Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC TRÌNH LÝ THUYẾT SỐ
Đề số 1
1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số
( )
( ) ( ) ( )
16 2 4 8
5 4 5 1 5 1 5 1 5 1a
= − + + + +

và 2005
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
16 2 4 8
5 4 5 1 5 1 5 1 5 1a
= − + + + +
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
16 2 4 8
16 16
5 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1
5 5 1 1
a
= − − + + + +
= − − =
UCLN(a,2005) = 1
2.Cho UCLN(a,b) = 1 và n là ước chung của a - b và ac – bd. Chứng
minh rằng n \ c – d.

(Sách bài tập số học)
3. Tìm các số tự nhiên m và n sao cho mn = 252 và UCLN(m,n) = 2.
Với mọi n , m
∈
N, giả thiết n < m. Đặt m = 2a và n = 2b. Vì UCLN(m,n)
= 2 nên UCLN(a,b) = 1.
Mặt khác mn = 252 → 4ab = 252 → ab = 63
Từ đó ta có a = 1; b = 63 → m = 2 ; n = 126
a = 7; b = 9 → m = 14 ; n = 28
4. Tìm số nguyên dương n để A = n
4
+ n
2
+1 là số nguyên tố.
Ta có A = n
4
+ n
2
+1 = n
4
+ 2n
2
+1 – n
2
=( n
2
+ 1)
2
– n
2


= (n
2
+ n + 1)(n
2
– n + 1)
- Nếu n = 1 thì A = 3 là số nguyên tố.
- Nếu n > 1 thì n
2
+ n + 1 > 1, n(n – 1) + 1 > 1, do đó A là hợp số.
5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 16
n
– 15n - 1 chia hết cho
225.
Với n = 0 ta có 16
0
– 15.0 – 1 = 0 chia hết cho 225
Giả sử 16
n
– 15n - 1 chia hết cho 225. Ta CM 16
n+1
– 15(n+1) - 1 chia hết
cho 225.
Thật vậy, ta có 16
n+1
– 15(n+1) - 1 = 16(16
n
– 15n – 1) + 15.15n chia hết
cho 225.
Đề số 2

1. Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq +
np với m, n, p, q
∈
Z

Với m, n, p, q
∈
Z , Ta có mp + nq = mq + np – (m – n) (q – p)
suy ra mp + nq – (mq + np) = (m – n) (q – p)
hay m – n chia hết mp + nq – (mq + np) mà theo gth m – n chia hết mp +
nq nên ta có m – n chia hết mq + np.
1
Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009
2. Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n
∈
N
(Sách bài tập số học)
3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho BCNN(a,b) = 756 và UCLN(a,b) =
36
Với mọi a , b
∈
N, giả thiết a < b. Đặt a = 36n và b = 36m. Vì UCLN(a,b)
= 36 nên UCLN(n,m) = 1 và n < m .
Mặt khác ta có ab = BCNN(a,b). UCLN(a,b) = 756.36 → mn =21
Từ đó suy ra n = 1; m = 21 → a = 36 ; b = 36.21
n = 3; m = 7 → a = 3.36 ; b = 36.7
4. Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p
2
+ 1 và 3p
2

+ 1 là các số
nguyên tố
Nếu p = 2 thì 24p
2
+ 1 = 24.4 +1 = 97 và 3p
2
+ 1 = 13
Nếu p > 3 thì p là số lẻ suy ra 3p
2
+ 1 không là số nguyên tố
Vậy p = 2 thì các số 24p
2
+ 1 và 3p
2
+ 1 là các số nguyên tố.
5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n
5
– 5n
3
+ 4n chia
hết cho 120.
120 = 3.8.5
Với mọi n
∈
N , Ta có A = n
5
– 5n
3
+ 4n = n( n
4

