = 2ex .
∞

Câu 5 (1,5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=1

Trường Đại Học Xây Dựng

x2n
.
n.3n

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 4 K58

Thời gian làm bài: 90 phút
Không sử dụng tài liệu


(x2 + y 2 ) cos2 2 1 2
nếu (x, y) = (0, 0)
x +y
Câu 1 (1,5đ) Cho hàm số f (x, y) =
.

0
nếu (x, y) = (0, 0)

Bộ môn Toán

a) Chứng minh hàm số khả vi tại (0, 0).
b) Hỏi hàm fx (x, y) có liên tục tại (0, 0) không?
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số u(x, y) = 3x4 − 6x2 y − 8x3 + 24xy − 3y 2 .
(3x + y 2 − 2z)dydz + dzdx + 3zdxdy với S là mặt

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân mặt loại hai
ngoài của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 9.

S

Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (y − xy 3 )dx + xdy = 0.
b) y − 3y + 2y = 2e−x
∞

Câu 5 (1,5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=1

x3n
.
n.4n


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 5 K58


Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (1,5đ) Cho A(2, 0 và B(0, 2) và đường tròn C : x2 + y 2 = 1. Tìm trên C điểm M sao cho
M A + M B đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2,0đ) Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = 1 − 9x2 − 4y 2 và mặt phẳng
tọa độ z = 0.
x
y
+ 1 dx + 2
dy với L là một cung
2
+y
x + y2
L
của đường tròn (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 nằm phía trên đường thẳng x + y = 1 nối A(1, 0) với
Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai

x2

B(0, 1).
Câu 4 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) ydx + 2(x + y + 1)dy = 0.
b) y − 4y = x2 .
∞


Câu 5 (2,0đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=1

n(x − 1)n
.
3n

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 6 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (1,5đ) Cho A(−2, 0 và B(0, −2) và đường tròn C : x2 + y 2 = 1. Tìm trên C điểm M sao
cho M A + M B đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2,0đ) Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = 1 − 4x2 − 9y 2 và mặt phẳng
tọa độ z = 0.
x
y
dx + 2
+ 1 dy với L là một cung
2
+y
x + y2

L
của đường tròn (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1 nằm phía trên đường thẳng y − x = 1 nối A(0, 1) với điểm
Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai

x2

B(−1, 0).
Câu 4 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) 2(x + y + 1)dx + xdy = 0.
b) y − y = 2x2 .
∞

Câu 5 (2,0đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=1

n(x + 1)n
.
2n


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 7 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút


Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (3,0đ)
 3
x + y3


a) Cho hàm số f (x, y) = 2x + y

 0

nếu 2x + y = 0
. Chứng minh hàm số f (x, y) tồn tại các
nếu 2x + y = 0

đạo hàm riêng cấp 1 tại (0; 0) nhưng không liên tục tại đó.
b) Tìm cực trị của hàm số u = 4x3 − 12x2 y − 36xy 2 + 81y 4 .
y
x
x. arctan dx + y.arccot dy với L là đường gấp
y
x

Câu 2 (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai
L

khúc ABC lấy theo chiều lần lượt từ đỉnh A(−1, 1), B(−2, 1), C(−2, 2).
(x + z) dydz + yz 2 (x + z) dxdz + x2 z dxdy, với S là mặt ngoài

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân mặt

S

y2 z2
của elipxôit x2 +
+
= 1.
4
9
Câu 4 (2,0đ) Giải phương trình vi phân y − 5y + 6y = 2ex .
+∞
n!
Câu 5 (2,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
(x − 2)n .
n
n
3
.n
n=1
Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 8 K58

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu


Câu 1 (3,0đ)
 3
x + y3


a) Cho hàm số f (x, y) = x + 2y

 0

nếu x + 2y = 0
. Chứng minh hàm số f (x, y) tồn tại các
nếu x + 2y = 0

đạo hàm riêng cấp 1 tại (0; 0) nhưng không liên tục tại đó.
b) Tìm cực trị của hàm số u = 81x4 − 36x2 y − 12xy 2 + 4y 3 .
x
y
x.arccot dx + y. arctan dy với L là đường gấp
y
x

Câu 2 (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai
L

khúc ABC lấy theo chiều lần lượt từ đỉnh A(1, 1), B(2, 1), C(2, 2).
x4 ydydz + (yz 2 + 2yz)dxdz + (xy 2 − z) dxdy, với S là mặt

