Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 1 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm). Cho dãy số thực xn =
Câu 2 (3,0điểm).

n + arctan n
, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
n − arctan n

2

xex − sin x
1) Tính giới hạn lim
.
x→0 x sin(x2 )
2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f(x) = x sin(x2 ) đến x7 .
t2


x(t) =

(t − 1)(t − 2) .
Câu 3 (2,0điểm). Tìm các đường tiệm cận của đường cong

t

y(t) =
2
t −1
+∞

xdx
.
x3 − 1

Câu 4 (2,0điểm). Tính tích phân suy rộng
2

Câu 5 (1,0điểm). Tính độ dài đường cong có phương trình tham số
y(t) = sin3 t với

x(t) = cos3 t,

0 ≤ t ≤ 2π.

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 2 K60


Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm). Cho dãy số thực xn =
Câu 2 (3,0điểm).

n − arccot n
, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
n + arccot n

2

xex − tan x
.
x→0 x(cos x − 1)
2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f(x) = x(cos x − 1) đến x7 .
t


x(t) =
(t + 1)(t + 2) .
Câu 3 (2,0điểm). Tìm các đường tiệm cận của đường cong

t2

y(t) =

t2 − 4
1) Tính giới hạn

lim

+∞

xdx
.
x3 + 1

Câu 4 (2,0điểm). Tính tích phân suy rộng
1

Câu 5 (1,0điểm). Tính độ dài đường cong có phương trình tham số
x(t) = t − sin t,

y(t) = 1 − cos t với 0 ≤ t ≤ 2π.


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 3 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút


Không sử dụng tài liệu

√
√
Câu 1 (2,0điểm). Tính lim (sin( n + 1) − sin( n)).
n→∞

Câu 2 (2,0điểm). Tính lim

x→0

2 arcsin x − sin(2x)
.
x3

Câu 3 (3,0điểm).
1) Viết khai triển Maclaurin
với phần dư Peano của hàm số f (x) = ln(1 + x) đến x4 .

2

 ln(1 + x) − ax − bx
với x ∈ (−1, +∞) \ {0}
x2
2) Cho hàm số f (x) =
.

0
với x = 0
Tìm a, b để f (x) khả vi tại x = 0.

+∞

arctan xdx
.
(1 + x)2

Câu 4 (2,0điểm). Khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng
1

Câu 5 (1,0điểm). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền
D = {(x; y)|1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln x} quanh trục Oy .

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 4 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

√
√
Câu 1 (2,0điểm). Tính lim (cos( n + 1) − cos( n)).
n→+∞

2 arctan x − tan(2x)

.
x→0
x3

Câu 2 (2,0điểm). Tính lim
Câu 3 (3,0điểm).

√
1) Viết khai triển Maclaurin
của hàm số f (x) = 1 + x đến x3 .
 √ với phần dư Peano
2

 1 + x − 1 − ax − bx
với x ∈ (−1, +∞) \ {0}
x2
2) Cho hàm số f (x) =
.

0
với x = 0
Tìm a, b để f (x) khả vi tại x = 0.
+∞

arccot xdx
.
(1 + x)2

Câu 4 (2,0điểm). Khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng
1


Câu 5 (1,0điểm). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền
D = {(x; y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex − 1} quanh trục Oy.


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 5 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm).
√
1) Cho dãy số xn = n 2016n + 1, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
ex cos x − 1 − x
2) Tính lim
.
x→0
x2 e x
Câu 2 (2,0điểm). Tìm a ∈ R sao cho hàm số f (x) = |x − 2016| sin(ax) khả vi tại x = 2016.
Câu 3 (2,0điểm). Cho hàm số f (x) = ln(2x − x2 ).
1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp 6 của hàm số f (x) tại x = 1.
2) Tính f (6) (1).