– 5n
2
+ 4)
= n(n
2
– 1)(n
2
– 4) = (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
Nên A chia hết cho 3( Chứa tích của ba số tự nhiên liên tiếp) , 5( tích của
5 số tự nhiên liên tiếp) và 8( chứa tích của hai số chẵn liên tiếp)
Vì UCLN(3,5,8) = 1 nên A = n
5
– 5n
3
+ 4n chia hết cho 120.
Đề số 3
1. Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b)
(Sách bài tập số học)
2. Chứng minh rằng BCNN(1,2,...,2n-1,2n) = BCNN(n+1,n+2,..., 2n-
1,2n)
Ta thấy rằng một số bất kỳ trong các số 1,2,..., n luôn là ước của số nào
đó trong các số n + 1, n + 2,..., 2n. Từ đó ta có BCNN(1,2,...,2n-1,2n) =
BCNN(n+1,n+2,..., 2n-1,2n)
3. Tìm các số tự nhiên m và n sao cho m.n = 252 và UCLN(m,n) = 2.
4. Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số
nguyên tố.
Nếu n = 0 thì n + 1 = 1, n + 77 = 77 , n + 99 = 99
Nếu n = 1 thì n + 1 = 2 , n + 77 = 78 , n + 99 = 100
Nếu n = 2 thì n + 1 = 3, n + 77 = 79, n + 99 = 101 là các số nguyên tố.
Nếu n > 3 thì n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số chẵn không là số nguyên

tố.
Vậy ta có n = 2.
2
Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009
5. Chứng minh rằng với n
∈
Z, ta có n
3
+ 23n chia hết cho 6.
Với n
∈
Z, ta có n
3
+ 23n = n
3
– n + 24n = (n – 1)n(n + 1) + 24n chia hết
cho 6.
Đề số 4
1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số m + n và m – n với m , n
∈
Z ,
UCLN(m,n) = 1
(Sách bài tập số học)
2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a
2
- b
2
= 7344 và UCLN(a,b) = 12.
3. Cho A = n! + 1 và B = n + 1 với n là số nguyên dương. Chứng minh
rằng nếu A chia hết cho B thì B là số nguyên tố.

4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n
5
- n chia hết cho
10.
Với mọi số tự nhiên n thì A = n
5
–n = n( n
4
– 1)
= n(n
2
– 1)( n
2
– 4) +5 n(n
2
– 1)
= (n - 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 10.
5.Giải phương trình 40x + 31y = 1
Đề số 5
1. Cho phân số
( )
2
2
1
1
n
n n
+
−
với n

∈
N , n > 1.Với những giá trị nào của n thì
phân số tối giản? không tối giản?
Đặt d = UCLN( n, n
2
+1). Ta có d \ n nên d \ n
2
suy ra d là ước của (n
2
+
1) – n
2
= 1. vậy d = 1.
Từ đó
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
1, 1 1, 1
(2, 1)
UCLN n n n UCLN n n
UCLN n D
+ − = + −
= − =
Khi n lẻ ta có D = 2 vì n
2
– 1 là số chẵn.
Khi n chẵn ta có D = 1 vì n
2

– 1 là số lẻ.
2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6.
3. Chứng minh rằng với m > 2 giữa m và m! có ít nhất một số nguyên tố.
(Sách bài tập số học)
4. Phân tích A = n
4
+ n
2
+1 thành tích hai thừa số nguyên tố cùng nhau.
Tìm số nguyên dương n để A = n
4
+ n
2
+1 là số nguyên tố.
3
Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009
Ta có A = n
4
+ n
2
+1 = ( n
2
+ n +1).( n
2
- n +1)
Đặt d = UCLN ( n
2
+ n +1, n
2
- n +1) = UCLN ( n