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân mặt
S


y2 z2
ngoài của elipxôit x2 +
+
= 1.
9
4
Câu 4 (2,0đ) Giải phương trình vi phân y − 4y + 3y = −e2x .
+∞ n
2 .n!
Câu 5 (2,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
(x + 1)n .
n
n
n=1


ĐÁP ÁN ĐỀ 1




Φx = 2x − 2 + 2λx = 0



Câu 1 (2,0đ) Xét Φ(x, y) = x2 +y 2 −2x−2y +1+λ(x2 +y 2 −4). Suy ra
Φy = 2y − 2 + 2λy = 0 .






 x2 + y 2 − 4 = 0
√
√
√ √
√
√
Suy ra M ( 2, 2) với λ = 1−2 2 và N (− 2, − 2) với λ = −1−2 2 .
√
√ √
• d2 Φ(M ) = (3 − 2)(dx2 + dy 2 ) xác định dương. Suy ra M ( 2, 2) là điểm cực tiểu, fCT =
√
5 − 4 2.
√
√
√
√
• d2 Φ(N ) = (1− 2)(dx2 +dy 2 ) xác định âm. Suy ra N (− 2, − 2) là điểm cực đại, fCĐ = 5+4 2.
3
Câu 2 (2,0đ) Thể tích V = 2
2 1 − x2 − y 2 dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ . Chuyển sang tọa độ
4
D
√

cực: V = 2

2π
0


3
2

dϕ

√
2 1 − r2 rdr =

0

√ √
8( 8−1)π
.
3

Câu 3 (2,0đ) Sử dụng định lý Gauss-Oxtrogradsky, ta thu được I = 2
2

a
0

dx

a−y
0

dy

a−x−y

(x
0

+ y − z)dz =

V

(x + y − z)dxdydz =

a3
.
12

Câu 4 (2,0đ) Sử dụng phép đổi biến x = et đưa phương trình đã cho về dạng y − 4y + 4y = e2t .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là y(x) = 21 x2 ln2 x + x2 (C1 + C2 ln x).
∞
(−1)n
√
n=2 3 n+(−1)n

Câu 5 (2,0đ) a) Ta có

hội tụ tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi

√
∞ (−1)n 3 n−1
√
.
3 2
n=2

n −1

=
∞
n=2

√
3

1

n2 − 1

là chuỗi đan dấu

phân kỳ. Do đó, chuỗi ban đầu phân kỳ.

∞
(−1)n x2n+1
n=0 22n+1 (2n+1)!

b) Miền hội tụ của chuỗi là R và

√
∞ (−1)n 3 n
√
n=2 3 n2 −1

Chuỗi


= sin x2 .

ĐÁP ÁN ĐỀ 2




Φx = 2x − 2 + 2λx = 0



Câu 1(2,0đ) Xét Φ(x, y) = x2 +y 2 −2x−2y +1+λ(x2 +y 2 −9). Suy ra
Φy = 2y − 2 + 2λy = 0 .






x2 + y 2 − 9 = 0
Suy ra M ( √32 , √32 ) với λ =
• d2 Φ(M ) =
• d2 Φ(N ) =

√

2
3

− 1 và N (− √32 , − √32 ) với λ =


√
− 2
3

− 1.

√
2 2
(dx2 + dy 2 ) xác định dương. Suy ra M ( √32 , √32 )) là điểm cực tiểu,
3
√
−2 2
(dx2 + dy 2 ) xác định âm. Suy ra N (− √32 , − √32 )) là điểm cực đại,
3

√

fCT = 10 −
fCĐ = 10 +

6
.
2
√
6
.
2

3

Câu 2 (2,0đ) Thể tích V = 2 D 3 1 − x2 − y 2 dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ . Chuyển sang tọa độ
4
√
√ √
√
3
2π
2
2
cực: V = 2 0 dϕ 0 3 1 − r rdr = π 2( 8 − 1).
Câu 3(2,0đ) Sử dụng định lý Gauss-Oxtrogradsky, ta thu được I = 2
2

a
0

dx

a−y
0

dy

a−x−y
(x
0

− y + z)dz =

a3

12

V

(x − y + z)dxdydz =

.