Câu 4 (2,0điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x −

1
.
2x2

Câu 5 (2,0điểm). Tính các tích phân:
1

1) I =

+∞

dx
.
(x + 1) (x − 2)

2) J =

arcsin xdx;
0

3

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 6 K60


Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0điểm).
√
1) Cho dãy số xn = n 2016n − 1, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
ex − 1 − x cos x
2) Tính lim
.
x→0
x2 cos x
Câu 2 (2,0điểm). Tìm a ∈ R sao cho hàm số f (x) = |x − 2016| cos(ax) khả vi tại x = 2016.
2

Câu 3 (2,0điểm). Cho hàm số f (x) = e2x−x .
1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp 6 của hàm số f (x) tại x = 1.
2) Tính f (6) (1).
Câu 4 (2,0điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x +
Câu 5 (2,0điểm). Tính các tích phân:
1

1) I =

+∞

arccos xdx;

0

dx
.
(x − 1) (x + 2)

2) J =
2

1
.
2x2


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 7 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (3,0điểm).
√
n


2n + 1 + sin n, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
sin x + ex − 1 − 2x
2) Tính giới hạn lim
.
x→0
x ln(1 + 2x)
Câu 2 (2,0điểm). Cho hàm số f (x) = |x| sin x.
1) Cho dãy số xn =

1) Chứng minh rằng hàm số khả vi với mọi x thuộc R.
2) Hàm số f có khả vi cấp 2 tại điểm x = 0 hay không? Hãy giải thích.
Câu 3 (2,0điểm). Tính đạo hàm cấp 10 tại điểm 0 của f (x) = (1 + x2 ) cos(x4 ).
+∞
dx
Câu 4 (2,0điểm). Chứng minh rằng tích phân suy rộng Ik =
hội tụ với
2
(1 + x )(1 + xk )
1
mọi tham số k ∈ R. Tính tích phân với giá trị k = 1.
2

f (x)dx = −2. Chứng minh

Câu 5 (1,0điểm). Cho hàm số f liên tục trên [0; 2] thỏa mãn
0

rằng tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho f (c) = −1.


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1

Đề số 8 K60

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài: 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (3,0điểm).
√
n

3n + 1 + cos n, n ∈ N∗ . Tìm lim xn .
n→∞
cos x + ex − 2 − x
2) Tính giới hạn lim
.
x→0
x ln(1 + 2x2 )
Câu 2 (2,0điểm). Cho hàm số f (x) = |x|(ex − 1).
1) Cho dãy số xn =

1) Chứng minh rằng hàm số khả vi với mọi x thuộc R.
2) Hàm số f có khả vi cấp 2 tại điểm x = 0 hay không? Hãy giải thích.
Câu 3 (2,0điểm). Tính đạo hàm cấp 10 tại điểm 0 của f (x) = (1 + x) sin(x3 ).
+∞

dx
Câu 4 (2,0điểm). Chứng minh rằng tích phân suy rộng Ik =
hội tụ với
k
(1 + x )(1 + x)
1
mọi tham số k > 0. Tính tích phân với giá trị k = 2.
2

Câu 5 (1,0điểm). Cho hàm số f liên tục trên [0; 2] thỏa mãn

f (x)dx = 2. Chứng minh rằng
0

tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho f (c) = 1.


ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu 1 (2đ) Biến đổi xn =

1+
1−

arctan n
n
arctan n
n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


arctan n
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
n
Giới hạn bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
chứng minh lim

2

2

xex − sin x
xex − sin x
Câu 2 (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim
=
lim
.............
x→0
x→0
x sin x2
x3
3
x(1 + x2 + o(x2 )) − (x − x6 + o(x3 ))
Dùng khai triển Maclaurin = lim
...................
x→0
x3
7/6x3 + o(x3 )
= lim
......................................................................
x→0

x3
= 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

2) Ta có sin(x2 ) = x2 − x6 /3! + o(x6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Suy ra f (x) = x3 − x7 /3! + o(x7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 3 (2đ) Khi t → 2, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = 2/3 ⇒ TCN y = 2/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Khi t → −1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Khi t → 1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
lim[y(t) + 1/2x(t)] = −5/4 ⇒ TCX y = −x/2 − 5/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x
1 1
−x + 1
=
(
+
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x3 − 1
3 x − 1 x2 + x + 1
2
xdx
1
(x − 1)
1
2x + 1

√
√
=
ln
+
arctan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x3 − 1
6 x2 + x + 1
3
3

Câu 4 (2đ)
⇒

+∞

π
1 1
1
5
xdx
= √ − ln − √ arctan √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3
x −1
2 3 6 7
3
3

Do đó

2

Câu 5 (1đ) Độ dài cần tìm bằng 4 lần độ dài của phần nằm trong góc phần tư (I). Suy ra
l=4
=6

π/2
x (t)2
0
π/2
sin 2tdt
0

+ y (t)2 dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Tính độ dài bằng 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.


ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1 (2đ) Biến đổi xn =

1−
1+

arccot n
n
arccot n
n


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

arccot n
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
n
Giới hạn bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
chứng minh lim

2

2

xex − tan x
xex − tan x
Câu 2 (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim
= lim
. . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0 x(cos x − 1)
x→0
−x3 /2
x3
x(1 + x2 + o(x2 )) − (x +
+ o(x3 ))
3
Dùng khai triển Maclaurin = lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
−x3
x→0


3

2

3

2/3x + o(x )
= lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0
−x3 /2
4
= − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3
2) Ta có cos x − 1 = x2 /2! − x4 /4! + x6 /6! + o(x6 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Suy ra f (x) = x3 /2! − x5 /4! + x7 /6! + o(x7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 3 (2đ) Khi t → −1, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = −1/3 ⇒ TCN y = −1/3 . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Khi t → 2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Khi t → −2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
lim[y(t) + 1/2x(t)] = 5/4 ⇒ TCX y = −x/2 + 5/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x
−1 1
x+1
=
(
− 2
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
+1
3 x+1 x −x+1

1
(x + 1)2
1
xdx
2x − 1
=
−
ln
+ √ arctan √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
3
2
x +1
6 x −x+1
3
3

Câu 4 (2đ)
⇒

x3

+∞

xdx
π
1 1
= √ − ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3
x +1
3 3 6 4


Do đó
1

Câu 5 (2đ) Độ dài cần tìm bằng l =
Suy ra l =
=

2π
0

2π
0

2π
0

x (t)2 + y (t)2 dt

2(1 − cos t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

2 sin(t/2)dt

Tính độ dài bằng 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

‘ Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.


ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1

√
√
• un = sin( n + 1) − sin( n) = 2 cos
• |un | ≤ 2 sin

√

n+1+
2

√

n

sin

1
√
√ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
2( n + 1 + n)

1
√
√ → 0 khi n → ∞. Suy ra lim un = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
n→∞
2( n + 1 + n)

Câu 2 Sử dụng quy tắc L’Hospital
2(1 − x2 )−1/2 − 2 cos 2x
• I =L lim

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
x→0
3x2
2x(1 − x2 )−3/2 + 4 sin 2x
1
2 sin 2x
5
• =L lim
= + lim
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
x→0
6x
3 x→0 3x
3
Câu 3
• ln(1 + x) = x − x2 /2 + x3 /3 − x4 /4 + o(x4 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (x) − f (0)
ln(1 + x) − ax − bx2
• f (0) = lim
= lim
......................................
x→0
x→0
x 3− 0
x3
3
2
(1 − a)x − ( 12 + b)x2 + x3 + o(x3 )
x − x2 + x3 − ax − bx2 + o(x3 )
= lim

............
• = lim
x→0
x→0
x3
x3
Điều kiện tồn tại giới hạn trên là a = 1, b = − 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 4

0,5đ
1,0đ
0,5đ

+∞

+∞

+∞
1
arctan x
dx
.....................
=−
+
2
x+1
x+1 1
1
1 (x + 1)(x + 1)

π 1 +∞
x−1
1
•= +
− 2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2 1
x+1 x +1
+∞
π 1
x+1
= +
ln √
+ arctan x
.....................................................
8 2
x2 + 1
1
π ln 2
. ..............................................................................
= −
4
4

• I=−

1,0đ

arctan xd


0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Câu 5
e

• V = 2π

x ln xdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1

e

e

ln xd(x2 ) = π x2 ln x|e1 −

=π
1

xdx
1

=

π(e2 + 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2


Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.


ĐÁP ÁN ĐỀ 4
Câu 1
√
√
• un = cos( n + 1) − cos( n) = −2 sin
• |un | ≤ 2 sin

√

n+1+
2

√
n

sin

1
√
√ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
2( n + 1 + n)

1
√
√ → 0 khi n → ∞. Suy ra lim un = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
n→∞

2( n + 1 + n)

Câu 2 Sử dụng quy tắc L’Hospital
2(1 + x2 )−1 − 2(cos 2x)−2
• I =L lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
x→0
3x2
2
4 sin 2x
10
−4x(1 + x2 )−2 − 8 sin 2x cos−3 (2x)
= − − lim
= − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
• =L lim
x→0
6x
3 x→0 3x
3
Câu 3
√
• 1 + x = 1 + x/2 − x2 /8 + x3 /16 + o(x3 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
f (x) − f (0)
x + 1 − 1 − ax − bx2
• f (0) = lim
= lim
....................................
x→0
x→0

x−0
x3
3
1 3
( 21 − a)x − ( 18 + b)x2 + x16 + o(x3 )
1 + 12 x − 18 x2 + 16
x − 1 − ax − bx2 + o(x3 )
= lim
• = lim
x→0
x→0
x3
x3
1
1
Điều kiện tồn tại giới hạn trên là a = 2 , b = − 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 4