2
+ n +1, 2n)
= UCLN ( n(n +1) + 1, 2n )
Do n(n +1) + 1 là số lẻ nên d là số lẻ và UCLN(d,2) = 1 do đó d = UCLN
( n
2
+ n +1, n) = 1.
Với n = 0 thì A = 1
Với n > 1 ta có n
2
- n +1 = n( n – 1) + 1 > 1. Do đó A không thể là số
nguyên tố.
Với n = 1 ta có A = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 1
5. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số A = n(2n + 1).(7n + 1)
chia hết cho 6.
Ta thấy một trong hai thừa số n và 7n + 1 là số chẵn .
Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 2.
Với n = 3k thì n chia hết cho 3
Với n = 3k + 1 thì 2n + 1 chia hết cho 3
Với n = 3k + 2 thì 7n + 1 chia hết cho 3
Do đó n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 3 với mọi n.
Từ đó suy ra n(2n + 1)(7n + 1) chia hết cho 6.
Cách khác:
Ta có n(2n + 1)(7n + 1) = . n(2n + 1)(6n + n + 1)
= 6n
2
(2n + 1) + n( n + 1)(2n + 1)
= 6n
2

(2n + 1) + n( n + 1)(n – 1) + n( n + 1)(n + 2).
= 6n
2
(2n + 1) + (n – 1) n( n + 1) + n( n + 1)(n + 2).
Đề số 6
1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số a = n
3
+ n
2
+ 1 và b = n
2
+ 2n với n
∈
N
Đặt c = 2n + 1. Ta có a = b(n – 1) + c và 4b = (2n + 3)c – 3.
Do đó UCLN(a,b) = UCLN(b,c) và UCLN(4b,c) = UCLN(c,3) = d
Ta có d = 1 hoặc d = 3.
d = 1 thì UCLN(4b,c) = 1
d = 3 thì UCLN(4b,c) = 3. Vì UCLN(4,3) = 1 do đó UCLN(b,c) = 3 =
UCLN(3,c)
Vậy ta luôn có UCLN(a,b) = UCLN(b,c) = UCLN(3,c)
= UCLN(3, 2n + 1)
4
Giảng viên: Dương Thị Hồng Hải – 6/2009
2. Tìm bội chung nhỏ nhất của n , n + 1 , n +2 với n
∈
N
3. Chứng minh rằng nếu m – n chia hết mp + nq thì m – n chia hết mq +
np với m, n, p, q
∈

Z
4. Tìm số nguyên tố p sao cho các số 24p
2
+ 1 và 3p
2
+ 1 là các số
nguyên tố
Nếu p = 2 thì 24p
2
+ 1 = 97 và 3p
2
+ 1 = 13 là các số nguyên tố.
Nếu p > 2 thì p là số lẻ. Do đó 3p
2
+ 1 là số chẵn lớn hơn 2 nên không
thể là số nguyên tố.
Vậy p = 2.
5. Chứng minh rằng với mọi số lẻ n thì A = n
2
+ 4n + 5 không chia hết
cho 8.
Vì n lẻ nên n = 2k + 1
Ta có A = n
2
+ 4n + 5

( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 4 2 1 5

4 1 8 1 2
k k
k k k
= + + + +
= + + + +
Ta thấy
( ) ( )
1 8, 1 8k k k k+ +M M
nhưng 2 không chia hết cho 8.
Vậy A không chia hết cho 8.
Đề số 8
1.Tìm ước chung lớn nhất của hai số
m ab ba= +
và 55
Ta có
m ab ba= +
= (10a + b) + (10b + a) = 11(a +b) và 55 = 11.5
Nếu
5a b+ M
thì UCLN(m, 55) = UCLN( 11( a+ b), 11.5) = 55
Nếu
5a b+ O
thì UCLN(m, 55) = UCLN( 11( a+ b), 11.5) = 11
2. Chứng minh rằng UCLN(a + b, m) = UCLN(a,b) với m = BCNN(a,b)

3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a + b = 30 và UCLN(a,b) = 6.
4. Tìm số tự nhiên n sao cho các số n + 1, n + 77, n + 99 đều là các số
nguyên tố.
5. Chứng minh rằng với n
∈

N, ta có n
4
+6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24.
Ta có n
4
+6n
3
+ 11n
2
+ 6n = n (n
3
+6n
2
+ 11n + 6)
5