Câu 4(2,0đ) Sử dụng phép đổi biến x = et đưa phương trình đã cho về dạng y + 4y + 4y = e−2t .
Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu là y(x) =

1 1
2 x2

ln2 x +

√
∞ (−1)n 4 n−1
(−1)n
√
√
. Chuỗi
Câu 5(2,0đ) a) Ta có ∞
=
4
4
n
n=2
n=2
n+(−1)

n2 −1
√ 1
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi ∞
n=2 4 n2 −1 phân kỳ. Do
(−1)n x2n+1
x
b) Miền hội tụ của chuỗi là R và ∞
n=0 32n+1 (2n+1)! = sin 3 .

1
(C1
x2

+ C2 ln x).

√
∞ (−1)n 4 n
√
4
n=2
n2 −1

là chuỗi đan dấu

đó, chuỗi ban đầu phân kỳ.


ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1 (2,0đ) a) fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. Từ đó chứng minh f khả vi tại (0, 0).



2x. sin 2 1 2 − 22x 2 . cos 2 1 2 nếu (x, y) = 0
x +y
x +y
x +y
b) f x (x, y) =
. Từ đó chứng minh fx không

0
nếu (x, y) = 0
liên tục tại (0, 0).


ux = 12(x − 1)(x2 − y) = 0
, suy ra M1 (0, 0), M2 (1, 1).
Câu 2 (2,0đ) a) Tìm điểm đừng:

u = −6x2 + 12x − 6y = 0
y


0 12
 không xác định dấu. Suy ra M1 (0, 0) không là cực trị.
• Tại M1 (0, 0), A = 
12 −6


0 0
 có det A = 0. Ta có f (x) = u(x, 1) = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x −
• Tại M2 (1, 1), A = 

0 −6
2
3; f (x) = 12(x − 1) (x + 1). Suy ra f (x) không đạt cực trị tại x = 1. Vậy hàm u(x, y) không đạt
cực trị tại M2 (1, 1).
Câu 3 (2,0đ) Sử dụng công thức Gauss – Ôtrôgradsky từ đó suy ra I = 3V = 32π.
Câu 4 (3,0đ) a) Đưa về phương trình Becnuli y + x1 y = y 2 . Nghiệm tổng quát là y =

1
.
x(C−ln |x|)

b) Nghiệm tổng quát y = C1 e−x + C2 e−3x + 41 ex
√ √
2
Câu 5 (2,0đ) Đặt t = x3 . Suy ra miền hội tụ − 3, 3 . Tổng của chuỗi là S(x) = ln 1 −

x2
3

.

ĐÁP ÁN ĐỀ 4
Câu 1 (2,0đ) a) fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. Từ đó chứng minh f khả vi tại (0, 0).


2y.cos 2 1 2 + 22y 2 .sin 2 1 2 nếu (x, y) = 0
x +y
x +y
x +y
b) f x (x, y) =

. Từ đó chứng minh fx không

0
nếu (x, y) = 0
liên tục tại (0, 0).


ux = 12(x − 2)(x2 − y) = 0
Câu 2 (2,0đ) a) Tìm điểm đừng:
, suy ra M1 (0, 0), M2 (2, 4).

u = −6x2 + 24x − 6y = 0
y


0 24
 không xác định dấu. Suy ra M1 (0, 0) không là cực trị.
• Tại M1 (0, 0), A = 
24 −6


0 0
 có det A = 0. Ta có f (x) = u(x, 4) = 3x4 − 8x3 − 24x2 + 96x −
• Tại M2 (2, 4), A = 
0 −6
48; f (x) = 12(x − 2)2 (x + 2). Suy ra f (x) không đạt cực trị tại x = 2. Vậy hàm u(x, y) không đạt
cực trị tại M2 (2, 4).
Câu 3 (2,0đ) Sử dụng công thức Gauss – Ôtrôgradsky từ đó suy ra I = 6V = 216π.
Câu 4 (3,0đ) a) Đưa về phương trình Becnuli y + x1 y = y 3 . Nghiệm tổng quát là


1
y2

=

1
x2

2
x

+C .

b) Nghiệm tổng quát y = C1 ex + C2 e3x + 13 ex
Câu 5 (2,0đ) Đặt t =

x3

√ √
. Suy ra miền hội tụ − 3 4, 3 4 . Tổng của chuỗi là S(x) = ln 1 −

x3

.


