TOÁN KINH TẾ
1.DẠNG TOÁN ƯỚC LƯỢNG:
 Ước lượng tỷ lệ:
- Ước lượng tỷ lệ: theo độ tin cậy (∂) hoặc mức ý nghĩa (α)
+ B1:
+ B2: => c = (tra bảng) với ∂: độ tin cậy; α: mức ý nghĩa
+ B3: P Є (f-c; f+c) => A ≤ P ≤ B (1)
- Độ chính xác: c = A

=>

n= = B

=> Số lượng cần quan sát thêm: B – n ( ) =
-Ước lượng tối thiểu: suy ra số lượng tối thiểu (m ) trên ∑số lượng (n)
P≥f-c

=> P ≥ A

Mà P =

=> ≥ A

=> m ≥ nA

Với α = 1 - ∂; ∅(c) =
-Ước lượng tối đa: suy ra số lượng tối đa (m) trên ∑ số lượng (n)
P≤f+c
Tương tự ước lượng tối thiểu
-Ước lượng tỷ lệ sp theo điều kiện (Vd: sản phẩm loại I)
 Từ KQ ước lượng tỷ lệ: (1) A ≤ P ≤ B

Mà P = => A ≤ ≤ B với m là số lượng sp theo đk
=> An ≤ m ≤ Bn
Hoặc suy ra : tổng số sp (n) => C ≤ n ≤ D

 Ước lượng trung bình:
- Ước lượng trung bình: theo độ tin cậy (∂) hoặc mức ý nghĩa (α)
+ B1: tìm =
+ B2: Tìm

vẽ lại bảng số liệu
X;

(bấm máy tính)

Mode 3 – 1


Shift 1 – 4
+ B3: ∅ (c) = = => C
+ B4: n = ∑n trên bảng số liệu
+ B5: µ Є
Vậy trọng lượng TB của sp là µ Є
- Độ chính xác: = A => số sp cần quan sát thêm
=> n = B (để tính n, bình phương 2 vế để bỏ căn)
=> số sp cần quan sát thêm: B – n (∑n) =
- Tính n tối thiểu, không quá C =>

C

=> n


 Ước lượng khác: (áp dụng khi đề bài không yêu cầu rõ ước lượng tỷ lệ
hay trung bình)
+ B1: tính ước lượng tỷ lệ P: a ≤ P ≤ b
+ B2: có P = => a ≤ ≤ b
+ B3: cho n, tìm m => an ≤ m ≤ bn
Cho m tìm n =>

≤n≤

2. DẠNG TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT:
(1) theo đề, luôn là dấu “ = “
: µ (theo đk đề bài) (2)

(2) tìm ý nghĩa

: µ (trái nghĩa ) (3)

(3) trái nghĩa với (2)
(4) tìm dấu ≠ , < , >

Giả sử đúng
 µ≠

> C : bác bỏ

T=
 µ<

+ n – 1 < 30 => c =

+ n – 1 > 30 => ∅(c) = =
=> c
KL: < C : chấp nhận

T=
α => ∅(c) = => c

KL: T > -C : chấp
nhận
T < -C: bác bỏ


 µ>
T=

α => ∅(c) = => c
KL: T < C : chấp
nhận

T > C : bác bỏ


Với UL tỷ lệ: T =

3. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG:
 Công thức:
(’ = n

VD: = 3


()’ =
(c)’ = 0
[(x)]’ = n(x). n’(x)
[]’ = . u’(x)
()’=

VD: ()’ = ()’ = =

=

VD: =
 Ứng dụng:
+ Tìm hàm cận biên: f’(x) =

+α > 0 => x tăng 1 đơn vị thì f(x) tăng α đơn vị
+α < 0 => x tăng 1 đơn vị thì f(x) giám α đơn vị
VD: Cho hàm DT R(Q) = 1200Q - (Q ≥ 0)  hàm DT biên R’(Q) = 1200 – 2Q
 Khi Q = 590 => R’(590) = 20 > 0
Vậy tại Q = 590, khi Q tăng 1 đơn vị thì R(Q) tăng 20 đơn vị
+ Tìm hệ số co giãn: = f’(x) = α
+α > 0 : khi x tăng 1% thì y tăng α%
+α < 0 : khi x tăng 1% thì y giảm α%
VD: Cho hàm sx Q = a (a > 0 , 0 < a < 1). Tính hệ số co giãn của sản lượng theo LĐ:
= f’(x)