0,5đ
1,0đ
0,5đ

+∞

+∞

+∞
1
dx

arccot x
−
......................
=−
2
x+1
x+1 1
1
1 (x + 1)(x + 1)
π 1 +∞
x−1
1
•= −
− 2
dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2 1
x+1 x +1
+∞
π 1
x+1
= −
ln √
+ arctan x
....................................................
8 2
x2 + 1
1
ln 2
=
. ...................................................................................

4

• I=−

1,0đ

arccot xd

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Câu 5
1

x(ex − 1)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

• V = 2π
0

1

1

xd(ex ) = −π + 2π(xex |10 −

• = −π + 2π
0


ex dx) = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
0

Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.


ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu 1. (2đ)
1) lim xn = lim 2016 n 1 + (1/2016)n = 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ex cos x − 1 − x
ex cos x − 1 − x
2) Biến đổi lim
=
lim
.....................................
x→0
x→0
x2 ex
x2 x
x
e cos x − e sin x − 1
Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim
................................
x→0
2x
ex (cos x − sin x − sin x − cos x)
=L lim
= 0 ................................................
x→0
2

Câu 2. (2đ)

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

f+ (2016) = sin 2016a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
f− (2016) = − sin 2016a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Hàm số khả vi tai x = 2016 khi và chỉ khi f+ (2016) = f− (2016) ⇔ sin 2016a = 0 . . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm được a = kπ/2016, k ∈ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 3. (2đ)
1) f (x) = ln(1 − (x − 1)2 ) = −(x − 1)2 + (x − 1)4 /2 − (x − 1)6 /3 + o((x − 1)6 ) . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
1
6!
f (6) (1)
= − , suy ra f (6) (1) = − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
2) Từ
6!
3
3
Câu 4. (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
y = 1+

1
,
x3

hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, −1) và (0, +∞), nghịch biến trên khoảng


(−1; 0) và có một điểm cực đại là x = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
Từ kết quả khảo sát, suy ra đồ thị hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

1

Câu 5. (2đ) 1) I =

arcsin xdx = x arcsin x|10 −

0

2) J =

1
ln
3

0

+∞
x−2
x+1

=
3

1
√ x
dx

1−x2

=

π
2

+

√

1 − x2

1
0

=

π
2

− 1 . . . . . . 1,0đ

2 ln 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3

Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.



ĐÁP ÁN ĐỀ 6
Câu 1. (2đ)
1) lim xn = lim 2016 n 1 − (1/2016)n = 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ex − 1 − x cos x
ex − 1 − x cos x
2) Biến đổi lim
=
lim
.....................................
x→0
x→0
x2 cos x
x2
x
e − cos x + x sin x
Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim
...................................
x→0
2x
x
e + sin x + sin x − x cos x
=L lim
= 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x→0
2
Câu 2. (2đ) f+ (2016) = cos 2016a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ

f− (2016) = − cos 2016a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Hàm số khả vi tai x = 2016 khi và chỉ khi f+ (2016) = f− (2016) ⇔ cos 2016a = 0 . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm được a = π/4032 + kπ/2016, k ∈ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu 3. (2đ)
2

1) f (x) = e1−(x−1) = e − e(x − 1)2 + e(x − 1)4 /2! − e(x − 1)6 /3! + o((x − 1)6 ) . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
e
6!e
f (6) (1)
= − , suy ra f (6) (1) = −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
2) Từ
6!
3!
3!
Câu 4. (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
y = 1−

1
,
x3

hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, 0) và (1, +∞), nghịch biến trên khoảng

(0, 1) và có một điểm cực tiểu là x = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

Từ kết quả khảo sát, suy ra đồ thị hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

1

Câu 5. (2đ) 1) I =

arccos xdx = x arccos x|10 +

0

2) J =

1
x−1
ln
3
x+2

1
0

+∞

=
2

√ x
dx
1−x2


=−

√
1 − x2

1
0

= 1 . . . . . . . . . . . . 1,0đ

2 ln 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3

Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.