ĐÁP ÁN ĐỀ 5
√
√
2

2
Câu 1 (2,0đ) Gọi M (x, y) ∈ C, ta cóf (x, y) = M A+M
B = 5 − 4x+ 5 − 4y, với x, y : x +y = 1.

−2


Φx = √5−4x
+ 2λx = 0



√ √
√
√
2
2
Φ(x, y) = 5 − 4x+ 5 − 4y +λ(x2 +y 2 −1). Suy ra
√ −2 + 2λy = 0 . Suy ra M ( 2 , 2 )
Φ
=
x
5−4y





 x2 + y 2 − 1 = 0
√


√

với λ = √ −2 √ và M ( −2 2 , −2 2 ) với λ = √ 2 √ .
10− 2
10− 2
√ √
√
√
√ √
√
√
2
2
− 2 − 2
Ta có f ( 2 , 2 ) = 2 5 − 2 2 và f ( 2 , 2 ) = 2 5 + 2 2. Vậy M ( 22 , 22 ) thì M A + M B min.
(1 − 9x2 − 4y 2 )dxdy, với D : 9x2 + 4y 2 ≤ 1. Tọa độ cực mở rộng

Câu 2 (2,0đ) Thể tích V =
D

x = 31 rcosϕ, y = 12 rsinϕ, J = 6r , 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Suy ra V =
Câu 3 (2,0đ) Vì Qx =

−2xy
x2 +y 2

π
.
12


= Py nên tích phân không phụ thuộc đường đi. Chọn cung của

đường tròn x2 + y 2 = 1, nối A, B. Chọn tham số hóa x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤

π
,
2

ta được

I = −1.
Câu 4 (3,0đ) a) Nhân hai vế của phương trình với thừa số tích phân µ = y, ta được phương
3

trình vi phân toàn phần. Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (x + 1)y 2 + 2 y3 = C.
b) Nghiệm tổng quát y = C1 e2x + C2 e−2x +
Câu 5 (2,0đ) Đặt t =

x−1
.
3

−x2
4

− 18 .

Suy ra miền hội tụ (−2, 4). Tổng của chuỗi là S(x) =


3(x−1)
.
(x−4)2

ĐÁP ÁN ĐỀ 6
√
√
Câu 1 (2,0đ) Gọi M (x, y) ∈ C, ta cóf (x, y) = M A+M
B
=
5
+
4x+
5 + 4y, với x, y : x2 +y 2 = 1.


2


Φx = √5+4x
+ 2λx = 0



√ √
√
√
2
2
Φ(x, y) = 5 + 4x+ 5 + 4y +λ(x2 +y 2 −1). Suy ra

.
Suy
ra
M
(
, 22 )
√
Φx = 5+4y + 2λy = 0
2





 x2 + y 2 − 1 = 0
với λ = √
Ta có

2

√
10− 2
√ √
f ( 22 , 22 )

√

√

và M ( −2 2 , −2 2 ) với λ = √ −2 √ .

10− 2
√
√
√
√
√
√
− 2 − 2
= 2 5 + 2 2 và f ( 2 , 2 ) = 2 5 − 2 2. Vậy N ( −2 2 , −2 2 ) thì M A+M B min.
(1 − 4x2 − 9y 2 )dxdy, với D : 4x2 + 9y 2 ≤ 1. Tọa độ cực mở rộng

Câu 2 (2,0đ) Thể tích V =
D

x = 21 rcosϕ, y = 13 rsinϕ, J = 6r , 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Suy ra V =
Câu 3 (2,0đ) Vì Qx =

−2xy
x2 +y 2

π
.
12

= Py nên tích phân không phụ thuộc đường đi. Chọn cung của

đường tròn x2 + y 2 = 1, nối A, B. Chọn tham số hóa x = cos t, y = sin t, π2 ≤ t ≤ π, ta được
I = −1.
Câu 4 (3,0đ) a) Nhân hai vế của phương trình với thừa số tích phân µ = x, ta được phương
3


trình vi phân toàn phần. Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là (y + 1)x2 + 2 x3 = C.
b) Nghiệm tổng quát y = C1 ex + C2 e−x − 2x2 − 4.
Câu 5 (2,0đ) Đặt t =

x+1
.
2

Suy ra miền hội tụ (−3, 1). Tổng của chuỗi là S(x) =

2(x+1)
.
(x−1)2


ĐÁP ÁN ĐỀ 7
∂f
1
∂f
1 2 n→+∞
(0, 0) = 0;
(0, 0) = 0. Xét dãy điểm (xn ; yn ) = ( 3 − ; ) −−−−→ (0; 0). Ta
∂x
∂y
n
n n
7
có, lim f (xn , yn ) = = 0 = f (0, 0). Suy ra f (x, y) gián đoạn tại (0; 0).
n→+∞