= Q’



=> = (a)’ = aα. = =

= >0

Vậy tại mức L bất kỳ, khi L tăng 1% thì Q tăng α%
 Cực trị hàm 1 biến:
+B1: tính f’(x)

+B1: tính f’(x)

Giải f’(x) = 0 => : ;

Giải f’(x) = 0 => : ;

+B2: Lập bảng biến thiên

+B2: Tính f”xx
* f”xx < 0  max

X
f’(x)

+

0

-

0


+

* f”xx > 0  min

f(x)

+B3: dựa vào bảng => KL
 VD1: Cho Q = 120 - với L > 0
+B1: Q’ = 240L – 3
Q’ = 0 => 240L - 3 = 0
= 80
=0
+B2: vì L > 0
L

0

Q’

0

Q

80
+

0

-


CĐ

+B3: Vậy tại L = 80 thì sản lượng đạt CĐ
=> = 120() – () =
 VD2: Cho hàm CP: C(Q) = 4 + 5 + 500 , Q > 0 và hàm cầu Q = 11160 – p.
Xác định Q để lợi nhuận đạt CĐ.


Có Q = 11160 – p => p = 11160 – Q
Mà LN = DT – CP = P x Q – C(Q)
= (11160 – Q) x Q – (4 + 5 + 500)
 (LN)’ = 0 => ;
Vẽ bảng biến thiên và xác định Q để LN đạt CĐ
 Cực trị hàm nhiều biến: f(x,y)
+B1:

f’x = 0
f’y = 0
=> x,y ; x,y là điểm dừng

+B2:

A= ; B= ; C=
Δ = AC -

+B3: Kết luận
 Δ>0

A < 0 ( C<0) => x,y là cực đại
A > 0 ( C>0) => x,y là cực tiểu

 Δ < 0 => x,y là điểm yên ngựa
 Δ = 0 => chưa có kết luận về x,y
VD: có 2 loại sp với hàm cầu = 1300 - ; = 675 – 0,5 và hàm CP :C=+3+ . Tìm ; và P để lợi
nhuận đạt cực đại.
Có = 1300 -

=> = 1300 -

= 675 – 0,5 => =
 DT1 = x = (1300 - ) = 1300  DT2 = x = () =
 DT = DT1 + DT2 = 1300 - + = 1300 - +1350 Mà LN = DT – CP
= 1300 - +1350 - – (+3+ )
+B1: f’() = 0


f’() = 0

+B2: A = f”() ; B = f” ; C = f”
Δ = AC - = 15 > 0 và A < 0
+B3: cực đại => ;


4. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG:
 Công thức:
= +c

= kx + c

= +c
= +c


=k

 Ứng dụng :
- Tìm hàm kinh tế (Tổng DT, tổng CP) từ hàm giá trị cận biên
- Lưu ý: phải tìm c bằng cách cho Q = 0 f(Q) = 0 c
VD1: Cho hàm sản phẩm biên của lao động MPL = 40 x L0,5. Tìm hàm sx Q = f(L)
biết Q(100) = 4000
Giải : Có MPL = 40 = 40
Q= =

= 40 = 40 . + C = 40 + C

= L3/2 + C
Ta có Q(100) = . 1003/2 + C = 4000

C=

 Q(L) = . L3/2 -

VD2: Cho CP cận biên MC(Q) = 8 x e0.2Q ; FC = 50. Tìm hàm tổng CP
Giải: Có TC = C + FC (1)
Mà C = =
= 8. + C = 40e0.2Q + C
(1) => TC(Q) = 40e0.2Q + C
Khi sản lượng Q = 0 thì TC = FC = 50
TC(0) = 40 e0 + C = 50 => C = 10
 Vậy TC(Q) = 40e0.2Q + 10
5. MA TRẬN