ĐÁP ÁN ĐỀ 7
Câu 1 (3,0đ)
a) lim xn = lim 2 n 1 + (1/2)n + (sin n/2)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n = 0, tính được giới hạn bằng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x) ∼ 2x trong quá trình x → 0. . . . . . . . . . . . . 0,5đ
sin x + ex − 1 − 2x
Ta có L = lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0
2x2
1
Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta được L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
4

Câu 2 (2,0đ)


x sin x
nếu x ≥ 0
. Rõ ràng f khả vi tại mọi x = 0. . . . . . . . . . . 0,5đ
a) (1,0đ) Ta có f (x) =

−x sin x nếu x < 0
x sin x
−x sin x
Tại x = 0, xét giới hạn trái và phải lim+
= 0 = lim−
. Vậy f khả vi tại 0 và do đó
x→0
x→0
x
x
khả vi trên R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


sin x + x cos x
nếu x ≥ 0
b) (1,0đ) Ta có f (x) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

− sin x − x cos x nếu x < 0
sin x + x cos x
− sin x − x cos x
lim+

= 2 và lim−
= −2. Suy ra f không khả vi cấp 2 tại 0. 0,5đ
x→0
x→0
x
x
Câu 3 (2,0đ)
x8 x10
Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x2 ) cos x4 = 1 + x2 −
−
+ o(x10 )). . . . . . . . . . . 1,0đ
2
2
10!
10
Do vậy, f (0) = − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
2!
Câu 4 (2,0đ)
1
1
Ta có
<
, ∀x ∈ [1, +∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
k
(1 + x )(1 + x )
1 + x2
+∞
1
Do

hội tụ nên suy ra Ik luôn hội tụ với mọi tham số k ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x2
1
+∞
dx
Khi k = 1 thì tích phân là I1 =
. ..........................................
2
(1 + x )(1 + x)
1
dx
1
1+x
Ta có nguyên hàm
=
arctan x + ln √
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
2
(1 + x )(1 + x)
2
1 + x2
π
Từ đó suy ra I1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
8
Câu 5 (1,0đ)
Sử dụng định lí giá trị trung bình của tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2

Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.

2

0

f (x)dx = −1 . . 1,0đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 8
Câu 1 (3,0đ)
a) (1,0đ) a) lim xn = lim 3 n 1 + (1/3)n + (cos n/3)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n = 0, tính được giới hạn bằng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x2 ) ∼ 2x2 trong quá trình x → 0. . . . . . . . . . . 0,5đ
cos x + ex − 2 − x
Ta được L = lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0
2x3
1
Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta được L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
12
Câu 2 (2,0đ)


x(ex − 1)
nếu x ≥ 0
. Rõ ràng f khả vi tại mọi x = 0. . . . . . . . . 0,5đ
a) (1,0đ) Ta có f (x) =

−x(ex − 1) nếu x < 0
x(ex − 1)
−x(ex − 1)
Tại x = 0, xét giới hạn trái và phải lim+

= 0 = lim−
. Vậy f khả vi tại 0 và
x→0
x→0
x
x
do đó khả vi trên R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ex − 1 + xex
nếu x ≥ 0
b) (1,0đ) Ta có f (x) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

−ex + 1 − xex nếu x < 0
−ex + 1 − xex
ex − 1 + xex
= 2 và lim−
= −2. Suy ra hàm số f không khả vi cấp 2
Ta có lim+
x→0
x→0
x
x
tại 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3 (2,0đ)
x9 x10
Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x) sin x3 = 1 + x −
−
+ o(x10 )). . . . . . . . . . . . . 1,0đ

6
6
10!
Do vậy, f 10 (0) = − . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
3!
Câu 4 (2,0đ)
1
1
Ta có
<
, ∀x ∈ [1, +∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(1 + xk )(1 + x)
1 + xk+1
+∞
1
hội tụ nên suy ra Ik luôn hội tụ với mọi tham số k ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Do
k+1
x
1
+∞
dx
Khi k = 2 thì tích phân là I2 =
. ..........................................
2
(1 + x )(1 + x)
1
dx
1
1+x

√
Ta có nguyên hàm
=
arctan
x
+
ln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(1 + x2 )(1 + x)
2
1 + x2
π
Từ đó suy ra I1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
8
Câu 5 (1,0đ)
Sử dụng định lí giá trị trung bình của tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2

Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa.

2
0

f (x)dx = 1 . . . 1,0đ