2


(x + y)(x − 3y) = 0
5
5
. Suy ra M1 (0, 0), M2 (3, 1), M3 ( 27
b) Điểm dừng:
, − 27
).

x2 + 6xy − 27y 3 = 0
Câu 1 (2,0đ) a)

• Hàm số không đạt cực trị tại M1
• Hàm số đạt cực tiểu tại M2 , M3 .
Câu 2 (2,0đ) Ta có,

∂Q
(x, y)
∂x

−

∂P
(x, y)
∂y

= 1. Đặt L = L ∪ CA. Áp dụng Định lý Green,


x arctan xy dx+y arccot xy dy = −S∆ABC = − 12 . Suy ra, I = − 12 − CA x arctan xy dx+y arccot xy dy =
2 + 3π
−
.
4
Câu 3 (2,0đ) Áp dụng định lí Gauss-Ôxtrôgradxki và do tính chất đối xứng, ta có I =
(1 +
V
4
dxdydz +
x2 dxdydz = .π.2.3.1 +
(1 + x2 )dxdydz =
z 2 (x + z) + x2 )dxdydz =
V
V
V
3
1
1
48π
2
2
2
x dx S(x) dydz = 8π + −1 x · 6π(1 − x ) dx = 5 . (S(x) là thiết diện ⊥ với Ox có diện
−1
L

tích bằng 6π(1 − x2 )).
Câu 4 (3,0đ) y = ex + C1 e2x + C2 e3x .
Câu 5 (2,0đ) Đặt t =


x−2
.
3

Miền hội tụ của chuỗi đã cho là (−3e + 2; 3e + 2).
ĐÁP ÁN ĐỀ 8

∂f
∂f
2 1
1 n→+∞
(0, 0) = 0;
(0, 0) = 0. Xét dãy điểm (xn ; yn ) = ( ; 3 − ) −−−−→ (0; 0). Ta
∂x
∂y
n n
n
7
có, lim f (xn , yn ) = − = f (0, 0) = 0. Suy ra f (x, y) gián đoạn tại (0; 0).
n→+∞
 2


27x3 − 6xy + y 2 = 0
5
5
b) Điểm dừng:
. Suy ra M1 (0, 0), M2 (1, 3), M3 ( 27
, − 27

).

(x + y)(y − 3x) = 0
Câu 1 (2,0đ) a)

• Hàm số không đạt cực trị tại M1 và đạt cực tiểu tại M2 , M3 .
• Hàm số không đạt cực trị tại M1 và đạt cực tiểu tại M2 , M3 .
Câu 2 (2,0đ) Ta có,
L

∂Q
(x, y)
∂x

−

∂P
(x, y)
∂y

= −1. Đặt L = L ∪ CA. Áp dụng Định lý Green,

x arccot xy dx + y arctan xy dy = S∆ABC = 12 .

Suy ra,

L

x arccot xy dx + y arctan xy dy =


1
2

−

CA

x arccot xy dx + y arctan xy dy =

2+3π
.
4

Câu 3 (2,0đ) Áp dụng định lí Gauss-Ôxtrôgradxki và do tính chất đối xứng, ta có I =
z 2 + 2z − 1) dxdydz =
1
−1

V

(z 2 − 1) dxdydz = −

V

dxdydz +

1
−1

z 2 dz


S(z)

e
e
Câu 5 (3,0đ) Đặt t = 2(x + 1). Miền hội tụ của chuỗi: (− − 1; − − 1).
2
2

(4x3 y+

dxdy = − 43 .π.3.2.1 +

z 2 · 6π(1 − z 2 ) dz = − 32π
. (S(z) là thiết diện ⊥ với Oz có diện tích bằng 6π(1 − z 2 )).
5

Câu 4 (3,0đ) y = e2x + C1 ex + C2 e3x .

V