1. Phương pháp Cramer: (có det 0)
- B1: Tìm det A
- B2: Thế ma trận B lần lượt vào các cột của ma trận A & tìm det tương ứng (A1; A2; A3)
- B3: Tìm nghiệm
X1 = ;
X2 = ;
X3 =
2.Phương pháp ma trận nghịch đảo:
- B1: Có A-1 = BT
- B2: với B =
- B3: tính các chỉ số bij với b11 = (-1)1+1
(Mũ chẵn  (+), mũ lẽ  (-) / b11: bỏ dòng 1, cột 1)
3. Phương pháp Gauss:
- B1: Lập ma trận mở rộng = xếp phần tử ma trận B sau ma trận A
- B2: + Trên mỗi cột của A chọn 1 phần tử ≠ 0 (phải nằm trên đường chéo)
+ Biến các phần tử dưới nó về 0
-B3: Nhận được 1 hệ tương đương
 Khi det = 0  phải áp dụng PP Gauss để giải hệ PT
- Nếu hạng ma trận A: r (A) < r (  hệ PT vô nghiệm
- Nếu r (A) = r ( < số ẩn: n (hoặc số PT < số nghiệm)  hệ PT có vô số nghiệm
+ Tìm số ẩn tự do = số ẩn – số PT
+ Đặt 1 ẩn bất kỳ = t R  các ẩn còn lại
4. Ứng dụng:
 Dạng Mô hình cân bằng kinh tế quốc dân (vĩ mô)
Cho Y = C + + + – N
Y: tổng nhập
C: chi tiêu cho TD
: đầu tư
: chi tiêu CP

: XK
: NK (N = c + d Yd)
Yd = Y – tY = (1 – t)Y
VD: Cho C = a Yd + b ( 0 < a < 1)
I = ; G = ; Yd = (1- t)Y
Tìm ; (Cramer)


Giải:
Có Y = C + + + – N
Mà và N = 0
 Y = C + + ( trong đó Y, C là biến và ; là hằng số)
Có C = a Yd + b => C = a(1-t)Y + b
Ta có hệ PT:
Y–C= +
-a(1-t)Y + C = b
PP Cramer:
A= b=
Det A = 1 – (-1)(-a(1-t)) = 1 – a(1-t)
Det = + + b (thế B vào cột 1 của A)
Det = b + a(1-t)( + ) ( thế B vào cột 2 của A)
 = =
 = =
= =
= =
 Dạng Mô hình cân đối liên ngành (I/O)
Cho ma trận hệ số kỹ thuật A = và ma trận cầu cuối b =
Tìm tổng sản lượng : X = (tổng cầu)
Ý nghĩa:


i

j

Đề sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm của mình; ngành j cần aij đơn vị hàng hóa của
Vậy: X = (I – A)-1b
Ma trận đơn vị
VD:
A=

B=


Giải: a. Ý nghĩa của a23
 Để

sản xuất ra 1 đơn vị của mình, ngành 3 cần 0.2 đơn vị hàng hóa của ngành 2
b. Tìm tổng cầu

Gọi ma trận tổng cầu X =
Ta có: X = (I3 – A)-1b

( vì A có 3 dòng 3 cột  I cũng 3 dòng 3 cột I3)

Với I là ma trận đơn vị sẽ có dạng
 I3 – A = - =
 (I3 – A)-1 =
Vậy X= (I3 – A)-1b = =
6. XÁC SUẤT:
Đặt T: chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 1 thùng

M1: chọn được từ thùng loại 1
M2: chọn được từ thùng loại 2
X: chọn được sản phẩm là sản phẩm tốt
Có P (M1) = tỷ lệ thùng loại 1
P (M2) = tỷ lệ thùng loại 2
P (X/M1) = tỷ lệ X của thùng loại 1
P (X/M2) = tỷ lệ X của thùng loại 2
 Xác suất sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt:
P (X) = P (M1) x P (X/M1) + P (M2) x P (X/M2)
 Xác suất sản phẩm lấy ra từ thùng loại 1:
P (M1/X)

=